Плотность Дирихле - Dirichlet density

Эта статья не о Распределение Дирихле теории вероятностей.

В математика, то Плотность Дирихле (или же аналитическая плотность) набора простые числа, названный в честь Питер Густав Лежен Дирихле, является мерой размера набора, который легче использовать, чем естественная плотность.

Определение

Если А - подмножество простых чисел, Плотность Дирихле из Аэто предел

${displaystyle lim _{sightarrow 1^{+}}{frac {sum _{pin A}{1 over p^{s}}}{sum _{p}{frac {1}{p^{s}}}}}}$

если он существует. Обратите внимание, что поскольку ${displaystyle extstyle {sum _{p}{frac {1}{p^{s}}}sim log({frac {1}{s-1}})}}$ в качестве ${displaystyle sightarrow 1^{+}}$ (видеть Простая дзета-функция ), это также равно

${displaystyle lim _{sightarrow 1^{+}}{sum _{pin A}{1 over p^{s}} over log({frac {1}{s-1}})}.}$

Это выражение обычно является порядком "столб " из

${displaystyle prod _{pin A}{1 over 1-p^{-s}}}$

в s = 1 (хотя в целом это не совсем полюс, так как он имеет нецелой порядок), по крайней мере, если эта функция является голоморфной функцией, умноженной на (действительную) степень s−1 около s = 1. Например, если А это набор всех простых чисел, это Дзета-функция Римана имеющий полюс порядка 1 на s = 1, поэтому множество всех простых чисел имеет плотность Дирихле 1.

В более общем смысле, можно определить плотность Дирихле последовательности простых чисел (или степеней простых чисел), возможно с повторениями, таким же образом.

Характеристики

Если подмножество простых чисел А имеет естественную плотность, заданную пределом

(количество элементов А меньше, чем N) / (количество простых чисел меньше N)

тогда он также имеет плотность Дирихле, и эти две плотности одинаковы. Однако обычно легче показать, что набор простых чисел имеет плотность Дирихле, и этого достаточно для многих целей. Например, при доказательстве Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях, легко показать, что плотность Дирихле простых чисел в арифметической прогрессии а + nb (за а, б взаимно проста) имеет плотность Дирихле 1 / φ (б), чего достаточно, чтобы показать, что таких простых чисел бесконечно много, но труднее показать, что это естественная плотность.

Грубо говоря, для доказательства того, что некоторый набор простых чисел имеет ненулевую плотность Дирихле, обычно требуется показать, что L-функции не исчезнуть в момент s = 1, показывая, что они имеют естественную плотность, подразумевает, что L-функции не имеют нулей на строке Re (s) = 1.

На практике, если некоторый «естественный» набор простых чисел имеет плотность Дирихле, то он также имеет естественную плотность, но можно найти искусственные контрпримеры: например, набор простых чисел, первая десятичная цифра которых равна 1, не имеет естественной плотности. плотности, но имеет логарифм плотности Дирихле (2) / лог (10).^[1]

Смотрите также

• Естественная плотность

Примечания

1. Это приписывает Ж.-П. Серра на личное сообщение от Bombieri в Курс арифметики; элементарное доказательство, основанное на теорема о простых числах приводится в: A. Fuchs, G. Letta,Le problème du premier chiffre décimal pour les nombres premiers [Проблема первой цифры для простых чисел] (Французский) The Foata Festschrift. Электрон. J. Combin. 3 (1996), нет. 2.

Рекомендации

• Ж.-П. Серр, Курс арифметики, ISBN  0-387-90040-3, глава VI раздел 4.