L-функция - L-function

В Дзета-функция Римана можно рассматривать как архетип для всех L-функции.[1]

В математике L-функция это мероморфный функция на комплексная плоскость, связанных с одной из нескольких категорий математические объекты. An L-серии это Серия Дирихле, обычно сходящийся на полуплоскость, что может вызвать L-функция через аналитическое продолжение. В Дзета-функция Римана является примером L-функция и одна важная гипотеза о L-функции - это Гипотеза Римана и это обобщение.

Теория L-функции стали очень существенными, и все еще в значительной степени предположительный, часть современной аналитическая теория чисел. В нем широкие обобщения дзета-функции Римана и L-серии для Dirichlet персонаж построены, и их общие свойства, в большинстве случаев еще недосягаемые для доказательства, изложены систематическим образом. Из-за Формула произведения Эйлера есть глубокая связь между L-функции и теория простые числа.

Строительство

С самого начала мы различаем L-серии, бесконечный представление серии (например, Серия Дирихле для Дзета-функция Римана ), а L-функция, функция на комплексной плоскости, являющаяся ее аналитическое продолжение. Общие конструкции начинаются с L-серия, определенная первой как Серия Дирихле, а затем разложением как Произведение Эйлера индексируется простыми числами. Оценки необходимы, чтобы доказать, что это сходится в некоторой правой полуплоскости комплексных чисел. Затем спрашивают, может ли определенная таким образом функция быть аналитически продолжена на остальную часть комплексной плоскости (возможно, с некоторыми полюса ).

Это (предположительно) мероморфный продолжение на комплексную плоскость, которая называется L-функция. В классических случаях уже известно, что полезная информация содержится в значениях и поведении L-функция в точках, где представление ряда не сходится. Общий термин L-функция здесь включает многие известные типы дзета-функций. В Класс Сельберга это попытка уловить основные свойства L-функции в наборе аксиом, тем самым поощряя изучение свойств класса, а не отдельных функций.

Предполагаемая информация

Можно перечислить характеристики известных примеров L-функции, которые хотелось бы видеть обобщенными:

Подробная работа породила большое количество правдоподобных предположений, например, о точном типе функционального уравнения, которое должно применяться. Поскольку дзета-функция Римана через свои значения в положительных четных целых числах (и отрицательных нечетных целых числах) соединяется с Числа Бернулли нужно найти соответствующее обобщение этого явления. В этом случае были получены результаты для п-адический L-функции, которые описывают некоторые Модули Галуа.

Статистика нулевые распределения представляют интерес из-за их связи с такими проблемами, как обобщенная гипотеза Римана, распределение простых чисел и т. д. случайная матрица теория и квантовый хаос также представляют интерес. Фрактальная структура распределений исследована с помощью масштабированный анализ диапазона.[2] В самоподобие нулевого распределения весьма примечателен и характеризуется большим фрактальная размерность из 1.9. Эта довольно большая фрактальная размерность находится над нулями, охватывающими не менее пятнадцати порядков величины Дзета-функция Римана, а также для нулей других L-функции разных порядков и проводников.

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

Основная статья: Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера

Один из влиятельных примеров как для истории более общего L-функции, и как все еще нерешенная проблема исследования, это гипотеза, развитая Брайан Берч и Питер Суиннертон-Дайер в начале 1960-х гг. Это относится к эллиптическая кривая E, и проблема, которую он пытается решить, - это предсказание ранга эллиптической кривой по рациональным числам (или другому глобальное поле ): т.е. число свободных образующих его группы рациональных точек. Большая часть предыдущей работы в этой области стала объединяться вокруг лучшего знания L-функции. Это было что-то вроде парадигмального примера зарождающейся теории L-функции.

Возникновение общей теории

Это развитие предшествовало Программа Langlands на несколько лет и может рассматриваться как дополняющая его: работа Ленглендса в значительной степени связана с Артин L-функции, который, как и Гекке L-функции, были определены несколькими десятилетиями ранее, и L-функции, связанные с общими автоморфные представления.

Постепенно выяснилось, в каком смысле построение Дзета-функции Хассе – Вейля можно заставить работать, чтобы предоставить действительный L-функции, в аналитическом смысле: должен быть некоторый ввод из анализа, что означает автоморфный анализ. Общий случай теперь объединяет на концептуальном уровне ряд различных исследовательских программ.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Штойдинг, Йорн (июнь 2005 г.). "Введение в теорию L-функции ». Препринт.
  2. ^ О. Шанкер (2006). «Случайные матрицы, обобщенные дзета-функции и самоподобие нулевых распределений». J. Phys. A: Математика. Gen. 39 (45): 13983–13997. Bibcode:2006JPhA ... 3913983S. Дои:10.1088/0305-4470/39/45/008.

внешняя ссылка

Статьи о прорыве в трансцендентной L-функции третьей степени