L-функция Артина - Artin L-function

В математика, Артин L-функция это тип Серия Дирихле связано с линейное представление ρ Группа Галуа г. Эти функции были введены в 1923 г. Эмиль Артин, в связи с его исследованием теория поля классов. Их основные свойства, в частности Гипотеза Артина описанные ниже, оказались стойкими к легкому доказательству. Одна из целей предлагаемых неабелева теория поля классов состоит в том, чтобы включить комплексно-аналитическую природу Артина L-функции в более крупную структуру, например, предоставляемую автоморфные формы и Программа Langlands. Пока что лишь небольшая часть такой теории получила прочную основу.

Определение

Данный ${\displaystyle \rho }$, представление ${\displaystyle G}$ на конечномерном комплексном векторном пространстве ${\displaystyle V}$, где ${\displaystyle G}$ группа Галуа конечное расширение ${\displaystyle L/K}$ числовых полей, Артин ${\displaystyle L}$-функция: ${\displaystyle L(\rho ,s)}$ определяется Произведение Эйлера. Для каждого главный идеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ в ${\displaystyle K}$с кольцо целых чисел, существует фактор Эйлера, который легче всего определить в случае, когда ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ является неразветвленный в ${\displaystyle L}$ (верно для почти все ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$). В этом случае Элемент Фробениуса ${\displaystyle \mathbf {Frob} ({\mathfrak {p}})}$ определяется как класс сопряженности в ${\displaystyle G}$. Следовательно характеристический многочлен из ${\displaystyle \rho (\mathbf {Frob} ({\mathfrak {p}}))}$ четко определено. Фактор Эйлера для ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ представляет собой небольшую модификацию характеристического многочлена, столь же хорошо определенного,

${\displaystyle \operatorname {charpoly} (\rho (\mathbf {Frob} ({\mathfrak {p}})))^{-1}=\operatorname {det} \left[I-t\rho (\mathbf {Frob} ({\mathfrak {p}}))\right]^{-1},}$

так как рациональная функция в т, оценивается в ${\displaystyle t=N({\mathfrak {p}})^{-s}}$, с участием ${\displaystyle s}$ сложная переменная в обычном Дзета-функция Римана обозначение. (Вот N это норма поля идеала.)

Когда ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ разветвлен, и я это группа инерции которая является подгруппой г, аналогичная конструкция применяется, но к подпространству V фиксировано (поточечно) на я.^{[примечание 1]}

L-функция Артина ${\displaystyle L(\rho ,s)}$ - тогда бесконечное произведение по всем простым идеалам ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ этих факторов. Так как Артиновая взаимность показывает, когда г является абелева группа эти L-функции имеют второе описание (как Дирихле L-функции когда K это рациональное число поле, а как Гекке L-функции в общем). Новинка приходит с неабелев г и их представления.

Одно из приложений - разложение на множители Дзета-функции Дедекинда, например, в случае числового поля Галуа над рациональными числами. В соответствии с разложением регулярное представительство в неприводимые представления, такая дзета-функция распадается на продукт Артина L-функции, для каждого неприводимого представления г. Например, самый простой случай - когда г это симметричная группа на трех буквах. поскольку г имеет неприводимое представление степени 2, Артин L-функция для такого представления встречается в квадрате при факторизации дзета-функции Дедекинда для такого числового поля в произведении с дзета-функцией Римана (для тривиальное представление ) и L-функция типа Дирихле для представления подписи.

Точнее для ${\displaystyle L/K}$ расширение Галуа степени п, факторизация

${\displaystyle \zeta _{L}(s)=L(s,\rho _{\text{regular}})=\prod _{\rho {\text{ Irr rep }}{\text{Gal}}(L/K)}L(\rho ,s)^{\deg(\rho )}}$

следует из

${\displaystyle L(\rho ,s)=\prod _{{\mathfrak {p}}\in K}{\frac {1}{\det \left[I-N({\mathfrak {p}})^{-s}\rho (\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}){|V_{{\mathfrak {p}},\rho }}\right]}}}$

${\displaystyle -\log \det \left[I-N({\mathfrak {p}})^{-s}\rho \left(\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}\right)\right]=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {{\text{tr}}(\rho (\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}})^{m})}{m}}N({\mathfrak {p}})^{-sm}}$

${\displaystyle \sum _{\rho {\text{ Irr}}}\deg(\rho ){\text{tr}}(\rho (\sigma ))={\begin{cases}n&\sigma =1\\0&\sigma \neq 1\end{cases}}}$

${\displaystyle -\sum _{\rho {\text{ Irr}}}\deg(\rho )\log \det \left[I-N\left({\mathfrak {p}}^{-s}\right)\rho \left(\mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}\right)\right]=n\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {N({\mathfrak {p}})^{-sfm}}{fm}}=-\log \left[\left(1-N({\mathfrak {p}})^{-sf}\right)^{\frac {n}{f}}\right]}$

где ${\displaystyle \deg(\rho )}$ - кратность неприводимого представления в регулярном представлении, ж это заказ из ${\displaystyle \mathbf {Frob} _{\mathfrak {p}}}$ и п заменяется на н / д у разветвленных простых чисел.

Поскольку символы являются ортонормированной основой функции класса, показав некоторые аналитические свойства ${\displaystyle L(\rho ,s)}$ получаем Теорема плотности Чеботарева как обобщение Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях.

Функциональное уравнение

L-функции Артина удовлетворяют функциональное уравнение. Функция ${\displaystyle L(\rho ,s)}$ связана по своим ценностям с ${\displaystyle L(\rho ^{*},1-s)}$, где ${\displaystyle \rho ^{*}}$ обозначает комплексно-сопряженное представление. Точнее L заменяется на ${\displaystyle \Lambda (\rho ,s)}$, который L умноженный на определенные гамма-факторы, а затем существует уравнение мероморфных функций

${\displaystyle \Lambda (\rho ,s)=W(\rho )\Lambda (\rho ^{*},1-s)}$,

с определенным комплексным числом W(ρ) по модулю 1. Это Артиновое корневое число. Он был глубоко изучен в отношении двух типов свойств. в первую очередь Роберт Лэнглендс и Пьер Делинь установил факторизацию в Локальные константы Ленглендса – Делиня; это важно в связи с предполагаемыми отношениями к автоморфные представления. Также случай, когда ρ и ρ * являются эквивалентные представления в точности то, в котором функциональное уравнение имеет одну и ту же L-функцию с каждой стороны. Алгебраически говоря, это случай, когда ρ является реальное представление или кватернионное представление. Таким образом, корневое число Артина равно +1 или -1. Вопрос о том, какой знак возникает, связан с Модуль Галуа теория (Перлис 2001 ) ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFPerlis2001 (Помогите).

Гипотеза Артина

В Гипотеза Артина на L-функциях Артина утверждает, что L-функция Артина ${\displaystyle L(\rho ,s)}$ нетривиального неприводимого представления ρ аналитично во всей комплексной плоскости.^[1]

Это известно для одномерных представлений, при этом L-функции ассоциируются с Гекке персонажи - и в частности для L-функции Дирихле.^[1] В более общем плане Артин показал, что гипотеза Артина верна для всех представлений, индуцированных из одномерных представлений. Если группа Галуа сверхразрешимый или в более общем смысле одночлен, то все представления имеют этот вид, поэтому гипотеза Артина верна.

Андре Вайль доказал гипотезу Артина в случае функциональные поля.

Двумерные представления классифицируются по природе подгруппы изображений: они могут быть циклическими, двугранными, тетраэдрическими, октаэдрическими или икосаэдрическими. Гипотеза Артина для циклического или диэдрального случая легко следует из Эрих Хекке работа. Ленглендс использовал изменение базы подъема чтобы доказать тетраэдрический случай, и Джеррольд Таннелл расширил свою работу, чтобы охватить восьмигранный случай; Эндрю Уайлс использовал эти случаи в своем доказательстве Гипотеза Таниямы – Шимуры. Ричард Тейлор и другие достигли некоторого прогресса в (неразрешимом) икосаэдрическом случае; это активная область исследований. Гипотеза Артина для нечетных неприводимых двумерных представлений следует из доказательства Гипотеза Серра о модульности независимо от подгруппы проективных изображений.

Теорема Брауэра об индуцированных характерах означает, что все L-функции Артина являются произведениями положительных и отрицательных целых степеней L-функций Гекке и, следовательно, являются мероморфный во всей комплексной плоскости.

Ленглендс (1970) указал, что гипотеза Артина следует из достаточно сильных результатов Философия Ленглендса, относящиеся к L-функциям, связанным с автоморфные представления для GL (n) для всех ${\displaystyle n\geq 1}$. Точнее, гипотезы Ленглендса связывают автоморфное представление группа аделей GL_п(А_Q) каждому п-мерное неприводимое представление группы Галуа, являющееся куспидальное представление если представление Галуа неприводимо, так что L-функция Артина представления Галуа совпадает с автоморфной L-функцией автоморфного представления. Гипотеза Артина немедленно следует из известного факта, что L-функции каспидальных автоморфных представлений голоморфны. Это было одним из основных мотивов работы Ленглендса.

Гипотеза Дедекинда

Более слабая гипотеза (иногда известная как гипотеза Дедекинда) утверждает, что если M/K является продолжением числовые поля, то частное${\displaystyle s\mapsto \zeta _{M}(s)/\zeta _{K}(s)}$ от их Дзета-функции Дедекинда целая.

Теорема Араматы-Брауэра утверждает, что гипотеза верна, если M/K это Галуа.

В общем, пусть N закрытие Галуа M над K,и г группа Галуа N/K.Частное ${\displaystyle s\mapsto \zeta _{M}(s)/\zeta _{K}(s)}$ равен L-функциям Артина, связанным с естественным представлением, связанным с действием г на K-инвариантов комплексного вложения M. Таким образом, из гипотезы Артина следует гипотеза Дедекинда.

Гипотеза была доказана, когда г это разрешимая группа, независимо от Коджи Учиды и Р. В. ван дер Ваала в 1975 г.^[2]

Смотрите также

• Эквивариантная L-функция

Заметки

1. Возможно, правильнее вместо этого думать о коинварианты, самый большой факторное пространство фиксируется я, а не инварианты, но результат здесь будет тот же. Ср. L-функция Хассе – Вейля для подобной ситуации.

использованная литература

1. Мартине (1977) стр.18
2. (Прасад и Йогананда2000 )

• Артин, Э. (1923). "Uber eine neue Art von L Reihen". Хамб. Математика. Abh. 3. Печатается в его собрании сочинений, ISBN  0-387-90686-X. Английский перевод в L-функции Артина: исторический подход Н. Снайдера.
• Артин, Эмиль (1930), "Zur Theorie der L-Reihen mit allgemeinen Gruppencharakteren.", Abhandlungen Hamburg (на немецком), 8: 292–306, Дои:10.1007 / BF02941010, JFM  56.0173.02
• Таннелл, Джерролд (1981). "Гипотеза Артина для представлений октаэдрического типа". Бык. Амер. Математика. Soc. Н.С. 5 (2): 173–175. Дои:10.1090 / S0273-0979-1981-14936-3.
• Гелбарт, Стивен (1977). «Автоморфные формы и гипотеза Артина». Модульные функции одной переменной, VI (Proc. Second Internat. Conf., Univ. Bonn., Bonn, 1976). Конспект лекций по математике. 627. Берлин: Springer. С. 241–276.
• Лэнглендс, Роберт (1967), Письмо профессору Вайлю
• Ланглендс, Роберт П. (1970), "Проблемы теории автоморфных форм", Лекции по современному анализу и приложениям, III, Конспект лекций по математике, 170, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 18–61, Дои:10.1007 / BFb0079065, ISBN  978-3-540-05284-5, Г-Н  0302614
• Мартине, Дж. (1977), "Теория характеров и L-функции Артина", в Фрёлих, А. (ред.), Поля алгебраических чисел, Тр. Symp. Лондонская математика. Soc., Univ. Дарем 1975, Academic Press, стр. 1–87, ISBN  0-12-268960-7, Zbl  0359.12015
• Прасад, Дипендра; Йогананда, С.С. (2000), Бамбах, Р.П .; Dumir, V. C .; Ханс-Гилл, Р. Дж. (Ред.), Отчет о гипотезе Артина о голоморфности (PDF), Birkhäuser Basel, стр. 301–314, Дои:10.1007/978-3-0348-7023-8_16, ISBN  978-3-0348-7023-8

внешние ссылки

• Перлис, Р. (2001) [1994], "Корневые числа Артина", Энциклопедия математики, EMS Press