Особые ценности L-функции - Special values of L-functions - Wikipedia

В математика, изучение специальные значения L-функций является подполем теория чисел посвящены обобщающим формулам, таким как Формула Лейбница для числа пи, а именно

${\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {\pi }{4}},\!}$

понимая, что выражение в левой части также L(1) где L(s) это L-функция Дирихле для Гауссово поле. Эта формула является частным случаем формула аналитического числа классов, и в этих терминах означает, что гауссово поле имеет класс №1, а также содержит четыре корни единства, поэтому с учетом фактора ¼.

Домыслы

Есть два семейства гипотез, сформулированных для общих классов L-функции (очень общие настройки для L-функции L(s) связано с Чау-мотивы над числовые поля ), разделение на два, отражающих вопросы:

(а) как заменить π в формуле Лейбница каким-то другим «трансцендентным» числом (возможно ли это еще для трансцендентная теория чисел чтобы предоставить доказательство трансцендентности); и

(б) как обобщить рациональный фактор в формуле (число классов, деленное на количество корней из единицы) с помощью некоторой алгебраической конструкции рационального числа, которое будет представлять отношение значения L-функции к «трансцендентному» фактору.

Дополнительные пояснения даны для целых значений п для которых такие формулы L(п) можно ожидать.

Гипотезы для (а) называются Гипотезы Бейлинсона, за Александр Бейлинсон.^[1][2] Идея состоит в том, чтобы абстрагироваться от регулятор числового поля к какому-то «высшему регулятору» ( Регулятор Бейлинсона ), определитель, построенный на реальном векторном пространстве, который происходит из алгебраическая K-теория.

Гипотезы для (b) называются Гипотезы Блоха – Като для особых значений (за Спенсер Блох и Казуя Като - NB этот круг идей отличается от Гипотеза Блоха – Като K-теории, расширяя Гипотеза Милнора, доказательство чего было объявлено в 2009 году). Для большей наглядности их еще называют Гипотеза числа Тамагавы, имя, возникающее через Гипотеза Берча – Суиннертона-Дайера и его формулировка как эллиптическая кривая аналог Число тамагава проблема для линейные алгебраические группы.^[3] В дальнейшем расширении была сформулирована гипотеза эквивариантного числа Тамагавы (ETNC), чтобы закрепить связь этих идей с Теория Ивасавы, и его так называемый Основная гипотеза.

Текущее состояние

Известно, что все эти предположения верны только в частных случаях.

Смотрите также

• Гипотеза Брюмера – Старка.

Примечания

1. Питер Шнайдер, Введение в гипотезы Бейлинсона (PDF)
2. Ян Нековарж, Гипотезы Бейлинсона (PDF)
3. Маттиас Флак, Гипотеза о числе Тамагавы (PDF)

Рекомендации

• Короли, Гвидо (2003), "Гипотеза Блоха – Като об особых значениях L-функции. Обзор известных результатов ", Журнал Теории Номеров Бордо, 15 (1): 179–198, Дои:10.5802 / jtnb.396, ISSN  1246-7405, МИСТЕР  2019010
• "Гипотезы Бейлинсона", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• «K-функтор в алгебраической геометрии», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Матар, Ричард Дж. (2010). «Таблица Дирихле L-серии и простых функций дзета по модулю для малых модулей». arXiv:1008.2547.

внешняя ссылка

• L-funktionen und die Vermutingen von Deligne und Beilinson (L-функции и гипотезы Делиня и Бейльсона)