Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера - Birch and Swinnerton-Dyer conjecture

В математика, то Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера описывает набор рациональных решений уравнений, определяющих эллиптическая кривая. Это открытая проблема в области теория чисел и широко признана одной из самых сложных математических задач. Гипотеза была выбрана одной из семи Задачи Премии тысячелетия перечисленные Институт математики Клэя, который предложил приз в размере 1 000 000 долларов за первое верное доказательство.^[1] Назван в честь математиков. Брайан Берч и Питер Суиннертон-Дайер, который разработал гипотезу в первой половине 1960-х годов с помощью машинных вычислений. По состоянию на 2019 год^{[Обновить]}, доказаны лишь частные случаи гипотезы.

Современная формулировка гипотезы связывает арифметические данные, связанные с эллиптической кривой E через числовое поле K к поведению Хассе-Вайль L-функция L(E, s) из E в s = 1. Более конкретно, предполагается, что классифицировать из абелева группа E(K) точек E это порядок нуля L(E, s) в s = 1, а первый ненулевой коэффициент в Расширение Тейлора из L(E, s) в s = 1 дается более точными арифметическими данными, прикрепленными к E над K (Уайлс 2006 ).

Фон

Морделл (1922) доказано Теорема морделла: группа рациональные точки на эллиптической кривой имеет конечную основа. Это означает, что для любой эллиптической кривой существует конечное подмножество рациональных точек на кривой, из которых могут быть созданы все дальнейшие рациональные точки.

Если количество рациональных точек на кривой равно бесконечный тогда некоторая точка в конечном базисе должна иметь бесконечный порядок. Количество независимый базисные точки с бесконечным порядком называются классифицировать кривой, и является важным инвариантный свойство эллиптической кривой.

Если ранг эллиптической кривой равен 0, то кривая имеет только конечное число рациональных точек. С другой стороны, если ранг кривой больше 0, то кривая имеет бесконечное количество рациональных точек.

Хотя теорема Морделла показывает, что ранг эллиптической кривой всегда конечен, она не дает эффективного метода для вычисления ранга каждой кривой. Ранг некоторых эллиптических кривых можно вычислить с помощью численных методов, но (в текущем уровне знаний) неизвестно, обрабатывают ли эти методы все кривые.

An L-функция L(E, s) можно определить для эллиптической кривой E путем создания Произведение Эйлера от количества точек на кривой по модулю каждой основной п. Этот L-функция аналогична Дзета-функция Римана и Дирихле L-серия который определен для двоичного квадратичная форма. Это частный случай L-функция Хассе – Вейля.

Естественное определение L(E, s) сходится только для значений s в комплексной плоскости с Re (s) > 3/2. Хельмут Хассе предположил, что L(E, s) может быть расширен аналитическое продолжение на всю сложную плоскость. Эта гипотеза была впервые доказана Дойринг (1941) для эллиптических кривых с комплексное умножение. Впоследствии было показано, что это верно для всех эллиптических кривых над Q, как следствие теорема модульности.

Нахождение рациональных точек на общей эллиптической кривой - сложная задача. Нахождение точек эллиптической кривой по простому модулю п концептуально прост, так как существует лишь конечное число возможностей для проверки. Однако для больших простых чисел это требует больших вычислительных ресурсов.

История

В начале 1960-х Питер Суиннертон-Дайер использовал EDSAC-2 компьютер в Компьютерная лаборатория Кембриджского университета для расчета количества точек по модулю п (обозначается N_п) для большого количества простых чисел п на эллиптических кривых, ранг которых был известен. Из этих численных результатов Берч и Суиннертон-Дайер (1965) предположил, что N_п для кривой E со званием р подчиняется асимптотическому закону

${\displaystyle \prod _{p\leq x}{\frac {N_{p}}{p}}\approx C\log(x)^{r}{\mbox{ as }}x\rightarrow \infty }$

куда C является константой.

Первоначально это было основано на несколько незначительных тенденциях в графических графиках; это вызвало определенный скептицизм в Дж. В. С. Касселс (Советник Берча).^[2] Со временем численные доказательства накапливались.

Это, в свою очередь, привело их к общей гипотезе о поведении L-функции кривой L(E, s) в s = 1, а именно, что он имел бы нуль порядка р на этой точке. Это было дальновидное предположение для того времени, учитывая, что аналитическое продолжение L(E, s) было установлено только для кривых с комплексным умножением, которые также были основным источником числовых примеров. (Обратите внимание, что взаимный L-функции с некоторых точек зрения является более естественным объектом изучения; иногда это означает, что следует рассматривать полюсы, а не нули.)

Гипотеза была впоследствии расширена, чтобы включить предсказание точного ведущего Коэффициент Тейлора L-функции при s = 1. Это предположительно дается формулой

${\displaystyle {\frac {L^{(r)}(E,1)}{r!}}={\frac {\#\mathrm {Sha} (E)\Omega _{E}R_{E}\prod _{p|N}c_{p}}{(\#E_{\mathrm {Tor} })^{2}}}}$

где величины в правой части являются инвариантами кривой, изученной Касселсом, Тейт, Шафаревич и другие: они включают порядок торсионная группа, порядок Группа Тейт-Шафаревич, а канонические высоты основы рациональных точек (Уайлс 2006 ).

Текущее состояние

Сюжет ${\displaystyle \prod _{p\leq X}{\frac {N_{p}}{p}}}$ для кривой у² = Икс³ − 5Икс в качестве Икс варьируется в пределах первых 100000 простых чисел. В Икс-axis - это журнал (журнал (Икс)) и Y-axis находится в логарифмическом масштабе, поэтому гипотеза предсказывает, что данные должны образовывать линию наклона, равную рангу кривой, который в данном случае равен 1. Для сравнения на графике красным цветом нарисована линия наклона 1.

Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера доказана только в частных случаях:

1. Коутс и Уайлс (1977) доказал, что если E кривая над числовым полем F с комплексным умножением на мнимое квадратичное поле K из номер класса 1, F = K или же Q, и L(E, 1) не 0, то E(F) - конечная группа. Это было распространено на случай, когда F любое конечное абелево расширение из K к Арто (1978).
2. Гросс и Загье (1986) показал, что если модульная эллиптическая кривая имеет нуль первого порядка при s = 1, то он имеет рациональную точку бесконечного порядка; видеть Теорема Гросса – Загьера.
3. Колывагин (1989) показал, что модульная эллиптическая кривая E для которого L(E, 1) не равен нулю, имеет ранг 0, а модулярная эллиптическая кривая E для которого L(E, 1) имеет нуль первого порядка при s = 1 имеет ранг 1.
4. Рубин (1991) показал, что для эллиптических кривых, определенных над мнимым квадратичным полем K с комплексным умножением на K, если L-ряд эллиптической кривой отличен от нуля при s = 1, то п-часть группы Тейта-Шафаревича имела порядок, предсказанный гипотезой Берча и Суиннертона-Дайера, для всех простых чисел п > 7.
5. Breuil et al. (2001), продлевая работу Уайлс (1995), доказал, что все эллиптические кривые, определенные над рациональными числами, являются модульными, который распространяет результаты №2 и №3 на все эллиптические кривые над рациональными числами и показывает, что L-функции всех эллиптических кривых над Q определены в s = 1.
6. Бхаргава и Шанкар (2015) доказал, что средний ранг группы Морделла – Вейля эллиптической кривой над Q ограничена сверху 7/6. В сочетании с теорема о p-четности из Нековарж (2009) и Докчицер и Докчицер (2010) и с доказательством основная гипотеза теории Ивасавы для GL (2) на Скиннер и Урбан (2014), они заключают, что положительная доля эллиптических кривых над Q имеют нулевой аналитический ранг, а значит, по Колывагин (1989), удовлетворяют гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера.

Для кривых с рангом выше 1 ничего не доказано, хотя есть обширные численные доказательства истинности гипотезы.^[3]

Последствия

Как и Гипотеза Римана, эта гипотеза имеет несколько следствий, в том числе следующие два:

• Позволять п быть странным без квадратов целое число. Предполагая гипотезу Берча и Суиннертона-Дайера, п площадь прямоугольного треугольника с рациональными длинами сторон (a конгруэнтное число ) тогда и только тогда, когда количество троек целых чисел (Икс, у, z) удовлетворение 2Икс² + у² + 8z² = п вдвое больше числа троек, удовлетворяющих 2Икс² + у² + 32z² = п. Это заявление в связи с Теорема Таннелла (Таннелл 1983 ), связано с тем, что п является конгруэнтным числом тогда и только тогда, когда эллиптическая кривая у² = Икс³ − п²Икс имеет рациональную точку бесконечного порядка (таким образом, согласно гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера, ее L-функция имеет ноль при 1). Это утверждение интересно тем, что условие легко проверяется.^[4]
• В другом направлении, некоторые аналитические методы позволяют оценить порядок нуля в центре критическая полоса семей L-функции. С учетом гипотезы BSD эти оценки соответствуют информации о ранге рассматриваемых семейств эллиптических кривых. Например: предположим обобщенная гипотеза Римана и гипотеза BSD, средний ранг кривых, заданный у² = Икс³ + топор+ б меньше чем 2.^[5]

Примечания

1. Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера в Институте математики Клэя
2. Стюарт, Ян (2013), Видение бесконечности: великие математические проблемы, Основные книги, стр. 253, г. ISBN  9780465022403, Сначала Касселс был настроен скептически.
3. Кремона, Джон (2011). «Численное доказательство гипотезы Берча и Суиннертона-Дайера» (PDF). Выступление на конференции, посвященной 50-летию BSD, май 2011 г..
4. Коблиц, Нил (1993). Введение в эллиптические кривые и модульные формы. Тексты для выпускников по математике. 97 (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN  0-387-97966-2.
5. Хит-Браун, Д. (2004). «Средний аналитический ранг эллиптических кривых». Математический журнал герцога. 122 (3): 591–623. arXiv:математика / 0305114. Дои:10.1215 / S0012-7094-04-12235-3. МИСТЕР  2057019.

Рекомендации

• Артауд, Николь (1978). «О гипотезе Берча и Суиннертона-Дайера для эллиптических кривых с комплексным умножением». Compositio Mathematica. 37 (2): 209–232. МИСТЕР  0504632.
• Бхаргава, Манджул; Шанкар, Арул (2015). «Тернарные кубические формы, имеющие ограниченные инварианты, и существование положительной доли эллиптических кривых, имеющих ранг 0». Анналы математики. 181 (2): 587–621. arXiv:1007.0052. Дои:10.4007 / анналы.2015.181.2.4.
• Берч, Брайан; Суиннертон-Дайер, Питер (1965). «Заметки об эллиптических кривых (II)». J. Reine Angew. Математика. 165 (218): 79–108. Дои:10.1515 / crll.1965.218.79.
• Брей, Кристоф; Конрад, Брайан; Даймонд, Фред; Тейлор, Ричард (2001). "О модульности эллиптических кривых над Q: дикие 3-адические упражнения". Журнал Американского математического общества. 14 (4): 843–939. Дои:10.1090 / S0894-0347-01-00370-8.
• Коутс, Дж.; Greenberg, R .; Рибет, К.А.; Рубин, К. (1999). Арифметическая теория эллиптических кривых. Конспект лекций по математике. 1716. Springer-Verlag. ISBN  3-540-66546-3.
• Коутс, Дж.; Уайлс, А. (1977). «О гипотезе Берча и Суиннертон-Дайера». Inventiones Mathematicae. 39 (3): 223–251. Bibcode:1977InMat..39..223C. Дои:10.1007 / BF01402975. Zbl  0359.14009.
• Дойринг, Макс (1941). "Die Typen der Multiplikatorenringe elliptischer Funktionenkörper". Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. 14 (1): 197–272. Дои:10.1007 / BF02940746.
• Докчицер Тим; Докчицер Владимир (2010). «О частных по модулю квадратов Берча – Суиннертона-Дайера». Анналы математики. 172 (1): 567–596. arXiv:математика / 0610290. Дои:10.4007 / анналы.2010.172.567. МИСТЕР  2680426.
• Гросс, Бенедикт Х.; Загир, Дон Б. (1986). «Точки Хегнера и производные L-ряда». Inventiones Mathematicae. 84 (2): 225–320. Bibcode:1986InMat..84..225G. Дои:10.1007 / BF01388809. МИСТЕР  0833192.
• Колывагин Виктор (1989). "Конечность E(Q) и Икс(E, Q) для класса кривых Вейля ». Математика. СССР Изв.. 32 (3): 523–541. Bibcode:1989IzMat..32..523K. Дои:10.1070 / im1989v032n03abeh000779.
• Морделл, Луи (1922). «О рациональных решениях неопределенных уравнений третьей и четвертой степени». Proc. Camb. Фил. Soc. 21: 179–192.
• Нековарж, Ян (2009). «О равенстве рангов групп Зельмера IV». Compositio Mathematica. 145 (6): 1351–1359. Дои:10.1112 / S0010437X09003959.
• Рубин, Карл (1991). «« Основные гипотезы »теории Ивасавы для мнимых квадратичных полей». Inventiones Mathematicae. 103 (1): 25–68. Bibcode:1991InMat.103 ... 25R. Дои:10.1007 / BF01239508. Zbl  0737.11030.
• Скиннер, Кристофер; Урбан, Эрик (2014). "Основные гипотезы Ивасавы для GL₂". Inventiones Mathematicae. 195 (1): 1–277. Bibcode:2014ИнМат.195 .... 1С. Дои:10.1007 / s00222-013-0448-1.
• Таннелл, Джеррольд Б. (1983). «Классическая диофантова проблема и модульные формы веса 3/2» (PDF). Inventiones Mathematicae. 72 (2): 323–334. Bibcode:1983InMat..72..323T. Дои:10.1007 / BF01389327. HDL:10338.dmlcz / 137483. Zbl  0515.10013.
• Уайлс, Эндрю (1995). «Модульные эллиптические кривые и последняя теорема Ферма». Анналы математики. Вторая серия. 141 (3): 443–551. Дои:10.2307/2118559. ISSN  0003-486X. JSTOR  2118559. МИСТЕР  1333035.
• Уайлс, Эндрю (2006). "Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера" (PDF). В Карлсоне, Джеймсе; Джаффе, Артур; Уайлс, Эндрю (ред.). Задачи Премии тысячелетия. Американское математическое общество. С. 31–44. ISBN  978-0-8218-3679-8. МИСТЕР  2238272.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. "Гипотеза Суиннертона-Дайера". MathWorld.
• "Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера". PlanetMath.
• Гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера: Интервью с профессором Анри Дармон Агнес Ф. Бодри
• Что такое гипотеза Берча и Суиннертона-Дайера? лекция Манджул Бхаргава (сентябрь 2016 г.), данное во время конференции по исследованию глины, проведенной в Оксфордском университете.