Торсионная группа - Torsion group

«Периодическая группа» перенаправляется сюда. Для групп в химической периодической таблице см. Группа (таблица Менделеева).

В теория групп, филиал математика, а торсионная группа или периодическая группа это группа в котором каждый элемент имеет конечный порядок. Все конечные группы периодичны. Не следует путать понятие периодической группы с концепцией периодической группы. циклическая группа.

В показатель степени периодической группы грамм это наименьший общий множитель, если он существует, порядков элементов грамм. Любой конечная группа имеет показатель степени: он является делителем |грамм|.

Проблема Бернсайда это классический вопрос, который касается отношений между периодическими группами и конечные группы, если предположить только то, что грамм это конечно порожденная группа. Вопрос в том, приводит ли указание экспоненты к конечности (на что в общем случае ответ - «нет»).

Примеры бесконечных периодических групп включают аддитивную группу кольца многочленов над конечным полем и фактор-группу рациональных чисел по целым числам, а также их прямые слагаемые, Прюфер группы. Другой пример - прямая сумма всех диэдральные группы. Ни в одном из этих примеров нет конечного порождающего множества и периодических линейная группа с конечным порождающим множеством конечно. Явные примеры конечно порожденных бесконечных периодических групп были построены Голодом на основе совместной работы с Шафаревичем, см. Теорема Голода – Шафаревича., а Алешин и Григорчук с помощью автоматы.

Математическая логика

Одно из интересных свойств периодических групп состоит в том, что определение нельзя формализовать в терминах логика первого порядка. Это связано с тем, что для этого потребуется аксиома вида

${displaystyle forall x.,((x=e)lor (xcirc x=e)lor ((xcirc x)circ x=e)lor cdots )}$

который содержит бесконечное дизъюнкция и поэтому недопустима: логика первого порядка допускает кванторы одного типа и не может захватывать свойства или подмножества этого типа. Также невозможно обойти эту бесконечную дизъюнкцию, используя бесконечный набор аксиом: теорема компактности означает, что никакой набор формул первого порядка не может характеризовать периодические группы.^[1]

Связанные понятия

В торсионная подгруппа из абелева группа А является подгруппой А состоящий из всех элементов, имеющих конечный порядок. А торсионная абелева группа - абелева группа, в которой каждый элемент имеет конечный порядок. А абелева группа без кручения является абелевой группой, в которой единичный элемент является единственным элементом с конечным порядком.

Смотрите также

• Кручение (алгебра)
• Теорема Жордана – Шура

Рекомендации

1. Ebbinghaus, H.-D .; Flum, J .; Томас, В. (1994). Математическая логика (2. изд., 4. изд.). Нью-Йорк [u.a.]: Springer. стр.50. ISBN  978-0-387-94258-2. Получено 18 июля 2012. Однако в логике первого порядка мы не можем образовывать бесконечно длинные дизъюнкции. В самом деле, позже мы покажем, что не существует набора формул первого порядка, моделями которых являются в точности периодические группы.

• Э. С. Голод, О ниль-алгебрах и финитно аппроксимируемых p-группах Изв. Акад. АН СССР сер. Мат. 28 (1964) 273–276.
• Алешин С.В., Конечные автоматы и проблема Бернсайда для периодических групп. Матем. Заметки 11 (1972), 319--328.
• Григорчук Р.И., К проблеме Бернсайда о периодических группах, Функциональный анал. Appl. 14 (1980), нет. 1, 41–43.
• Григорчук Р.И., Степени роста конечно порожденных групп и теория инвариантных средних., Изв. Акад. АН СССР сер. Мат. 48:5 (1984), 939–985.