Теорема Голода – Шафаревича. - Golod–Shafarevich theorem

В математика, то Теорема Голода – Шафаревича. было доказано в 1964 г. Евгений Голод и Игорь Шафаревич. Это результат некоммутативной гомологическая алгебра который решает проблема башни поля классов, показав, что башни поля классов могут быть бесконечными.

Неравенство

Позволять А = K⟨Икс₁, ..., Икс_п⟩ быть свободная алгебра через поле K в п = d + 1 некоммутирующая переменная Икс_я.

Позволять J быть двусторонним идеалом А порожденные однородными элементами ж_j из А степени d_j с

2 ≤ d₁ ≤ d₂ ≤ ...

куда d_j стремится к бесконечности. Позволять р_я быть числом d_j равно я.

Позволять B=А/J, а градуированная алгебра. Позволять б_j = тусклый B_j.

В фундаментальное неравенство Голода и Шафаревича утверждает, что

{displaystyle b_ {j} geq nb_ {j-1} -sum _ {i = 2} ^ {j} b_ {j-i} r_ {i}.}

Как следствие:

B бесконечномерно, если р_я ≤ d²/ 4 для всех я

Приложения

Этот результат имеет важные приложения в комбинаторная теория групп:

Если грамм нетривиальная конечная p-группа, тогда р > d²/ 4 где d = тусклыйЧАС¹(грамм,Z/пZ) и р = тусклыйЧАС²(грамм,Z/пZ) (мод п группы когомологий из грамм). В частности, если грамм конечный p-группа с минимальным количеством генераторов d и имеет р отношения в данной презентации, то р > d²/4.
Для каждого прайма п, существует бесконечная группа грамм генерируется тремя элементами, в которых каждый элемент имеет степень п. Группа грамм дает контрпример к обобщенная гипотеза Бернсайда: это конечно порожденный бесконечный торсионная группа, хотя единой границы порядка его элементов нет.

В теория поля классов, то полевая башня класса из числовое поле K создается путем повторения Поле классов Гильберта строительство. Проблема башни поля классов спрашивает, всегда ли эта башня конечна; Хассе (1926) приписал этот вопрос Фуртвенглеру, хотя Фуртвенглер сказал, что слышал его от Шрайера. Еще одно следствие теоремы Голода – Шафаревича состоит в том, что такие башни может быть бесконечный (другими словами, не всегда заканчиваться в поле, равном его Гильберта поле класса). Конкретно,

Позволять K мнимое квадратичное поле, дискриминант имеет не менее 6 простых множителей. Тогда максимальное неразветвленное 2-расширение K имеет бесконечную степень.

В более общем смысле числовое поле с достаточно большим количеством простых множителей в дискриминанте имеет бесконечную башню поля классов.

Теорема Голода – Шафаревича. - Golod–Shafarevich theorem

Неравенство

Приложения

Рекомендации