P-адическая L-функция - P-adic L-function

В математика, а п-адическая дзета-функция, или в более общем смысле п-адический L-функция, является функцией, аналогичной функции Дзета-функция Римана, или более общий L-функции, но чей домен и цель находятся p-адический (куда п это простое число ). Например, домен может быть п-адические целые числа Zп, а проклятый п-группа, или п-адическая семья Представления Галуа, и изображение может быть п-адические числа Qп или его алгебраическое замыкание.

Источник п-адический L-функция бывает одного из двух типов. Первый источник - из которого Томио Кубота и Генрих-Вольфганг Леопольдт дал первую постройку п-адический L-функция (Кубота и Леопольдт 1964 ) - через п-адическая интерполяция особые ценности L-функции. Например, Кубота-Леопольдт использовал Сравнения Куммера за Числа Бернулли построить п-адический L-функция, п-адическая дзета-функция Римана ζп(s), значения которого при отрицательных нечетных целых числах являются значениями дзета-функции Римана при отрицательных нечетных целых числах (с точностью до явного поправочного коэффициента). п-адический L-функции, возникающие таким образом, обычно называют аналитический п-адический L-функции. Другой важный источник п-адический L-функции - впервые обнаружены Кенкичи Ивасава —Из арифметики циклотомические поля или, в более общем смысле, определенные Модули Галуа над башни круговых полей или даже более общие башни. А п-адический L-функцию, возникающую таким образом, обычно называют арифметика п-адический L-функция поскольку он кодирует арифметические данные задействованного модуля Галуа. В основная гипотеза теории Ивасавы (теперь теорема из Барри Мазур и Эндрю Уайлс ) - утверждение, что Кубота – Леопольдт п-адический L-функция и арифметический аналог, построенный по теории Ивасавы, по сути, одно и то же. В более общих ситуациях, когда как аналитические, так и арифметические п-адический L-функции конструируются (или ожидаются), утверждение, что они согласуются, называется основной гипотезой теории Ивасавы для этой ситуации. Такие предположения представляют собой формальные утверждения относительно философии, согласно которой особые ценности L-функции содержат арифметическую информацию.

L-функции Дирихле

Дирихле L-функция задается аналитическим продолжением

Дирихле L-функция при отрицательных целых числах определяется как

куда Bп, χ это обобщенное число Бернулли определяется

для χ характер Дирихле с проводником ж.

Определение с использованием интерполяции

Кубота-Леопольдт п-адический L-функция Lп(s, χ) интерполирует дирихле L-функция с фактором Эйлера при п удалено. Точнее, Lп(s, χ) - единственная непрерывная функция п-адическое число s такой, что

для положительных целых чисел п делится на п - 1. Правая часть - это обычный Дирихле. L-функция, за исключением того, что фактор Эйлера при п удаляется, иначе не было бы п-адически непрерывный. Непрерывность правой части тесно связана с Куммера сравнения.

Когда п не делится на п - 1 обычно не выполняется; вместо

для положительных целых чисел п. Здесь χ закручивается на степень Teichmüller персонаж ω.

Рассматривается как п-адическая мера

п-адический L-функции также можно рассматривать как п-адические меры (или же п-адические распределения ) на п-конкретные группы Галуа. Перевод между этой точкой зрения и исходной точкой зрения Куботы-Леопольдта (как Qп-значные функции на Zп) осуществляется через Преобразование Мазура – ​​Меллина (и теория поля классов ).

Полностью реальные поля

Делинь и Рибет (1980), опираясь на предыдущую работу Серр (1973), построил аналитическую п-адический L-функции для полностью реальных полей. Независимо, Барский (1978) и Кассу-Ногуэ (1979) сделали то же самое, но их подходы следовали подходу Такуро Шинтани к изучению L-значения.

Рекомендации