Конгруэнтность Куммерса - Kummers congruence - Wikipedia

В математика, Сравнения Куммера некоторые совпадения с участием Числа Бернулли, найдено Эрнст Эдуард Куммер  (1851 ).

Кубота и Леопольдт (1964) использовали сравнения Куммера для определения p-адическая дзета-функция.

Заявление

Простейшая форма сравнения Куммера утверждает, что

${\displaystyle {\frac {B_{h}}{h}}\equiv {\frac {B_{k}}{k}}{\pmod {p}}{\text{ whenever }}h\equiv k{\pmod {p-1}}}$

куда п это простое число, час и k положительные четные целые числа, не делящиеся на п−1 и числа B_час находятся Числа Бернулли.

В более общем плане, если час и k положительные четные целые числа, не делящиеся на п - 1, то

${\displaystyle (1-p^{h-1}){\frac {B_{h}}{h}}\equiv (1-p^{k-1}){\frac {B_{k}}{k}}{\pmod {p^{a+1}}}}$

в любое время

${\displaystyle h\equiv k{\pmod {\varphi (p^{a+1})}}}$

где φ (п^а+1) это Функция Эйлера, оценивается в п^а+1 и а - целое неотрицательное число. В а = 0, выражение принимает более простой вид, как показано выше. Две стороны сравнения Куммера являются, по сути, значениями p-адическая дзета-функция, а сравнения Куммера подразумевают, что п-адическая дзета-функция для отрицательных целых чисел непрерывна, поэтому может быть расширена по непрерывности на все п-адические целые числа.

Смотрите также

• Теорема фон Штаудта – Клаузена, другое сравнение с числами Бернулли

Рекомендации

• Коблиц, Нил (1984), п-адические числа, п-адический анализ и дзета-функции, Тексты для выпускников по математике, т. 58, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-96017-3, МИСТЕР  0754003
• Кубота, Томио; Леопольдт, Генрих-Вольфганг (1964), "Eine p-adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p-adischen Dirichletschen L-Funktionen", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 214/215: 328–339, Дои:10.1515 / crll.1964.214-215.328, ISSN  0075-4102, МИСТЕР  0163900^{[постоянная мертвая ссылка ]}
• Куммер, Эрнст Эдуард (1851), "Über eine allgemeine Eigenschaft der rationalen Entwicklungscoëfficienten einer bestimmten Gattung analytischer Functionen", Journal für die Reine und Angewandte Mathematik, 41: 368–372, Дои:10.1515 / crll.1851.41.368, ISSN  0075-4102, ERAM  041.1136cj