Число Бернулли - Bernoulli number - Wikipedia

Числа Бернулли B^±
_п

п	дробная часть	десятичный
0	1	+1.000000000
1	±1/2	±0.500000000
2	1/6	+0.166666666
3	0	+0.000000000
4	−1/30	−0.033333333
5	0	+0.000000000
6	1/42	+0.023809523
7	0	+0.000000000
8	−1/30	−0.033333333
9	0	+0.000000000
10	5/66	+0.075757575
11	0	+0.000000000
12	−691/2730	−0.253113553
13	0	+0.000000000
14	7/6	+1.166666666
15	0	+0.000000000
16	−3617/510	−7.092156862
17	0	+0.000000000
18	43867/798	+54.97117794
19	0	+0.000000000
20	−174611/330	−529.1242424

В математика, то Числа Бернулли B_п площадь последовательность из рациональное число которые часто встречаются в теория чисел. Числа Бернулли появляются в (и могут быть определены) Серия Тейлор расширение касательная и гиперболический тангенс функции, в Формула Фаульхабера на сумму м-я степени первого п положительные целые числа в Формула Эйлера – Маклорена, а в выражениях для некоторых значений Дзета-функция Римана.

Значения первых 20 чисел Бернулли приведены в таблице рядом. В литературе используются два условных обозначения, обозначенных здесь ${\displaystyle B_{n}^{-{}}}$ и ${\displaystyle B_{n}^{+{}}}$; они отличаются только п = 1, куда ${\displaystyle B_{1}^{-{}}=-1/2}$ и ${\displaystyle B_{1}^{+{}}=+1/2}$. Для каждого нечетного п > 1, B_п = 0. Для каждого даже п > 0, B_п отрицательно, если п делится на 4 и положительно в противном случае. Числа Бернулли - это особые значения Полиномы Бернулли ${\displaystyle B_{n}(x)}$, с ${\displaystyle B_{n}^{-{}}=B_{n}(0)}$ и ${\displaystyle B_{n}^{+}=B_{n}(1)}$ (Вайсштейн 2016 ).

Числа Бернулли были открыты примерно в то же время швейцарским математиком. Джейкоб Бернулли, в честь которых они названы, и независимо от японского математика Секи Такакадзу. Открытие Секи было посмертно опубликовано в 1712 году (Селин 1997, п. 891; Смит и Миками 1914, п. 108) в своей работе Кацуё Санпо; Бернулли, также посмертно, в его Ars Conjectandi 1713 г. Ада Лавлейс с примечание G на Аналитическая машина с 1842 г. описывает алгоритм для генерации чисел Бернулли с Бэббидж машина (Менабреа 1842, Примечание G). В результате числа Бернулли являются предметом первого опубликованного комплекса компьютерная программа.

Обозначение

Верхний индекс ± Используемый в этой статье, различает два соглашения о знаках для чисел Бернулли. Только п = 1 срок влияет:

• B⁻
  _п с B⁻
  ₁ = −1/2 (OEIS: A027641 / OEIS: A027642) - знаковое соглашение, предписанное NIST и самые современные учебники (Arfken 1970, п. 278).
• B⁺
  _п с B⁺
  ₁ = +1/2 (OEIS: A164555 / OEIS: A027642) иногда используется в более ранней литературе (Вайсштейн 2016 ).

В приведенных ниже формулах можно переключиться с одного соглашения о знаках на другое с помощью отношения ${\displaystyle B_{n}^{+}=(-1)^{n}B_{n}^{-}}$, или для целого числа п = 2 или выше, просто игнорируйте его.

С B_п = 0 для всех странных п > 1, а во многих формулах используются только числа Бернулли с четным индексом, пишут некоторые авторы "B_п" вместо B_2п . В данной статье не используются эти обозначения.

История

Ранняя история

Числа Бернулли уходят корнями в раннюю историю вычисления сумм целочисленных степеней, которые интересовали математиков с древних времен.

Страница из Секи Такакадзу Кацуё Санпо (1712), табулирование биномиальных коэффициентов и чисел Бернулли

Методы расчета суммы первых п положительные целые числа, сумма квадратов и кубиков первого п положительные целые числа были известны, но настоящих «формул» не существовало, только описания, данные полностью на словах. Среди великих математиков древности рассматривать эту проблему были Пифагор (ок. 572–497 до н. э., Греция), Архимед (287–212 гг. До н.э., Италия), Арьябхата (р. 476, Индия), Абу Бакр аль-Караджи (ум. 1019, Персия) и Абу Али аль-Хасан ибн аль-Хасан ибн аль-Хайсам (965–1039, Ирак).

В конце шестнадцатого и начале семнадцатого веков математики добились значительного прогресса. На Западе Томас Харриот (1560–1621) Англии, Иоганн Фаульхабер (1580–1635) Германии, Пьер де Ферма (1601–1665) и его коллега-французский математик Блез Паскаль (1623–1662) все играли важные роли.

Томас Харриот, кажется, был первым, кто вывел и написал формулы для сумм степеней, используя символические обозначения, но даже он вычислил только сумму четвертых степеней. Иоганн Фаульхабер дал формулы для сумм степеней до 17-й степени в своем 1631 году. Academia Algebrae, намного выше, чем кто-либо до него, но он не дал общей формулы.

Блез Паскаль в 1654 году доказал Личность Паскаля относящиеся к суммам пые степени первого п положительные целые числа для п = 0, 1, 2, …, k.

Швейцарский математик Якоб Бернулли (1654–1705) был первым, кто осознал существование единой последовательности констант. B₀, B₁, B₂,… дающие единообразную формулу для всех сумм степеней (Кнут 1993 ).

Радость, которую испытал Бернулли, когда он натолкнулся на схему, необходимую для быстрого и легкого вычисления коэффициентов его формулы для суммы cth степени для любого положительного целого числа c видно из его комментария. Он написал:

«С помощью этой таблицы мне потребовалось менее половины четверти часа, чтобы найти, что сложение десятых степеней первых 1000 чисел даст сумму 91 409 924 241 424 24 24 24 24 241 924 242 500».

Результат Бернулли был посмертно опубликован в Ars Conjectandi в 1713 г. Секи Такакадзу независимо открыл числа Бернулли, и его результат был опубликован годом ранее, также посмертно, в 1712 году (Селин 1997, п. 891). Однако Секи не представил свой метод в виде формулы, основанной на последовательности констант.

Формула Бернулли для сумм степеней на сегодняшний день является наиболее полезной и обобщаемой формулировкой. Коэффициенты в формуле Бернулли теперь называются числами Бернулли по предложению Авраам де Муавр.

Формулу Бернулли иногда называют Формула Фаульхабера после Иоганна Фаулхабера, который нашел замечательные способы вычисления суммы степеней, но никогда не сформулировал формулу Бернулли. По словам Кнута (Кнут 1993 ) строгое доказательство формулы Фаульхабера было впервые опубликовано Карл Якоби в 1834 г. (Якоби 1834 ). В результате глубокого изучения формулы Фаульхабера Кнутом делается вывод (нестандартные обозначения LHS объясняются ниже):

"Фаульхабер никогда не открывал числа Бернулли, т.е. он никогда не понимал, что единственная последовательность констант B₀, B₁, B₂, … Предоставит униформу

${\displaystyle \quad \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}+{\binom {m+1}{1}}B_{1}^{+}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}+\cdots +{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right)}$

или же

${\displaystyle \quad \sum n^{m}={\frac {1}{m+1}}\left(B_{0}n^{m+1}-{\binom {m+1}{1}}B_{1}^{-{}}n^{m}+{\binom {m+1}{2}}B_{2}n^{m-1}-\cdots +(-1)^{m}{\binom {m+1}{m}}B_{m}n\right)}$

для всех сумм полномочий. Он никогда не упоминал, например, тот факт, что почти половина коэффициентов оказалась нулевой после того, как он преобразовал свои формулы для ∑ п^м от многочленов в N к многочленам от п." (Кнут 1993, п. 14)

Реконструкция "Summae Potestatum"

"Summae Potestatum" Якоба Бернулли, 1713 г.^[а]

Числа Бернулли OEIS: A164555(п) /OEIS: A027642(n) были введены Якобом Бернулли в книге Ars Conjectandi опубликовано посмертно в 1713 г. стр. 97. Основную формулу можно увидеть во второй половине соответствующего факсимиле. Постоянные коэффициенты, обозначенные А, B, C и D Бернулли сопоставлены с обозначениями, которые сейчас распространены как А = B₂, B = B₄, C = B₆, D = B₈. Выражение c·c−1·c−2·c−3 средства c·(c−1)·(c−2)·(c−3) - маленькие точки используются как символы группировки. Используя сегодняшнюю терминологию, эти выражения падающие факториальные мощности c^k. Факториальная запись k! как ярлык для 1 × 2 × … × k не был представлен до 100 лет спустя. Интегральный символ в левой части означает Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1675 году, который использовал его как длинное письмо S для «summa» (сумма).^[b] Письмо п слева не указатель суммирование но дает верхний предел диапазона суммирования, который следует понимать как 1, 2, …, п. Собираем все вместе для позитива c, сегодня математик, вероятно, запишет формулу Бернулли как:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {n^{c+1}}{c+1}}+{\frac {1}{2}}n^{c}+\sum _{k=2}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}.}$

Эта формула предлагает установить B₁ = 1/2 при переходе от так называемого «архаичного» перечисления, в котором используются только четные индексы 2, 4, 6… к современной форме (подробнее о различных соглашениях в следующем абзаце). Наиболее поразительным в этом контексте является тот факт, что падающий факториал c^k−1 имеет для k = 0 Значение 1/c + 1 (Грэм, Кнут и Паташник 1989, Раздел 2.51). Таким образом, формулу Бернулли можно записать

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{c}=\sum _{k=0}^{c}{\frac {B_{k}}{k!}}c^{\underline {k-1}}n^{c-k+1}}$

если B₁ = 1/2, возвращая значение, которое Бернулли дал коэффициенту в этой позиции.

Формула для ${\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{n}k^{9}}$ в первом тайме содержится ошибка в последнем члене; должен быть ${\displaystyle -{\tfrac {3}{20}}n^{2}}$ вместо ${\displaystyle -{\tfrac {1}{12}}n^{2}}$.

Определения

За последние 300 лет было найдено множество характеристик чисел Бернулли, и каждое из них может быть использовано для введения этих чисел. Здесь упоминаются только три наиболее полезных:

• рекурсивное уравнение,
• явная формула,
• производящая функция.

Для доказательства эквивалентность из трех подходов см. (Ирландия и Розен 1990 ) или же (Конвей и Гай 1996 ).

Рекурсивное определение

Числа Бернулли подчиняются формулам суммы (Вайсштейн 2016 )

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}&=\delta _{m,0}\\\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+{}}&=m+1\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle m=0,1,2...}$ и δ обозначает Дельта Кронекера. Решение для ${\displaystyle B_{m}^{\mp {}}}$ дает рекурсивные формулы

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=\delta _{m,0}-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{-{}}}{m-k+1}}\\B_{m}^{+}&=1-\sum _{k=0}^{m-1}{\binom {m}{k}}{\frac {B_{k}^{+}}{m-k+1}}.\end{aligned}}}$

Явное определение

В 1893 г. Луи Заальшютц перечислил в общей сложности 38 явных формул для чисел Бернулли (Заальшютц 1893 ), обычно ссылаясь на более раннюю литературу. Один из них является:

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{m}^{-{}}&=\sum _{k=0}^{m}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}{\binom {k}{v}}{\frac {v^{m}}{k+1}}\\B_{m}^{+}&=\sum _{k=0}^{m}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}{\binom {k}{v}}{\frac {(v+1)^{m}}{k+1}}.\end{aligned}}}$

Производящая функция

Экспоненциальный производящие функции находятся

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {t}{e^{t}-1}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}-1\right)&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{-{}}t^{m}}{m!}}\\{\frac {t}{1-e^{-t}}}&={\frac {t}{2}}\left(\operatorname {coth} {\frac {t}{2}}+1\right)&=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {B_{m}^{+}t^{m}}{m!}}.\end{aligned}}}$

где подстановка ${\displaystyle t\to -t}$.

(Обычная) производящая функция

${\displaystyle z^{-1}\psi _{1}(z^{-1})=\sum _{m=0}^{\infty }B_{m}^{+}z^{m}}$

является асимптотический ряд. Он содержит функция тригаммы ψ₁.

Числа Бернулли и дзета-функция Римана

Числа Бернулли, заданные дзета-функцией Римана.

Числа Бернулли можно выразить через Дзета-функция Римана:

B⁺
_п = −nζ(1 − п) за п ≥ 1 .

Здесь аргумент дзета-функции равен 0 или отрицателен.

С помощью дзета функциональное уравнение и гамма формула отражения можно получить следующее соотношение (Arfken 1970, п. 279):

${\displaystyle B_{2n}={\frac {(-1)^{n+1}2(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\zeta (2n)\quad }$ за п ≥ 1 .

Теперь аргумент дзета-функции положительный.

Тогда из ζ → 1 (п → ∞) и Формула Стирлинга который

${\displaystyle |B_{2n}|\sim 4{\sqrt {\pi n}}\left({\frac {n}{\pi e}}\right)^{2n}\quad }$ за п → ∞ .

Эффективное вычисление чисел Бернулли

В некоторых приложениях полезно иметь возможность вычислять числа Бернулли. B₀ через B_{п − 3} по модулю п, куда п простое число; например, чтобы проверить, действительно ли Гипотеза Вандивера относится к п, или даже просто определить, п является нерегулярный штрих. Невозможно выполнить такое вычисление, используя приведенные выше рекурсивные формулы, поскольку по крайней мере (постоянное кратное) п² арифметические операции потребуются. К счастью, были разработаны более быстрые методы (Buhler et al. 2001 г. ), которые требуют только О(п (бревно п)²) операции (см. большой О обозначение ).

Дэвид Харви (Харви 2010 ) описывает алгоритм вычисления чисел Бернулли путем вычисления B_п по модулю п для многих маленьких простых чисел п, а затем реконструируя B_п через Китайская теорема об остатках. Харви пишет, что асимптотический временная сложность этого алгоритма О(п² бревно(п)^{2 + ε}) и утверждает, что это выполнение значительно быстрее, чем реализации, основанные на других методах. Используя эту реализацию, Харви вычислил B_п за п = 10⁸. Реализация Харви была включена в SageMath начиная с версии 3.1. До этого Бернд Келлнер (Келлнер 2002 ) вычислено B_п с полной точностью для п = 10⁶ в декабре 2002 г. и Александр Павлык (Павлик 2008 ) за п = 10⁷ с Mathematica в апреле 2008 г.

Компьютер	Год	п	Цифры *
Дж. Бернулли	~1689	10	1
Л. Эйлер	1748	30	8
Дж. К. Адамс	1878	62	36
Д. Э. Кнут, Т. Дж. Бакгольц	1967	1672	3330
G. Сбор, С. Плафф	1996	10000	27677
Дж. Фи, С. Плафф	1996	100000	376755
Б. К. Келлнер	2002	1000000	4767529
О. Павлык	2008	10000000	57675260
Д. Харви	2008	100000000	676752569

* Цифры следует понимать как показатель степени 10, когда B_п записывается как действительное число в нормализованном научная нотация.

Приложения чисел Бернулли

Асимптотический анализ

Возможно, наиболее важным применением чисел Бернулли в математике является их использование в Формула Эйлера – Маклорена. При условии, что ж является достаточно часто дифференцируемой функцией, формула Эйлера – Маклорена может быть записана как (Грэм, Кнут и Паташник 1989, 9.67)

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b-1}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{-}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{-}(f,m).}$

Эта формулировка предполагает соглашение B⁻
₁ = −1/2. Используя соглашение B⁺
₁ = +1/2 формула становится

${\displaystyle \sum _{k=a+1}^{b}f(k)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx+\sum _{k=1}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_{+}(f,m).}$

Здесь ${\displaystyle f^{(0)}=f}$ (т.е. производная нулевого порядка от ${\displaystyle f}$ просто ${\displaystyle f}$). Кроме того, пусть ${\displaystyle f^{(-1)}}$ обозначить первообразный из ${\displaystyle f}$. Посредством основная теорема исчисления,

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dx=f^{(-1)}(b)-f^{(-1)}(a).}$

Таким образом, последняя формула может быть дополнительно упрощена до следующей краткой формы формулы Эйлера – Маклорена

${\displaystyle \sum _{k=a}^{b}f(k)=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}}{k!}}(f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m).}$

Эта форма, например, является источником важного разложения Эйлера – Маклорена дзета-функции

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&=\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}}{k!}}s^{\overline {k-1}}+R(s,m)\\&={\frac {B_{0}}{0!}}s^{\overline {-1}}+{\frac {B_{1}^{+}}{1!}}s^{\overline {0}}+{\frac {B_{2}}{2!}}s^{\overline {1}}+\cdots +R(s,m)\\&={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{12}}s+\cdots +R(s,m).\end{aligned}}}$

Здесь s^k обозначает возрастающая факторная мощность (Грэм, Кнут и Паташник 1989, 2,44 и 2,52).

Числа Бернулли также часто используются в других видах асимптотические разложения. Следующий пример представляет собой классическое асимптотическое разложение типа Пуанкаре функция дигаммы ψ.

${\displaystyle \psi (z)\sim \ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+}}{kz^{k}}}}$

Сумма полномочий

Основная статья: Формула Фаульхабера

Числа Бернулли занимают видное место в закрытая форма выражение суммы мые степени первого п положительные целые числа. За м, п ≥ 0 определять

${\displaystyle S_{m}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{m}=1^{m}+2^{m}+\cdots +n^{m}.}$

Это выражение всегда можно переписать как многочлен в п степени м + 1. В коэффициенты этих многочленов связаны с числами Бернулли соотношением Формула Бернулли:

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{+}n^{m+1-k}=m!\sum _{k=0}^{m}{\frac {B_{k}^{+}n^{m+1-k}}{k!(m+1-k)!}},}$

куда (^{м + 1}
_k) обозначает биномиальный коэффициент.

Например, взяв м быть 1 дает треугольные числа 0, 1, 3, 6, … OEIS: A000217.

${\displaystyle 1+2+\cdots +n={\frac {1}{2}}(B_{0}n^{2}+2B_{1}^{+}n^{1})={\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).}$

Принимая м быть 2 дает квадратные пирамидальные числа 0, 1, 5, 14, … OEIS: A000330.

${\displaystyle 1^{2}+2^{2}+\cdots +n^{2}={\frac {1}{3}}(B_{0}n^{3}+3B_{1}^{+}n^{2}+3B_{2}n^{1})={\tfrac {1}{3}}\left(n^{3}+{\tfrac {3}{2}}n^{2}+{\tfrac {1}{2}}n\right).}$

Некоторые авторы используют альтернативное соглашение для чисел Бернулли и формулируют формулу Бернулли следующим образом:

${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}{\binom {m+1}{k}}B_{k}^{-{}}n^{m+1-k}.}$

Формулу Бернулли иногда называют Формула Фаульхабера после Иоганн Фаульхабер кто также нашел замечательные способы вычисления суммы полномочий.

Формула Фаульхабера была обобщена В. Го и Дж. Цзэном до q-аналог (Го и Цзэн 2005 ).

Серия Тейлор

Числа Бернулли появляются в Серия Тейлор расширение многих тригонометрические функции и гиперболические функции.

Касательная

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&\left|x\right|&<{\frac {\pi }{2}}\\\end{aligned}}}$

Котангенс

${\displaystyle {\begin{aligned}\cot x&{}={\frac {1}{x}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&\qquad 0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

Гиперболический тангенс

${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}}\;x^{2n-1},&|x|&<{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}$

Гиперболический котангенс

${\displaystyle {\begin{aligned}\coth x&{}={\frac {1}{x}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{2n}(2x)^{2n}}{(2n)!}},&\qquad \qquad 0<|x|<\pi .\end{aligned}}}$

Серия Laurent

Числа Бернулли появляются в следующих Серия Laurent (Arfken 1970, п. 463):

Дигамма функция: ${\displaystyle \psi (z)=\ln z-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{k}^{+{}}}{kz^{k}}}}$

Использование в топологии

В Формула Кервера – Милнора для порядка циклической группы классов диффеоморфизмов экзотический (4п − 1)-сферы который связан параллелизуемые многообразия включает числа Бернулли. Позволять ES_п быть числом таких экзотических сфер для п ≥ 2, тогда

${\displaystyle {\textit {ES}}_{n}=(2^{2n-2}-2^{4n-3})\operatorname {Numerator} \left({\frac {B_{4n}}{4n}}\right).}$

В Теорема Хирцебруха о сигнатуре для L род из гладкий ориентированный закрытый коллектор из измерение 4п также включает числа Бернулли.

Связи с комбинаторными числами

Связь числа Бернулли с различными видами комбинаторных чисел основана на классической теории конечных разностей и на комбинаторной интерпретации чисел Бернулли как примера фундаментального комбинаторного принципа, т.е. принцип включения-исключения.

Связь с числами Ворпицкого

Определение, которое следует продолжить, было разработано Юлиусом Ворпицки в 1883 году. Помимо элементарной арифметики, только факториальная функция п! и степенная функция k^м Используется. Беззнаковые числа Ворпицки определяются как

${\displaystyle W_{n,k}=\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v+k}(v+1)^{n}{\frac {k!}{v!(k-v)!}}.}$

Они также могут быть выражены через Числа Стирлинга второго рода

${\displaystyle W_{n,k}=k!\left\{{n+1 \atop k+1}\right\}.}$

Затем вводится число Бернулли как сумма включений-исключений чисел Ворпицки, взвешенных по гармоническая последовательность 1, 1/2, 1/3, …

${\displaystyle B_{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\frac {W_{n,k}}{k+1}}\ =\ \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k+1}}\sum _{v=0}^{k}(-1)^{v}(v+1)^{n}{k \choose v}\ .}$

B₀ = 1

B₁ = 1 − 1/2

B₂ = 1 − 3/2 + 2/3

B₃ = 1 − 7/2 + 12/3 − 6/4

B₄ = 1 − 15/2 + 50/3 − 60/4 + 24/5

B₅ = 1 − 31/2 + 180/3 − 390/4 + 360/5 − 120/6

B₆ = 1 − 63/2 + 602/3 − 2100/4 + 3360/5 − 2520/6 + 720/7

Это представление имеет B⁺
₁ = +1/2.

Рассмотрим последовательность s_п, п ≥ 0. Из чисел Ворпицкого OEIS: A028246, OEIS: A163626 применительно к s₀, s₀, s₁, s₀, s₁, s₂, s₀, s₁, s₂, s₃, … идентично преобразованию Акиямы-Танигавы, примененному к s_п (видеть Связь с числами Стирлинга первого рода. ). Это видно из таблицы:

Личность
Представление Ворпицкого и преобразование Акиямы – Танигавы

1						0	1					0	0	1				0	0	0	1			0	0	0	0	1
1	−1					0	2	−2				0	0	3	−3			0	0	0	4	−4
1	−3	2				0	4	−10	6			0	0	9	−21	12
1	−7	12	−6			0	8	−38	54	−24
1	−15	50	−60	24

Первая строка представляет s₀, s₁, s₂, s₃, s₄.

Следовательно, для вторых дробных чисел Эйлера OEIS: A198631 (п) / OEIS: A006519 (п + 1):

E₀ = 1

E₁ = 1 − 1/2

E₂ = 1 − 3/2 + 2/4

E₃ = 1 − 7/2 + 12/4 − 6/8

E₄ = 1 − 15/2 + 50/4 − 60/8 + 24/16

E₅ = 1 − 31/2 + 180/4 − 390/8 + 360/16 − 120/32

E₆ = 1 − 63/2 + 602/4 − 2100/8 + 3360/16 − 2520/32 + 720/64

Вторая формула, представляющая числа Бернулли числами Ворпицки, предназначена для п ≥ 1

${\displaystyle B_{n}={\frac {n}{2^{n+1}-2}}\sum _{k=0}^{n-1}(-2)^{-k}\,W_{n-1,k}.}$

Упрощенное второе представление Ворпицкого вторых чисел Бернулли:

OEIS: A164555 (п + 1) / OEIS: A027642(п + 1) = п + 1/2^{п + 2} − 2 × OEIS: A198631(п) / OEIS: A006519(п + 1)

который связывает вторые числа Бернулли со вторыми дробными числами Эйлера. Начало:

1/2, 1/6, 0, −1/30, 0, 1/42, … = (1/2, 1/3, 3/14, 2/15, 5/62, 1/21, …) × (1, 1/2, 0, −1/4, 0, 1/2, …)

Числители первых скобок равны OEIS: A111701 (видеть Связь с числами Стирлинга первого рода. ).

Связь с числами Стирлинга второго рода.

Если S(k,м) обозначает Числа Стирлинга второго рода (Контет 1974 ) то имеем:

${\displaystyle j^{k}=\sum _{m=0}^{k}{j^{\underline {m}}}S(k,m)}$

куда j^м обозначает падающий факториал.

Если определить Полиномы Бернулли B_k(j) в качестве (Радемахер 1973 ):

${\displaystyle B_{k}(j)=k\sum _{m=0}^{k-1}{\binom {j}{m+1}}S(k-1,m)m!+B_{k}}$

куда B_k за k = 0, 1, 2,… - числа Бернулли.

Тогда после следующего свойства биномиальный коэффициент:

${\displaystyle {\binom {j}{m}}={\binom {j+1}{m+1}}-{\binom {j}{m+1}}}$

надо,

${\displaystyle j^{k}={\frac {B_{k+1}(j+1)-B_{k+1}(j)}{k+1}}.}$

Для полиномов Бернулли также имеет место следующее (Радемахер 1973 ),

${\displaystyle B_{k}(j)=\sum _{n=0}^{k}{\binom {k}{n}}B_{n}j^{k-n}.}$

Коэффициент j в (^j
_{м + 1}) является (−1)^м/м + 1.

Сравнивая коэффициент j в двух выражениях полиномов Бернулли одно имеет:

${\displaystyle B_{k}=\sum _{m=0}^{k}(-1)^{m}{\frac {m!}{m+1}}S(k,m)}$

(в результате чего B₁ = +1/2), который является явной формулой для чисел Бернулли и может использоваться для доказательства Теорема Фон-Штаудта Клаузена (Буль 1880; Гулд 1972; Апостол, п. 197).

Связь с числами Стирлинга первого рода.

Две основные формулы, связывающие беззнаковый Числа Стирлинга первого рода [^п
_м] к числам Бернулли (с B₁ = +1/2) находятся

${\displaystyle {\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{k}={\frac {1}{m+1}},}$

и обращение этой суммы (при п ≥ 0, м ≥ 0)

${\displaystyle {\frac {1}{m!}}\sum _{k=0}^{m}(-1)^{k}\left[{m+1 \atop k+1}\right]B_{n+k}=A_{n,m}.}$

Здесь число А_п,м являются рациональными числами Акиямы – Танигавы, первые несколько из которых показаны в следующей таблице.

Число Акияма – Танигава

м п	0	1	2	3	4
0	1	1/2	1/3	1/4	1/5
1	1/2	1/3	1/4	1/5	…
2	1/6	1/6	3/20	…	…
3	0	1/30	…	…	…
4	−1/30	…	…	…	…

Числа Акиямы – Танигавы удовлетворяют простому рекуррентному соотношению, которое можно использовать для итеративного вычисления чисел Бернулли. Это приводит к алгоритму, показанному в разделе «алгоритмическое описание» выше. Видеть OEIS: A051714/OEIS: A051715.

An автопоследовательность - это последовательность, обратное биномиальное преобразование которой равно знаковой последовательности. Если главная диагональ нули = OEIS: A000004, автопоследовательность первого вида. Пример: OEIS: A000045, числа Фибоначчи. Если главная диагональ - это первая верхняя диагональ, умноженная на 2, это второй вид. Пример: OEIS: A164555/OEIS: A027642, вторые числа Бернулли (см. OEIS: A190339). Преобразование Акияма-Танигава, примененное к 2^−п = 1/OEIS: A000079 приводит к OEIS: A198631 (п) / OEIS: A06519 (п + 1). Следовательно:

Преобразование Акиямы – Танигавы для вторых чисел Эйлера

м п	0	1	2	3	4
0	1	1/2	1/4	1/8	1/16
1	1/2	1/2	3/8	1/4	…
2	0	1/4	3/8	…	…
3	−1/4	−1/4	…	…	…
4	0	…	…	…	…

Видеть OEIS: A209308 и OEIS: A227577. OEIS: A198631 (п) / OEIS: A006519 (п + 1) - вторые (дробные) числа Эйлера и автопоследовательность второго рода.

(OEIS: A164555 (п + 2)/OEIS: A027642 (п + 2) = 1/6, 0, −1/30, 0, 1/42, …) × ( 2^{п + 3} − 2/п + 2 = 3, 14/3, 15/2, 62/5, 21, …) = OEIS: A198631 (п + 1)/OEIS: A006519 (п + 2) = 1/2, 0, −1/4, 0, 1/2, ….

Также ценно для OEIS: A027641 / OEIS: A027642 (видеть Связь с числами Ворпицкого ).

Связь с треугольником Паскаля

Есть формулы, связывающие треугольник Паскаля с числами Бернулли.^[c]

${\displaystyle B_{n}^{+}={\frac {|A_{n}|}{(n+1)!}}~~~}$

куда ${\displaystyle |A_{n}|}$ является определителем размера n на n Матрица Гессенберга часть Треугольник Паскаля элементы которого: ${\displaystyle a_{i,k}={\begin{cases}0&{\text{if }}k>1+i\\{i+1 \choose k-1}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Пример:

${\displaystyle B_{6}^{+}={\frac {\det {\begin{pmatrix}1&2&0&0&0&0\\1&3&3&0&0&0\\1&4&6&4&0&0\\1&5&10&10&5&0\\1&6&15&20&15&6\\1&7&21&35&35&21\end{pmatrix}}}{7!}}={\frac {120}{5040}}={\frac {1}{42}}}$

Связь с числами Эйлера

Есть формулы, связывающие Числа Эйлера ⟨^п
_м⟩ к числам Бернулли:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle &=2^{n+1}(2^{n+1}-1){\frac {B_{n+1}}{n+1}},\\\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}\left\langle {n \atop m}\right\rangle {\binom {n}{m}}^{-1}&=(n+1)B_{n}.\end{aligned}}}$

Обе формулы действительны для п ≥ 0 если B₁ установлен на 1/2. Если B₁ установлен на -1/2 они действительны только для п ≥ 1 и п ≥ 2 соответственно.

Представление двоичного дерева

Многочлены Стирлинга σ_п(Икс) связаны с числами Бернулли соотношением B_п = п!σ_п(1). С. С. Вун (Вун 1997 ) описал алгоритм вычисления σ_п(1) как двоичное дерево:

Рекурсивный алгоритм Вуна (для п ≥ 1) начинается с присвоения корневому узлу N = [1,2]. Учитывая узел N = [а₁, а₂, …, а_k] дерева левый дочерний элемент узла L(N) = [−а₁, а₂ + 1, а₃, …, а_k] и правильный ребенок р(N) = [а₁, 2, а₂, …, а_k]. Узел N = [а₁, а₂, …, а_k] записывается как ±[а₂, …, а_k] в начальной части дерева, представленного выше с ±, обозначающим знак а₁.

Учитывая узел N факториал N определяется как

${\displaystyle N!=a_{1}\prod _{k=2}^{\operatorname {length} (N)}a_{k}!.}$

Ограничено узлами N фиксированного уровня дерева п сумма 1/N! является σ_п(1), таким образом

${\displaystyle B_{n}=\sum _{\stackrel {N{\text{ node of}}}{{\text{ tree-level }}n}}{\frac {n!}{N!}}.}$

Например:

B₁ = 1!(1/2!)

B₂ = 2!(−1/3! + 1/2!2!)

B₃ = 3!(1/4! − 1/2!3! − 1/3!2! + 1/2!2!2!)

Интегральное представление и продолжение

В интеграл

${\displaystyle b(s)=2e^{si\pi /2}\int _{0}^{\infty }{\frac {st^{s}}{1-e^{2\pi t}}}{\frac {dt}{t}}}$

имеет особые ценности б(2п) = B_2п за п > 0.

Например, б(3) = 3/2ζ(3)π⁻³я и б(5) = −15/2ζ(5)π⁻⁵я. Здесь, ζ это Дзета-функция Римана, и я это мнимая единица. Леонард Эйлер (Опера Омния, Сер. 1, т. 10, стр. 351) рассмотрел эти числа и вычислил

${\displaystyle {\begin{aligned}p&={\frac {3}{2\pi ^{3}}}\left(1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \right)=0.0581522\ldots \\q&={\frac {15}{2\pi ^{5}}}\left(1+{\frac {1}{2^{5}}}+{\frac {1}{3^{5}}}+\cdots \right)=0.0254132\ldots \end{aligned}}}$

Связь с числами Эйлера и π

В Числа Эйлера представляют собой последовательность целых чисел, тесно связанных с числами Бернулли. Сравнение асимптотических разложений чисел Бернулли и Эйлера показывает, что числа Эйлера E_2п по величине приблизительно 2/π(4^2п − 2^2п) раз больше, чем числа Бернулли B_2п. В результате:

${\displaystyle \pi \sim 2(2^{2n}-4^{2n}){\frac {B_{2n}}{E_{2n}}}.}$

Это асимптотическое уравнение показывает, что π лежит в общем корне чисел Бернулли и Эйлера. Фактически π можно вычислить из этих рациональных приближений.

Числа Бернулли можно выразить через числа Эйлера и наоборот. Поскольку для нечетных п, B_п = E_п = 0 (с исключением B₁), достаточно рассмотреть случай, когда п даже.

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n-1}{k}}{\frac {n}{4^{n}-2^{n}}}E_{k}&n&=2,4,6,\ldots \\E_{n}&=\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}{\frac {2^{k}-4^{k}}{k}}B_{k}&n&=2,4,6,\ldots \end{aligned}}}$

Эти формулы преобразования выражают обратное отношение между числами Бернулли и Эйлера. Но что более важно, у обоих видов чисел есть глубокий арифметический корень, который может быть выражен через более фундаментальную последовательность чисел, также тесно связанную с π. Эти числа определены для п > 1 в качестве

${\displaystyle S_{n}=2\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{n}\sum _{k=-\infty }^{\infty }(4k+1)^{-n}\qquad k=0,-1,1,-2,2,\ldots }$

и S₁ = 1 условно (Лось 2003 ). Магия этих чисел заключается в том, что они оказываются рациональными числами. Впервые это было доказано Леонард Эйлер в знаковой статье (Эйлер 1735 ) ‘De summis serierum reciprocarum’ (О суммах ряда обратных величин) и с тех пор очаровывает математиков. Первые несколько из этих чисел

${\displaystyle S_{n}=1,1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {5}{24}},{\frac {2}{15}},{\frac {61}{720}},{\frac {17}{315}},{\frac {277}{8064}},{\frac {62}{2835}},\ldots }$ (OEIS: A099612 / OEIS: A099617)

Это коэффициенты в разложении сек Икс + загар Икс.

Числа Бернулли и числа Эйлера лучше всего понимать как особые виды из этих чисел, выбранных из последовательности S_п и масштабируется для использования в специальных приложениях.

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]{\frac {n!}{2^{n}-4^{n}}}\,S_{n}\ ,&n&=2,3,\ldots \\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]n!\,S_{n+1}&n&=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

Выражение [п даже] имеет значение 1, если п четно и 0 в противном случае (Кронштейн Айверсона ).

Эти тождества показывают, что отношение чисел Бернулли и Эйлера в начале этого раздела является лишь частным случаем р_п = 2S_п/S_{п + 1} когда п даже. В р_п являются рациональными приближениями к π и два следующих друг за другом члена всегда включают истинное значение π. Начиная с п = 1 последовательность начинается (OEIS: A132049 / OEIS: A132050):

${\displaystyle 2,4,3,{\frac {16}{5}},{\frac {25}{8}},{\frac {192}{61}},{\frac {427}{136}},{\frac {4352}{1385}},{\frac {12465}{3968}},{\frac {158720}{50521}},\ldots \quad \longrightarrow \pi .}$

Эти рациональные числа также встречаются в последнем абзаце цитированной выше статьи Эйлера.

Рассмотрим преобразование Акиямы – Танигавы для последовательности OEIS: A046978 (п + 2) / OEIS: A016116 (п + 1):

0	1	1/2	0	−1/4	−1/4	−1/8	0
1	1/2	1	3/4	0	−5/8	−3/4
2	−1/2	1/2	9/4	5/2	5/8
3	−1	−7/2	−3/4	15/2
4	5/2	−11/2	−99/4
5	8	77/2
6	−61/2

Начиная со второго, числители первого столбца являются знаменателями формулы Эйлера. Первый столбец -1/2 × OEIS: A163982.

Алгоритмический взгляд: треугольник Зейделя

Последовательность S_п обладает еще одним неожиданным, но важным свойством: знаменатели S_п разделить факториал (п − 1)!. Другими словами: числа Т_п = S_п(п − 1)!иногда называют Зигзагообразные числа Эйлера, являются целыми числами.

${\displaystyle T_{n}=1,\,1,\,1,\,2,\,5,\,16,\,61,\,272,\,1385,\,7936,\,50521,\,353792,\ldots \quad n=0,1,2,3,\ldots }$ (OEIS: A000111). Видеть (OEIS: A253671).

Таким образом, приведенные выше представления чисел Бернулли и Эйлера могут быть переписаны в терминах этой последовательности как

${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]{\frac {n}{2^{n}-4^{n}}}\,T_{n-1}\ &n&=2,3,\ldots \\E_{n}&=(-1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }[n{\text{ even}}]T_{n+1}&n&=0,1,\ldots \end{aligned}}}$

Эти тождества позволяют легко вычислить числа Бернулли и Эйлера: числа Эйлера E_п даны немедленно Т_{2п + 1} и числа Бернулли B_2п получены из Т_2п некоторым простым переключением, избегая рациональной арифметики.

Осталось найти удобный способ вычисления чисел. Т_п. Однако уже в 1877 г. Филипп Людвиг фон Зайдель (Зайдель 1877 г. ) опубликовал гениальный алгоритм, который упрощает вычисление Т_п.

${\displaystyle {\begin{array}{crrrcc}{}&{}&{\color {red}1}&{}&{}&{}\\{}&{\rightarrow }&{\color {blue}1}&{\color {red}1}&{}\\{}&{\color {red}2}&{\color {blue}2}&{\color {blue}1}&{\leftarrow }\\{\rightarrow }&{\color {blue}2}&{\color {blue}4}&{\color {blue}5}&{\color {red}5}\\{\color {red}16}&{\color {blue}16}&{\color {blue}14}&{\color {blue}10}&{\color {blue}5}&{\leftarrow }\end{array}}}$

Алгоритм Зейделя для Т_п

1. Начните с размещения 1 в строке 0 и позвольте k обозначают номер строки, которая в данный момент заполняется
2. Если k нечетное число, тогда укажите число в левом конце строки k − 1 в первой позиции ряда k, и заполните строку слева направо, причем каждая запись представляет собой сумму числа слева и числа вверху
3. В конце ряда продублируйте последнюю цифру.
4. Если k четно, действуйте аналогично в другом направлении.

На самом деле алгоритм Зейделя гораздо более общий (см. Описание Доминика Дюмона (Дюмон 1981 )) и после этого несколько раз переоткрывался.

Подобно подходу Зейделя Д. Э. Кнут и Т. Дж. Бакгольц (Кнут и Бакгольц 1967 ) дала рекуррентное уравнение для чисел Т_2п и рекомендовал этот метод для вычисления B_2п и E_2п «На электронных компьютерах, используя только простые операции с целыми числами».

В. И. Арнольд заново открыл алгоритм Зейделя в (Арнольд 1991 ), а позже Миллар, Слоан и Янг популяризировали алгоритм Зайделя под названием преобразование бустрофедона.

Треугольная форма:

						1
					1		1
				2		2		1
			2		4		5		5
		16		16		14		10		5
	16		32		46		56		61		61
272		272		256		224		178		122		61

Только OEIS: A000657, с единицей 1 и OEIS: A214267, с двумя единицами, находятся в OEIS.

Распределение с дополнительной 1 и одним 0 в следующих строках:

						1
					0		1
				−1		−1		0
			0		−1		−2		−2
		5		5		4		2		0
	0		5		10		14		16		16
−61		−61		−56		−46		−32		−16		0

Это OEIS: A239005, подписанная версия OEIS: A008280. Основная диагональ OEIS: A122045. Основная диагональ OEIS: A155585. Центральная колонна OEIS: A099023. Суммы строк: 1, 1, −2, −5, 16, 61…. Видеть OEIS: A163747. См. Массив, начинающийся с 1, 1, 0, −2, 0, 16, 0 ниже.

Алгоритм Акиямы-Танигавы, примененный к OEIS: A046978 (п + 1) / OEIS: A016116(п) дает:

1	1	1/2	0	−1/4	−1/4	−1/8
0	1	3/2	1	0	−3/4
−1	−1	3/2	4	15/4
0	−5	−15/2	1
5	5	−51/2
0	61
−61

1. Первый столбец OEIS: A122045. Его биномиальное преобразование приводит к:

1	1	0	−2	0	16	0
0	−1	−2	2	16	−16
−1	−1	4	14	−32
0	5	10	−46
5	5	−56
0	−61
−61

Первая строка этого массива OEIS: A155585. Абсолютные значения возрастающих антидиагоналей равны OEIS: A008280. Сумма антидиагоналей равна −OEIS: A163747 (п + 1).

2. Второй столбец 1 1 −1 −5 5 61 −61 −1385 1385…. Его биномиальное преобразование дает:

1	2	2	−4	−16	32	272
1	0	−6	−12	48	240
−1	−6	−6	60	192
−5	0	66	32
5	66	66
61	0
−61

Первая строка этого массива 1 2 2 −4 −16 32 272 544 −7936 15872 353792 −707584…. Абсолютные значения второго деления пополам - это удвоение абсолютных значений первого деления пополам.

Рассмотрим алгоритм Акияма-Танигава, примененный к OEIS: A046978 (п) / (OEIS: A158780 (п + 1) = абс (OEIS: A117575 (п)) + 1 = 1, 2, 2, 3/2, 1, 3/4, 3/4, 7/8, 1, 17/16, 17/16, 33/32….

1	2	2	3/2	1	3/4	3/4
−1	0	3/2	2	5/4	0
−1	−3	−3/2	3	25/4
2	−3	−27/2	−13
5	21	−3/2
−16	45
−61

Первый столбец, абсолютные значения которого OEIS: A000111 может быть числителем тригонометрической функции.

OEIS: A163747 - автопоследовательность первого рода (главная диагональ OEIS: A000004). Соответствующий массив:

0	−1	−1	2	5	−16	−61
−1	0	3	3	−21	−45
1	3	0	−24	−24
2	−3	−24	0
−5	−21	24
−16	45
−61

Первые две верхние диагонали равны −1 3 −24 402… = (−1)^{п + 1} × OEIS: A002832. Сумма антидиагоналей равна 0 −2 0 10… = 2 × OEIS: A122045(п + 1).

−OEIS: A163982 это автопоследовательность второго типа, например, OEIS: A164555 / OEIS: A027642. Отсюда массив:

2	1	−1	−2	5	16	−61
−1	−2	−1	7	11	−77
−1	1	8	4	−88
2	7	−4	−92
5	−11	−88
−16	−77
−61

Главная диагональ, здесь 2 −2 8 −92…, это двойник первого верхнего, здесь OEIS: A099023. Сумма антидиагоналей равна 2 0 −4 0… = 2 × OEIS: A155585(п + 1). OEIS: A163747 − OEIS: A163982 = 2 × OEIS: A122045.

Комбинаторный взгляд: чередующиеся перестановки

Основная статья: Чередование перестановок

Примерно в 1880 году, через три года после публикации алгоритма Зейделя, Дезире Андре доказал ставший уже классическим результат комбинаторного анализа (Андре 1879 ) & (Андре 1881 ). Глядя на первые члены разложения Тейлора тригонометрические функциизагар Икс и сек Икс Андре сделал поразительное открытие.

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan x&=x+{\frac {2x^{3}}{3!}}+{\frac {16x^{5}}{5!}}+{\frac {272x^{7}}{7!}}+{\frac {7936x^{9}}{9!}}+\cdots \\[6pt]\sec x&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {5x^{4}}{4!}}+{\frac {61x^{6}}{6!}}+{\frac {1385x^{8}}{8!}}+{\frac {50521x^{10}}{10!}}+\cdots \end{aligned}}}$

Коэффициенты - это Числа Эйлера нечетного и четного индекса соответственно. Вследствие этого обычное расширение загар Икс + сек Икс имеет в качестве коэффициентов рациональные числа S_п.

${\displaystyle \tan x+\sec x=1+x+{\tfrac {1}{2}}x^{2}+{\tfrac {1}{3}}x^{3}+{\tfrac {5}{24}}x^{4}+{\tfrac {2}{15}}x^{5}+{\tfrac {61}{720}}x^{6}+\cdots }$

Затем Андре с помощью аргумента о повторении сумел показать, что чередующиеся перестановки нечетного размера перечисляются числами Эйлера нечетного индекса (также называемыми касательными числами), а чередующиеся перестановки четного размера - числами Эйлера четного индекса (также называемыми секантными числами).

Связанные последовательности

Среднее арифметическое первого и второго чисел Бернулли - это ассоциированные числа Бернулли: B₀ = 1, B₁ = 0, B₂ = 1/6, B₃ = 0, B₄ = −1/30, OEIS: A176327 / OEIS: A027642. Через вторую строку обратного преобразования Акиямы – Танигавы OEIS: A177427, они приводят к серии Бальмера OEIS: A061037 / OEIS: A061038.

Алгоритм Акияма-Танигава, примененный к OEIS: A060819 (п + 4) / OEIS: A145979 (п) приводит к числам Бернулли OEIS: A027641 / OEIS: A027642, OEIS: A164555 / OEIS: A027642, или же OEIS: A176327 OEIS: A176289 без B₁, названные внутренними числами Бернулли B_я(п).

1	5/6	3/4	7/10	2/3
1/6	1/6	3/20	2/15	5/42
0	1/30	1/20	2/35	5/84
−1/30	−1/30	−3/140	−1/105	0
0	−1/42	−1/28	−4/105	−1/28

Отсюда еще одна связь между внутренними числами Бернулли и рядом Бальмера через OEIS: A145979 (п).

OEIS: A145979 (п − 2) = 0, 2, 1, 6,… - это перестановка неотрицательных чисел.

Члены первой строки: f (n) = 1/2 + 1/п + 2. 2, f (n) - автопоследовательность второго рода. 3/2, f(n) leads by its inverse binomial transform to 3/2 −1/2 1/3 −1/4 1/5 ... = 1/2 + log 2.

Consider g(n) = 1/2 - 1 / (n+2) = 0, 1/6, 1/4, 3/10, 1/3. The Akiyama-Tanagiwa transforms gives:

0	1/6	1/4	3/10	1/3	5/14	...
−1/6	−1/6	−3/20	−2/15	−5/42	−3/28	...
0	−1/30	−1/20	−2/35	−5/84	−5/84	...
1/30	1/30	3/140	1/105	0	−1/140	...

0, g(n), is an autosequence of the second kind.

Эйлер OEIS: A198631 (п) / OEIS: A006519 (п + 1) without the second term (1/2) are the fractional intrinsic Euler numbers E_я(п) = 1, 0, −1/4, 0, 1/2, 0, −17/8, 0, … The corresponding Akiyama transform is:

1	1	7/8	3/4	21/32
0	1/4	3/8	3/8	5/16
−1/4	−1/4	0	1/4	25/64
0	−1/2	−3/4	−9/16	−5/32
1/2	1/2	−9/16	−13/8	−125/64

The first line is Европа(п). Европа(п) preceded by a zero is an autosequence of the first kind. It is linked to the Oresme numbers. The numerators of the second line are OEIS: A069834 preceded by 0. The difference table is:

0	1	1	7/8	3/4	21/32	19/32
1	0	−1/8	−1/8	−3/32	−1/16	−5/128
−1	−1/8	0	1/32	1/32	3/128	1/64

Arithmetical properties of the Bernoulli numbers

The Bernoulli numbers can be expressed in terms of the Riemann zeta function as B_п = −nζ(1 − п) для целых чисел п ≥ 0 предусмотрено п = 0 выражение −nζ(1 − п) is understood as the limiting value and the convention B₁ = 1/2 используется. This intimately relates them to the values of the zeta function at negative integers. As such, they could be expected to have and do have deep arithmetical properties. Например, Гипотеза Аго – Джуги postulates that п is a prime number if and only if pB_{п − 1} is congruent to −1 modulo п. Divisibility properties of the Bernoulli numbers are related to the ideal class groups из циклотомические поля by a theorem of Kummer and its strengthening in the Herbrand-Ribet theorem, and to class numbers of real quadratic fields by Ankeny–Artin–Chowla.

The Kummer theorems

The Bernoulli numbers are related to Последняя теорема Ферма (FLT) by Куммер 's theorem (Kummer 1850 ), which says:

If the odd prime п does not divide any of the numerators of the Bernoulli numbers B₂, B₄, …, B_{п − 3} тогда Икс^п + у^п + z^п = 0 has no solutions in nonzero integers.

Prime numbers with this property are called regular primes. Another classical result of Kummer (Kummer 1851 ) are the following совпадения.

Основная статья: Kummer's congruence

Позволять п be an odd prime and б an even number such that п − 1 не разделяет б. Then for any non-negative integer k

${\displaystyle {\frac {B_{k(p-1)+b}}{k(p-1)+b}}\equiv {\frac {B_{b}}{b}}{\pmod {p}}.}$

A generalization of these congruences goes by the name of п-adic continuity.

п-adic continuity

Если б, м и п натуральные числа такие, что м и п не делятся на п − 1 и м ≡ п (мод п^{б − 1} (п − 1)), тогда

${\displaystyle (1-p^{m-1}){\frac {B_{m}}{m}}\equiv (1-p^{n-1}){\frac {B_{n}}{n}}{\pmod {p^{b}}}.}$

С B_п = −nζ(1 − п), this can also be written

${\displaystyle \left(1-p^{-u}\right)\zeta (u)\equiv \left(1-p^{-v}\right)\zeta (v){\pmod {p^{b}}},}$

куда ты = 1 − м и v = 1 − п, так что ты и v are nonpositive and not congruent to 1 modulo п − 1. This tells us that the Riemann zeta function, with 1 − п^−s taken out of the Euler product formula, is continuous in the п-адические числа on odd negative integers congruent modulo п − 1 к конкретному а ≢ 1 mod (п − 1), and so can be extended to a continuous function ζ_п(s) для всех п-адические целые числа ℤ_п, то п-adic zeta function.

Ramanujan's congruences

The following relations, due to Рамануджан, provide a method for calculating Bernoulli numbers that is more efficient than the one given by their original recursive definition:

${\displaystyle {\binom {m+3}{m}}B_{m}={\begin{cases}{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 0{\pmod {6}};\\{\frac {m+3}{3}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-2}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 2{\pmod {6}};\\-{\frac {m+3}{6}}-\sum \limits _{j=1}^{\frac {m-4}{6}}{\binom {m+3}{m-6j}}B_{m-6j},&{\text{if }}m\equiv 4{\pmod {6}}.\end{cases}}}$

Теорема фон Штаудта – Клаузена

Основная статья: Теорема фон Штаудта – Клаузена

The von Staudt–Clausen theorem was given by Карл Георг Кристиан фон Штаудт (von Staudt 1840 ) и Томас Клаузен (Clausen 1840 ) independently in 1840. The theorem states that for every п > 0,

${\displaystyle B_{2n}+\sum _{(p-1)\,\mid \,2n}{\frac {1}{p}}}$

целое число. The sum extends over all простые числа п для которого п − 1 разделяет 2п.

A consequence of this is that the denominator of B_2п is given by the product of all primes п для которого п − 1 разделяет 2п. In particular, these denominators are без квадратов and divisible by 6.

Why do the odd Bernoulli numbers vanish?

Сумма

${\displaystyle \varphi _{k}(n)=\sum _{i=0}^{n}i^{k}-{\frac {n^{k}}{2}}}$

can be evaluated for negative values of the index п. Doing so will show that it is an нечетная функция for even values of k, which implies that the sum has only terms of odd index. This and the formula for the Bernoulli sum imply that B_{2k + 1 − м} is 0 for м даже и 2k + 1 − м > 1; and that the term for B₁ is cancelled by the subtraction. The von Staudt–Clausen theorem combined with Worpitzky's representation also gives a combinatorial answer to this question (valid for п > 1).

From the von Staudt–Clausen theorem it is known that for odd п > 1 номер 2B_п целое число. This seems trivial if one knows beforehand that the integer in question is zero. However, by applying Worpitzky's representation one gets

${\displaystyle 2B_{n}=\sum _{m=0}^{n}(-1)^{m}{\frac {2}{m+1}}m!\left\{{n+1 \atop m+1}\right\}=0\quad (n>1{\text{ is odd}})}$

как sum of integers, which is not trivial. Here a combinatorial fact comes to surface which explains the vanishing of the Bernoulli numbers at odd index. Позволять S_п,м be the number of surjective maps from {1, 2, …, п} к {1, 2, …, м}, тогда S_п,м = м!{^п
_м}. The last equation can only hold if

${\displaystyle \sum _{{\text{odd }}m=1}^{n-1}{\frac {2}{m^{2}}}S_{n,m}=\sum _{{\text{even }}m=2}^{n}{\frac {2}{m^{2}}}S_{n,m}\quad (n>2{\text{ is even}}).}$

This equation can be proved by induction. The first two examples of this equation are

п = 4: 2 + 8 = 7 + 3,

п = 6: 2 + 120 + 144 = 31 + 195 + 40.

Thus the Bernoulli numbers vanish at odd index because some non-obvious combinatorial identities are embodied in the Bernoulli numbers.

A restatement of the Riemann hypothesis

The connection between the Bernoulli numbers and the Riemann zeta function is strong enough to provide an alternate formulation of the Гипотеза Римана (RH) which uses only the Bernoulli number. Фактически Marcel Riesz (Riesz 1916 ) proved that the RH is equivalent to the following assertion:

Для каждого ε > 1/4 существует постоянная C_ε > 0 (depending on ε) такие, что |р(Икс)| < C_εИкс^ε в качестве Икс → ∞.

Здесь р(Икс) это Riesz function

${\displaystyle R(x)=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k}}x^{k}}{(2\pi )^{2k}\left({\frac {B_{2k}}{2k}}\right)}}=2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {k^{\overline {k}}x^{k}}{(2\pi )^{2k}\beta _{2k}}}.}$

п^k обозначает rising factorial power in the notation of D. E. Knuth. Цифры β_п = B_п/п occur frequently in the study of the zeta function and are significant because β_п это п-integer for primes п куда п − 1 не разделяет п. В β_п are called divided Bernoulli numbers.

Generalized Bernoulli numbers

В generalized Bernoulli numbers уверены алгебраические числа, defined similarly to the Bernoulli numbers, that are related to особые ценности из Дирихле L-функции in the same way that Bernoulli numbers are related to special values of the Riemann zeta function.

Позволять χ быть Dirichlet character по модулю ж. The generalized Bernoulli numbers attached to χ определены

${\displaystyle \sum _{a=1}^{f}\chi (a){\frac {te^{at}}{e^{ft}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }B_{k,\chi }{\frac {t^{k}}{k!}}.}$

Apart from the exceptional B_1,1 = 1/2, we have, for any Dirichlet character χ, который B_k,χ = 0 если χ(−1) ≠ (−1)^k.

Generalizing the relation between Bernoulli numbers and values of the Riemann zeta function at non-positive integers, one has the for all integers k ≥ 1:

${\displaystyle L(1-k,\chi )=-{\frac {B_{k,\chi }}{k}},}$

куда L(s,χ) is the Dirichlet L-функция χ (Нойкирх 1999, §VII.2).

Дальнейшая информация: Eisenstein–Kronecker number

Приложение

Assorted identities

• Темное исчисление gives a compact form of Bernoulli's formula by using an abstract symbol B:

  ${\displaystyle S_{m}(n)={\frac {1}{m+1}}((\mathbf {B} +n)^{m+1}-B_{m+1})}$

  where the symbol B^k that appears during binomial expansion of the parenthesized term is to be replaced by the Bernoulli number B_k (и B₁ = +1/2). More suggestively and mnemonically, this may be written as a definite integral:

  ${\displaystyle S_{m}(n)=\int _{0}^{n}(\mathbf {B} +x)^{m}\,dx}$

  Many other Bernoulli identities can be written compactly with this symbol, e.g.

  ${\displaystyle (1-2\mathbf {B} )^{m}=(2-2^{m})B_{m}}$

• Позволять п be non-negative and even

  ${\displaystyle \zeta (n)={\frac {(-1)^{{\frac {n}{2}}-1}B_{n}(2\pi )^{n}}{2(n!)}}}$

• В пth кумулянт из униформа распределение вероятностей on the interval [−1, 0] is B_п/п.
• Позволять п? = 1/п! и п ≥ 1. потом B_п следующее (п + 1) × (п + 1) determinant (Malenfant 2011 ):

  ${\displaystyle {\begin{aligned}B_{n}&=n!{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &0&1\\2?&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\n?&(n-1)?&\cdots &1&0\\(n+1)?&n?&\cdots &2?&0\end{vmatrix}}\\[8pt]&=n!{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &0&1\\{\frac {1}{2!}}&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\{\frac {1}{n!}}&{\frac {1}{(n-1)!}}&\cdots &1&0\\{\frac {1}{(n+1)!}}&{\frac {1}{n!}}&\cdots &{\frac {1}{2!}}&0\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

  Thus the determinant is σ_п(1), то Stirling polynomial в Икс = 1.
• For even-numbered Bernoulli numbers, B_2п дается (п + 1) × (п + 1) determinant (Malenfant 2011 ):

  ${\displaystyle B_{2p}=-{\frac {(2p)!}{2^{2p}-2}}{\begin{vmatrix}1&0&0&\cdots &0&1\\{\frac {1}{3!}}&1&0&\cdots &0&0\\{\frac {1}{5!}}&{\frac {1}{3!}}&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots \\{\frac {1}{(2p+1)!}}&{\frac {1}{(2p-1)!}}&{\frac {1}{(2p-3)!}}&\cdots &{\frac {1}{3!}}&0\end{vmatrix}}}$

• Позволять п ≥ 1. Потом (Леонард Эйлер )

  ${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}B_{k}B_{n-k}+B_{n-1}=-B_{n}}$

• Позволять п ≥ 1. Потом (von Ettingshausen 1827 )

  ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n+1}{k}}(n+k+1)B_{n+k}=0}$

• Позволять п ≥ 0. Потом (Leopold Kronecker 1883)

  ${\displaystyle B_{n}=-\sum _{k=1}^{n+1}{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {n+1}{k}}\sum _{j=1}^{k}j^{n}}$

• Позволять п ≥ 1 и м ≥ 1. Потом (Carlitz 1968 )

  ${\displaystyle (-1)^{m}\sum _{r=0}^{m}{\binom {m}{r}}B_{n+r}=(-1)^{n}\sum _{s=0}^{n}{\binom {n}{s}}B_{m+s}}$

• Позволять п ≥ 4 и

  ${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}k^{-1}}$

  то номер гармоники. Then (H. Miki 1978)

  ${\displaystyle {\frac {n}{2}}\sum _{k=2}^{n-2}{\frac {B_{n-k}}{n-k}}{\frac {B_{k}}{k}}-\sum _{k=2}^{n-2}{\binom {n}{k}}{\frac {B_{n-k}}{n-k}}B_{k}=H_{n}B_{n}}$

• Позволять п ≥ 4. Yuri Matiyasevich found (1997)

  ${\displaystyle (n+2)\sum _{k=2}^{n-2}B_{k}B_{n-k}-2\sum _{l=2}^{n-2}{\binom {n+2}{l}}B_{l}B_{n-l}=n(n+1)B_{n}}$

• Faber–Pandharipande –Загир –Gessel identity: for п ≥ 1,

  ${\displaystyle {\frac {n}{2}}\left(B_{n-1}(x)+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {B_{k}(x)}{k}}{\frac {B_{n-k}(x)}{n-k}}\right)-\sum _{k=0}^{n-1}{\binom {n}{k}}{\frac {B_{n-k}}{n-k}}B_{k}(x)=H_{n-1}B_{n}(x).}$

  Choosing Икс = 0 или же Икс = 1 results in the Bernoulli number identity in one or another convention.
• The next formula is true for п ≥ 0 если B₁ = B₁(1) = 1/2, но только для п ≥ 1 если B₁ = B₁(0) = −1/2.

  ${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {B_{k}}{n-k+2}}={\frac {B_{n+1}}{n+1}}}$

• Позволять п ≥ 0. потом

  ${\displaystyle -1+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {2^{n-k+1}}{n-k+1}}B_{k}(1)=2^{n}}$

  и

  ${\displaystyle -1+\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {2^{n-k+1}}{n-k+1}}B_{k}(0)=\delta _{n,0}}$

• A reciprocity relation of M. B. Gelfand (Agoh & Dilcher 2008 ):

  ${\displaystyle (-1)^{m+1}\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}{\frac {B_{m+1+j}}{m+1+j}}+(-1)^{k+1}\sum _{j=0}^{m}{\binom {m}{j}}{\frac {B_{k+1+j}}{k+1+j}}={\frac {k!m!}{(k+m+1)!}}}$

Смотрите также

• Многочлен Бернулли
• Bernoulli polynomials of the second kind
• Номер звонка
• Число Эйлера
• Число Дженокки
• Сравнения Куммера
• Число Поли-Бернулли
• Дзета-функция Гурвица
• Euler summation
• Stirling polynomial
• Суммы полномочий

Примечания

1. Translation of the text: " … And if [one were] to proceed onward step by step to higher powers, one may furnish, with little difficulty, the following list:
   Суммы полномочий
   ${\displaystyle \textstyle \int n=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n}$
   

   ⋮
   

   ${\displaystyle \textstyle \int n^{10}=\sum _{k=1}^{n}k^{10}={\frac {1}{11}}n^{11}+{\frac {1}{2}}n^{10}+{\frac {5}{6}}n^{9}-1n^{7}+1n^{5}-{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {5}{66}}n}$
   Indeed [if] one will have examined diligently the law of arithmetic progression there, one will also be able to continue the same without these circuitous computations: For [if] ${\displaystyle \textstyle c}$ is taken as the exponent of any power, the sum of all ${\displaystyle \textstyle n^{c}}$ is produced or
   ${\displaystyle \textstyle \int n^{c}=\sum _{k=1}^{n}k^{c}={\frac {1}{c+1}}n^{c+1}+{\frac {1}{2}}n^{c}+{\frac {c}{2}}An^{c-1}+{\frac {c(c-1)(c-2)}{2\cdot 3\cdot 4}}Bn^{c-3}+{\frac {c(c-1)(c-2)(c-3)(c-4)}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}}Cn^{c-5}+{\frac {c(c-1)(c-2)(c-3)(c-4)(c-5)(c-6)}{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8}}Dn^{c-7}+\cdots }$
   and so forth, the exponent of its power ${\displaystyle n}$ continually diminishing by 2 until it arrives at ${\displaystyle n}$ или же ${\displaystyle n^{2}}$. The capital letters ${\displaystyle \textstyle A,B,C,D,}$ etc. denote in order the coefficients of the last terms for ${\displaystyle \textstyle \int n^{2},\int n^{4},\int n^{6},\int n^{8}}$, etc. namely
   ${\displaystyle \textstyle A={\frac {1}{6}},B=-{\frac {1}{30}},C={\frac {1}{42}},D=-{\frac {1}{30}}}$."
   [Note: The text of the illustration contains some typos: ensperexit должен прочесть inspexerit, ambabimus должен прочесть ambagibus, quosque должен прочесть quousque, and in Bernoulli's original text Sumtâ должен прочесть Sumptâ или же Sumptam.]
   • Smith, David Eugene (1929). Справочник по математике. New York, New York, USA: McGraw-Hill Book Co. pp. 91–92.
   • Bernoulli, Jacob (1713). Ars Conjectandi (на латыни). Basel, Switzerland: Thurnis brothers. С. 97–98.
2. В Проект "Математическая генеалогия" (нет данных) shows Leibniz as the academic advisor of Jakob Bernoulli. Смотрите также Miller (2017).
3. this formula was discovered (or perhaps rediscovered) by Giorgio Pietrocola. His demonstration is available in Italian language (Pietrocola 2008 ).

Рекомендации

• Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (1972), "§23.1: Bernoulli and Euler Polynomials and the Euler-Maclaurin Formula", Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами (9th printing ed.), New York: Dover Publications, pp. 804–806.
• Arfken, George (1970), Математические методы для физиков (2nd ed.), Academic Press, Inc., ISBN  978-0120598519.
• Agoh, Takashi; Dilcher, Karl (2008), "Reciprocity Relations for Bernoulli Numbers", Американский математический ежемесячный журнал, 115 (3): 237–244, Дои:10.1080/00029890.2008.11920520, JSTOR  27642447, S2CID  43614118
• André, D. (1879), «Развитие сек х и тан х», Comptes Rendus Acad. Sci., 88: 965–967.
• Андре, Д. (1881 г.), "Mémoire sur les permutations alternées", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 7: 167–184.
• Арлеттаз, Д. (1998), "Die Bernoulli-Zahlen: eine Beziehung zwischen Topologie und Gruppentheorie", Математика. Семестр, 45: 61–75, Дои:10.1007 / s005910050037, S2CID  121753654.
• Апостол, Т. М., Введение в аналитическую теорию чисел, Springer-Verlag.
• Арнольд В. И. (1991), "Восходящие числа Бернулли-Эйлера, связанные с особенностями функций, их комбинаторика и арифметика", Duke Math. Дж., 63: 537–555, Дои:10.1215 / s0012-7094-91-06323-4.
• Аюб, А. (1981), "Эйлер и дзета-функция", Амер. Математика. Ежемесячно, 74 (2): 1067–1086, Дои:10.2307/2319041, JSTOR  2319041.
• Буль, Г. (1880), Трактат по исчислению конечных разностей (3-е изд.), Лондон.
• Buhler, J .; Crandall, R .; Ernvall, R .; Мецанкиля, Т .; Шокроллахи, М. (2001), "Нерегулярные простые числа и циклотомические инварианты до 12 миллионов", Журнал символических вычислений, 31 (1–2): 89–96, Дои:10.1006 / jsco.1999.1011.
• Карлитц, Л. (1968), «Числа Бернулли», Ежеквартальный отчет Фибоначчи, 6: 71–85.
• Клаузен, Томас (1840), "Lehrsatz aus einer Abhandlung über die Bernoullischen Zahlen", Astron. Nachr., 17 (22): 351–352, Дои:10.1002 / asna.18400172205.
• Контет, Л. (1974), Продвинутая комбинаторика. Искусство конечных и бесконечных расширений (Пересмотренное и дополненное изд.), Дордрехт-Бостон: D. Reidel Publ. Co..
• Конвей, Джон; Гай, Ричард (1996), Книга чисел, Springer-Verlag.
• Дилчер, К .; Skula, L .; Славутский, И.Ш. (1991), "Числа Бернулли. Библиография (1713–1990)", Статьи Королевы по чистой и прикладной математике, Кингстон, Онтарио (87).
• Dumont, D .; Виеннот, Г. (1980), "Комбинаторная интерпретация поколения Зейделя чисел Генокки", Анна. Дискретная математика., Анналы дискретной математики, 6: 77–87, Дои:10.1016 / S0167-5060 (08) 70696-4, ISBN  978-0-444-86048-4.
• Дюмон, Д. (1981), "Матрицы Элера-Зейделя", Séminaire Lotharingien de Combinatoire, B05c, п. 25.
• Лоси, Н. Д. (2003), «О суммах Sum_ (k = -infinity… infinity) (4k + 1) ^ (- n)», Амер. Математика. Ежемесячно, 110 (7): 561–573, arXiv:math.CA/0101168, Дои:10.2307/3647742, JSTOR  3647742
• Энтрингер, Р. С. (1966), "Комбинаторная интерпретация чисел Эйлера и Бернулли", Nieuw. Arch. В. Вискунде, 14: 241–6.
• фон Эттингсгаузен, А. (1827 г.), Vorlesungen über die höhere Mathematik, Корп. 1, Вена: Карл Герольд.
• Эйлер, Леонард (1735 г.), «De summis serierum reciprocarum», Опера Омния, I.14, E 41: 73–86, arXiv:математика / 0506415, Bibcode:2005математика ...... 6415E
• Комиссия, G .; Плафф, С. (2007). «Эффективный алгоритм вычисления чисел Бернулли». arXiv:математика / 0702300..
• Гулд, Генри В. (1972), "Явные формулы для чисел Бернулли", Амер. Математика. Ежемесячно, 79 (1): 44–51, Дои:10.2307/2978125, JSTOR  2978125
• Грэм, Р.; Кнут, Д. Э.; Паташник, О. (1989), Конкретная математика (2-е изд.), Эддисон-Уэсли, ISBN  0-201-55802-5.
• Guo, Victor J. W .; Цзэн, Цзян (2005), «Q-аналог формулы Фаульхабера для сумм степеней», Электронный журнал комбинаторики, 11 (2): 1441, arXiv:математика / 0501441, Bibcode:2005математика ...... 1441G, Дои:10.37236/1876, S2CID  10467873.
• Харви, Дэвид (2010), «Мультимодульный алгоритм для вычисления чисел Бернулли», Математика. Comput., 79 (272): 2361–2370, arXiv:0807.1347, Дои:10.1090 / S0025-5718-2010-02367-1, S2CID  11329343, Zbl  1215.11016.
• Ирландия, Кеннет; Розен, Майкл (1990), Классическое введение в современную теорию чисел (2-е изд.), Springer-Verlag, ISBN  0-387-97329-X
• Якоби, К. Г. Дж. (1834 г.), "De usu legalimo formula summatoriae Maclaurinianae", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 12: 263–272.
• Джордан, Чарльз (1950), Исчисление конечных разностей, Нью-Йорк: Chelsea Publ. Co..
• Канеко, М. (2000), «Алгоритм Акиямы-Танигавы для чисел Бернулли», Журнал целочисленных последовательностей, 12: 29, Bibcode:2000JIntS ... 3 ... 29K.
• Келлнер, Бернд (2002), Программа Calcbn - программа для вычисления чисел Бернулли..
• Кнут, Д. Э.; Бакгольц, Т. Дж. (1967), "Вычисление касательных, чисел Эйлера и Бернулли", Математика вычислений, Американское математическое общество, 21 (100): 663–688, Дои:10.2307/2005010, JSTOR  2005010.
• Кнут, Д. Э. (1993), «Иоганн Фаульхабер и сумма полномочий», Математика вычислений, Американское математическое общество, 61 (203): 277–294, arXiv:математика / 9207222, Дои:10.2307/2152953, JSTOR  2152953.
• Куммер, Э. (1850), "Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung x^λ + y^λ = z^λ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für all diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ-3) / 2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen ", J. Reine Angew. Математика., 40: 131–138.
• Куммер, Э. (1851), "Über eine allgemeine Eigenschaft der rationalen Entwicklungscoefficienten einer bestimmten Gattung analytischer Functionen", J. Reine Angew. Математика., 1851 (41): 368–372, Дои:10.1515 / crll.1851.41.368, S2CID  119816941.
• Лущный, Питер (2007), Включение чисел Бернулли.
• Лущный, Петр (8 октября 2011 г.), "TheLostBernoulliNumbers", OeisWiki, получено 11 мая 2019.
• Маленфант, Джером (2011). «Конечные, замкнутые выражения для статистической суммы и для чисел Эйлера, Бернулли и Стирлинга». arXiv:1103.1585 [math.NT ].
• Проект "Математическая генеалогия", Фарго: Департамент математики, Государственный университет Северной Дакоты, без даты, архивировано из оригинал 10 мая 2019 г., получено 11 мая 2019.
• Менабреа, Л. Ф. (1842 г.), «Набросок аналитической машины, изобретенной Чарльзом Бэббиджем, с примечаниями к мемуарам переводчика Ады Августы, графини Лавлейс», Bibliothèque Universelle de Genève, 82.
• Миллер, Джефф (23 июня 2017 г.), «Раннее использование символов исчисления», Самые ранние случаи использования различных математических символов, получено 11 мая 2019.
• Милнор, Джон В.; Сташефф, Джеймс Д. (1974), «Приложение B: Числа Бернулли», Характерные классы, Анналы математических исследований, 76, Princeton University Press и University of Tokyo Press, стр. 281–287..
• Нойкирх, Юрген (1999). Алгебраическая теория чисел. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 322. Берлин: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-65399-8. МИСТЕР  1697859. Zbl  0956.11021.
• Павлик, Александр (2008), Сегодня мы побили рекорд Бернулли: от аналитической машины к системе Mathematica, Блог Wolfram.
• Пьетрокола, Джорджо (31 октября 2008 г.), "Esplorando un antico sentiero: teoremi sulla somma di Potenze di interi successivi (Corollario 2b)", Maecla (на итальянском), получено 8 апреля, 2017.
• Радемахер, Х. (1973), Аналитическая теория чисел, Нью-Йорк: Springer-Verlag.
• Рис, М. (1916), "Sur l'hypothèse de Riemann", Acta Mathematica, 40: 185–90, Дои:10.1007 / BF02418544.
• Заальшютц, Луи (1893 г.), Vorlesungen über die Bernoullischen Zahlen, ihren Zusammenhang mit den Secanten-Coefficienten und ihre wichtigeren Anwendungen, Берлин: Юлиус Спрингер.
• Зайдель, Л. (1877), "Über eine einfache Entstehungsweise der Bernoullischen Zahlen und einiger verwandten Reihen", Sitzungsber. Жевать. Акад., 4: 157–187.
• Селин, Хелайн, изд. (1997), "Энциклопедия истории науки, техники и медицины в незападных культурах", Энциклопедия истории науки, Springer: 819, Bibcode:2008ест.книга ..... S, ISBN  0-7923-4066-3.
• Славутский, Илья Ш. (1995), «Штаудт и арифметические свойства чисел Бернулли», Historia Scientiarum, 2: 69–74.
• Смит, Дэвид Юджин; Миками, Ёсио (1914), История японской математики, Издательство Open Court, ISBN  978-0-486-43482-7.
• фон Штаудт, К. Г. Ч. (1840), "Beweis eines Lehrsatzes, die Bernoullischen Zahlen Betreffend", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 21: 372–374.
• фон Штаудт, К. Г. Ч. (1845), "De numeris Bernoullianis, commentationem alteram", Эрланген.
• Сунь, Чжи-Вэй (2005–2006), Некоторые любопытные результаты о полиномах Бернулли и Эйлера, заархивировано из оригинал на 2001-10-31.
• Вайсштейн, Эрик В. (4 января 2016 г.), «Число Бернулли», MathWorld, Вольфрам, получено 2 июля 2017.
• Вун, С. К. (1997), "Дерево для генерации чисел Бернулли", Математика. Mag., 70 (1): 51–56, Дои:10.2307/2691054, JSTOR  2691054.
• Вун, С. К. (1998). «Обобщение связи между дзета-функцией Римана и числами Бернулли». arXiv:math.NT / 9812143..
• Ворпицки, Дж. (1883 г.), "Studien über die Bernoullischen und Eulerschen Zahlen", Журнал für die reine und angewandte Mathematik, 94: 203–232.

внешняя ссылка

• «Числа Бернулли», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Первые 498 чисел Бернулли из Проект Гутенберг
• Мультимодульный алгоритм вычисления чисел Бернулли
• Страница чисел Бернулли
• Числовые программы Бернулли в Грамотные программы
• Вайсштейн, Эрик В. «Число Бернулли». MathWorld.
• П. Лущный. «Вычисление нерегулярных простых чисел».
• П. Лущный. «Вычисление и асимптотика чисел Бернулли».
• Готфрид Хелмс. "Числа Бернулли в контексте матрицы Паскаля (биномиальной)" (PDF).
• Готфрид Хелмс. «суммирование одинаковых степеней в контексте с матрицей Паскаля / Бернулли» (PDF).
• Готфрид Хелмс. «Некоторые особые свойства, суммы чисел Бернулли и родственных им чисел» (PDF).