Номер гармоники - Harmonic number

Для использования в других целях см. Гармоническое число (значения).

Номер гармоники ${\displaystyle H_{n}}$ с ${\displaystyle n=\lfloor x\rfloor }$ (красная линия) с его асимптотическим пределом ${\displaystyle \gamma +\ln(x)}$ (синяя линия) где ${\displaystyle \gamma }$ это Константа Эйлера – Маскерони.

В математика, то п-го номер гармоники это сумма взаимные из первых п натуральные числа:

${\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$

Числа гармоник связаны с гармоническое среднее в этом п-й гармонический номер также п умноженное на обратную величину гармонического среднего первого п положительные целые числа.

Числа гармоник изучаются с древних времен и важны в различных областях теория чисел. Иногда их свободно называют гармонический ряд, тесно связаны с Дзета-функция Римана, и появляются в выражениях различных специальные функции.

Числа гармоник примерно соответствуют функция натурального логарифма^[1]:143 и, следовательно, связанные гармонический ряд растет без ограничений, хотя и медленно. В 1737 г. Леонард Эйлер использовал расходимость гармонического ряда предоставить новое доказательство бесконечность простых чисел. Его работа была распространена на комплексная плоскость к Бернхард Риманн в 1859 г., что привело прямо к знаменитому Гипотеза Римана о распределение простых чисел.

Когда стоимость большого количества предметов имеет Закон Ципфа распределение, общая стоимость п наиболее ценные предметы пропорциональны пномер -й гармоники. Это приводит к множеству неожиданных выводов относительно длинный хвост и теория сетевой ценности.

Постулат Бертрана означает, что, за исключением случая п = 1, гармонические числа никогда не бывают целыми.^[2]

Первые 40 гармонических чисел

п	Номер гармоники, ЧАСп
	выражается в виде дроби		десятичный	относительный размер
1	1		1	1
2	3	/2	1.5	1.5
3	11	/6	~1.83333	1.83333
4	25	/12	~2.08333	2.08333
5	137	/60	~2.28333	2.28333
6	49	/20	2.45	2.45
7	363	/140	~2.59286	2.59286
8	761	/280	~2.71786	2.71786
9	7 129	/2 520	~2.82897	2.82897
10	7 381	/2 520	~2.92897	2.92897
11	83 711	/27 720	~3.01988	3.01988
12	86 021	/27 720	~3.10321	3.10321
13	1 145 993	/360 360	~3.18013	3.18013
14	1 171 733	/360 360	~3.25156	3.25156
15	1 195 757	/360 360	~3.31823	3.31823
16	2 436 559	/720 720	~3.38073	3.38073
17	42 142 223	/12 252 240	~3.43955	3.43955
18	14 274 301	/4 084 080	~3.49511	3.49511
19	275 295 799	/77 597 520	~3.54774	3.54774
20	55 835 135	/15 519 504	~3.59774	3.59774
21	18 858 053	/5 173 168	~3.64536	3.64536
22	19 093 197	/5 173 168	~3.69081	3.69081
23	444 316 699	/118 982 864	~3.73429	3.73429
24	1 347 822 955	/356 948 592	~3.77596	3.77596
25	34 052 522 467	/8 923 714 800	~3.81596	3.81596
26	34 395 742 267	/8 923 714 800	~3.85442	3.85442
27	312 536 252 003	/80 313 433 200	~3.89146	3.89146
28	315 404 588 903	/80 313 433 200	~3.92717	3.92717
29	9 227 046 511 387	/2 329 089 562 800	~3.96165	3.96165
30	9 304 682 830 147	/2 329 089 562 800	~3.99499	3.99499
31	290 774 257 297 357	/72 201 776 446 800	~4.02725	4.02725
32	586 061 125 622 639	/144 403 552 893 600	~4.05850	4.0585
33	53 676 090 078 349	/13 127 595 717 600	~4.08880	4.0888
34	54 062 195 834 749	/13 127 595 717 600	~4.11821	4.11821
35	54 437 269 998 109	/13 127 595 717 600	~4.14678	4.14678
36	54 801 925 434 709	/13 127 595 717 600	~4.17456	4.17456
37	2 040 798 836 801 833	/485 721 041 551 200	~4.20159	4.20159
38	2 053 580 969 474 233	/485 721 041 551 200	~4.22790	4.2279
39	2 066 035 355 155 033	/485 721 041 551 200	~4.25354	4.25354
40	2 078 178 381 193 813	/485 721 041 551 200	~4.27854	4.27854

Тождества, включающие гармонические числа

По определению гармонические числа удовлетворяют условию отношение повторения

${\displaystyle H_{n+1}=H_{n}+{\frac {1}{n+1}}.}$

Номера гармоник связаны с Числа Стирлинга первого рода отношением

${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right].}$

Функции

${\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x^{n}}{n!}}(\log x-H_{n})}$

удовлетворить собственность

${\displaystyle f_{n}'(x)=f_{n-1}(x).}$

Особенно

${\displaystyle f_{1}(x)=x(\log x-1)}$

является интегралом от логарифмической функции.

Гармонические числа удовлетворяют тождествам ряда

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n.}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}^{2}=(n+1)H_{n}^{2}-(2n+1)H_{n}+2n.}$

эти два результата во многом аналогичны соответствующим интегральным результатам

${\displaystyle \int _{0}^{x}\log y\ dy=x\log x-x}$

${\displaystyle \int _{0}^{x}(\log y)^{2}\ dy=x(\log x)^{2}-2x\log x+2x}$

Личности с участием π

Есть несколько бесконечных суммирований, включающих гармонические числа и степени π:^[3]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n\cdot 2^{n}}}={\frac {1}{12}}\pi ^{2}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{(n+1)^{2}}}={\frac {11}{360}}\pi ^{4}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{n^{2}}}={\frac {17}{360}}\pi ^{4}}$

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{3}}}={\frac {1}{72}}\pi ^{4}}$

Расчет

Интегральное представление, задаваемое Эйлер^[4] является

${\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx.}$

Вышеприведенное равенство легко получить с помощью простого алгебраическая идентичность

${\displaystyle {\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}.}$

Используя замену Икс = 1 − ты, другое выражение для ЧАС_п является

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left[-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du=-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\[6pt]&=-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}.\end{aligned}}}$

График, демонстрирующий связь между номерами гармоник и натуральный логарифм. Номер гармоники ЧАС_п можно интерпретировать как Сумма Римана интеграла: ${\displaystyle \int _{1}^{n+1}{\frac {dx}{x}}=\ln(n+1).}$

В пномер гармоники примерно такой же, как натуральный логарифм из п. Причина в том, что сумма приближена к интеграл

${\displaystyle \int _{1}^{n}{\frac {1}{x}}\,dx,}$

чья ценность пер п.

Значения последовательности ЧАС_п - пер. п монотонно убывают в сторону предел

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(H_{n}-\ln n\right)=\gamma ,}$

куда γ ≈ 0.5772156649 это Константа Эйлера – Маскерони. Соответствующие асимптотическое разложение является

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&\sim \ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{2kn^{2k}}}\\&=\ln {n}+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\cdots ,\end{aligned}}}$

куда B_k являются Числа Бернулли.

Производящие функции

А производящая функция для гармонических чисел

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n}={\frac {-\ln(1-z)}{1-z}},}$

где ln (z) это натуральный логарифм. Экспоненциальная производящая функция

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n!}}H_{n}=-e^{z}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}{\frac {(-z)^{k}}{k!}}=e^{z}\operatorname {Ein} (z)}$

где Ein (z) - это весь экспоненциальный интеграл. Обратите внимание, что

${\displaystyle \operatorname {Ein} (z)=\mathrm {E} _{1}(z)+\gamma +\ln z=\Gamma (0,z)+\gamma +\ln z}$

где Γ (0, z) это неполная гамма-функция.

Арифметические свойства

Гармонические числа обладают несколькими интересными арифметическими свойствами. Как известно, ${\textstyle H_{n}}$ это целое число если и только если ${\textstyle n=1}$, результат, который часто приписывают Тайсингеру.^[5] Действительно, используя 2-адическая оценка, нетрудно доказать, что для ${\textstyle n\geq 2}$ числитель ${\textstyle H_{n}}$ нечетное число, а знаменатель ${\textstyle H_{n}}$ - четное число. Точнее,

${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{2^{\lfloor \log _{2}(n)\rfloor }}}{\frac {a_{n}}{b_{n}}}}$

с некоторыми нечетными целыми числами ${\textstyle a_{n}}$ и ${\textstyle b_{n}}$.

Как следствие Теорема Вольстенхольма, для любого простого числа ${\displaystyle p\geq 5}$ числитель ${\displaystyle H_{p-1}}$делится на ${\textstyle p^{2}}$. Кроме того, Эйзенштейн^[6] доказал, что для всех нечетных простых чисел ${\textstyle p}$ он держит

${\displaystyle H_{(p-1)/2}\equiv -2q_{p}(2){\pmod {p}}}$

куда ${\textstyle q_{p}(2)=(2^{p-1}-1)/p}$ это Коэффициент Ферма, в результате чего ${\textstyle p}$ делит числитель ${\displaystyle H_{(p-1)/2}}$ если и только если ${\textstyle p}$ это Виферих прайм.

В 1991 году Эшваратхасан и Левин^[7] определенный ${\displaystyle J_{p}}$ как набор всех положительных целых чисел ${\displaystyle n}$ так что числитель ${\displaystyle H_{n}}$ делится на простое число ${\displaystyle p.}$ Они доказали, что

${\displaystyle \{p-1,p^{2}-p,p^{2}-1\}\subseteq J_{p}}$

для всех простых чисел ${\displaystyle p\geq 5,}$ и они определили гармонические простые числа быть простыми ${\textstyle p}$ такой, что ${\displaystyle J(p)}$ имеет ровно 3 элемента.

Эшваратхасан и Левин также предположили, что ${\displaystyle J_{p}}$ это конечный набор для всех простых чисел ${\displaystyle p,}$ и что существует бесконечно много гармонических простых чисел. Бойд^[8] подтвердил, что ${\displaystyle J_{p}}$ конечно для всех простых чисел до ${\displaystyle p=547}$ кроме 83, 127 и 397; и он дал эвристику, предполагающую, что плотность гармонических простых чисел в наборе всех простых чисел должны быть ${\displaystyle 1/e}$. Санна^[9] показало, что ${\displaystyle J_{p}}$ имеет ноль асимптотическая плотность, а Бин-Лин Ву и Юн-Гао Чен^[10] доказано, что количество элементов ${\displaystyle J_{p}}$ не превышающий ${\displaystyle x}$ самое большее ${\displaystyle 3x^{{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{25\log p}}}}$, для всех ${\displaystyle x\geq 1}$.

Приложения

Номера гармоник присутствуют в нескольких формулах расчета, таких как функция дигаммы

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma .}$

Это соотношение также часто используется для определения расширения гармонических чисел на нецелые числа. п. Номера гармоник также часто используются для определения γ с использованием введенного ранее ограничения:

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(H_{n}-\ln(n)\right)},}$

несмотря на то что

${\displaystyle \gamma =\lim _{n\to \infty }{\left(H_{n}-\ln \left(n+{\frac {1}{2}}\right)\right)}}$

сходится быстрее.

В 2002, Джеффри Лагариас доказано^[11] что Гипотеза Римана эквивалентно утверждению, что

${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+(\log H_{n})e^{H_{n}},}$

верно для каждого целое число п ≥ 1 со строгим неравенством, если п > 1; Вот σ(п) обозначает сумма делителей из п.

Собственные значения нелокальной задачи

${\displaystyle \lambda \varphi (x)=\int _{-1}^{1}{\frac {\varphi (x)-\varphi (y)}{|x-y|}}\,dy}$

даны ${\displaystyle \lambda =2H_{n}}$, где по соглашению ${\displaystyle H_{0}=0}$, а соответствующие собственные функции задаются Полиномы Лежандра ${\displaystyle \varphi (x)=P_{n}(x)}$.^[12]

Обобщения

Обобщенные гармонические числа

В обобщенный номер гармоники порядка м из п дан кем-то

${\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{m}}}.}$

Другие иногда используемые обозначения включают

${\displaystyle H_{n,m}=H_{n}^{(m)}=H_{m}(n).}$

Частный случай м = 0 дает ${\displaystyle H_{n,0}=n.}$ Частный случай м = 1 называется просто гармоническим числом и часто пишется без м, так как

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}.}$

Предел как п → ∞ конечно, если м > 1, с обобщенным номером гармоники, ограниченным и стремящимся к Дзета-функция Римана

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }H_{n,m}=\zeta (m).}$

Наименьшее натуральное число k такой, что k^п не делит знаменатель обобщенного номера гармоники ЧАС(k, п) ни знаменатель переменного обобщенного номера гармоники ЧАС'(k, п) это для п=1, 2, ... :

77, 20, 94556602, 42, 444, 20, 104, 42, 76, 20, 77, 110, 3504, 20, 903, 42, 1107, 20, 104, 42, 77, 20, 2948, 110, 136, 20, 76, 42, 903, 20, 77, 42, 268, 20, 7004, 110, 1752, 20, 19203, 42, 77, 20, 104, 42, 76, 20, 370, 110, 1107, 20, ... (последовательность A128670 в OEIS )

Соответствующая сумма ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k^{m}}$ происходит при изучении Числа Бернулли; гармонические числа также появляются при изучении Числа Стирлинга.

Некоторые интегралы от обобщенных гармонических чисел равны

${\displaystyle \int _{0}^{a}H_{x,2}\,dx=a{\frac {\pi ^{2}}{6}}-H_{a}}$

и

${\displaystyle \int _{0}^{a}H_{x,3}\,dx=aA-{\frac {1}{2}}H_{a,2},}$ куда А является Постоянная апери, т.е. ζ(3).

и

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k,m}=(n+1)H_{n,m}-H_{n,m-1}{\text{ for }}m\geq 0}$

Каждый обобщенный номер гармоники порядка m может быть записан как функция гармоники порядка m-1, используя:

${\displaystyle H_{n,m}=\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {H_{k,m-1}}{k(k+1)}}+{\frac {H_{n,m-1}}{n}}}$ Например: ${\displaystyle H_{4,3}={\frac {H_{1,2}}{1\cdot 2}}+{\frac {H_{2,2}}{2\cdot 3}}+{\frac {H_{3,2}}{3\cdot 4}}+{\frac {H_{4,2}}{4}}}$

А производящая функция для обобщенных гармонических чисел есть

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }z^{n}H_{n,m}={\frac {\operatorname {Li} _{m}(z)}{1-z}},}$

куда ${\displaystyle \operatorname {Li} _{m}(z)}$ это полилогарифм, и |z| < 1. Приведенная выше производящая функция для м = 1 является частным случаем этой формулы.

А дробный аргумент для обобщенных гармонических чисел можно представить следующим образом:

Для каждого ${\displaystyle p,q>0}$ целое число и ${\displaystyle m>1}$ целое или нет, из полигамма-функций имеем:

${\displaystyle H_{q/p,m}=\zeta (m)-p^{m}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{(q+pk)^{m}}}}$

куда ${\displaystyle \zeta (m)}$ это Дзета-функция Римана. Соответствующее рекуррентное отношение:

${\displaystyle H_{a,m}=H_{a-1,m}+{\frac {1}{a^{m}}}}$

Некоторые особые значения:

${\displaystyle H_{{\frac {1}{4}},2}=16-8G-{\tfrac {5}{6}}\pi ^{2}}$ куда грамм является Каталонская постоянная

${\displaystyle H_{{\frac {1}{2}},2}=4-{\tfrac {\pi ^{2}}{3}}}$

${\displaystyle H_{{\frac {3}{4}},2}=8G+{\tfrac {16}{9}}-{\tfrac {5}{6}}\pi ^{2}}$

${\displaystyle H_{{\frac {1}{4}},3}=64-27\zeta (3)-\pi ^{3}}$

${\displaystyle H_{{\frac {1}{2}},3}=8-6\zeta (3)}$

${\displaystyle H_{{\frac {3}{4}},3}={({\tfrac {4}{3}})}^{3}-27\zeta (3)+\pi ^{3}}$

В частном случае, когда ${\displaystyle p=1}$, мы получили

${\displaystyle H_{n,m}=\zeta (m,1)-\zeta (m,n+1)}$,

куда ${\displaystyle \zeta (m,n)}$ это Дзета-функция Гурвица. Это соотношение используется для численного расчета номеров гармоник.

Формулы умножения

В теорема умножения применяется к номерам гармоник. С помощью полигамма функций, получаем

${\displaystyle H_{2x}={\frac {1}{2}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{2}}}\right)+\ln 2}$

${\displaystyle H_{3x}={\frac {1}{3}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{3}}}+H_{x-{\frac {2}{3}}}\right)+\ln 3,}$

или, в более общем смысле,

${\displaystyle H_{nx}={\frac {1}{n}}\left(H_{x}+H_{x-{\frac {1}{n}}}+H_{x-{\frac {2}{n}}}+\cdots +H_{x-{\frac {n-1}{n}}}\right)+\ln n.}$

Для обобщенных гармонических чисел имеем

${\displaystyle H_{2x,2}={\frac {1}{2}}\left(\zeta (2)+{\frac {1}{2}}\left(H_{x,2}+H_{x-{\frac {1}{2}},2}\right)\right)}$

${\displaystyle H_{3x,2}={\frac {1}{9}}\left(6\zeta (2)+H_{x,2}+H_{x-{\frac {1}{3}},2}+H_{x-{\frac {2}{3}},2}\right),}$

куда ${\displaystyle \zeta (n)}$ это Дзета-функция Римана.

Гипергармонические числа

Следующее обобщение обсуждалось Дж. Х. Конвей и Р. К. Гай в своей книге 1995 года Книга чисел.^[1]:258 Позволять

${\displaystyle H_{n}^{(0)}={\frac {1}{n}}.}$

Затем энный гипергармоническое число порядка р (г> 0) определяется рекурсивно как

${\displaystyle H_{n}^{(r)}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{(r-1)}.}$

Особенно, ${\displaystyle H_{n}^{(1)}}$ это обычный номер гармоники ${\displaystyle H_{n}}$.

Числа гармоник для действительных и комплексных значений

Формулы, приведенные выше,

${\displaystyle H_{x}=\int _{0}^{1}{\frac {1-t^{x}}{1-t}}\,dt=-\sum _{k=1}^{\infty }{x \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}}$

представляют собой интегральное и серийное представление для функции, которая интерполирует гармонические числа, и через аналитическое продолжение, расширяет определение на комплексную плоскость, кроме отрицательных целых чисел Икс. На самом деле интерполирующая функция тесно связана с функция дигаммы

${\displaystyle H_{x}=\psi (x+1)+\gamma ,}$

куда ψ(Икс) это дигамма, и γ - постоянная Эйлера-Маскерони. Процесс интеграции можно повторить, чтобы получить

${\displaystyle H_{x,2}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{x \choose k}H_{k}.}$

В Серия Тейлор для гармонических чисел

${\displaystyle H_{x}=\sum _{k=2}^{\infty }(-1)^{k}\zeta (k)\;x^{k-1}\quad {\text{ for }}|x|<1}$

который происходит из серии Тейлора для функции дигаммы.

Альтернативная асимптотическая формулировка

При стремлении приблизитьЧАС_Икс для комплексного числаИкс, эффективно сначала вычислитьЧАС_м для некоторого большого целого числам. Используйте это, чтобы приблизить значение дляЧАС_м+Икс а затем использовать соотношение рекурсии ЧАС_п = ЧАС_п−1 + 1/п назадм раз, чтобы приблизить его кЧАС_Икс. Кроме того, это приближение является точным в пределем уходит в бесконечность.

В частности, для фиксированного целого числап, это тот случай, когда

${\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m+n}-H_{m}\right]=0\,,}$

Еслип не является целым числом, то невозможно сказать, верно ли это уравнение, потому что мы еще не определили (в этом разделе) гармонические числа для нецелых чисел. Однако мы действительно получаем уникальное расширение гармонических чисел на нецелые числа, настаивая на том, что это уравнение продолжает выполняться, когда произвольное целое числоп заменяется произвольным комплексным числомИкс.

${\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m+x}-H_{m}\right]=0\,,}$

Меняя местами две части этого уравнения, а затем вычитая их изЧАС_Икс дает

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[H_{m}-(H_{m+x}-H_{x})\right]\\[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)-\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{x+k}}\right)\right]\\[6pt]&=\lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=1}^{m}\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{x+k}}\right)=x\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k(x+k)}}\,.\end{aligned}}}$

Этот бесконечная серия сходится для всех комплексных чиселИкс кроме отрицательных целых чисел, которые терпят неудачу из-за попытки использовать отношение рекурсии ЧАС_п = ЧАС_п−1 + 1/п назад через значениеп = 0 предполагает деление на ноль. По этой конструкции функция, определяющая номер гармоники для комплексных значений, является единственной функцией, которая одновременно удовлетворяет (1) ЧАС₀ = 0, (2) ЧАС_Икс = ЧАС_Икс−1 + 1/Икс для всех комплексных чиселИкс кроме неположительных целых чисел и (3) Lim_м→+∞ (ЧАС_м+Икс − ЧАС_м) = 0 для всех сложных значенийИкс.

Обратите внимание, что эту последнюю формулу можно использовать, чтобы показать, что:

${\displaystyle \int _{0}^{1}H_{x}\,dx=\gamma \,,}$

кудаγ это Константа Эйлера – Маскерони или, в более общем смысле, для каждогоп у нас есть:

${\displaystyle \int _{0}^{n}H_{x}\,dx=n\gamma +\ln {(n!)}\,.}$

Специальные значения для дробных аргументов

Существуют следующие специальные аналитические значения для дробных аргументов от 0 до 1, задаваемые интегралом

${\displaystyle H_{\alpha }=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{\alpha }}{1-x}}\,dx\,.}$

Из рекуррентного отношения могут быть сгенерированы другие значения

${\displaystyle H_{\alpha }=H_{\alpha -1}+{\frac {1}{\alpha }}\,,}$

или из отношения отражения

${\displaystyle H_{1-\alpha }-H_{\alpha }=\pi \cot {(\pi \alpha )}-{\frac {1}{\alpha }}+{\frac {1}{1-\alpha }}\,.}$

Например:

${\displaystyle H_{\frac {1}{2}}=2-2\ln {2}}$

${\displaystyle H_{\frac {1}{3}}=3-{\tfrac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\tfrac {3}{2}}\ln {3}}$

${\displaystyle H_{\frac {2}{3}}={\tfrac {3}{2}}(1-\ln {3})+{\sqrt {3}}{\tfrac {\pi }{6}}}$

${\displaystyle H_{\frac {1}{4}}=4-{\tfrac {\pi }{2}}-3\ln {2}}$

${\displaystyle H_{\frac {3}{4}}={\tfrac {4}{3}}-3\ln {2}+{\tfrac {\pi }{2}}}$

${\displaystyle H_{\frac {1}{6}}=6-{\tfrac {\pi }{2}}{\sqrt {3}}-2\ln {2}-{\tfrac {3}{2}}\ln {3}}$

${\displaystyle H_{\frac {1}{8}}=8-{\tfrac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\left\{\pi +\ln \left(2+{\sqrt {2}}\right)-\ln \left(2-{\sqrt {2}}\right)\right\}}$

${\displaystyle H_{\frac {1}{12}}=12-3\left(\ln {2}+{\tfrac {\ln {3}}{2}}\right)-\pi \left(1+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\right)+2{\sqrt {3}}\ln \left({\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}\right)}$

Для положительных целых чисел п и q с п < q, у нас есть:

${\displaystyle H_{\frac {p}{q}}={\frac {q}{p}}+2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {q-1}{2}}\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi pk}{q}}\right)\ln \left({\sin \left({\frac {\pi k}{q}}\right)}\right)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {\pi p}{q}}\right)-\ln \left(2q\right)}$

Связь с дзета-функцией Римана

Некоторые производные дробных номеров гармоник даются по формуле:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d^{n}H_{x}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}n!\left[\zeta (n+1)-H_{x,n+1}\right]\\[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,2}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}(n+1)!\left[\zeta (n+2)-H_{x,n+2}\right]\\[6pt]{\frac {d^{n}H_{x,3}}{dx^{n}}}&=(-1)^{n+1}{\frac {1}{2}}(n+2)!\left[\zeta (n+3)-H_{x,n+3}\right].\end{aligned}}}$

И используя Серия Маклорена, у нас есть для Икс < 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{x}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}x^{n}\zeta (n+1)\\[5pt]H_{x,2}&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)x^{n}\zeta (n+2)\\[5pt]H_{x,3}&={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}(n+1)(n+2)x^{n}\zeta (n+3).\end{aligned}}}$

Для дробных аргументов от 0 до 1 и для а > 1:

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1/a}&={\frac {1}{a}}\left(\zeta (2)-{\frac {1}{a}}\zeta (3)+{\frac {1}{a^{2}}}\zeta (4)-{\frac {1}{a^{3}}}\zeta (5)+\cdots \right)\\[6pt]H_{1/a,\,2}&={\frac {1}{a}}\left(2\zeta (3)-{\frac {3}{a}}\zeta (4)+{\frac {4}{a^{2}}}\zeta (5)-{\frac {5}{a^{3}}}\zeta (6)+\cdots \right)\\[6pt]H_{1/a,\,3}&={\frac {1}{2a}}\left(2\cdot 3\zeta (4)-{\frac {3\cdot 4}{a}}\zeta (5)+{\frac {4\cdot 5}{a^{2}}}\zeta (6)-{\frac {5\cdot 6}{a^{3}}}\zeta (7)+\cdots \right).\end{aligned}}}$

Смотрите также

• Оценка Уоттерсона
• Таджима D
• Проблема сборщика купонов
• Проблема с джипом
• Дзета-функция Римана
• Список сумм обратных величин

Примечания

1. Джон Х., Конвей; Ричард К., Гай (1995). Книга чисел. Коперник.
2. Грэм, Рональд Л .; Knuth, Donald E .; Паташник, Орен (1994). Конкретная математика. Эддисон-Уэсли.
3. Сондоу, Джонатан и Вайсштейн, Эрик В. «Гармоническое число». Материал из MathWorld - веб-ресурса Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html
4. Сандифер, К. Эдвард (2007), Как это сделал Эйлер, MAA Spectrum, Математическая ассоциация Америки, стр. 206, ISBN  9780883855638.
5. Вайсштейн, Эрик В. (2003). CRC Краткая энциклопедия математики. Бока-Ратон, Флорида: Chapman & Hall / CRC. п. 3115. ISBN  978-1-58488-347-0.
6. Эйзенштейн, Фердинанд Готтхольд Макс (1850). "Eine neue Gattung zahlentheoretischer Funktionen, welche von zwei Elementen ahhängen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen Definirt Werden". Berichte Königl. Preuβ. Акад. Wiss. Берлин. 15: 36–42.
7. Эшваратхасан, Арулаппа; Левин, Юджин (1991). «p-интегральные гармонические суммы». Дискретная математика. 91 (3): 249–257. Дои:10.1016 / 0012-365X (90) 90234-9.
8. Бойд, Дэвид В. (1994). «P-адическое исследование частных сумм гармонического ряда». Экспериментальная математика. 3 (4): 287–302. CiteSeerX  10.1.1.56.7026. Дои:10.1080/10586458.1994.10504298.
9. Санна, Карло (2016). "О p-адической оценке гармонических чисел" (PDF). Журнал теории чисел. 166: 41–46. Дои:10.1016 / j.jnt.2016.02.020. HDL:2318/1622121.
10. Чен, Юн-Гао; Ву, Бинг-Лин (2017). «О некоторых свойствах гармонических чисел». Журнал теории чисел. 175: 66–86. Дои:10.1016 / j.jnt.2016.11.027.
11. Джеффри Лагариас (2002). «Элементарная проблема, эквивалентная гипотезе Римана». Амер. Математика. Ежемесячно. 109 (6): 534–543. arXiv:math.NT / 0008177. Дои:10.2307/2695443. JSTOR  2695443.
12. E.O. Так (1964). «Некоторые методы обтекания тупых тонких тел». J. Жидкий мех. 18: 619–635. Дои:10.1017 / S0022112064000453.

Рекомендации

• Артур Т. Бенджамин; Грегори О. Престон; Дженнифер Дж. Куинн (2002). «Встреча Стирлинга с гармоническими числами» (PDF). Математический журнал. 75 (2): 95–103. CiteSeerX  10.1.1.383.722. Дои:10.2307/3219141. JSTOR  3219141. Архивировано из оригинал (PDF) на 2009-06-17. Получено 2005-08-08.
• Дональд Кнут (1997). «Раздел 1.2.7: Числа гармоник». Искусство программирования. Том 1: Фундаментальные алгоритмы (Третье изд.). Эддисон-Уэсли. С. 75–79. ISBN  978-0-201-89683-1.
• Эд Сандифер, Как это сделал Эйлер - оценка проблемы Базеля (2003)
• Пол, Питер; Шнайдер, Карстен (2003). "Компьютерные доказательства нового семейства гармонических числовых тождеств" (PDF). Adv. Appl. Математика. 31 (2): 359–378. Дои:10.1016 / s0196-8858 (03) 00016-2.
• Вэньчан Чу (2004). "Биномиальное тождество коэффициента, связанное с гипотезой Бойкерса об аперических числах" (PDF). Электронный журнал комбинаторики. 11: N15.
• Айхан Дил; Иштван Мезо (2008). «Симметричный алгоритм для гипергармонических чисел и чисел Фибоначчи». Прикладная математика и вычисления. 206 (2): 942–951. arXiv:0803.4388. Дои:10.1016 / j.amc.2008.10.013.

внешняя ссылка

• Вайсштейн, Эрик В. «Гармоническое число». MathWorld.

Эта статья включает в себя материал из Harmonic number на PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.