Теорема умножения - Multiplication theorem

В математика, то теорема умножения это определенный тип идентичности, которому подчиняются многие специальные функции связанный с гамма-функция. Для явного случая гамма-функции идентичность является продуктом значений; отсюда и название. Все различные отношения проистекают из одного и того же основного принципа; то есть отношение для одной специальной функции может быть выведено из отношения для других, и является просто проявлением одной и той же идентичности в разных обличьях.

Конечная характеристика

Теорема умножения принимает две общие формы. В первом случае для получения отношения добавляется или умножается конечное число членов. Во втором случае добавляется или умножается бесконечное количество членов. Конечная форма обычно встречается только для гамма и связанных функций, для которых тождество следует из p-адический отношение над конечное поле. Например, теорема умножения для гамма-функции следует из Формула Чоула – Сельберга, что следует из теории комплексное умножение. Бесконечные суммы встречаются гораздо чаще и следуют из характеристика ноль отношения на гипергеометрическом ряду.

В следующей таблице представлены различные проявления теоремы умножения для конечной характеристики; характеристические нулевые соотношения приведены ниже. Во всех случаях, п и k неотрицательные целые числа. Для особого случая п = 2, теорему принято называть формула дублирования.

Гамма-функция – формула Лежандра

Формула удвоения и теорема умножения для гамма-функция являются прототипами. Формула дублирования для гамма-функции:

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$

Его еще называют Формула дублирования Лежандра^[1] или же Отношение Лежандра, в честь Адриан-Мари Лежандр. Теорема умножения

${\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{k}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{k}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {k-1}{k}}\right)=(2\pi )^{\frac {k-1}{2}}\;k^{\frac {1-2kz}{2}}\;\Gamma (kz)}$

для целого числа k ≥ 1, иногда его называют Формула умножения Гаусса, в честь Карл Фридрих Гаусс. Теорема умножения для гамма-функций может рассматриваться как частный случай для тривиального Dirichlet персонаж, из Формула Чоула – Сельберга.

Полигамма-функция, гармонические числа

В полигамма функция это логарифмическая производная гамма-функции, и, таким образом, теорема умножения становится аддитивной, а не мультипликативной:

${\displaystyle k^{m}\psi ^{(m-1)}(kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\psi ^{(m-1)}\left(z+{\frac {n}{k}}\right)}$

за ${\displaystyle m>1}$, и для ${\displaystyle m=1}$, у одного есть функция дигаммы:

${\displaystyle k\left[\psi (kz)-\log(k)\right]=\sum _{n=0}^{k-1}\psi \left(z+{\frac {n}{k}}\right).}$

Тождества полигаммы могут быть использованы для получения теоремы умножения для гармонические числа.

Дзета-функция Гурвица

Для Дзета-функция Гурвица обобщает функцию полигаммы на нецелочисленные порядки и, таким образом, подчиняется очень похожей теореме умножения:

${\displaystyle k^{s}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{k}\zeta \left(s,{\frac {n}{k}}\right),}$

куда ${\displaystyle \zeta (s)}$ это Дзета-функция Римана. Это частный случай

${\displaystyle k^{s}\,\zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{k-1}\zeta \left(s,z+{\frac {n}{k}}\right)}$

и

${\displaystyle \zeta (s,kz)=\sum _{n=0}^{\infty }{s+n-1 \choose n}(1-k)^{n}z^{n}\zeta (s+n,z).}$

Формулы умножения для неглавных характеров могут быть даны в виде L-функции Дирихле.

Периодическая дзета-функция

В периодическая дзета-функция^[2] иногда определяется как

${\displaystyle F(s;q)=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {e^{2\pi imq}}{m^{s}}}=\operatorname {Li} _{s}\left(e^{2\pi iq}\right)}$

где Ли_s(z) это полилогарифм. Он подчиняется формуле дублирования

${\displaystyle 2^{-s}F(s;q)=F\left(s,{\frac {q}{2}}\right)+F\left(s,{\frac {q+1}{2}}\right).}$

Таким образом, это собственный вектор Оператор Бернулли с собственным значением 2^−s. Теорема умножения

${\displaystyle k^{-s}F(s;kq)=\sum _{n=0}^{k-1}F\left(s,q+{\frac {n}{k}}\right).}$

Периодическая дзета-функция встречается в формуле отражения для дзета-функции Гурвица, поэтому соотношение, которому она подчиняется, и дзета-соотношение Гурвица отличаются заменойs → −s.

В Полиномы Бернулли может быть получен как предельный случай периодической дзета-функции, взяв s быть целым числом, и, таким образом, теорема умножения может быть получена из вышеизложенного. Аналогично, подставляяq = журналz приводит к теореме умножения для полилогарифма.

Полилогарифм

Формула дублирования принимает вид

${\displaystyle 2^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{2})=\operatorname {Li} _{s}(z)+\operatorname {Li} _{s}(-z).}$

Общая формула умножения имеет вид Сумма Гаусса или же дискретное преобразование Фурье:

${\displaystyle k^{1-s}\operatorname {Li} _{s}(z^{k})=\sum _{n=0}^{k-1}\operatorname {Li} _{s}\left(ze^{i2\pi n/k}\right).}$

Эти тождества следуют из тождества периодической дзета-функции, принимаяz = журналq.

Функция Куммера

Формула дублирования для Функция Куммера является

${\displaystyle 2^{1-n}\Lambda _{n}(-z^{2})=\Lambda _{n}(z)+\Lambda _{n}(-z)}$

и, таким образом, напоминает полилогарифм, но искаженя.

Полиномы Бернулли

Для Полиномы Бернулли, теоремы умножения были даны Йозеф Людвиг Раабе в 1851 г .:

${\displaystyle k^{1-m}B_{m}(kx)=\sum _{n=0}^{k-1}B_{m}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)}$

и для Полиномы Эйлера,

${\displaystyle k^{-m}E_{m}(kx)=\sum _{n=0}^{k-1}(-1)^{n}E_{m}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)\quad {\mbox{ for }}k=1,3,\dots }$

и

${\displaystyle k^{-m}E_{m}(kx)={\frac {-2}{m+1}}\sum _{n=0}^{k-1}(-1)^{n}B_{m+1}\left(x+{\frac {n}{k}}\right)\quad {\mbox{ for }}k=2,4,\dots .}$

Многочлены Бернулли могут быть получены как частный случай дзета-функции Гурвица, и, таким образом, тождества вытекают из этого.

Карта Бернулли

В Карта Бернулли это некая простая модель диссипативный динамическая система, описывающий эффект оператор смены на бесконечной цепочке подбрасываний монеты ( Кантор набор ). Карта Бернулли - это односторонняя версия тесно связанного Карта Бейкера. Отображение Бернулли обобщается на k-адический версия, которая действует на бесконечные строки k символы: это Схема Бернулли. В оператор передачи ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{k}}$ соответствующий оператору сдвига на схеме Бернулли, задается формулой

${\displaystyle [{\mathcal {L}}_{k}f](x)={\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}f\left({\frac {x+n}{k}}\right)}$

Возможно, неудивительно, что собственные векторы этого оператора задаются многочленами Бернулли. То есть есть что

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{k}B_{m}={\frac {1}{k^{m}}}B_{m}}$

Дело в том, что собственные значения ${\displaystyle k^{-m}<1}$ что отмечает это как диссипативную систему: для недиссипативной сохраняющая меру динамическая система, собственные числа передаточного оператора лежат на единичной окружности.

Можно построить функцию, подчиняющуюся теореме умножения, из любого полностью мультипликативная функция. Позволять ${\displaystyle f(n)}$ быть полностью мультипликативным; то есть, ${\displaystyle f(mn)=f(m)f(n)}$ для любых целых чисел м, п. Определим его ряд Фурье как

${\displaystyle g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)\exp(2\pi inx)}$

Предполагая, что сумма сходится, так что грамм(Икс) существует, значит, он подчиняется теореме умножения; то есть, что

${\displaystyle {\frac {1}{k}}\sum _{n=0}^{k-1}g\left({\frac {x+n}{k}}\right)=f(k)g(x)}$

То есть, грамм(Икс) - собственная функция передаточного оператора Бернулли с собственным значением ж(k). Теорема умножения для многочленов Бернулли затем следует как частный случай мультипликативной функции ${\displaystyle f(n)=n^{-s}}$. В Персонажи Дирихле полностью мультипликативны, и поэтому могут быть легко использованы для получения дополнительных тождеств этой формы.

Характеристический ноль

Теорема умножения над полем характеристика ноль не закрывается после конечного числа членов, но требует бесконечная серия быть выраженным. Примеры включают это для Функция Бесселя ${\displaystyle J_{\nu }(z)}$:

${\displaystyle \lambda ^{-\nu }J_{\nu }(\lambda z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\left({\frac {(1-\lambda ^{2})z}{2}}\right)^{n}J_{\nu +n}(z),}$

куда ${\displaystyle \lambda }$ и ${\displaystyle \nu }$ можно принимать как произвольные комплексные числа. Такие тождества с нулевой характеристикой обычно следуют из одного из многих возможных тождеств гипергеометрического ряда.

Примечания

1. Вайсштейн, Эрик В. «Формула дублирования Лежандра». MathWorld.
2. Апостол, Введение в аналитическую теорию чисел, Springer

Рекомендации

• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун, ред. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами(1972) Довер, Нью-Йорк. (Теоремы умножения перечислены отдельно глава за главой)
• К. Трусделл "О теоремах сложения и умножения для специальных функций ", Труды Национальной академии наук, математика, (1950) pp. 752–757.