Дигамма функция - Digamma function

Для гамма-функции Барнса двух переменных см. двойная гамма-функция.

Функция дигаммы ${\displaystyle \psi (z)}$,
визуализируется в прерывистом раскраска домена

Графики вещественной части дигаммы и следующих трех функций полигаммы вдоль реальной линии

В математика, то функция дигаммы определяется как логарифмическая производная из гамма-функция:^[1][2]

${\displaystyle \psi (x)={\frac {d}{dx}}\ln {\big (}\Gamma (x){\big )}={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}.}$

Это первый из полигамма-функции.

Функция дигаммы часто обозначается как ${\displaystyle \psi _{0}(x),\psi ^{(0)}(x)}$ или Ϝ^{[нужна цитата ]} (заглавная форма архаического греческого согласный звук дигамма смысл двойная гамма ).

Отношение к номерам гармоник

Гамма-функция подчиняется уравнению

${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z).\,}$

Взяв производную по z дает:

${\displaystyle \Gamma '(z+1)=z\Gamma '(z)+\Gamma (z)\,}$

Деление на Γ (z + 1) или эквивалент zΓ (z) дает:

${\displaystyle {\frac {\Gamma '(z+1)}{\Gamma (z+1)}}={\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}+{\frac {1}{z}}}$

или:

${\displaystyle \psi (z+1)=\psi (z)+{\frac {1}{z}}}$

Поскольку гармонические числа определены для положительных целых чисел п так как

${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$

функция дигаммы связана с ними

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma ,}$

где ЧАС₀ = 0, и γ это Константа Эйлера – Маскерони. Для полуцелых аргументов функция дигаммы принимает значения

${\displaystyle \psi \left(n+{\tfrac {1}{2}}\right)=-\gamma -2\ln 2+\sum _{k=1}^{n}{\frac {2}{2k-1}}.}$

Интегральные представления

Если настоящая часть z положительна, то дигамма-функция имеет следующее интеграл представление по Гауссу:^[3]

${\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left({\frac {e^{-t}}{t}}-{\frac {e^{-zt}}{1-e^{-t}}}\right)\,dt.}$

Комбинируя это выражение с интегральным тождеством для Константа Эйлера – Маскерони ${\displaystyle \gamma }$ дает:

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma +\int _{0}^{1}\left({\frac {1-t^{z}}{1-t}}\right)\,dt.}$

Интеграл Эйлера номер гармоники ${\displaystyle H_{z}}$, поэтому предыдущая формула также может быть записана

${\displaystyle \psi (z+1)=\psi (1)+H_{z}.}$

Следствием этого является следующее обобщение рекуррентного соотношения:

${\displaystyle \psi (w+1)-\psi (z+1)=H_{w}-H_{z}.}$

Интегральное представление Дирихле:^[3]

${\displaystyle \psi (z)=\int _{0}^{\infty }\left(e^{-t}-{\frac {1}{(1+t)^{z}}}\right)\,{\frac {dt}{t}}.}$

Интегральным представлением Гаусса можно манипулировать, чтобы получить начало асимптотического разложения ${\displaystyle \psi }$.^[4]

${\displaystyle \psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right)e^{-tz}\,dt.}$

Эта формула также является следствием первого интеграла Бине для гамма-функции. Интеграл можно признать Преобразование Лапласа.

Второй интеграл Бине для гамма-функции дает другую формулу для ${\displaystyle \psi }$ что также дает первые несколько членов асимптотического разложения:^[5]

${\displaystyle \psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-2\int _{0}^{\infty }{\frac {t\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.}$

Из определения ${\displaystyle \psi }$ и интегральное представление гамма-функции, получаем

${\displaystyle \psi (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\ln(t)e^{-t}\,dt,}$

с ${\displaystyle \Re z>0}$.^[6]

Бесконечное представление продукта

Функция ${\displaystyle \psi (z)/\Gamma (z)}$ целая функция,^[7] и его можно представить бесконечным произведением

${\displaystyle {\frac {\psi (z)}{\Gamma (z)}}=-e^{2\gamma z}\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{x_{k}}}\right)e^{\frac {z}{x_{k}}}.}$

Здесь ${\displaystyle x_{k}}$ это kй ноль ${\displaystyle \psi }$ (см. ниже), и ${\displaystyle \gamma }$ это Константа Эйлера – Маскерони.

Примечание: это также равно ${\displaystyle -{\frac {d}{dz}}{\frac {1}{\Gamma (z)}}}$ из-за определения функции дигаммы: ${\displaystyle {\frac {\Gamma '(z)}{\Gamma (z)}}=\psi (z)}$.

Формула ряда

Формула произведения Эйлера для гамма-функции в сочетании с функциональным уравнением и тождеством для константы Эйлера – Маскерони дает следующее выражение для дигамма-функции, действительное в комплексной плоскости за пределами отрицательных целых чисел (Абрамовиц и Стегун 6.3.16):^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (z+1)&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {z}{n(n+z)}}\right),\qquad z\neq -1,-2,-3,\ldots .\end{aligned}}}$

Эквивалентно,

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (z)&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}-{\frac {1}{n+z}}\right),\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots ,\\&=-\gamma +\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z-1}{(n+1)(n+z)}},\qquad z\neq 0,-1,-2,\ldots ,\\\end{aligned}}}$

Оценка сумм рациональных функций

Вышеупомянутый идентификатор может использоваться для оценки сумм в форме

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p(n)}{q(n)}},}$

где п(п) и q(п) являются полиномами от п.

Выполнение частичная дробь на ты_п в комплексном поле, если все корни q(п) простые корни,

${\displaystyle u_{n}={\frac {p(n)}{q(n)}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}.}$

Чтобы ряды сходились,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }nu_{n}=0,}$

в противном случае серия будет больше, чем гармонический ряд и таким образом расходятся. Следовательно

${\displaystyle \sum _{k=1}^{m}a_{k}=0,}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{n+b_{k}}}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}a_{k}\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&=\sum _{k=1}^{m}\left(a_{k}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+b_{k}}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\right)\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}{\big (}\psi (b_{k})+\gamma {\big )}\\&=-\sum _{k=1}^{m}a_{k}\psi (b_{k}).\end{aligned}}}$

С расширением серии более высокого ранга полигамма функция обобщенная формула может быть записана как

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }u_{n}=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=1}^{m}{\frac {a_{k}}{(n+b_{k})^{r_{k}}}}=\sum _{k=1}^{m}{\frac {(-1)^{r_{k}}}{(r_{k}-1)!}}a_{k}\psi ^{r_{k}-1}(b_{k}),}$

при условии, что ряд слева сходится.

Серия Тейлор

Дигамма имеет рациональная дзета-серия, предоставленный Серия Тейлор в z = 1. Это

${\displaystyle \psi (z+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }\zeta (k+1)(-z)^{k},}$

который сходится для |z| < 1. Вот, ζ(п) это Дзета-функция Римана. Этот ряд легко получается из соответствующего ряда Тейлора для Дзета-функция Гурвица.

Серия Ньютон

В Серия Ньютон для дигаммы, иногда называемой Суровая серия,^[8][9] читает

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}{\binom {s}{k}}}$

где (^s
_k) это биномиальный коэффициент. Его также можно обобщить на

${\displaystyle \psi (s+1)=-\gamma -{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m-1}{\frac {m-k}{s+k}}-{\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k}}\left\{{\binom {s+m}{k+1}}-{\binom {s}{k+1}}\right\},\qquad \Re (s)>-1,}$

где м = 2,3,4,...^[9]

Ряды с коэффициентами Грегори, числами Коши и многочленами Бернулли второго рода

Для дигаммы существуют различные серии, содержащие рациональные коэффициенты только для рациональных аргументов. В частности, сериал с Коэффициенты Грегори г_п является

${\displaystyle \psi (v)=\ln v-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}{\big |}(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>0,}$

${\displaystyle \psi (v)=2\ln \Gamma (v)-2v\ln v+2v+2\ln v-\ln 2\pi -2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}(2){\big |}}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0,}$

${\displaystyle \psi (v)=3\ln \Gamma (v)-6\zeta '(-1,v)+3v^{2}\ln {v}-{\frac {3}{2}}v^{2}-6v\ln(v)+3v+3\ln {v}-{\frac {3}{2}}\ln 2\pi +{\frac {1}{2}}-3\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\big |}G_{n}(3){\big |}}{(v)_{n}}}\,(n-1)!,\qquad \Re (v)>0,}$

где (v)_п это возрастающий факториал (v)_п = v(v+1)(v+2) ... (v+п-1), г_п(k) являются Коэффициенты Грегори высшего порядка с г_п(1) = г_п, Γ это гамма-функция и ζ это Дзета-функция Гурвица.^[10][9]Аналогичные ряды с числами Коши второго рода C_п читает^[10][9]

${\displaystyle \psi (v)=\ln(v-1)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {C_{n}(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>1,}$

Серия с Многочлены Бернулли второго рода имеет следующий вид^[9]

${\displaystyle \psi (v)=\ln(v+a)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n}(a)\,(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,}$

где ψ_п(а) являются Многочлены Бернулли второго рода определяется порождающим уравнением

${\displaystyle {\frac {z(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }z^{n}\psi _{n}(a)\,,\qquad |z|<1\,,}$

Его можно обобщить на

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{r}}\sum _{l=0}^{r-1}\ln(v+a+l)+{\frac {1}{r}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}N_{n,r}(a)(n-1)!}{(v)_{n}}},\qquad \Re (v)>-a,\quad r=1,2,3,\ldots }$

где многочлены N_{п, г}(а) задаются следующим порождающим уравнением

${\displaystyle {\frac {(1+z)^{a+m}-(1+z)^{a}}{\ln(1+z)}}=\sum _{n=0}^{\infty }N_{n,m}(a)z^{n},\qquad |z|<1,}$

так что N_{п, 1}(а) = ψ_п(а).^[9] Подобные выражения с логарифмом гамма-функции включают следующие формулы^[9]

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{v+a-{\tfrac {1}{2}}}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},\qquad \Re (v)>-a,}$

и

${\displaystyle \psi (v)={\frac {1}{{\tfrac {1}{2}}r+v+a-1}}\left\{\ln \Gamma (v+a)+v-{\frac {1}{2}}\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{r}}\sum _{n=0}^{r-2}(r-n-1)\ln(v+a+n)+{\frac {1}{r}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}N_{n+1,r}(a)}{(v)_{n}}}(n-1)!\right\},\qquad \Re (v)>-a,\quad r=2,3,4,\ldots }$

Формула отражения

Дигамма-функция удовлетворяет формула отражения аналогично тому из гамма-функция:

${\displaystyle \psi (1-x)-\psi (x)=\pi \cot \pi x}$

Формула повторяемости и характеристика

Дигамма-функция удовлетворяет отношение повторения

${\displaystyle \psi (x+1)=\psi (x)+{\frac {1}{x}}.}$

Таким образом, можно сказать, что «телескоп» 1 / Икс, для одного

${\displaystyle \Delta [\psi ](x)={\frac {1}{x}}}$

где Δ это оператор прямой разницы. Это удовлетворяет рекуррентному соотношению частичной суммы гармонический ряд, откуда следует формула

${\displaystyle \psi (n)=H_{n-1}-\gamma }$

где γ это Константа Эйлера – Маскерони.

В более общем смысле

${\displaystyle \psi (1+z)=-\gamma +\sum _{k=1}^{\infty }\left({\frac {1}{k}}-{\frac {1}{z+k}}\right).}$

за ${\displaystyle Re(z)>0}$. Еще одно расширение серии:

${\displaystyle \psi (1+z)=\ln(z)+{\frac {1}{2z}}-\displaystyle \sum _{j=1}^{\infty }{\frac {B_{2j}}{2jz^{2j}}}}$,

где ${\displaystyle B_{2j}}$ - числа Бернулли. Эта серия расходится для всех z и известен как Серия Стирлинга.

Фактически, ψ является единственным решением функционального уравнения

${\displaystyle F(x+1)=F(x)+{\frac {1}{x}}}$

это монотонный на ℝ⁺ и удовлетворяет F(1) = −γ. Этот факт непосредственно следует из однозначности Γ функция с учетом ее рекуррентного уравнения и ограничения выпуклости. Отсюда следует уравнение полезной разности:

${\displaystyle \psi (x+N)-\psi (x)=\sum _{k=0}^{N-1}{\frac {1}{x+k}}}$

Некоторые конечные суммы с участием дигамма-функции

Существует множество формул конечного суммирования для дигамма-функции. Основные формулы суммирования, такие как

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-m(\gamma +\ln m),}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \exp {\dfrac {2\pi rki}{m}}=m\ln \left(1-\exp {\frac {2\pi ki}{m}}\right),\qquad k\in \mathbb {Z} ,\quad m\in \mathbb {N} ,\ k\neq m.}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {2\pi rk}{m}}=m\ln \left(2\sin {\frac {k\pi }{m}}\right)+\gamma ,\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\frac {2\pi rk}{m}}={\frac {\pi }{2}}(2k-m),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

связаны с Гауссом.^[11][12] Более сложные формулы, например

${\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \cos {\frac {(2r+1)k\pi }{m}}=m\ln \left(\tan {\frac {\pi k}{2m}}\right),\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=0}^{m-1}\psi \left({\frac {2r+1}{2m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2r+1)k\pi }{m}}=-{\frac {\pi m}{2}},\qquad k=1,2,\ldots ,m-1}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}=-{\frac {\pi (m-1)(m-2)}{6}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot {\frac {r}{m}}=-{\frac {\gamma }{2}}(m-1)-{\frac {m}{2}}\ln m-{\frac {\pi }{2}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r}{m}}\cdot \cot {\frac {\pi r}{m}}}$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-{\frac {\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {r\cdot \sin {\dfrac {2\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi \left({\frac {r}{m}}\right)\cdot \sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi r}{m}}=-(\gamma +\ln 2m)\cot {\frac {(2\ell +1)\pi }{2m}}+\sin {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}\sum _{r=1}^{m-1}{\frac {\ln \sin {\dfrac {\pi r}{m}}}{\cos {\dfrac {2\pi r}{m}}-\cos {\dfrac {(2\ell +1)\pi }{m}}}},\qquad \ell \in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \sum _{r=1}^{m-1}\psi ^{2}\left({\frac {r}{m}}\right)=(m-1)\gamma ^{2}+m(2\gamma +\ln 4m)\ln {m}-m(m-1)\ln ^{2}2+{\frac {\pi ^{2}(m^{2}-3m+2)}{12}}+m\sum _{\ell =1}^{m-1}\ln ^{2}\sin {\frac {\pi \ell }{m}}}$

связаны с работами некоторых современных авторов (см., например, Приложение B в Blagouchine (2014)^[13]).

Теорема Гаусса о дигамме

Для положительных целых чисел р и м (р < м), дигамма-функция может быть выражена через Постоянная Эйлера и конечное число элементарные функции

${\displaystyle \psi \left({\frac {r}{m}}\right)=-\gamma -\ln(2m)-{\frac {\pi }{2}}\cot \left({\frac {r\pi }{m}}\right)+2\sum _{n=1}^{\left\lfloor {\frac {m-1}{2}}\right\rfloor }\cos \left({\frac {2\pi nr}{m}}\right)\ln \sin \left({\frac {\pi n}{m}}\right)}$

которое выполняется в силу своего рекуррентного уравнения для всех рациональных аргументов.

Асимптотическое разложение

Дигамма-функция имеет асимптотическое разложение

${\displaystyle \psi (z)\sim \log z-{\frac {1}{2z}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (1-2n)}{z^{2n}}}=\log z-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}}{2nz^{2n}}},}$

где B_k это kth Число Бернулли и ζ это Дзета-функция Римана. Первые несколько условий этого расширения:

${\displaystyle \psi (z)\approx \log z-{\frac {1}{2z}}-{\frac {1}{12z^{2}}}+{\frac {1}{120z^{4}}}-{\frac {1}{252z^{6}}}+{\frac {1}{240z^{8}}}-{\frac {5}{660z^{10}}}+{\frac {691}{32760z^{12}}}-{\frac {1}{12z^{14}}}+\cdots .}$

Хотя бесконечная сумма не сходится ни при каких z, любая конечная частичная сумма становится все более точной, поскольку z увеличивается.

Расширение можно найти, применив Формула Эйлера – Маклорена к сумме^[14]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{z+n}}\right)}$

Разложение также может быть получено из интегрального представления, полученного из второй интегральной формулы Бине для гамма-функции. Расширение ${\displaystyle t/(t^{2}+z^{2})}$ как геометрическая серия и замена интегрального представления чисел Бернулли приводит к тому же асимптотическому ряду, что и выше. Кроме того, расширение только конечного числа членов ряда дает формулу с явным членом ошибки:

${\displaystyle \psi (z)=\log z-{\frac {1}{2z}}-\sum _{n=1}^{N}{\frac {B_{2n}}{2nz^{2n}}}+(-1)^{N+1}{\frac {2}{z^{2N}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{2N+1}\,dt}{(t^{2}+z^{2})(e^{2\pi t}-1)}}.}$

Неравенства

Когда Икс > 0, функция

${\displaystyle \log x-{\frac {1}{2x}}-\psi (x)}$

полностью монотонна и, в частности, положительна. Это следствие Теорема Бернштейна о монотонных функциях применительно к интегральному представлению, полученному из первого интеграла Бине для гамма-функции. Кроме того, по неравенству выпуклости ${\displaystyle 1+t\leq e^{t}}$, подынтегральное выражение в этом представлении ограничено сверху величиной ${\displaystyle e^{-tz}/2}$. вследствие этого

${\displaystyle {\frac {1}{x}}-\log x+\psi (x)}$

также полностью монотонен. Отсюда следует, что для всех Икс > 0,

${\displaystyle \log x-{\frac {1}{x}}\leq \psi (x)\leq \log x-{\frac {1}{2x}}.}$

Это восстанавливает теорему Хорста Альцера.^[15] Альцер также доказал, что для s ∈ (0, 1),

${\displaystyle {\frac {1-s}{x+s}}<\psi (x+1)-\psi (x+s),}$

Связанные оценки были получены Елезовичем, Джордано и Пекариком, которые доказали, что для Икс > 0 ,

${\displaystyle \log(x+{\tfrac {1}{2}})-{\frac {1}{x}}<\psi (x)<\log(x+e^{-\gamma })-{\frac {1}{x}},}$

где ${\displaystyle \gamma }$ это Константа Эйлера – Маскерони.^[16] Константы, входящие в эти границы, являются наилучшими из возможных.^[17]

В теорема о среднем значении следует следующий аналог Неравенство Гаучи: Если Икс > c, где c ≈ 1.461 является единственным положительным вещественным корнем дигамма-функции, и если s > 0, тогда

${\displaystyle \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+1)}{\psi (x+1)}}\right)\leq {\frac {\psi (x+1)}{\psi (x+s)}}\leq \exp \left((1-s){\frac {\psi '(x+s)}{\psi (x+s)}}\right).}$

Более того, равенство выполняется тогда и только тогда, когда s = 1.^[18]

Вдохновленные гармоническим неравенством среднего значения для классической гамма-функции, Хорцт Альцер и Грэм Джеймсон доказали, среди прочего, гармоническое неравенство среднего значения для дигамма-функции:

${\displaystyle -\gamma \leq {\frac {2\psi (x)\psi ({\frac {1}{x}})}{\psi (x)+\psi ({\frac {1}{x}})}}}$ за ${\displaystyle x>0}$

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда ${\displaystyle x=1}$.^[19]

Расчет и приближение

Асимптотическое разложение позволяет легко вычислить ψ(Икс) когда настоящая часть Икс большой. Вычислить ψ(Икс) для маленьких Икс, рекуррентное соотношение

${\displaystyle \psi (x+1)={\frac {1}{x}}+\psi (x)}$

может использоваться для изменения значения Икс к более высокому значению. Бил^[20] предлагает использовать указанное выше повторение для сдвига Икс на значение больше 6, а затем применяя указанное выше расширение с указанными выше условиями Икс¹⁴ cut off, что дает "более чем достаточную точность" (не менее 12 цифр, кроме около нулей).

В качестве Икс уходит в бесконечность, ψ(Икс) становится произвольно близко к обоим ln (Икс − 1/2) и пер Икс. Спускаясь с Икс + 1 к Икс, ψ уменьшается на 1 / Икс, ln (Икс − 1/2) уменьшается на ln (Икс + 1/2) / (Икс − 1/2), что больше, чем 1 / Икс, и пер Икс уменьшается на ln (1 + 1 / х), что меньше 1 / Икс. Из этого мы видим, что для любого положительного Икс лучше чем 1/2,

${\displaystyle \psi (x)\in \left(\ln \left(x-{\tfrac {1}{2}}\right),\ln x\right)}$

или, для любого положительного Икс,

${\displaystyle \exp \psi (x)\in \left(x-{\tfrac {1}{2}},x\right).}$

Экспоненциальный exp ψ(Икс) примерно Икс − 1/2 для больших Икс, но становится ближе к Икс на маленьком Икс, приближаясь к 0 в Икс = 0.

За Икс < 1, мы можем рассчитать пределы, исходя из того, что между 1 и 2, ψ(Икс) ∈ [−γ, 1 − γ], так

${\displaystyle \psi (x)\in \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma ,1-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),\quad x\in (0,1)}$

или

${\displaystyle \exp \psi (x)\in \left(\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right),e\exp \left(-{\frac {1}{x}}-\gamma \right)\right).}$

Из приведенного выше асимптотического ряда для ψ, можно получить асимптотический ряд для ехр (-ψ(Икс)). Ряд хорошо соответствует общему поведению, то есть он ведет себя асимптотически, как и должно быть для больших аргументов, и также имеет ноль неограниченной кратности в начале координат.

${\displaystyle {\frac {1}{\exp \psi (x)}}\sim {\frac {1}{x}}+{\frac {1}{2\cdot x^{2}}}+{\frac {5}{4\cdot 3!\cdot x^{3}}}+{\frac {3}{2\cdot 4!\cdot x^{4}}}+{\frac {47}{48\cdot 5!\cdot x^{5}}}-{\frac {5}{16\cdot 6!\cdot x^{6}}}+\cdots }$

Это похоже на разложение Тейлора ехр (-ψ(1 / у)) в у = 0, но не сходится.^[21] (Функция не аналитический на бесконечности.) Аналогичный ряд существует для ехр (ψ(Икс)) который начинается с ${\displaystyle \exp \psi (x)\sim x-{\frac {1}{2}}.}$

Если вычислить асимптотический ряд для ψ(Икс+1/2) оказывается, что не бывает нечетных степеней Икс (здесь нет Икс⁻¹ срок). Это приводит к следующему асимптотическому разложению, которое экономит вычислительные члены четного порядка.

${\displaystyle \exp \psi \left(x+{\tfrac {1}{2}}\right)\sim x+{\frac {1}{4!\cdot x}}-{\frac {37}{8\cdot 6!\cdot x^{3}}}+{\frac {10313}{72\cdot 8!\cdot x^{5}}}-{\frac {5509121}{384\cdot 10!\cdot x^{7}}}+\cdots }$

Особые ценности

Дигамма-функция имеет значения в замкнутой форме для рациональных чисел в результате Теорема Гаусса о дигамме. Некоторые из них перечислены ниже:

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi (1)&=-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=-2\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{3}}\right)&=-{\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{4}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-3\ln {2}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{6}}\right)&=-{\frac {\pi {\sqrt {3}}}{2}}-2\ln {2}-{\frac {3\ln {3}}{2}}-\gamma \\\psi \left({\tfrac {1}{8}}\right)&=-{\frac {\pi }{2}}-4\ln {2}-{\frac {\pi +\ln \left(2+{\sqrt {2}}\right)-\ln \left(2-{\sqrt {2}}\right)}{\sqrt {2}}}-\gamma .\end{aligned}}}$

Более того, взяв логарифмическую производную от ${\displaystyle |\Gamma (bi)|^{2}}$ или ${\displaystyle |\Gamma ({\tfrac {1}{2}}+bi)|^{2}}$ где ${\displaystyle b}$ является вещественным, легко вывести, что

${\displaystyle \operatorname {Im} \psi (bi)={\frac {1}{2b}}+{\frac {\pi }{2}}\coth(\pi b),}$

${\displaystyle \operatorname {Im} \psi ({\tfrac {1}{2}}+bi)={\frac {\pi }{2}}\tanh(\pi b).}$

Помимо теоремы Гаусса о дигамме, такая замкнутая формула для действительной части вообще не известна. У нас, например, на мнимая единица численное приближение

${\displaystyle \operatorname {Re} \psi (i)=-\gamma -\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n-1}{n^{3}+n^{2}+n+1}}\approx 0.09465.}$

Корни дигамма-функции

Корни дигамма-функции являются седловыми точками комплекснозначной гамма-функции. Таким образом, они лежат все на реальная ось. Единственный на положительная действительная ось является единственным минимумом вещественной гамма-функции на ℝ⁺ в Икс₀ = 1.461632144968.... Все остальные встречаются одиночно между полюсами на отрицательной оси:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=-0.504\,083\,008\ldots ,\\x_{2}&=-1.573\,498\,473\ldots ,\\x_{3}&=-2.610\,720\,868\ldots ,\\x_{4}&=-3.635\,293\,366\ldots ,\\&\qquad \vdots \end{aligned}}}$

Уже в 1881 г. Чарльз Эрмит наблюдаемый^[22] это

${\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\ln n}}+O\left({\frac {1}{(\ln n)^{2}}}\right)}$

асимптотически выполняется. Лучшее приближение расположения корней дается

${\displaystyle x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n}}\right)\qquad n\geq 2}$

и, используя следующий термин, становится еще лучше

${\displaystyle x_{n}\approx -n+{\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{\ln n+{\frac {1}{8n}}}}\right)\qquad n\geq 1}$

которые оба возникают из формулы отражения через

${\displaystyle 0=\psi (1-x_{n})=\psi (x_{n})+{\frac {\pi }{\tan \pi x_{n}}}}$

и заменяя ψ(Икс_п) его несходящимся асимптотическим разложением. Правильный второй член этого разложения: 1 / 2п, где данный хорошо подходит для аппроксимации корней с малыми п.

Еще одно улучшение формулы Эрмита можно дать:^[7]

${\displaystyle x_{n}=-n+{\frac {1}{\log n}}-{\frac {1}{2n(\log n)^{2}}}+O\left({\frac {1}{n^{2}(\log n)^{2}}}\right).}$

Что касается нулей, следующие тождества с бесконечной суммой были недавно доказаны Иштваном Мезо и Майклом Хоффманом^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}}}&=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{3}}}&=-4\zeta (3)-\gamma ^{3}-{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}},\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{4}}}&=\gamma ^{4}+{\frac {\pi ^{4}}{9}}+{\frac {2}{3}}\gamma ^{2}\pi ^{2}+4\gamma \zeta (3).\end{aligned}}}$

В общем, функция

${\displaystyle Z(k)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{k}}}}$

может быть определена и подробно изучена цитируемыми авторами.

Следующие результаты^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}+x_{n}}}&=-2,\\\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{x_{n}^{2}-x_{n}}}&=\gamma +{\frac {\pi ^{2}}{6\gamma }}\end{aligned}}}$

также верны.

Здесь γ это Константа Эйлера – Маскерони.

Регуляризация

Дигамма-функция появляется при регуляризации расходящихся интегралов

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x+a}},}$

этот интеграл можно аппроксимировать расходящимся общим гармоническим рядом, но к ряду можно добавить следующее значение:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+a}}=-\psi (a).}$

Смотрите также

• Полигамма функция
• Тригамма функция
• Чебышевские разложения функции дигаммы в Слабак, Джет (1961). «Полиномиальные приближения к интегральным преобразованиям». Математика. Comp. 15 (74): 174–178. Дои:10.1090 / S0025-5718-61-99221-3.

Рекомендации

1. Abramowitz, M .; Стегун И.А., ред. (1972). «Функция 6,3 фунтов на кв. Дюйм (дигамма)».. Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами (10-е изд.). Нью-Йорк: Дувр. С. 258–259.
2. Вайсштейн, Эрик В. «Дигамма-функция». MathWorld.
3. Уиттакер и Ватсон, 12.3.
4. Уиттакер и Ватсон, 31.12.
5. Whittaker and Watson, 12.32, например.
6. «НИСТ. Электронная библиотека математических функций. DLMF, 5.9».
7. Мезу, Иштван; Хоффман, Майкл Э. (2017). "Нули функции дигаммы и ее Барнса г-функция аналог ». Интегральные преобразования и специальные функции. 28 (11): 846–858. Дои:10.1080/10652469.2017.1376193.
8. Nörlund, Н. Э. (1924). Vorlesungen über Differenzenrechnung. Берлин: Springer.
9. Благушин, Я. В. (2018). «Три заметки о представлениях Сера и Хассе для дзета-функций» (PDF). INTEGERS: Электронный журнал комбинаторной теории чисел. 18А: 1–45. arXiv:1606.02044. Bibcode:2016arXiv160602044B.
10. Благушин, Я. В. (2016). "Два разложения в ряд для логарифма гамма-функции, включающие числа Стирлинга и содержащие только рациональные коэффициенты для определенных аргументов, связанных с π⁻¹". Журнал математического анализа и приложений. 442: 404–434. arXiv:1408.3902. Bibcode:2014arXiv1408.3902B. Дои:10.1016 / J.JMAA.2016.04.032.
11. Р. Кэмпбелл. Приложения для Les intégrales eulériennes et leurs, Данод, Париж, 1966.
12. H.M. Шривастава и Дж. Чой. Серии, связанные с Зетами, и связанные с ними функции, Kluwer Academic Publishers, Нидерланды, 2001.
13. Благушин, Ярослав В. (2014). «Теорема для вычисления в закрытой форме первой обобщенной постоянной Стилтьеса при рациональных аргументах и ​​некоторых связанных суммирования». Журнал теории чисел. 148: 537–592. arXiv:1401.3724. Дои:10.1016 / j.jnt.2014.08.009.
14. Бернардо, Хосе М. (1976). «Расчет алгоритма AS 103 psi (дигамма-функция)» (PDF). Прикладная статистика. 25: 315–317. Дои:10.2307/2347257. JSTOR  2347257.
15. Х. Альцер, О некоторых неравенствах для гамма- и пси-функций, Математика. Комп. 66 (217) (1997) 373–389.
16. Н. Елезович, К. Джордано и Х. Пекарич, Лучшие границы неравенства Гаучи, Математика. Неравно. Appl. 3 (2000), 239–252.
17. Ф. Ци и Б.-Н. Го, Точные неравенства для пси-функции и гармонических чисел, arXiv: 0902.2524.
18. А. Лафорджа, П. Наталини, Экспоненциальные, гамма и полигамма-функции: простые доказательства классических и новых неравенств, J. Math. Анальный. Appl. 407 (2013) 495–504.
19. Альцер, Хорст; Джеймсон, Грэм (2017). «Гармоническое среднее неравенство для функции дигаммы и связанных результатов» (PDF). Rendiconti del Seminario Matematico della Università di Padova. 70 (201): 203–209. Дои:10.4171 / RSMUP / 137-10. ISSN  0041-8994. LCCN  50046633. OCLC  01761704. S2CID  41966777.
20. Бил, Мэтью Дж. (2003). Вариационные алгоритмы приближенного байесовского вывода (PDF) (Кандидатская диссертация). Отделение вычислительной неврологии Гэтсби, Университетский колледж Лондона. С. 265–266.
21. Если он сходится к функции ж(у) тогда ln (ж(у) / у) будет то же самое Серия Маклорена так как ln (1 / у) − φ(1 / у). Но это не сходится, потому что ряд, приведенный ранее для φ(Икс) не сходится.
22. Эрмит, Чарльз (1881). "Sur l'intégrale Eulérienne de secondde espéce". Журнал für die reine und angewandte Mathematik (90): 332–338.

внешняя ссылка

• OEIS последовательность A020759 (десятичное разложение (-1) * Gamma '(1/2) / Gamma (1/2), где Gamma (x) обозначает гамма-функцию) —Psi (1/2)

OEIS: A047787 фунт / кв. дюйм (1/3), OEIS: A200064 фунт / кв. дюйм (2/3), OEIS: A020777 фунт / кв. дюйм (1/4), OEIS: A200134 фунт / кв. дюйм (3/4), OEIS: A200135 к OEIS: A200138 от psi (1/5) до psi (4/5).