Гипергармоническое число - Hyperharmonic number - Wikipedia

В математика, то п-го гипергармоническое число порядка р, обозначаемый ${\displaystyle H_{n}^{(r)}}$, рекурсивно определяется соотношениями:

${\displaystyle H_{n}^{(0)}={\frac {1}{n}},}$

и

${\displaystyle H_{n}^{(r)}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}^{(r-1)}\quad (r>0).}$^{[нужна цитата ]}

Особенно, ${\displaystyle H_{n}=H_{n}^{(1)}}$ это п-го номер гармоники.

Гипергармонические числа обсуждались Дж. Х. Конвей и Р. К. Гай в своей книге 1995 года Книга чисел.^[1]:258

Тождества с гипергармоническими числами

По определению гипергармонические числа удовлетворяют условию отношение повторения

${\displaystyle H_{n}^{(r)}=H_{n-1}^{(r)}+H_{n}^{(r-1)}.}$

Вместо повторений существует более эффективная формула для вычисления этих чисел:

${\displaystyle H_{n}^{(r)}={\binom {n+r-1}{r-1}}(H_{n+r-1}-H_{r-1}).}$

Гипергармонические числа имеют сильную связь с комбинаторикой перестановок. Обобщение идентичности

${\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right].}$

читается как

${\displaystyle H_{n}^{(r)}={\frac {1}{n!}}\left[{n+r \atop r+1}\right]_{r},}$

куда ${\displaystyle \left[{n \atop r}\right]_{r}}$ является р-Число Стирлинга первого вида.^[2]

Асимптотика

Вышеприведенное выражение с биномиальными коэффициентами легко дает, что для всех фиксированных порядков г> = 2 у нас есть.^[3]

${\displaystyle H_{n}^{(r)}\sim {\frac {1}{(r-1)!}}\left(n^{r-1}\ln(n)\right),}$

то есть частное левой и правой части стремится к 1 при п стремится к бесконечности.

Непосредственным следствием этого является то, что

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(r)}}{n^{m}}}<+\infty }$

когда м> г.

Производящая функция и бесконечный ряд

В производящая функция гипергармонических чисел

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}^{(r)}z^{n}=-{\frac {\ln(1-z)}{(1-z)^{r}}}.}$

В экспоненциальная производящая функция сделать вывод намного сложнее. Это для всех г = 1,2, ...

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }H_{n}^{(r)}{\frac {t^{n}}{n!}}=e^{t}\left(\sum _{n=1}^{r-1}H_{n}^{(r-n)}{\frac {t^{n}}{n!}}+{\frac {(r-1)!}{(r!)^{2}}}t^{r}\,_{2}F_{2}\left(1,1;r+1,r+1;-t\right)\right),}$

куда ₂F₂ это гипергеометрическая функция. В г = 1 случай для гармонических чисел - классический результат, общий результат был доказан в 2009 г. И. Мезё и А. Дилом.^[4]

Следующее соотношение связывает гипергармонические числа с Дзета-функция Гурвица:^[3]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{(r)}}{n^{m}}}=\sum _{n=1}^{\infty }H_{n}^{(r-1)}\zeta (m,n)\quad (r\geq 1,m\geq r+1).}$

Открытая гипотеза

Известно, что гармонические числа никогда не являются целыми числами, кроме случая п = 1. Тот же вопрос можно задать и относительно гипергармонических чисел: существуют ли целые гипергармонические числа? Иштван Мезо доказал^[5] что если г = 2 или же г = 3, эти числа никогда не являются целыми, за исключением тривиального случая, когда п = 1. Он предположил, что это всегда так, а именно гипергармонические числа порядка р никогда не являются целыми числами, кроме случаев, когда п = 1. Эта гипотеза была подтверждена для класса параметров Р. Амраном и Х. Белбачиром.^[6] В частности, эти авторы доказали, что ${\displaystyle H_{n}^{(4)}}$ не целое для всех г <26 и n = 2,3, ... Расширение до высших порядков было сделано Горалем и Сертбашем.^[7] Эти авторы также показали, что ${\displaystyle H_{n}^{(r)}}$ никогда не бывает целым, когда п четная или основная сила, или р странно.

Другой результат следующий.^[8] Позволять ${\displaystyle S(x)}$ - количество нецелых гипергармонических чисел таких, что ${\displaystyle (n,x)\in [0,x]\times [0,x]}$. Тогда, предполагая Гипотеза Крамера,

${\displaystyle S(x)=x^{2}+O(x\log ^{3}x).}$

Обратите внимание, что количество точек целочисленной решетки в ${\displaystyle [0,x]\times [0,x]}$ является ${\displaystyle x^{2}+O(x^{2})}$, что показывает, что большинство гипергармонических чисел не могут быть целыми. Однако это предположение остается открытым.

внешняя ссылка

• Вольфрам MathWorld

Примечания

1. Джон Х., Конвей; Ричард К., Гай (1995). Книга чисел. Коперник. ISBN  9780387979939.
2. Бенджамин, А. Т .; Gaebler, D .; Гейблер, Р. (2003). «Комбинаторный подход к гипергармоническим числам». Целые числа (3): 1–9.
3. Мезу, Иштван; Дил, Айхан (2010). «Гипергармонический ряд с дзета-функцией Гурвица». Журнал теории чисел. 130 (2): 360–369. Дои:10.1016 / j.jnt.2009.08.005. HDL:2437/90539.
4. Мезу, Иштван; Дил, Айхан (2009). «Метод Эйлера-Зейделя для некоторых комбинаторных чисел и новая характеристика последовательности Фибоначчи». Центральноевропейский математический журнал. 7 (2): 310–321. Дои:10.2478 / с11533-009-0008-5.
5. Мезо, Иштван (2007). «О нецелом свойстве гипергармонических чисел». Annales Universitatis Scientarium Budapestinensis de Rolando Eötvös Nominatae, Sectio Mathematica (50): 13–20.
6. Amrane, R.A .; Белбачир, Х. (2010). «Нецелочисленность класса гипергармонических чисел». Annales Mathematicae et Informaticae (37): 7–11.
7. Гераль, Хайдар; Дога Джан, Сертбаш (2017). «Почти все гипергармонические числа не целые». Журнал теории чисел. 171 (171): 495–526. Дои:10.1016 / j.jnt.2016.07.023.
8. Алкан, Эмре; Гераль, Хайдар; Дога Джан, Сертбаш (2018). «Гипергармонические числа редко могут быть целыми». Целые числа (18).