Число Пи - Pi - Wikipedia

Эта статья о математической константе. Для греческой буквы см. Пи (буква). Для использования в других целях см. Пи (значения).

Номер π (/паɪ/) это математическая константа. Он определяется как соотношение из круг с длина окружности к его диаметр, и он также имеет различные эквивалентные определения. Он присутствует во многих формулах во всех областях математика и физика. Это примерно равно 3,14159. Он был представлен греческой буквой "π "с середины 18 века, и пишется как"число Пи". Его также называют Постоянная архимеда.^[1][2][3]

Будучи иррациональный номер, π нельзя выразить как обыкновенная дробь, хотя дроби, такие как 22/7, обычно используются для приблизительный Это. Эквивалентно, его десятичное представление никогда не кончается и никогда оседает в постоянно повторяющейся схеме. Его десятичный (или другая база ) цифры кажутся случайно распределенный, и являются предполагаемый чтобы удовлетворить особый вид статистической случайности.

Известно, что π это трансцендентное число:^[2] это не корень любой многочлен с рациональный коэффициенты. Превосходство π подразумевает, что невозможно решить древнюю проблему квадрат круга с компас и линейка.

Древние цивилизации, в том числе Египтяне и Вавилоняне, требовало достаточно точных приближений π для практических расчетов. Около 250 г. до н.э. Греческий математик Архимед создал алгоритм приблизительного π с произвольной точностью. В V веке нашей эры Китайская математика приблизительный π до семи цифр, а Индийская математика сделали пятизначное приближение, используя геометрические методы. Первая точная формула для π, на основе бесконечная серия, был обнаружен тысячелетием позже, когда в 14 веке Серия Мадхава – Лейбница был открыт в индийской математике.^[4][5]

Изобретение исчисление вскоре привело к вычислению сотен цифр π, хватит для всех научно-практических расчетов. Тем не менее в ХХ и ХХI веках математики и компьютерные ученые преследовали новые подходы, которые в сочетании с увеличением вычислительной мощности расширили десятичное представление π до многих триллионов цифр.^[6][7] Основная мотивация этих вычислений - это как тестовый пример для разработки эффективных алгоритмов для вычисления числовых рядов, а также стремление побить рекорды.^[8][9] Приведенные обширные расчеты также использовались для проверки суперкомпьютеры и высокоточное умножение алгоритмы.

Поскольку его наиболее элементарное определение относится к кругу, π встречается во многих формулах в тригонометрия и геометрия, особенно в отношении кругов, эллипсов и сфер. В более современном математический анализ, число вместо этого определяется с использованием спектральных свойств настоящий номер система, как собственное значение или период, без всяких ссылок на геометрию. Таким образом, он появляется в областях математики и наук, имеющих мало общего с геометрией окружностей, таких как теория чисел и статистика, а также практически во всех сферах физика. Повсеместное распространение π делает его одной из наиболее широко известных математических констант - как внутри, так и за пределами научного сообщества. Несколько книг посвящены π опубликованы, и рекордные расчеты цифр π часто приводят к заголовкам новостей. Адепты преуспели в запоминание ценности π до более чем 70 000 цифр.

Основы

Имя

Символ, используемый математиками для обозначения отношения длины окружности к ее диаметру, - это строчная буква. Греческая буква π, иногда обозначается как число Пи, и происходит от первой буквы греческого слова периметрос имея в виду окружность.^[10] По-английски, π является произносится как "пирог" (/паɪ/ PY ).^[11] В математике строчная буква π отличается от своего капитализированного и увеличенного аналога ∏, что означает произведение последовательности, аналогично тому, как ∑ обозначает суммирование.

Выбор символа π обсуждается в разделе Принятие символа π.

Определение

Окружность круга чуть более чем в три раза превышает его диаметр. Точное соотношение называется π.

π обычно определяется как соотношение из круг с длина окружности C к его диаметр d:^[12][2]

${\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}.}$

Соотношение C/d постоянно, независимо от размера круга. Например, если диаметр круга в два раза больше диаметра другого круга, он также будет иметь вдвое больше окружности, сохраняя соотношение C/d. Это определение π неявно использует плоская (евклидова) геометрия; хотя понятие круга можно распространить на любой кривая (неевклидова) геометрия, эти новые круги больше не будут удовлетворять формуле π = C/d.^[12]

Здесь окружность круга - это длина дуги по периметру круга, величина, которую можно формально определить независимо от геометрии, используя пределы - концепция в исчисление.^[13] Например, можно напрямую вычислить длину дуги верхней половины единичной окружности, указанной в Декартовы координаты по уравнению Икс² + у² = 1, как интеграл:^[14]

${\displaystyle \pi =\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}$

Такой интеграл был принят как определение π к Карл Вейерштрасс, который прямо определил его как интеграл в 1841 г.^[а]

Определения π такие как эти, которые полагаются на концепции интегральное исчисление больше не распространены в литературе. Remmert 2012, Гл. 5 объясняет, что это связано с тем, что во многих современных методах лечения зубного камня дифференциальное исчисление обычно предшествует интегральному исчислению в университетской программе, поэтому желательно иметь определение π это не полагается на последнее. Одно такое определение из-за Ричард Бальцер^[15] и популяризируется Эдмунд Ландау,^[16] следующее: π вдвое меньше наименьшего положительного числа, при котором косинус функция равна 0.^[12][14][17] Косинус можно определить независимо от геометрии как степенной ряд,^[18] или как решение дифференциальное уравнение.^[17]

В том же духе π можно определить с помощью свойств комплексная экспонента, exp z, из сложный Переменная z. Как и косинус, комплексная экспонента может быть определена одним из нескольких способов. Набор комплексных чисел, на котором exp z равно единице, то (мнимая) арифметическая прогрессия вида:

${\displaystyle \{\dots ,-2\pi i,0,2\pi i,4\pi i,\dots \}=\{2\pi ki\mid k\in \mathbb {Z} \}}$

и есть уникальное положительное действительное число π с этим свойством.^[14][19]

Более абстрактный вариант той же идеи, использующий сложные математические концепции топология и алгебра, это следующая теорема:^[20] есть уникальный (вплоть до автоморфизм ) непрерывный изоморфизм от группа р/Z действительных чисел при сложении по модулю целые числа ( круговая группа ) на мультипликативную группу сложные числа из абсолютная величина один. Номер π тогда определяется как половина величины производной этого гомоморфизма.^[21]

Круг охватывает самую большую площадь, которая может быть достигнута в пределах данного периметра. Таким образом, число π также характеризуется как лучшая константа в изопериметрическое неравенство (раз в одну четверть). Особенно, π можно определить как площадь единичный диск, что дает ему четкую геометрическую интерпретацию. Есть много других тесно связанных способов, которыми π появляется как собственное значение какого-либо геометрического или физического процесса; видеть ниже.

Иррациональность и нормальность

π является иррациональный номер, что означает, что его нельзя записать как отношение двух целых чисел.^[2] Такие дроби как 22/7 и 355/113 обычно используются для приближения π, но нет обыкновенная дробь (отношение целых чисел) может быть его точным значением.^[22] Потому что π является иррациональным, он имеет бесконечное количество цифр в своей десятичное представление, и не усваивается бесконечно повторяющийся узор цифр. Есть несколько доказательства того, что π иррационально; они обычно требуют расчетов и полагаются на сокращение до абсурда техника. Степень, в которой π можно приблизительно оценить рациональное число (называется мера иррациональности ) точно не известно; оценки установили, что мера иррациональности больше, чем мера е или же пер. 2 но меньше меры Числа Лиувилля.^[23]

Цифры π не имеют очевидных закономерностей и прошли тесты на статистическая случайность, включая тесты на нормальность; число бесконечной длины называется нормальным, если все возможные последовательности цифр (любой заданной длины) встречаются одинаково часто.^[24] Гипотеза о том, что π является нормальный не было доказано или опровергнуто.^[24]

С момента появления компьютеров большое количество цифр π были доступны для проведения статистического анализа. Yasumasa Kanada провел подробный статистический анализ десятичных цифр π, и нашел их совместимыми с нормальным; например, частоты десяти цифр от 0 до 9 были подвергнуты тесты статистической значимости, и никаких доказательств наличия закономерности обнаружено не было.^[25] Любая случайная последовательность цифр содержит произвольно длинные подпоследовательности, которые кажутся неслучайными по теорема о бесконечной обезьяне. Таким образом, поскольку последовательность πцифры проходят статистические тесты на случайность, они содержат некоторые последовательности цифр, которые могут показаться неслучайными, например последовательность из шести последовательных девяток который начинается с 762-го знака после запятой десятичного представления π.^[26] Это также называется «точкой Фейнмана» в математический фольклор, после Ричард Фейнман, хотя никакой связи с Фейнманом не известно.

Трансцендентность

Смотрите также: Теорема Линдемана – Вейерштрасса

Потому что π это трансцендентное число, квадрат круга невозможно за конечное число шагов с использованием классических инструментов компас и линейка.

Помимо иррациональности, π также трансцендентное число,^[2] что означает, что это не решение любых непостоянных полиномиальное уравнение с рациональный коэффициенты, такие как Икс⁵/120 − Икс³/6 + Икс = 0.^[27][b]

Превосходство π имеет два важных последствия: во-первых, π не могут быть выражены с помощью какой-либо конечной комбинации рациональных чисел и квадратных корней или п-ые корни (Такие как ³√31 или же √10). Во-вторых, поскольку трансцендентное число не может быть построен с компас и линейка, невозможно "квадрат круга Другими словами, невозможно построить, используя только циркуль и линейку, квадрат, площадь которого точно равна площади данного круга.^[28] Возведение круга в квадрат было одной из важных геометрических проблем классическая древность.^[29] Современные математики-любители иногда пытались возвести круг в квадрат и претендовать на успех, несмотря на то, что это математически невозможно.^[30]

Непрерывные дроби

Постоянная π представлен в этом мозаика вне корпуса математики на Технический университет Берлина.

Как и все иррациональные числа, π не может быть представлен как обыкновенная дробь (также известный как просто или же вульгарная фракция ), по самому определению иррационального числа (т.е.не рационального числа). Но каждое иррациональное число, включая π, может быть представлена ​​бесконечной серией вложенных дробей, называемой непрерывная дробь:

${\displaystyle \pi =3+\textstyle {\cfrac {1}{7+\textstyle {\cfrac {1}{15+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{292+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}$

Усечение цепной дроби в любой точке дает рациональное приближение для π; первые четыре из них - 3, 22/7, 333/106 и 355/113. Эти числа являются одними из самых известных и наиболее широко используемых исторических приближений постоянной. Каждое приближение, полученное таким образом, является наилучшим рациональным приближением; то есть каждый ближе к π чем любая другая дробь с тем же или меньшим знаменателем.^[31] Потому что π известен как трансцендентный, он по определению не алгебраический и поэтому не может быть квадратичный иррациональный. Следовательно, π не может иметь периодическая цепная дробь. Хотя простая цепная дробь для π (показано выше) также не имеет другого очевидного рисунка,^[32] математики открыли несколько обобщенные непрерывные дроби что делать, например:^[33]

${\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\cfrac {1^{2}}{2+\textstyle {\cfrac {3^{2}}{2+\textstyle {\cfrac {5^{2}}{2+\textstyle {\cfrac {7^{2}}{2+\textstyle {\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+\textstyle {\cfrac {1^{2}}{6+\textstyle {\cfrac {3^{2}}{6+\textstyle {\cfrac {5^{2}}{6+\textstyle {\cfrac {7^{2}}{6+\textstyle {\cfrac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}\\[8pt]&=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\cfrac {1^{2}}{3+\textstyle {\cfrac {2^{2}}{5+\textstyle {\cfrac {3^{2}}{7+\textstyle {\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}}$

Приблизительное значение и цифры

Немного приближения число Пи включают:

• Целые числа: 3
• Фракции: Приблизительные дроби включают (в порядке увеличения точности) 22/7, 333/106, 355/113, 52163/16604, 103993/33102, 104348/33215, и 245850922/78256779.^[31] (Список выбран терминов из OEIS: A063674 и OEIS: A063673.)
• Цифры: Первые 50 десятичных цифр 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510...^[34] (видеть OEIS: A000796)

Цифры в других системах счисления

• Первые 48 двоичный (основание 2) цифры (называемые биты ) находятся 11.001001000011111101101010100010001000010110100011... (видеть OEIS: A004601)
• Первые 20 цифр в шестнадцатеричный (основание 16) являются 3.243F6A8885A308D31319...^[35] (видеть OEIS: A062964)
• Первые пять шестидесятеричный (основание 60) цифры 3; 8,29,44,0,47^[36] (видеть OEIS: A060707)

Комплексные числа и тождество Эйлера

Связь между мнимыми степенями числа е и точки на единичный круг сосредоточен на источник в комплексная плоскость данный Формула Эйлера

Любой комплексное число, сказать z, можно выразить с помощью пары действительные числа. в полярная система координат, один номер (радиус или же р) используется для представления zна расстоянии от источник из комплексная плоскость, а другой (угол или φ) против часовой стрелки вращение от положительной реальной линии:^[37]

${\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi ),}$

куда я это мнимая единица удовлетворение я² = -1. Частое появление π в комплексный анализ может быть связано с поведением экспоненциальная функция комплексной переменной, описываемой Формула Эйлера:^[38]

${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,}$

куда постоянная е это основа натуральный логарифм. Эта формула устанавливает соответствие между мнимыми степенями е и указывает на единичный круг с центром в начале комплексной плоскости. Параметр φ = π в формуле Эйлера приводит к Тождество Эйлера, получивший известность в математике благодаря содержанию пяти важнейших математических констант:^[38][39]

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}$

Есть п разные сложные числа z удовлетворение z^п = 1, и они называются "п-го корни единства "^[40] и даются по формуле:

${\displaystyle e^{2\pi ik/n}\qquad (k=0,1,2,\dots ,n-1).}$

История

Основная статья: Приближения π

Смотрите также: Хронология расчета π

Античность

Наиболее известные приближения к π знакомства до нашей эры были с точностью до двух десятичных знаков; это было улучшено в Китайская математика в частности, к середине первого тысячелетия с точностью до семи знаков после запятой. После этого никакого дальнейшего прогресса не было до позднего средневековья.

На основании измерений Великая пирамида в Гизе (ок. 2560 г. до н.э.),^[c] некоторые египтологи утверждали, что древние египтяне использовал приближение π в качестве 22/7 с самого начала Старое королевство.^[41][42] Это утверждение было встречено скептически.^{[43][44][45][46][47]}Самые ранние письменные приближения π находятся в Вавилон и Египет, оба в пределах одного процента от истинного значения. В Вавилоне глиняная табличка датированный 1900–1600 гг. до н.э. содержит геометрическое утверждение, которое подразумевает π в качестве 25/8 = 3.125.^[48] В Египте Ринд Папирус, датируемый примерно 1650 г. до н.э., но скопированный из документа, датированного 1850 г. до н.э., имеет формулу для площади круга, относящегося к π в качестве (16/9)² ≈ 3.16.^[48]

Астрономические расчеты в Шатапатха Брахмана (примерно 4 век до н.э.) используют дробное приближение 339/108 ≈ 3,139 (точность 9 × 10⁻⁴).^[49] Другие индийские источники около 150 г. до н.э. рассматривают π в качестве √10 ≈ 3.1622.^[50]

Эпоха приближения многоугольника

π можно оценить, вычислив периметры описанных и вписанных многоугольников.

Первый зарегистрированный алгоритм для точного расчета значения π был геометрический подход с использованием многоугольников, разработанный около 250 г. до н.э. греческим математиком. Архимед.^[51] Этот полигональный алгоритм доминировал более 1000 лет, и в результате π иногда называют «постоянной Архимеда».^[52] Архимед вычислил верхнюю и нижнюю границы π Рисуя правильный шестиугольник внутри и снаружи круга, и последовательно удваивая количество сторон, пока он не достигнет 96-стороннего правильного многоугольника. Вычислив периметры этих многоугольников, он доказал, что 223/71 < π < 22/7 (то есть 3.1408 < π < 3.1429).^[53] Верхняя граница Архимеда 22/7 возможно, привело к широко распространенному мнению, что π равно 22/7.^[54] Около 150 г. н.э., греко-римский ученый Птолемей, в его Альмагест, дал значение для π из 3.1416, которую он мог получить от Архимеда или от Аполлоний Пергский.^[55][56] Математики, использующие многоугольные алгоритмы, достигли 39 знаков π в 1630 году рекорд был побит только в 1699 году, когда бесконечные серии использовались для достижения 71 цифры.^[57]

Архимед разработал полигональный подход к аппроксимации π.

В древний Китай, значения для π включены 3,1547 (около 1 года нашей эры), √10 (100 г. н.э., приблизительно 3,1623 г.), и 142/45 (3 век, приблизительно 3,1556).^[58] Около 265 г. н.э. Королевство Вэй математик Лю Хуэй создал итерационный алгоритм на основе многоугольника и использовал его с 3072-сторонним многоугольником, чтобы получить значение π из 3,1416.^[59][60] Позже Лю изобрел более быстрый метод расчета π и получили значение 3,14 с 96-сторонним многоугольником, воспользовавшись тем фактом, что разность площадей последовательных многоугольников формирует геометрическую серию с коэффициентом 4.^[59] Китайский математик Цзу Чунчжи около 480 г. н.э., подсчитано, что 3.1415926 < π < 3.1415927 и предложил приближения π ≈ 355/113 = 3,14159292035 ... и π ≈ 22/7 = 3,142857142857 ..., которую он назвал Milü ("близкое соотношение") и Юэлю («приблизительное соотношение»), соответственно, используя Алгоритм Лю Хуэя применяется к многоугольнику с 12 288 сторонами. При правильном значении семи первых десятичных цифр это значение оставалось наиболее точным приближением π доступны в течение следующих 800 лет.^[61]

Индийский астроном Арьябхата использовал значение 3,1416 в своем Ryabhaīya (499 г. н.э.).^[62] Фибоначчи в с. 1220 вычислил 3,1418 с использованием метода многоугольников, не зависящего от Архимеда.^[63] Итальянский автор Данте очевидно использовал значение 3+√2/10 ≈ 3.14142.^[63]

Персидский астроном Джамшид аль-Каши произведено 9 шестидесятеричный цифр, примерно эквивалентных 16 десятичным цифрам, в 1424 году с использованием многоугольника 3 × 2²⁸ стороны,^[64][65] который был мировым рекордом около 180 лет.^[66] Французский математик Франсуа Виет в 1579 г. достигнуто 9 цифр с многоугольником 3 × 2¹⁷ стороны.^[66] Фламандский математик Адриан ван Румен достиг 15 знаков после запятой в 1593 году.^[66] В 1596 году голландский математик Людольф ван Сеулен достиг 20 цифр, рекорд он позже увеличил до 35 цифр (в результате π до начала 20 века называлось в Германии «лудольфианским числом»).^[67] Голландский ученый Виллеброрд Снеллиус достиг 34 знаков в 1621 году,^[68] и австрийский астроном Кристоф Гринбергер пришел к 38 цифрам в 1630 году, используя 10⁴⁰ стороны,^[69] что остается наиболее точным приближением, достигаемым вручную с использованием многоугольных алгоритмов.^[68]

Бесконечная серия

Сравнение сходимости нескольких исторических бесконечных рядов для π. S_п это приближение после взятия п термины. Каждый последующий участок увеличивает заштрихованную область по горизонтали в 10 раз. (нажмите для подробностей)

Расчет π была революционизирована развитием бесконечная серия техники в 16-17 веках. Бесконечный ряд - это сумма членов бесконечного последовательность.^[70] Бесконечные ряды позволили математикам вычислить π с гораздо большей точностью, чем Архимед и другие, использовавшие геометрические методы.^[70] Хотя бесконечные серии использовались для π особенно европейскими математиками, такими как Джеймс Грегори и Готфрид Вильгельм Лейбниц, подход был впервые обнаружен в Индия где-то между 1400 и 1500 годами нашей эры.^[71][72] Первое письменное описание бесконечного ряда, которое может быть использовано для вычисления π был выложен стихами на санскрите индийским астрономом Нилаканта Сомаяджи в его Тантрасамграха, около 1500 г. н.э.^[73] Серии представлены без доказательств, но доказательства представлены в более поздней индийской работе, Юктибхана, примерно с 1530 года нашей эры. Нилаканта приписывает серию более раннему индийскому математику, Мадхава Сангамаграмы, который жил c. 1350 - ок. 1425.^[73] Описано несколько бесконечных рядов, включая ряды для синуса, тангенса и косинуса, которые теперь называются Серия Мадхава или же Серия Григория – Лейбница.^[73] Мадхава использовал бесконечный ряд для оценки π до 11 цифр около 1400, но это значение было улучшено примерно с 1430 года персидским математиком Джамшид аль-Каши, используя многоугольный алгоритм.^[74]

Исаак Ньютон использовал бесконечная серия вычислить π до 15 цифр, позже написав: «Мне стыдно сказать вам, сколько цифр я провел в этих вычислениях».^[75]

В первая бесконечная последовательность, обнаруженная в Европе был бесконечный продукт (а не бесконечная сумма, которые чаще используются в π расчеты), найденные французским математиком Франсуа Виет в 1593 г .:^[76][77][78]

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots }$

В вторая бесконечная последовательность найдена в Европе, к Джон Уоллис в 1655 году тоже было бесконечным произведением:^[76]

${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdots }$

Открытие исчисление, английский ученый Исаак Ньютон и немецкий математик Готфрид Вильгельм Лейбниц в 1660-х годах привели к разработке многих бесконечных рядов для аппроксимации π. Сам Ньютон использовал ряд arcsin для вычисления 15-значного приближения π в 1665 или 1666 году, позже написав: «Мне стыдно сказать вам, сколько цифр я провел эти вычисления, не имея в то время других дел».^[75]

В Европе формулу Мадхавы заново открыл шотландский математик. Джеймс Грегори в 1671 г. и Лейбница в 1674 г .:^[79][80]

${\displaystyle \arctan z=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots }$

Эта формула, ряд Грегори – Лейбница, равна π / 4 при оценке с z = 1.^[80] В 1699 г. английский математик Авраам Шарп использовали ряд Грегори – Лейбница для ${\textstyle z={\frac {1}{\sqrt {3}}}}$ вычислить π до 71 цифры, побив предыдущий рекорд в 39 цифр, который был установлен с помощью многоугольного алгоритма.^[81] Григорий-Лейбниц для ${\displaystyle z=1}$ серия простая, но сходится очень медленно (то есть приближается к ответу постепенно), поэтому в современных π расчеты.^[82]

В 1706 г. Джон Мачин использовал ряд Грегори – Лейбница для создания алгоритма, который сходится намного быстрее:^[83]

${\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}.}$

Машин достиг 100 цифр π с этой формулой.^[84] Другие математики создали варианты, теперь известные как Машинные формулы, которые использовались для установки нескольких последовательных рекордов для вычисления цифр π.^[84] Машиноподобные формулы оставались самым известным методом вычисления π в эпоху компьютеров и использовались для установления рекордов за 250 лет, кульминацией которых стало 620-значное приближение в 1946 году Дэниэлом Фергюсоном - наилучшее приближение, достигнутое без помощи вычислительного устройства.^[85]

Рекорд установил вундеркинд Zacharias Dase, который в 1844 году использовал формулу Мачина для вычисления 200 десятичных знаков π в его голове по указанию немецкого математика Карл Фридрих Гаусс.^[86] Британский математик Уильям Шанкс как известно, потребовалось 15 лет, чтобы вычислить π до 707 цифр, но допустил ошибку в 528-й цифре, в результате чего все последующие цифры были неверными.^[86]

Скорость сходимости

Некоторая бесконечная серия для π сходиться быстрее других. Учитывая выбор двух бесконечных серий для π, математики обычно используют тот, который сходится быстрее, потому что более быстрая сходимость сокращает количество вычислений, необходимых для вычисления π с любой заданной точностью.^[87] Простая бесконечная серия для π это Серия Григория – Лейбница:^[88]

${\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}-\cdots }$

По мере того, как отдельные члены этого бесконечного ряда добавляются к сумме, общая сумма постепенно приближается к π, и - при достаточном количестве терминов - может приблизиться к π по желанию. Однако он сходится довольно медленно - после 500000 членов он дает только пять правильных десятичных цифр π.^[89]

Бесконечный ряд для π (опубликовано Nilakantha в 15 веке), которая сходится быстрее, чем ряд Грегори-Лейбница:^[90] Обратите внимание, что (п − 1)п(п + 1) = п³ − п.^[91]

${\displaystyle \pi =3+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}-{\frac {4}{8\times 9\times 10}}+\cdots }$

В следующей таблице сравниваются скорости сходимости этих двух рядов:

Бесконечная серия для π	После 1 семестра	После 2 семестра	После 3-го срока	После 4-го семестра	После 5 семестра	Сходится к:
${\displaystyle \pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}+{\frac {4}{13}}+\cdots }$	4.0000	2.6666 ...	3.4666 ...	2.8952 ...	3.3396 ...	π = 3.1415 ...
${\displaystyle \pi ={3}+{\frac {4}{2\times 3\times 4}}-{\frac {4}{4\times 5\times 6}}+{\frac {4}{6\times 7\times 8}}+\cdots }$	3.0000	3.1666 ...	3.1333 ...	3.1452 ...	3.1396 ...

После пяти членов сумма ряда Грегори – Лейбница находится в пределах 0,2 от правильного значения π, тогда как сумма ряда Нилакантхи находится в пределах 0,002 от правильного значения π. Ряд Нилаканта сходится быстрее и более полезен для вычисления цифр π. Серии, которые сходятся еще быстрее, включают Серия Мачина и Чудновский сериал, последний дает 14 правильных десятичных цифр на член.^[87]

Иррациональность и трансцендентность

Смотрите также: Доказательство того, что π иррационально и Доказательство того, что π трансцендентен

Не все математические достижения, относящиеся к π были направлены на повышение точности приближений. Когда Эйлер решил Базельская проблема в 1735 г., найдя точное значение суммы обратных квадратов, он установил связь между π и простые числа что позже способствовало развитию и изучению Дзета-функция Римана:^[92]

${\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{6}}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots }$

Швейцарский ученый Иоганн Генрих Ламберт в 1761 г. доказал, что π является иррациональный, что означает, что оно не равно частному любых двух целых чисел.^[22] Доказательство Ламберта использовали представление касательной функции в виде цепной дроби.^[93] Французский математик Адриан-Мари Лежандр доказал в 1794 г., что π² тоже иррационально. В 1882 году немецкий математик Фердинанд фон Линдеманн доказал, что π является трансцендентный, подтверждая предположение, сделанное обоими Legendre и Эйлер.^[94][95] Харди и Райт заявляют, что «доказательства были впоследствии изменены и упрощены Гильбертом, Гурвицем и другими авторами».^[96]

Принятие символа π

Леонард Эйлер популяризировал использование греческой буквы π в сочинениях он опубликовал в 1736 и 1748 годах.

В самом раннем использовании Греческая буква π было сокращением греческого слова для периферия (περιφέρεια),^[97] и был объединен в соотношениях с δ (за диаметр ) или же ρ (за радиус ) для образования констант круга.^{[98][99][100]} (До этого математики иногда использовали такие буквы, как c или же п вместо.^[101]) Первое зарегистрированное использование Oughtred's "${\displaystyle \delta .\pi }$", чтобы выразить соотношение периферии и диаметра в 1647 г. и более поздних изданиях Clavis Mathematicae.^[102][101] Barrow также используется "${\textstyle {\frac {\pi }{\delta }}}$"для представления константы 3,14 ...,^[103] пока Грегори вместо этого использовал "${\textstyle {\frac {\pi }{\rho }}}$"для представления 6,28 ....^[104][99]

Самое раннее известное использование греческой буквы π один только для представления отношения длины окружности к ее диаметру был валлийским математиком Уильям Джонс в его работе 1706 года Synopsis Palmariorum Matheseos; или Новое введение в математику.^[105][106] Греческая буква впервые появляется во фразе «1/2 Периферия (π) "при обсуждении круга радиуса один.^[107] Однако он пишет, что его уравнения для π взяты из "готового пера" поистине гениального мистера Джон Мачин ", что привело к предположению, что Машин, возможно, использовал греческую букву до Джонса.^[101] Обозначения Джонса не сразу были приняты другими математиками, а обозначение дробей все еще использовалось до 1767 года.^[98][108]

Эйлер начал использовать однобуквенную форму с 1727 г. Эссе, объясняющее свойства воздуха, хотя он использовал π = 6.28..., отношение радиуса к периферии, в этой и некоторых более поздних записях.^[109][110] Эйлер впервые использовал π = 3.14... в его работе 1736 г. Mechanica,^[111] и продолжил в своей широко читаемой работе 1748 г. Введение в анализин бесконечный (он писал: «для краткости запишем это число как π; таким образом π равняется половине длины окружности радиуса 1 ").^[112] Поскольку Эйлер тесно переписывался с другими математиками в Европе, использование греческой буквы быстро распространилось, и впоследствии эта практика стала повсеместной. западный мир,^[101] хотя определение все еще варьировалось от 3,14 ... до 6,28 ... вплоть до 1761 года.^[113]

Современные поиски большего количества цифр

Компьютерная эра и итерационные алгоритмы

Джон фон Нейман был частью команды, которая впервые применила цифровой компьютер, ENIAC, вычислить π.

В Итерационный алгоритм Гаусса – Лежандра:
Инициализировать

${\displaystyle \scriptstyle a_{0}=1,\quad b_{0}={\frac {1}{\sqrt {2}}},\quad t_{0}={\frac {1}{4}},\quad p_{0}=1.}$

Повторять

${\displaystyle \scriptstyle a_{n+1}={\frac {a_{n}+b_{n}}{2}},\quad \quad b_{n+1}={\sqrt {a_{n}b_{n}}},}$

${\displaystyle \scriptstyle t_{n+1}=t_{n}-p_{n}(a_{n}-a_{n+1})^{2},\quad \quad p_{n+1}=2p_{n}.}$

Тогда оценка для π дан кем-то

${\displaystyle \scriptstyle \pi \approx {\frac {(a_{n}+b_{n})^{2}}{4t_{n}}}.}$

Развитие компьютеров в середине 20-го века снова произвело революцию в охоте за цифрами. π. Математики Джон Ренч и Леви Смит достиг 1120 цифр в 1949 году с помощью настольного калькулятора.^[114] Используя обратная тангенс (arctan) бесконечная серия, команда во главе с Джорджем Рейтвизнером и Джон фон Нейман в том же году было получено 2037 цифр с расчетом, на который потребовалось 70 часов компьютерного времени ENIAC компьютер.^[115][116] Рекорд, всегда опирающийся на арктановую серию, неоднократно побивался (7480 цифр в 1957 году; 10 000 цифр в 1958 году; 100 000 цифр в 1961 году), пока в 1973 году не был достигнут 1 миллион цифр.^[115]

Два дополнительных события, произошедших примерно в 1980 году, еще раз увеличили возможности вычислений. π. Во-первых, открытие новых итерационные алгоритмы для вычислений π, которые были намного быстрее, чем бесконечная серия; во-вторых, изобретение алгоритмы быстрого умножения это могло очень быстро умножать большие числа.^[117] Такие алгоритмы особенно важны в современных π вычисления, потому что большая часть времени компьютера посвящена умножению.^[118] Они включают Алгоритм Карацубы, Умножение Тоома – Кука, и Методы на основе преобразования Фурье.^[119]

Итерационные алгоритмы были независимо опубликованы в 1975–1976 гг. Физиком. Евгений Саламин и ученый Ричард Брент.^[120] Это позволяет избежать зависимости от бесконечных серий. Итерационный алгоритм повторяет конкретное вычисление, каждая итерация использует выходные данные предыдущих шагов в качестве входных данных, и на каждом шаге выдает результат, который сходится к желаемому значению. Этот подход был фактически изобретен более 160 лет назад Карл Фридрих Гаусс, в том, что сейчас называется метод среднего арифметико-геометрического (Метод AGM) или Алгоритм Гаусса – Лежандра.^[120] В модификации Саламина и Брента он также называется алгоритмом Брента – Саламина.

Итерационные алгоритмы широко использовались после 1980 года, потому что они быстрее, чем алгоритмы бесконечных серий: в то время как бесконечные серии обычно увеличивают количество правильных цифр аддитивно в последовательных выражениях, итерационные алгоритмы обычно умножать количество правильных цифр на каждом шаге. Например, алгоритм Брента-Саламина удваивает количество цифр на каждой итерации. В 1984 году братья Джон и Питер Борвейн создал итерационный алгоритм, увеличивающий в четыре раза количество цифр на каждом шаге; а в 1987 году - тот, который увеличивает количество цифр в пять раз на каждом шаге.^[121] Итерационные методы использовал японский математик. Yasumasa Kanada установить несколько рекордов по вычислениям π с 1995 по 2002 гг.^[122] За такую ​​быструю сходимость приходится платить: итерационные алгоритмы требуют значительно больше памяти, чем бесконечные серии.^[122]

Мотивы для вычислений π

Когда математики открыли новые алгоритмы и стали доступны компьютеры, количество известных десятичных цифр π резко возросло. Вертикальный масштаб логарифмический.

Для большинства численных расчетов с участием π, несколько цифр обеспечивают достаточную точность. По словам Йорга Арндта и Кристофа Хенеля, тридцать девять цифр достаточно для большинства космологический вычислений, потому что это точность, необходимая для вычисления длины окружности наблюдаемая вселенная с точностью до одного атома.^[123] Учет дополнительных цифр, необходимых для компенсации вычислительных ошибки округления Арндт приходит к выводу, что нескольких сотен цифр будет достаточно для любого научного применения. Несмотря на это, люди работали усиленно, чтобы вычислить π до тысяч и миллионов цифр.^[124] Эти усилия могут быть частично приписаны человеческому принуждению бить рекорды, и такие достижения с π часто попадают в заголовки газет по всему миру.^[125][126] У них также есть практические преимущества, например, тестирование суперкомпьютеры, тестирование алгоритмов численного анализа (в том числе алгоритмы высокоточного умножения ); и в самой чистой математике, предоставляя данные для оценки случайности цифр π.^[127]

Быстро сходящийся ряд

Шриниваса Рамануджан, работая изолированно в Индии, выпустил множество инновационных серий для вычислительной техники. π.

Современное π калькуляторы не используют исключительно итерационные алгоритмы. Новые бесконечные серии были открыты в 1980-х и 1990-х годах, которые работают так же быстро, как итерационные алгоритмы, но при этом проще и требуют меньше памяти.^[122] Появление быстрых итерационных алгоритмов появилось в 1914 году, когда индийский математик Шриниваса Рамануджан опубликовали десятки инновационных новых формул для π, отличающиеся элегантностью, математической глубиной и быстрой сходимостью.^[128] Одна из его формул, основанная на модульные уравнения, является

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{k!^{4}\left(396^{4k}\right)}}.}$

Этот ряд сходится намного быстрее, чем большинство арктановых рядов, включая формулу Мачина.^[129] Билл Госпер был первым, кто использовал его для продвижения в расчетах π, установив рекорд в 17 миллионов цифр в 1985 году.^[130] Формулы Рамануджана предвосхитили современные алгоритмы, разработанные братьями Борвейн и Братья Чудновские.^[131] В Формула Чудновского разработан в 1987 г.

${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {12}{640320^{3/2}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}(-640320)^{3k}}}.}$

Он производит около 14 цифр π за семестр,^[132] и использовался для нескольких рекордных π расчеты, в том числе первые, превысившие 1 млрд (10⁹) цифр в 1989 г. братьями Чудновскими, 10 трлн (10¹³) цифры в 2011 году Александра Йи и Сигеру Кондо,^[133] более 22 триллионов цифр в 2016 году Питер Труб^[134][135] и 50 триллионов цифр Тимоти Мулликана в 2020 году.^[136] Подобные формулы см. Также в Рамануджан – Сато серия.

В 2006 году математик Саймон Плафф использовал PSLQ алгоритм целочисленного отношения^[137] создать несколько новых формул для π, соответствующий следующему шаблону:

${\displaystyle \pi ^{k}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{k}}}\left({\frac {a}{q^{n}-1}}+{\frac {b}{q^{2n}-1}}+{\frac {c}{q^{4n}-1}}\right),}$

куда q является е^π (Постоянная Гельфонда), k является нечетное число, и а, б, c - определенные рациональные числа, вычисленные Плуфом.^[138]

Методы Монте-Карло

Игла Буффона. Иглы а и б выпадают случайным образом.

Случайные точки ставятся в квадранте квадрата с вписанным в него кружком.

Методы Монте-Карло, основанный на случайных испытаниях, можно использовать для приблизительного π.

Методы Монте-Карло, которые оценивают результаты нескольких случайных испытаний, могут использоваться для создания приближений π.^[139] Игла Буффона один из таких приемов: если игла длинной ℓ сброшен п раз на поверхности, на которой нарисованы параллельные линии т единиц, и если Икс в тех случаях, когда дело доходит до отдыха, пересекая линию (Икс > 0), то можно приближенно π по подсчетам:^[140]

${\displaystyle \pi \approx {\frac {2n\ell }{xt}}.}$

Другой метод Монте-Карло для вычислений π состоит в том, чтобы нарисовать круг, вписанный в квадрат, и случайным образом расставить точки в квадрате. Отношение точек внутри круга к общему количеству точек будет примерно равно π / 4.^[141]

Five random walks with 200 steps. The sample mean of |W₂₀₀| является μ = 56/5, и так 2(200)μ⁻² ≈ 3.19 внутри 0.05 из π.

Another way to calculate π using probability is to start with a случайная прогулка, generated by a sequence of (fair) coin tosses: independent случайные переменные Икс_k такой, что Икс_k ∈ {−1,1} с равными вероятностями. The associated random walk is

${\displaystyle W_{n}=\sum _{k=1}^{n}X_{k}}$

so that, for each п, W_п is drawn from a shifted and scaled биномиальное распределение. В качестве п меняется, W_п defines a (discrete) случайный процесс. потом π can be calculated by^[142]

${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {2n}{E[|W_{n}|]^{2}}}.}$

This Monte Carlo method is independent of any relation to circles, and is a consequence of the Центральная предельная теорема, обсуждали ниже.

These Monte Carlo methods for approximating π are very slow compared to other methods, and do not provide any information on the exact number of digits that are obtained. Thus they are never used to approximate π when speed or accuracy is desired.^[143]

Spigot algorithms

Two algorithms were discovered in 1995 that opened up new avenues of research into π. Они называются spigot algorithms because, like water dripping from a кран, they produce single digits of π that are not reused after they are calculated.^[144][145] This is in contrast to infinite series or iterative algorithms, which retain and use all intermediate digits until the final result is produced.^[144]

Математики Стандартный вагон and Stanley Rabinowitz produced a simple spigot algorithm in 1995.^{[145][146][147]} Its speed is comparable to arctan algorithms, but not as fast as iterative algorithms.^[146]

Another spigot algorithm, the BBP digit extraction algorithm, was discovered in 1995 by Simon Plouffe:^[148][149]

${\displaystyle \pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right).}$

This formula, unlike others before it, can produce any individual шестнадцатеричный digit of π without calculating all the preceding digits.^[148] Individual binary digits may be extracted from individual hexadecimal digits, and восьмеричный digits can be extracted from one or two hexadecimal digits. Variations of the algorithm have been discovered, but no digit extraction algorithm has yet been found that rapidly produces decimal digits.^[150] An important application of digit extraction algorithms is to validate new claims of record π computations: After a new record is claimed, the decimal result is converted to hexadecimal, and then a digit extraction algorithm is used to calculate several random hexadecimal digits near the end; if they match, this provides a measure of confidence that the entire computation is correct.^[133]

Between 1998 and 2000, the распределенных вычислений проект PiHex использовал Bellard's formula (a modification of the BBP algorithm) to compute the quadrillionth (10¹⁵th) bit of π, which turned out to be 0.^[151] In September 2010, a Yahoo! employee used the company's Hadoop application on one thousand computers over a 23-day period to compute 256 биты из π at the two-quadrillionth (2×10¹⁵th) bit, which also happens to be zero.^[152]

Role and characterizations in mathematics

Потому что π is closely related to the circle, it is found in many formulae from the fields of geometry and trigonometry, particularly those concerning circles, spheres, or ellipses. Other branches of science, such as statistics, physics, Анализ Фурье, and number theory, also include π in some of their important formulae.

Геометрия и тригонометрия

The area of the circle equals π times the shaded area.

π appears in formulae for areas and volumes of geometrical shapes based on circles, such as эллипсы, сферы, шишки, и тори. Below are some of the more common formulae that involve π.^[153]

• The circumference of a circle with radius р является 2πр.
• В площадь круга с радиусом р является πр².
• The volume of a sphere with radius р является 4/3πр³.
• The surface area of a sphere with radius р является 4πр².

The formulae above are special cases of the volume of the п-dimensional ball and the surface area of its boundary, the (п−1)-dimensional sphere, данный ниже.

Definite integrals that describe circumference, area, or volume of shapes generated by circles typically have values that involve π. For example, an integral that specifies half the area of a circle of radius one is given by:^[154]

${\displaystyle \int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}$

In that integral the function √1 − Икс² represents the top half of a circle (the квадратный корень is a consequence of the теорема Пифагора ), and the integral ∫¹
₋₁ computes the area between that half of a circle and the Икс ось.

Sine и косинус functions repeat with period 2π.

В тригонометрические функции rely on angles, and mathematicians generally use radians as units of measurement. π plays an important role in angles measured in радианы, which are defined so that a complete circle spans an angle of 2π радианы.^[155] The angle measure of 180° is equal to π radians, and 1° = π/180 radians.^[155]

Common trigonometric functions have periods that are multiples of π; for example, sine and cosine have period 2π,^[156] so for any angle θ и любое целое число k,

${\displaystyle \sin \theta =\sin \left(\theta +2\pi k\right){\text{ and }}\cos \theta =\cos \left(\theta +2\pi k\right).}$^[156]

Собственные значения

В обертоны of a vibrating string are собственные функции of the second derivative, and form a гармоническая прогрессия. The associated eigenvalues form the арифметическая прогрессия of integer multiples of π.

Many of the appearances of π in the formulas of mathematics and the sciences have to do with its close relationship with geometry. Тем не мение, π also appears in many natural situations having apparently nothing to do with geometry.

In many applications, it plays a distinguished role as an собственное значение. For example, an idealized вибрирующая струна can be modelled as the graph of a function ж on the unit interval [0,1], с fixed ends ж(0) = ж(1) = 0. The modes of vibration of the string are solutions of the дифференциальное уравнение ${\displaystyle f''(x)+\lambda f(x)=0}$, или же ${\displaystyle f''(t)=-\lambda f(x)}$. Таким образом λ is an eigenvalue of the second derivative оператор ${\displaystyle f\mapsto f''}$, and is constrained by Теория Штурма – Лиувилля to take on only certain specific values. It must be positive, since the operator is negative definite, so it is convenient to write λ = ν², куда ν > 0 называется волновое число. потом ж(Икс) = sin(π Икс) satisfies the boundary conditions and the differential equation with ν = π.^[157]

Значение π is, in fact, the наименее such value of the wavenumber, and is associated with the основной режим of vibration of the string. One way to show this is by estimating the энергия, что удовлетворяет Неравенство Виртингера:^[158] for a function ж : [0, 1] → ℂ с ж(0) = ж(1) = 0 и ж , ж ' обе square integrable, у нас есть:

${\displaystyle \pi ^{2}\int _{0}^{1}|f(x)|^{2}\,dx\leq \int _{0}^{1}|f'(x)|^{2}\,dx,}$

with equality precisely when ж кратно грех (π Икс). Здесь π appears as an optimal constant in Wirtinger's inequality, and it follows that it is the smallest wavenumber, using the variational characterization of the eigenvalue. Как следствие, π самый маленький исключительное значение of the derivative operator on the space of functions on [0,1] vanishing at both endpoints (the Соболевское пространство ${\displaystyle H_{0}^{1}[0,1]}$).

Неравенства

В ancient city of Carthage was the solution to an isoperimetric problem, according to a legend recounted by Лорд Кельвин (Thompson 1894 ): those lands bordering the sea that Королева Дидона could enclose on all other sides within a single given oxhide, cut into strips.

Номер π serves appears in similar eigenvalue problems in higher-dimensional analysis. Как уже упоминалось над, it can be characterized via its role as the best constant in the изопериметрическое неравенство: the area А enclosed by a plane Кривая Иордании of perimeter п satisfies the inequality

${\displaystyle 4\pi A\leq P^{2},}$

and equality is clearly achieved for the circle, since in that case А = πр² и п = 2πр.^[159]

Ultimately as a consequence of the isoperimetric inequality, π appears in the optimal constant for the critical Неравенство Соболева в п dimensions, which thus characterizes the role of π in many physical phenomena as well, for example those of classical теория потенциала.^{[160][161][162]} In two dimensions, the critical Sobolev inequality is

${\displaystyle 2\pi \|f\|_{2}\leq \|\nabla f\|_{1}}$

за ж a smooth function with compact support in р², ${\displaystyle \nabla f}$ это градиент из ж, и ${\displaystyle \|f\|_{2}}$ и ${\displaystyle \|\nabla f\|_{1}}$ refer respectively to the L² и L¹-норма. The Sobolev inequality is equivalent to the isoperimetric inequality (in any dimension), with the same best constants.

Wirtinger's inequality also generalizes to higher-dimensional Poincaré inequalities that provide best constants for the Энергия Дирихле из п-dimensional membrane. Конкретно, π is the greatest constant such that

${\displaystyle \pi \leq {\frac {\left(\int _{G}|\nabla u|^{2}\right)^{1/2}}{\left(\int _{G}|u|^{2}\right)^{1/2}}}}$

для всех выпуклый подмножества грамм из р^п of diameter 1, and square-integrable functions ты на грамм of mean zero.^[163] Just as Wirtinger's inequality is the вариационный форма Собственное значение Дирихле problem in one dimension, the Poincaré inequality is the variational form of the Neumann eigenvalue problem, in any dimension.

Fourier transform and Heisenberg uncertainty principle

An animation of a geodesic in the Heisenberg group, showing the close connection between the Heisenberg group, isoperimetry, and the constant π. The cumulative height of the geodesic is equal to the area of the shaded portion of the unit circle, while the arc length (in the Carnot–Carathéodory metric ) is equal to the circumference.

Постоянная π also appears as a critical spectral parameter in the преобразование Фурье. Это интегральное преобразование, that takes a complex-valued integrable function ж on the real line to the function defined as:

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{-2\pi ix\xi }\,dx.}$

Although there are several different conventions for the Fourier transform and its inverse, any such convention must involve π somewhere. The above is the most canonical definition, however, giving the unique unitary operator on L² that is also an algebra homomorphism of L¹ к L^∞.^[164]

В Принцип неопределенности Гейзенберга also contains the number π. The uncertainty principle gives a sharp lower bound on the extent to which it is possible to localize a function both in space and in frequency: with our conventions for the Fourier transform,

${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}|f(x)|^{2}\,dx\right)\left(\int _{-\infty }^{\infty }\xi ^{2}|{\hat {f}}(\xi )|^{2}\,d\xi \right)\geq \left({\frac {1}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|f(x)|^{2}\,dx\right)^{2}.}$

The physical consequence, about the uncertainty in simultaneous position and momentum observations of a квантово-механический system, is discussed below. Появление π in the formulae of Fourier analysis is ultimately a consequence of the Теорема Стоуна – фон Неймана, asserting the uniqueness of the Представление Шредингера из Группа Гейзенберга.^[165]

Гауссовские интегралы

A graph of the Функция Гаусса ƒ(Икс) = е^−Икс2. The coloured region between the function and the Икс-axis has area √π.

The fields of вероятность и статистика frequently use the нормальное распределение as a simple model for complex phenomena; for example, scientists generally assume that the observational error in most experiments follows a normal distribution.^[166] В Функция Гаусса, какой функция плотности вероятности of the normal distribution with иметь в виду μ и стандартное отклонение σ, naturally contains π:^[167]

${\displaystyle f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}.}$

Фактор ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}}$ makes the area under the graph of ж equal to one, as is required for a probability distribution. This follows from a change of variables в Гауссов интеграл:^[167]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-u^{2}}\,du={\sqrt {\pi }}}$

which says that the area under the basic кривая колокола in the figure is equal to the square root of π.

π can be computed from the distribution of zeros of a one-dimensional Винеровский процесс

В Центральная предельная теорема explains the central role of normal distributions, and thus of π, in probability and statistics. This theorem is ultimately connected with the spectral characterization из π as the eigenvalue associated with the Heisenberg uncertainty principle, and the fact that equality holds in the uncertainty principle only for the Gaussian function.^[168] Эквивалентно π is the unique constant making the Gaussian normal distribution е^-πИкс2 equal to its own Fourier transform.^[169] Indeed, according to Хау (1980), the "whole business" of establishing the fundamental theorems of Fourier analysis reduces to the Gaussian integral.

Проективная геометрия

Позволять V be the set of all twice differentiable real functions ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ которые удовлетворяют обыкновенное дифференциальное уравнение ${\displaystyle f''(x)+f(x)=0}$. потом V is a two-dimensional real векторное пространство, with two parameters corresponding to a pair of первоначальные условия for the differential equation. Для любого ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$, позволять ${\displaystyle e_{t}:V\to \mathbb {R} }$ be the evaluation functional, which associates to each ${\displaystyle f\in V}$ Значение ${\displaystyle e_{t}(f)=f(t)}$ функции ж at the real point т. Then, for each т, то ядро из ${\displaystyle e_{t}}$ is a one-dimensional linear subspace of V. Следовательно ${\displaystyle t\mapsto \ker e_{t}}$ defines a function from ${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {P} (V)}$ from the real line to the реальная проективная линия. This function is periodic, and the quantity π can be characterized as the period of this map.^[170]

Топология

Uniformization из Кляйн квартика, a surface of род three and Euler characteristic −4, as a quotient of the гиперболическая плоскость посредством группа симметрии PSL (2,7) из Самолет Фано. The hyperbolic area of a fundamental domain is 8π, by Gauss–Bonnet.

Постоянная π появляется в Gauss–Bonnet formula which relates the differential geometry of surfaces к их топология. Specifically, if a компактный поверхность Σ имеет Gauss curvature K, тогда

${\displaystyle \int _{\Sigma }K\,dA=2\pi \chi (\Sigma )}$

куда χ(Σ) это Эйлерова характеристика, which is an integer.^[171] An example is the surface area of a sphere S of curvature 1 (so that its радиус кривизны, which coincides with its radius, is also 1.) The Euler characteristic of a sphere can be computed from its группы гомологии and is found to be equal to two. Таким образом, мы имеем

${\displaystyle A(S)=\int _{S}1\,dA=2\pi \cdot 2=4\pi }$

reproducing the formula for the surface area of a sphere of radius 1.

The constant appears in many other integral formulae in topology, in particular, those involving характеристические классы через Гомоморфизм Черна – Вейля.^[172]

Векторное исчисление

The techniques of vector calculus can be understood in terms of decompositions into сферические гармоники (показано)

Векторное исчисление is a branch of calculus that is concerned with the properties of векторные поля, and has many physical applications such as to electricity and magnetism. В Ньютоновский потенциал for a point source Q situated at the origin of a three-dimensional Cartesian coordinate system is^[173]

${\displaystyle V(\mathbf {x} )=-{\frac {kQ}{|\mathbf {x} |}}}$

который представляет собой потенциальная энергия of a unit mass (or charge) placed a distance |Икс| from the source, and k is a dimensional constant. The field, denoted here by E, which may be the (Newtonian) гравитационное поле or the (Coulomb) электрическое поле, is the negative градиент потенциала:

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V.}$

Special cases include Закон Кулона и Закон всемирного тяготения Ньютона. Gauss' law states that the outward поток of the field through any smooth, simple, closed, orientable surface S containing the origin is equal to 4πkQ:

${\displaystyle 4\pi kQ=}$ ${\displaystyle {\scriptstyle S}}$ ${\displaystyle \mathbf {E} \cdot d\mathbf {A} .}$

It is standard to absorb this factor of 4π into the constant k, but this argument shows why it must appear somewhere. Более того, 4π is the surface area of the unit sphere, but we have not assumed that S is the sphere. However, as a consequence of the теорема расходимости, because the region away from the origin is vacuum (source-free) it is only the homology class поверхности S в р³\{0} that matters in computing the integral, so it can be replaced by any convenient surface in the same homology class, in particular, a sphere, where spherical coordinates can be used to calculate the integral.

A consequence of the Gauss law is that the negative Лапласиан of the potential V равно 4πkQ раз Дельта-функция Дирака:

${\displaystyle \Delta V(\mathbf {x} )=-4\pi kQ\delta (\mathbf {x} ).}$

More general distributions of matter (or charge) are obtained from this by свертка, давая Уравнение Пуассона

${\displaystyle \Delta V(\mathbf {x} )=-4\pi k\rho (\mathbf {x} )}$

куда ρ is the distribution function.

Einstein's equation states that the curvature of space-time is produced by the matter-energy content.

Постоянная π also plays an analogous role in four-dimensional potentials associated with Уравнения Эйнштейна, a fundamental formula which forms the basis of the общая теория относительности and describes the fundamental interaction из гравитация в результате пространство-время существование изогнутый к иметь значение и энергия:^[174]

${\displaystyle R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}Rg_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu },}$

куда р_μν это Ricci curvature tensor, р это скалярная кривизна, грамм_μν это метрический тензор, Λ это космологическая постоянная, грамм является Newton's gravitational constant, c это скорость света in vacuum, and Т_μν это тензор энергии-импульса. The left-hand side of Einstein's equation is a non-linear analogue of the Laplacian of the metric tensor, and reduces to that in the weak field limit, with the ${\displaystyle \Lambda g}$ term playing the role of a Множитель Лагранжа, and the right-hand side is the analogue of the distribution function, times 8π.

Интегральная формула Коши

Complex analytic functions can be visualized as a collection of streamlines and equipotentials, systems of curves intersecting at right angles. Here illustrated is the complex logarithm of the Gamma function.

One of the key tools in комплексный анализ является contour integration of a function over a positively oriented (rectifiable ) Кривая Иордании γ. Форма Интегральная формула Коши states that if a point z₀ is interior to γ, тогда^[175]

${\displaystyle \oint _{\gamma }{\frac {dz}{z-z_{0}}}=2\pi i.}$

Although the curve γ is not a circle, and hence does not have any obvious connection to the constant π, a standard proof of this result uses Теорема Мореры, which implies that the integral is invariant under гомотопия of the curve, so that it can be deformed to a circle and then integrated explicitly in polar coordinates. More generally, it is true that if a rectifiable closed curve γ не содержит z₀, then the above integral is 2πя раз winding number кривой.

The general form of Cauchy's integral formula establishes the relationship between the values of a complex analytic function ж(z) on the Jordan curve γ и ценность ж(z) at any interior point z₀ из γ:^[176][177]

${\displaystyle \oint _{\gamma }{f(z) \over z-z_{0}}\,dz=2\pi if(z_{0})}$

при условии ж(z) is analytic in the region enclosed by γ and extends continuously to γ. Cauchy's integral formula is a special case of the теорема о вычетах, что если грамм(z) это мероморфная функция the region enclosed by γ и непрерывна в окрестности γ, тогда

${\displaystyle \oint _{\gamma }g(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (g,a_{k})}$

где сумма равна остатки на полюса из грамм(z).

Гамма-функция и приближение Стирлинга

В Расслоение Хопфа 3-сферы, по Вильярсо круги, над сложная проективная линия с этими Метрика Фубини – Этюд (показаны три параллели). Личность S₃(1)/S₂(1) = π / 2 это следствие.

Факториальная функция п! это произведение всех положительных целых чисел через п. В гамма-функция расширяет понятие факториал (обычно определяется только для неотрицательных целых чисел) для всех комплексных чисел, кроме отрицательных действительных целых чисел. Когда гамма-функция оценивается как полуцелые числа, результат содержит π; Например ${\displaystyle \Gamma (1/2)={\sqrt {\pi }}}$ и ${\textstyle \Gamma (5/2)={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}}$.^[178]

Гамма-функция определяется своим Продукт Вейерштрасса разработка:^[179]

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {e^{z/n}}{1+z/n}}}$

куда γ это Константа Эйлера – Маскерони. Оценивается на z = 1/2 и в квадрате уравнение Γ (1/2)² = π сводится к формуле продукта Уоллиса. Гамма-функция также связана с Дзета-функция Римана и идентичности для функциональный детерминант, в котором постоянная π играет важную роль.

Гамма-функция используется для расчета объема V_п(р) из п-мерный шар радиуса р в евклидовом п-размерное пространство и площадь поверхности S_п−1(р) его границы, (п−1) -мерная сфера:^[180]

${\displaystyle V_{n}(r)={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n},}$

${\displaystyle S_{n-1}(r)={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}r^{n-1}.}$

Далее, из функциональное уравнение который

${\displaystyle 2\pi r={\frac {S_{n+1}(r)}{V_{n}(r)}}.}$

Гамма-функцию можно использовать для создания простого приближения к факториальной функции. п! для больших п: ${\textstyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}$ который известен как Приближение Стирлинга.^[181] Эквивалентно

${\displaystyle \pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {e^{2n}n!^{2}}{2n^{2n+1}}}.}$

В качестве геометрического приложения приближения Стирлинга пусть Δ_п обозначить стандартный симплекс в п-мерное евклидово пространство, и (п + 1) Δ_п обозначают симплекс, все стороны которого увеличены в масштабе п + 1. потом

${\displaystyle \operatorname {Vol} ((n+1)\Delta _{n})={\frac {(n+1)^{n}}{n!}}\sim {\frac {e^{n+1}}{\sqrt {2\pi n}}}.}$

Гипотеза об объеме Эрхарта состоит в том, что это (оптимальная) верхняя граница объема выпуклое тело содержащий только один точка решетки.^[182]

Теория чисел и дзета-функция Римана

Каждое простое число связано с Prüfer group, которые являются арифметическими локализациями окружности. В L-функции аналитической теории чисел также локализованы в каждом простом п.

Решение Базельской проблемы с помощью Гипотеза Вейля: значение ζ(2) это гиперболический область фундаментальной области модульная группа, раз 2π.

В Дзета-функция Римана ζ(s) используется во многих областях математики. При оценке на s = 2 это можно записать как

${\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }$

Нахождение простое решение для этой бесконечной серии была известная проблема в математике, названная Базельская проблема. Леонард Эйлер решил ее в 1735 году, когда показал, что она равна π²/6.^[92] Результат Эйлера приводит к теория чисел приводят к тому, что вероятность того, что два случайных числа относительно простой (то есть без общих факторов) равно 6 / π².^[183][184] Эта вероятность основана на наблюдении, что вероятность того, что любое число делимый по прайму п является 1/п (например, каждое 7-е целое число делится на 7.) Следовательно, вероятность того, что два числа делятся на это простое число, равна 1/п², а вероятность того, что хотя бы один из них нет, равна 1 − 1/п². Для различных простых чисел эти события делимости взаимно независимы; поэтому вероятность того, что два числа являются взаимно простыми, определяется произведением всех простых чисел:^[185]

${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{p}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)&=\left(\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1-p^{-2}}}\right)^{-1}\\[4pt]&={\frac {1}{1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots }}\\[4pt]&={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 61\%.\end{aligned}}}$

Эта вероятность может использоваться вместе с генератор случайных чисел приблизить π используя подход Монте-Карло.^[186]

Решение проблемы Базеля означает, что геометрически полученная величина π глубоко связано с распределением простых чисел. Это частный случай Гипотеза Вейля о числах Тамагавы, что утверждает равенство подобных бесконечных произведений арифметика количества, локализованные в каждом штрихе п, а геометрический количество: величина, обратная объему определенного локально симметричное пространство. В случае проблемы Базеля это гиперболическое 3-многообразие SL₂(р) /SL₂(Z).^[187]

Дзета-функция также удовлетворяет функциональному уравнению Римана, которое включает π а также гамма-функция:

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s).}$

Кроме того, производная дзета-функции удовлетворяет

${\displaystyle \exp(-\zeta '(0))={\sqrt {2\pi }}.}$

Следствием этого является то, что π можно получить из функциональный детерминант из гармонический осциллятор. Этот функциональный детерминант может быть вычислен с помощью разложения произведения и эквивалентен формуле произведения Уоллиса.^[188] Расчет можно изменить в квантовая механика в частности вариационный подход к спектр атома водорода.^[189]

Ряд Фурье

π появляется в персонажах p-адические числа (показаны), которые являются элементами Prüfer group. Тезис Тейта активно использует эту технику.^[190]

Постоянная π также естественно появляется в Ряд Фурье из периодические функции. Периодические функции - это функции на группе Т =р/Z дробных частей действительных чисел. Разложение Фурье показывает, что комплекснозначная функция ж на Т можно записать как бесконечную линейную суперпозицию унитарные персонажи из Т. То есть непрерывный групповые гомоморфизмы из Т к круговая группа U(1) комплексных чисел единичного модуля. Это теорема, что каждый персонаж Т одна из комплексных экспонент ${\displaystyle e_{n}(x)=e^{2\pi inx}}$.

Есть уникальный персонаж на Т, с точностью до комплексного сопряжения, то есть изоморфизм групп. С использованием Мера Хаара на круговой группе постоянная π вдвое меньше Производная Радона – Никодима этого персонажа. Остальные символы имеют производные, величина которых является положительным целым числом, кратным 2π.^[21] В результате постоянная π - уникальный номер такой, что группа Т, снабженный мерой Хаара, является Понтрягин дуальный к решетка целых кратных 2π.^[191] Это вариант одномерного Формула суммирования Пуассона.

Модульные формы и тета-функции

Тета-функции преобразуются при решетка периодов эллиптической кривой.

Постоянная π глубоко связан с теорией модульные формы и тета-функции. Например, Алгоритм Чудновского существенно вовлекает j-инвариантный из эллиптическая кривая.

Модульные формы находятся голоморфные функции в верхняя полуплоскость характеризуются своими трансформационными свойствами при модульная группа ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ (или ее различные подгруппы) решетка в группе ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$. Примером может служить Тета-функция Якоби

${\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{2\pi inz+i\pi n^{2}\tau }}$

который является разновидностью модульной формы, называемой Форма Якоби.^[192] Иногда это пишут в терминах ном ${\displaystyle q=e^{\pi i\tau }}$.

Постоянная π - единственная постоянная, делающая тета-функцию Якоби автоморфная форма, что означает, что он преобразуется определенным образом. Некоторые тождества верны для всех автоморфных форм. Примером является

${\displaystyle \theta (z+\tau ,\tau )=e^{-\pi i\tau -2\pi iz}\theta (z,\tau ),}$

откуда следует, что θ преобразуется как представление при дискретном Группа Гейзенберга. Общие модульные формы и др. тета-функции также включать π, еще раз из-за Теорема Стоуна – фон Неймана.^[192]

Распределение Коши и теория потенциала

В Ведьма Агнези, названный в честь Мария Аньези (1718–1799), представляет собой геометрическую конструкцию графика распределения Коши.

В Распределение Коши

${\displaystyle g(x)={\frac {1}{\pi }}\cdot {\frac {1}{x^{2}+1}}}$

это функция плотности вероятности. Полная вероятность равна единице благодаря интегралу:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{x^{2}+1}}\,dx=\pi .}$

В Энтропия Шеннона распределения Коши равна ln (4π), который также включает π.

Распределение Коши определяет прохождение Броуновские частицы через мембрану.

Распределение Коши играет важную роль в теория потенциала потому что это самый простой Мера Фюрстенберга, классический Ядро Пуассона связанный с Броуновское движение в полуплоскости.^[193] Сопряженные гармонические функции а также Преобразование Гильберта связаны с асимптотикой ядра Пуассона. Преобразование Гильберта ЧАС - интегральное преобразование, задаваемое Главное значение Коши из сингулярный интеграл

${\displaystyle Hf(t)={\frac {1}{\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {f(x)\,dx}{x-t}}.}$

Постоянная π единственный (положительный) нормирующий множитель такой, что ЧАС определяет линейная сложная структура на гильбертовом пространстве суммируемых с квадратом действительных функций на вещественной прямой.^[194] Преобразование Гильберта, как и преобразование Фурье, можно охарактеризовать исключительно с точки зрения его свойств преобразования в гильбертовом пространстве. L²(р): с точностью до коэффициента нормализации это единственный ограниченный линейный оператор, который коммутирует с положительными растяжениями и антикоммутирует со всеми отражениями вещественной прямой.^[195] Постоянная π - единственный нормализующий коэффициент, делающий это преобразование унитарным.

Сложная динамика

π можно вычислить из Набор Мандельброта, подсчитав количество итераций, необходимых до точки (−0.75, ε) расходится.

Возникновение π в Набор Мандельброта фрактал был обнаружен Дэвидом Боллом в 1991 году.^[196] Он исследовал поведение множества Мандельброта около «шеи» на (−0.75, 0). Если точки с координатами (−0.75, ε) считаются, как ε стремится к нулю, количество итераций до расхождения для точки умножается на ε сходится к π. Смысл (0.25 + ε, 0) на острие большой «долины» в правой части множества Мандельброта ведет себя аналогично: количество итераций до расхождения, умноженное на квадратный корень из ε как правило π.^[196][197]

Вне математики

Описание физических явлений

Хотя не физическая постоянная, π обычно появляется в уравнениях, описывающих фундаментальные принципы Вселенной, часто из-за πотношение к кругу и к сферические системы координат. Простая формула из области классическая механика дает приблизительный период Т простого маятник длины L, раскачиваясь с небольшой амплитудой (грамм это ускорение свободного падения земли ):^[198]

${\displaystyle T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}.}$

Одна из ключевых формул квантовая механика является Принцип неопределенности Гейзенберга, что показывает, что неопределенность измерения положения частицы (ΔИкс) и импульс (Δп) не могут быть одновременно сколь угодно малыми (где час является Постоянная Планка ):^[199]

${\displaystyle \Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}.}$

Дело в том, что π примерно равно 3 играет роль в относительно долгом времени жизни ортопозитроний. Время жизни, обратное к низшему порядку по постоянная тонкой структуры α является^[200]

${\displaystyle {\frac {1}{\tau }}=2{\frac {\pi ^{2}-9}{9\pi }}m\alpha ^{6},}$

куда м - масса электрона.

π присутствует в некоторых формулах структурной инженерии, таких как коробление формула Эйлера, которая дает максимальную осевую нагрузку F что длинный, тонкий столбец длины L, модуль упругости E, и момент инерции площади я можно носить без коробления:^[201]

${\displaystyle F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}.}$

Поле динамика жидкостей содержит π в Закон Стокса, что приближает сила трения F на малое, сферический объекты радиуса р, движущийся со скоростью v в жидкость с динамическая вязкость η:^[202]

${\displaystyle F=6\pi \eta Rv.}$

В электромагнетизме вакуумная проницаемость постоянный μ₀ появляется в Уравнения Максвелла, которые описывают свойства электрический и магнитный поля и электромагнитное излучение. До 20 мая 2019 года он определялся как

${\displaystyle \mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}{\text{ H/m}}\approx 1.2566370614\ldots \times 10^{-6}{\text{ N/A}}^{2}.}$

Соотношение для скорость света в вакууме, c можно вывести из уравнений Максвелла в среде классический вакуум используя отношения между μ₀ и электрическая постоянная (диэлектрическая проницаемость вакуума), ε₀ в единицах СИ:

${\displaystyle c={1 \over {\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}.}$

В идеальных условиях (равномерный пологий уклон на однородно эродируемом основании) извилистость из извилистый река подходит π. Извилистость - это соотношение между фактической длиной и расстоянием по прямой от источника до устья. Более быстрые течения по внешним краям изгибов реки вызывают большую эрозию, чем по внутренним краям, таким образом раздвигая изгибы еще дальше и увеличивая общую извилистость реки. Однако эта петля в конечном итоге приводит к тому, что река местами удваивается и замыкается, создавая Ox-Bow Lake в процессе. Баланс между этими двумя противоположными факторами приводит к среднему соотношению π между фактической длиной и прямым расстоянием между источником и устьем.^[203][204]

Запоминание цифр

Основная статья: Пифилология

Пифилология это практика запоминания большого количества цифр π,^[205] и мировые рекорды хранятся Книга Рекордов Гиннесса. Рекорд по запоминанию цифр π, сертифицированный Книгой рекордов Гиннеса, состоит из 70000 цифр, произнесенных в Индии Раджвиром Мина за 9 часов 27 минут 21 марта 2015 года.^[206] В 2006 г. Акира Харагути, японский инженер на пенсии, утверждал, что он произнес 100 000 знаков после запятой, но это утверждение не было подтверждено Книгой рекордов Гиннеса.^[207]

Один из распространенных приемов - запоминание рассказа или стихотворения, в которых длина слова представляет собой цифры π: В первом слове три буквы, во втором - одна, в третьем - четыре, в четвертом - одна, в пятом - пять и т. Д. Такие средства запоминания называются мнемоника. Ранний пример мнемоники для числа Пи, первоначально изобретенной английским ученым. Джеймс Джинс, это «Как мне хочется выпить, конечно, алкогольного, после тяжелых лекций по квантовой механике».^[205] Когда используется стихотворение, его иногда называют пьем. Стихи для запоминания π были составлены на нескольких языках помимо английского.^[205] Рекордная постановка π запоминатели обычно не полагаются на стихи, а вместо этого используют такие методы, как запоминание числовых шаблонов и метод локусов.^[208]

Некоторые авторы использовали цифры π установить новую форму ограниченное письмо, где длины слов должны представлять цифры π. В Кадейская каденция содержит первые 3835 цифр π таким образом,^[209] и полнометражная книга Не пробуждение содержит 10 000 слов, каждое из которых представляет одну цифру π.^[210]

В популярной культуре

Пирог. Круглая форма пирог делает его частым предметом пи каламбуры.

Возможно, из-за простоты его определения и его повсеместного присутствия в формулах, π был представлен в массовой культуре больше, чем другие математические конструкции.^[211]

В 2008 году Открытый университет и BBC документальное совместное производство, История математики, вышел в эфир в октябре 2008 года на канале BBC Четыре, Британский математик Маркус дю Сотуа показывает визуализация из - исторически первый точный - формула для расчета π при посещении Индии и изучении ее вклада в тригонометрию.^[212]

в Palais de la Découverte (музей науки в Париже) есть круглая комната, известная как пи комната. На его стене начертано 707 цифр π. Цифры - большие деревянные символы, прикрепленные к куполообразному потолку. Цифры были основаны на вычислении 1853 года английским математиком. Уильям Шанкс, который включал ошибку, начинающуюся с 528-й цифры. Ошибка была обнаружена в 1946 году и исправлена ​​в 1949 году.^[213]

В Карл Саган роман Контакт предполагается, что создатель вселенной похоронил сообщение глубоко внутри цифр π.^[214] Цифры π также были включены в текст песни «Pi» из альбома Антенна к Кейт Буш.^[215]

В Соединенных Штатах, День Пи выпадает на 14 марта (написано 3/14 в американском стиле) и популярен среди студентов.^[216] π и его цифровое представление часто используется самоописанием "математики выродки " за внутри шутки среди математически и технологически мыслящих групп. Несколько колледжей ваше здоровье на Массачусетский Институт Технологий включить "3.14159".^[217] День Пи в 2015 году был особенно значимым, потому что дата и время 15.03.15 9:26:53 отражали намного больше цифр числа Пи.^[218] В тех частях мира, где даты обычно обозначаются в формате день / месяц / год, 22 июля представляет «День приближения числа Пи», так как 22/7 = 3,142857.^[219]

В ходе аукциона 2011 г. Nortel портфель ценных технологических патентов, Google сделал ряд необычно конкретных предложений, основанных на математических и научных константах, в том числе π.^[220]

В 1958 г. Альберт Игл предложил замена π к τ (тау ), куда τ = π/2, чтобы упростить формулы.^[221] Однако, как известно, другие авторы не использовали τ таким образом. Некоторые люди используют другое значение, τ = 2π = 6.28318...,^[222] утверждая, что τ, как количество радианов в одном повернуть, или как отношение длины окружности к ее радиусу, а не к диаметру, более естественно, чем π и упрощает многие формулы.^[223][224] Празднование этого числа, поскольку оно приблизительно равно 6,28, приготовив 28 июня «День Тау» и съев «вдвое больше пирога»,^[225] появились сообщения в СМИ. Однако это использование τ не вошла в основную математику.^[226]

В 1897 году математик-любитель попытался убедить Законодательный орган Индианы передать Индиана Пи Билл, в котором описан метод квадрат круга и содержал текст, подразумевающий различные неправильные значения для π, в том числе 3.2. Законопроект печально известен как попытка установить значение научной постоянной посредством законодательного указа. Законопроект был принят Палатой представителей Индианы, но отклонен Сенатом, что означает, что он не стал законом.^[227]

В компьютерной культуре

В современном Интернет-культура, частные лица и организации часто отдают дань уважения количеству π. Например, специалист в области информатики Дональд Кнут пусть номера версий его программы TeX подход π. Версии 3, 3.1, 3.14 и так далее.^[228]

Смотрите также

• Приближения π
• Хронология вычисления π
• Список математических констант
• День Пи

Рекомендации

Сноски

1. Точный интеграл, который использовал Вейерштрасс, был ${\displaystyle \pi =\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}.}$ Remmert 2012, п. 148
2. Показанный полином - это первые несколько членов Серия Тейлор расширение синус функция.
3. Якобы построена так, что круг, радиус которого равен высоте пирамиды, имеет окружность, равную периметру основания.

Цитаты

1. «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 1 марта 2020 г.. Получено 10 августа 2020.
2. Вайсштейн, Эрик В. "Число Пи". mathworld.wolfram.com. Получено 10 августа 2020.
3. Богарт, Стивен. «Что такое Пи и как он возник?». Scientific American. Получено 10 августа 2020.
4. Эндрюс, Эски и Рой 1999, п. 59.
5. Гупта 1992 С. 68–71.
6. "π^е триллион цифр числа π ". pi2e.ch. В архиве из оригинала от 6 декабря 2016 г.
7. Харука Ивао, Эмма (14 марта 2019 г.). "Пи в небе: вычисление рекордных 31,4 триллиона цифр постоянной Архимеда в Google Cloud". Облачная платформа Google. В архиве из оригинала 19 октября 2019 г.. Получено 12 апреля 2019.
8. Arndt & Haenel 2006, п. 17.
9. Bailey et al. 1997 г. С. 50–56.
10. Боинг 2016.
11. "число Пи". Dictionary.reference.com. 2 марта 1993 г. В архиве из оригинала 28 июля 2014 г.. Получено 18 июн 2012.
12. Arndt & Haenel 2006, п. 8.
13. Апостол, Том (1967). Исчисление, том 1 (2-е изд.). Вайли.. п. 102: «С логической точки зрения, на данном этапе это неудовлетворительно, потому что мы еще не обсуждали понятие длины дуги». Длина дуги указана на стр. 529.
14. Remmert 2012, п. 129.
15. Бальцер, Ричард (1870), Die Elemente der Mathematik [Элементы математики] (на немецком языке), Hirzel, p. 195, в архиве из оригинала 14 сентября 2016 г.
16. Ландау, Эдмунд (1934), Einführung in die Differentialrechnung und Integralrechnung (на немецком языке), Noordoff, p. 193
17. Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа. Макгроу-Хилл. ISBN  978-0-07-054235-8., п. 183.
18. Рудин, Вальтер (1986). Реальный и комплексный анализ. Макгроу-Хилл., п. 2.
19. Альфорс, Ларс (1966), Комплексный анализ, Макгроу-Хилл, стр. 46
20. Бурбаки, Николас (1981), Общая топология, Springer, §VIII.2.
21. Бурбаки, Николас (1979), Fonctions d'une variable réelle (на французском языке), Springer, §II.3.
22. Arndt & Haenel 2006, п. 5.
23. Салихов, В. (2008). «О мере иррациональности числа пи». Российские математические обзоры. 53 (3): 570–572. Bibcode:2008RuMaS..63..570S. Дои:10.1070 / RM2008v063n03ABEH004543.
24. Arndt & Haenel 2006, стр. 22–23
    Прейс, Пол (23 июля 2001 г.). «Случайны ли цифры числа Пи? Ключ может быть в руках исследователя». Национальная лаборатория Лоуренса Беркли. В архиве из оригинала 20 октября 2007 г.. Получено 10 ноября 2007.
25. Arndt & Haenel 2006, стр. 22, 28–30.
26. Arndt & Haenel 2006, п. 3.
27. Майер, Стив. "Превосходство π". Архивировано из оригинал 29 сентября 2000 г.. Получено 4 ноября 2007.
28. Posamentier & Lehmann 2004, п. 25
29. Эймар и Лафон 1999, п. 129
30. Бекманн 1989, п. 37
    Шлагер, Нил; Лауэр, Джош (2001). Наука и ее времена: понимание социального значения научных открытий. Гейл Групп. ISBN  978-0-7876-3933-4. В архиве с оригинала 13 декабря 2019 г.. Получено 19 декабря 2019., п. 185.
31. Эймар и Лафон 1999, п. 78
32. Слоан, Н. Дж. А. (ред.). «Последовательность A001203 (непрерывная дробь для Pi)». В Он-лайн энциклопедия целочисленных последовательностей. Фонд OEIS. Проверено 12 апреля 2012 года.
33. Lange, L.J. (май 1999 г.). "Элегантная непрерывная дробь для π". Американский математический ежемесячник. 106 (5): 456–458. Дои:10.2307/2589152. JSTOR  2589152.
34. Arndt & Haenel 2006, п. 240.
35. Arndt & Haenel 2006, п. 242.
36. Кеннеди, Э. (1978), «Абу-р-Райхан аль-Бируни, 973–1048», Журнал истории астрономии, 9: 65, Bibcode:1978JHA ..... 9 ... 65K, Дои:10.1177/002182867800900106, S2CID  126383231. Птолемей использовали приближение с тремя шестидесятеричными цифрами, и Джамшид аль-Каши расширил это до девяти цифр; видеть Aaboe, Asger (1964), Эпизоды из ранней истории математики, Новая математическая библиотека, 13, Нью-Йорк: Random House, стр. 125, ISBN  978-0-88385-613-0, в архиве из оригинала 29 ноября 2016 г.
37. Эйерс 1964, п. 100
38. Бронштейн и Семендяев 1971, п. 592
39. Маор, Эли, E: История числа, Princeton University Press, 2009, стр. 160, ISBN  978-0-691-14134-3 («пять важнейших» констант).
40. Вайсштейн, Эрик В. «Корни единства». MathWorld.
41. Петри, W.M.F. Мудрость египтян (1940)
42. Вернер, Мирослав. Пирамиды: тайна, культура и наука великих памятников Египта. Grove Press. 2001 (1997). ISBN  0-8021-3935-3
43. Росси 2004.
44. Легон, J.A.R. О размерах и пропорциях пирамиды (1991) Обсуждения в египтологии (20) 25–34 "Пропорции египетской пирамиды". В архиве из оригинала 18 июля 2011 г.. Получено 7 июн 2011.
45. "Мы можем сделать вывод, что, хотя древние египтяне не могли точно определить значение π, на практике они это использовали ». Вернер, М. (2003). Пирамиды: их археология и история., п. 70.
    Петри (1940). Мудрость египтян., п. 30.
    Смотрите также Легон, J.A.R. (1991). «О размерах и пропорциях пирамид». Обсуждения в египтологии. 20: 25–34. В архиве из оригинала 18 июля 2011 г..
    Смотрите также Петри, W.M.F. (1925). «Обзоры Великих пирамид». Природа. 116 (2930): 942. Bibcode:1925Натура.116..942П. Дои:10.1038 / 116942a0. S2CID  33975301.
46. Росси 2004 С. 60–70, 200.
47. Шермер, Майкл, Скептическая энциклопедия лженауки, ABC-CLIO, 2002, стр. 407–408, ISBN  978-1-57607-653-8.
    Также Fagan, Garrett G., Археологические фантазии: как псевдоархеология искажает прошлое и вводит в заблуждение общественность, Рутледж, 2006 г., ISBN  978-0-415-30593-8.
    Для списка объяснений формы, которые не включают π, видеть Герц-Фишлер, Роджер (2000). Форма Великой пирамиды. Издательство Университета Уилфрида Лорье. С. 67–77, 165–166. ISBN  978-0-88920-324-2. В архиве из оригинала 29 ноября 2016 г.. Получено 5 июн 2013.
48. Arndt & Haenel 2006, п. 167.
49. Чайтанья, Кришна. Профиль индийской культуры. В архиве 29 ноября 2016 г. Wayback Machine Индийская книжная компания (1975). п. 133.
50. Arndt & Haenel 2006, п. 169.
51. Arndt & Haenel 2006, п. 170.
52. Arndt & Haenel 2006 С. 175, 205.
53. «Вычисление Пи Архимедом: Вычисление Пи Архимедом - Обмен файлами - MATLAB Central». Mathworks.com. В архиве из оригинала 25 февраля 2013 г.. Получено 12 марта 2013.
54. Arndt & Haenel 2006, п. 171.
55. Arndt & Haenel 2006, п. 176.
56. Бойер и Мерцбах 1991, п. 168.
57. Arndt & Haenel 2006, pp. 15–16, 175, 184–186, 205. Grienberger получил 39 цифр в 1630 году; Четкая 71 цифра в 1699 году.
58. Arndt & Haenel 2006 С. 176–177.
59. Бойер и Мерцбах 1991, п. 202
60. Arndt & Haenel 2006, п. 177.
61. Arndt & Haenel 2006, п. 178.
62. Arndt & Haenel 2006, п. 179.
63. Arndt & Haenel 2006, п. 180.
64. Азарян, Мохаммад К. (2010). "Аль-Рисала аль-Мухитийя: Краткое содержание". Журнал математических наук штата Миссури. 22 (2): 64–85. Дои:10.35834 / mjms / 1312233136.
65. О'Коннор, Джон Дж .; Робертсон, Эдмунд Ф. (1999). "Гияс ад-Дин Джамшид Масуд аль-Каши". Архив истории математики MacTutor. В архиве из оригинала 12 апреля 2011 г.. Получено 11 августа 2012.
66. Arndt & Haenel 2006, п. 182.
67. Arndt & Haenel 2006 С. 182–183.
68. Arndt & Haenel 2006, п. 183.
69. Grienbergerus, Christophorus (1630). Elementa Trigonometrica (PDF) (на латыни). Архивировано из оригинал (PDF) 1 февраля 2014 г. Его оценка была 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < π < 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.
70. Arndt & Haenel 2006, стр. 185–191
71. Рой 1990 С. 101–102.
72. Arndt & Haenel 2006 С. 185–186.
73. Рой 1990, стр. 101–102
74. Джозеф 1991, п. 264.
75. Arndt & Haenel 2006, п. 188. Ньютон, цитируемый Арндтом.
76. Arndt & Haenel 2006, п. 187.
77. OEIS: A060294
78. Variorum de rebus mathematicis resporum liber VIII.
79. Arndt & Haenel 2006 С. 188–189.
80. Эймар и Лафон 1999, стр. 53–54
81. Arndt & Haenel 2006, п. 189.
82. Arndt & Haenel 2006, п. 156.
83. Arndt & Haenel 2006 С. 192–193.
84. Arndt & Haenel 2006, стр. 72–74
85. Arndt & Haenel 2006 С. 192–196, 205.
86. Arndt & Haenel 2006, стр. 194–196
87. Borwein, J.M .; Борвейн, П. (1988). «Рамануджан и Пи». Scientific American. 256 (2): 112–117. Bibcode:1988SciAm.258b.112B. Дои:10.1038 / scientificamerican0288-112.
    Arndt & Haenel 2006, стр. 15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202
88. Arndt & Haenel 2006 С. 69–72.
89. Borwein, J.M .; Borwein, P.B .; Дилчер, К. (1989). «Пи, числа Эйлера и асимптотические разложения». Американский математический ежемесячный журнал. 96 (8): 681–687. Дои:10.2307/2324715. HDL:1959.13/1043679. JSTOR  2324715.
90. Arndt & Haenel 2006, п. 223: (формула 16.10).
91. Уэллс, Дэвид (1997). Словарь любопытных и интересных чисел Penguin (переработанная ред.). Пингвин. п. 35. ISBN  978-0-14-026149-3.
92. Posamentier & Lehmann 2004, п. 284
93. Ламбер, Иоганн, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des Quantités transcendantes circaires et logarithmiques", перепечатанный в Берггрен, Борвейн и Борвейн 1997, стр. 129–140
94. Arndt & Haenel 2006, п. 196.
95. Харди и Райт 1938 и 2000: 177, сноска, § 11.13–14 ссылаются на доказательство Линдеманна, приведенное в Математика. Анна. 20 (1882), 213–225.
96. см. Харди и Райт 1938 и 2000: 177, сноска, § 11.13–14. Доказательства трансцендентности e и π можно найти на стр. 170–176. Они ссылаются на два источника доказательств: Ландау 1927 или Перрон 1910; см. «Список книг» на стр. 417–419 для полных цитат.
97. Отред, Уильям (1652). Теорематум в библиотеке Archimedis de sphaera et cylindro declarario (на латыни). Excudebat L. Lichfield, Veneunt apud T. Robinson. δ.π :: полудиаметр. полупериферия
98. Кахори, Флориан (2007). История математических обозначений: Vol. II. Cosimo, Inc., стр. 8–13. ISBN  978-1-60206-714-1. отношение длины круга к его диаметру было представлено в дробной форме с помощью двух букв ... J.A. Сегнер ... в 1767 году он изобразил 3,14159 ... посредством δ: π, как и Отред более века назад.
99. Смит, Дэвид Э. (1958). История математики. Курьерская корпорация. п. 312. ISBN  978-0-486-20430-7.
100. Арчибальд, Р. (1921). "Исторические заметки об отношениях ${\displaystyle e^{-(\pi /2)}=i^{i}}$". Американский математический ежемесячник. 28 (3): 116–121. Дои:10.2307/2972388. JSTOR  2972388. Заметно, что эти буквы никогда используется отдельно, то есть π является нет используется для 'Semiperipheria'
101. Arndt & Haenel 2006, п. 166.
102. См., Например, Отред, Уильям (1648). Clavis Mathematic [Ключ к математике] (на латыни). Лондон: Томас Харпер. п.69. (Английский перевод: Отред, Уильям (1694). Ключ математики. Дж. Салусбери.)
103. Барроу, Исаак (1860 г.). «Лекция XXIV». В Whewell, Уильям (ред.). Математические работы Исаака Барроу (на латыни). Гарвардский университет. Издательство Кембриджского университета. п. 381.
104. Григорий, Давидис (1695). "Davidis Gregorii M.D. Astronomiae Professoris Sauiliani & S.R.S. Catenaria, Ad Reverendum Virum D. Henricum Aldrich S.T.T. Decanum Aedis Christi Oxoniae". Философские труды (на латыни). 19: 637–652. Bibcode:1695РСПТ ... 19..637Г. Дои:10.1098 / rstl.1695.0114. JSTOR  102382.
105. Джонс, Уильям (1706). Synopsis Palmariorum Matheseos: или новое введение в математику. С. 243, 263. В архиве из оригинала 25 марта 2012 г.. Получено 15 октября 2017.
106. Arndt & Haenel 2006, п. 165: Факсимиле текста Джонса находится в Берггрен, Борвейн и Борвейн 1997 С. 108–109.
107. Видеть Шеплер 1950, п. 220: Уильям Отред использовал письмо π для представления периферии (то есть окружности) круга.
108. Сегнер, Джоанн Андреас (1756). Cursus Mathematicus (на латыни). Halae Magdeburgicae. п. 282. В архиве из оригинала 15 октября 2017 г.. Получено 15 октября 2017.
109. Эйлер, Леонард (1727). "Tentamen explicationis phaenomenorum aeris" (PDF). Комментарии Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitana (на латыни). 2: 351. E007. В архиве (PDF) с оригинала на 1 апреля 2016 г.. Получено 15 октября 2017. Sumatur pro ratione радиусов и периферии, I: π Английский перевод Яна Брюса В архиве 10 июня 2016 г. Wayback Machine: «π берется для отношения радиуса к периферии [обратите внимание, что в этой работе π Эйлера вдвое больше нашего π.]»
110. Эйлер, Леонард (1747). Генри, Чарльз (ред.). Lettres inédites d'Euler à d'Alembert. Bullettino di Bibliografia e di Storia delle Scienze Matematiche e Fisiche (На французском). 19 (опубликовано в 1886 г.). п. 139. E858. Автомобиль, soit π la circonference d'un cercle, dout le rayon est = 1 Английский перевод в Кахори, Флориан (1913). «История экспоненциальной и логарифмической концепций». Американский математический ежемесячник. 20 (3): 75–84. Дои:10.2307/2973441. JSTOR  2973441. Пусть π - длина (!) Окружности единичного радиуса
111. Эйлер, Леонард (1736). "Глава 3, предложение 34 Кор. 1". Mechanica sive motus scientia analytice exposita. (cum tabulis) (на латыни). 1. Academiae scientiarum Petropoli. п. 113. E015. Обозначим 1: π rationem diametri ad перифериам Английский перевод Яна Брюса В архиве 10 июня 2016 г. Wayback Machine : "Пусть 1: π обозначает отношение диаметра к длине окружности"
112. Эйлер, Леонард (1707–1783) (1922). Опера Леонарди Эйлера омния. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus / ediderunt Адольф Кразер и Фердинанд Рудио (на латыни). Lipsae: B.G. Teubneri. С. 133–134. E101. В архиве из оригинала 16 октября 2017 г.. Получено 15 октября 2017.
113. Сегнер, Иоганн Андреас фон (1761). Cursus Mathematicus: Elementorum Analyseos Infinitorum Elementorum Analyseos Infinitorvm (на латыни). Ренгер. п. 374. Si autem π ​​notet периферий кругов, диаметр cuius eſt 2
114. Arndt & Haenel 2006, п. 205.
115. Arndt & Haenel 2006, п. 197.
116. Reitwiesner 1950.
117. Arndt & Haenel 2006 С. 15–17.
118. Arndt & Haenel 2006, п. 131.
119. Arndt & Haenel 2006 С. 132, 140.
120. Arndt & Haenel 2006, п. 87.
121. Arndt & Haenel 2006, с. 111 (5 раз); С. 113–114 (4 раза): См. Borwein & Borwein 1987 для деталей алгоритмов
122. Бейли, Дэвид Х. (16 мая 2003 г.). «Некоторые сведения о недавнем вычислении числа числа числа числа Пи в Канаде» (PDF). В архиве (PDF) из оригинала 15 апреля 2012 г.. Получено 12 апреля 2012.
123. Джеймс Грайм, Пи и размер Вселенной, Numberphile, в архиве из оригинала от 6 декабря 2017 г., получено 25 декабря 2017
124. Arndt & Haenel 2006, стр. 17–19
125. Шудель, Мэтт (25 марта 2009 г.). "Джон В. Ренч, младший: математик любил пи". Вашингтон Пост. п. B5.
126. Коннор, Стив (8 января 2010 г.). «Большой вопрос: насколько близко мы подошли к знанию точного значения числа пи?». Независимый. Лондон. В архиве из оригинала 2 апреля 2012 г.. Получено 14 апреля 2012.
127. Arndt & Haenel 2006, п. 18.
128. Arndt & Haenel 2006, стр. 103–104
129. Arndt & Haenel 2006, п. 104
130. Arndt & Haenel 2006, стр.104, 206
131. Arndt & Haenel 2006, стр. 110–111
132. Эймар и Лафон 1999, п. 254
133. «Раунд 2 ... 10 триллионов цифр числа Пи» В архиве 1 января 2014 г. Wayback Machine, NumberWorld.org, 17 октября 2011 г. Проверено 30 мая 2012 г.
134. Тимоти Ревелл (14 марта 2017 г.). «Отпразднуйте день числа Пи, увеличив на 9 триллионов цифр больше, чем когда-либо прежде». Новый ученый. В архиве из оригинала 6 сентября 2018 г.. Получено 6 сентября 2018.
135. "Число Пи". В архиве с оригинала 31 августа 2018 г.. Получено 6 сентября 2018.
136. «Запись Pi возвращается на персональный компьютер». 20 января 2020 г.. Получено 30 сентября 2020.
137. PSLQ означает частичную сумму наименьших квадратов.
138. Plouffe, Саймон (Апрель 2006 г.). «Личности, вдохновленные записными книжками Рамануджана (часть 2)» (PDF). В архиве (PDF) из оригинала 14 января 2012 г.. Получено 10 апреля 2009.
139. Arndt & Haenel 2006, п. 39
140. Рамали, Дж. Ф. (октябрь 1969 г.). «Проблема лапши Буффона». Американский математический ежемесячник. 76 (8): 916–918. Дои:10.2307/2317945. JSTOR  2317945.
141. Arndt & Haenel 2006, стр. 39–40
     Posamentier & Lehmann 2004, п. 105
142. Грюнбаум, Б. (1960), «Константы проекции», Пер. Амер. Математика. Soc., 95 (3): 451–465, Дои:10.1090 / с0002-9947-1960-0114110-9
143. Arndt & Haenel 2006, стр.43
     Posamentier & Lehmann 2004, стр. 105–108
144. Arndt & Haenel 2006 С. 77–84.
145. Гиббонс, Джереми, "Алгоритмы неограниченного патрубка для цифр числа Пи" В архиве 2 декабря 2013 г. Wayback Machine, 2005. Гиббонс создал улучшенную версию алгоритма Вагона.
146. Arndt & Haenel 2006, п. 77.
147. Рабиновиц, Стэнли; Вагон, Стэн (март 1995). «Алгоритм втулки для цифр числа Пи». Американский математический ежемесячный журнал. 102 (3): 195–203. Дои:10.2307/2975006. JSTOR  2975006. Была создана компьютерная программа, реализующая алгоритм Вагона всего лишь в 120 символах программного обеспечения.
148. Arndt & Haenel 2006 С. 117, 126–128.
149. Бейли, Дэвид Х.; Борвейн, Питер Б.; Plouffe, Саймон (Апрель 1997 г.). «О быстром вычислении различных полилогарифмических констант» (PDF). Математика вычислений. 66 (218): 903–913. Bibcode:1997MaCom..66..903B. CiteSeerX  10.1.1.55.3762. Дои:10.1090 / S0025-5718-97-00856-9. В архиве (PDF) из оригинала от 22 июля 2012 г.
150. Arndt & Haenel 2006, п. 128. Plouffe действительно создал алгоритм извлечения десятичной цифры, но он медленнее, чем полное прямое вычисление всех предшествующих цифр.
151. Arndt & Haenel 2006, п. 20
     Формула Белларда в: Беллар, Фабрис. "Новая формула для вычисления n^th двоичная цифра пи ". Архивировано из оригинал 12 сентября 2007 г.. Получено 27 октября 2007.
152. Палмер, Джейсон (16 сентября 2010 г.). «Рекорд числа Пи побит, так как команда обнаружила две квадриллионной цифры». Новости BBC. В архиве из оригинала 17 марта 2011 г.. Получено 26 марта 2011.
153. Бронштейн и Семендяев 1971, стр.200, 209
154. Вайсштейн, Эрик В. "Полукруг". MathWorld.
155. Эйерс 1964, п. 60
156. Бронштейн и Семендяев 1971, стр. 210–211
157. Гильберт, Дэвид; Курант, Ричард (1966), Методы математической физики, том 1, Wiley, стр. 286–290.
158. Дым, Н .; Маккин, Г. (1972), Ряды и интегралы Фурье, Academic Press, стр. 47
159. Чавел, Исаак (2001), Изопериметрические неравенства, Издательство Кембриджского университета
160. Таленти, Джорджио (1976), "Наилучшая константа в неравенстве Соболева", Annali di Matematica Pura ed Applicata, 110 (1): 353–372, CiteSeerX  10.1.1.615.4193, Дои:10.1007 / BF02418013, ISSN  1618-1891, S2CID  16923822
161. Л. Эспозито; К. Нитч; К. Тромбетти (2011). «Наилучшие константы в неравенствах Пуанкаре для выпуклых областей». arXiv:1110.2960 [math.AP ].
162. М. Дель Пино; Дж. Долбо (2002), "Наилучшие константы для неравенств Гальярдо – Ниренберга и приложения к нелинейной диффузии", Journal de Mathématiques Pures et Appliquées, 81 (9): 847–875, CiteSeerX  10.1.1.57.7077, Дои:10.1016 / с0021-7824 (02) 01266-7
163. Payne, L.E .; Вайнбергер, Х.Ф. (1960), "Оптимальное неравенство Пуанкаре для выпуклых областей", Архив рациональной механики и анализа, 5 (1): 286–292, Bibcode:1960ArRMA ... 5..286P, Дои:10.1007 / BF00252910, ISSN  0003-9527, S2CID  121881343
164. Джеральд Фолланд (1989), Гармонический анализ в фазовом пространстве, Princeton University Press, стр. 5
165. Хау 1980
166. Феллер, В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, Vol. 1, Wiley, 1968, стр. 174–190.
167. Бронштейн и Семендяев 1971, стр. 106–107, 744, 748
168. Х. Дым; H.P. Маккин (1972), Ряды и интегралы Фурье, Academic Press; Раздел 2.7
169. Элиас Штайн; Гвидо Вайс (1971), Анализ Фурье на евклидовых пространствах, Princeton University Press, стр. 6; Теорема 1.13.
170. В. Овсиенко; С. Табачников (2004), Старая и новая проективная дифференциальная геометрия: от производной Шварца к когомологиям групп диффеоморфизмов, Кембриджские трактаты по математике, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-83186-4: Раздел 1.3
171. Михаил Спивак (1999), Подробное введение в дифференциальную геометрию, 3, Publish or Perish Press; Глава 6.
172. Кобаяси, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996), Основы дифференциальной геометрии, 2 (Новое изд.), Wiley Interscience, п. 293; Глава XII. Характерные классы
173. Х. М. Шей (1996) Div, Grad, Curl и все такое: неформальный текст по векторному исчислению, ISBN  0-393-96997-5.
174. Йео, Адриан, Удовольствия от пи, е и других интересных чисел, World Scientific Pub., 2006, стр. 21, ISBN  978-981-270-078-0.
     Элерс, Юрген, Уравнения поля Эйнштейна и их физические последствия, Springer, 2000, стр. 7, ISBN  978-3-540-67073-5.
175. Ларс Альфорс (1966), Комплексный анализ, Макгроу-Хилл, стр. 115
176. Вайсштейн, Эрик В. «Интегральная формула Коши». MathWorld.
177. Йоглекар, С.Д., Математическая физика, Universities Press, 2005, стр. 166, ISBN  978-81-7371-422-1.
178. Бронштейн и Семендяев 1971, стр. 191–192
179. Эмиль Артин (1964), Гамма-функция, Серия Афина; избранные темы по математике (1-е изд.), Холту, Райнхарту и Уинстону
180. Лоуренс Эванс (1997), Уравнения с частными производными, AMS, стр. 615.
181. Бронштейн и Семендяев 1971, п. 190
182. Бенджамин Нилл; Андреас Паффенхольц (2014), "О случае равенства в гипотезе Эрхарта об объеме", Достижения в геометрии, 14 (4): 579–586, arXiv:1205.1270, Дои:10.1515 / advgeom-2014-0001, ISSN  1615-7168, S2CID  119125713
183. Arndt & Haenel 2006, стр. 41–43
184. Эта теорема была доказана Эрнесто Сезаро в 1881 году. Более строгое доказательство, чем интуитивное и неформальное, приведенное здесь, см. в Hardy, G.H., Введение в теорию чисел, Oxford University Press, 2008 г., ISBN  978-0-19-921986-5, теорема 332.
185. Огилви, К.; Андерсон, Дж. Т., Экскурсии по теории чисел, Dover Publications Inc., 1988, стр. 29–35, ISBN  0-486-25778-9.
186. Arndt & Haenel 2006, п. 43
187. Владимир Платонов; Андрей Рапинчук (1994), Алгебраические группы и теория чисел, Academic Press, стр. 262–265.
188. Сондоу, Дж. (1994), "Аналитическое продолжение дзета-функции Римана и значений при отрицательных целых числах через преобразование Эйлера ряда", Proc. Амер. Математика. Soc., 120 (2): 421–424, CiteSeerX  10.1.1.352.5774, Дои:10.1090 / s0002-9939-1994-1172954-7
189. Т. Фридманн; К. Р. Хаген (2015). «Квантово-механический вывод формулы Уоллиса для числа пи». Журнал математической физики. 56 (11): 112101. arXiv:1510.07813. Bibcode:2015JMP .... 56k2101F. Дои:10.1063/1.4930800. S2CID  119315853.
190. Тейт, Джон Т. (1950), "Анализ Фурье в числовых полях и дзета-функции Гекке", Алгебраическая теория чисел (Proc. Instructional Conf., Brighton, 1965), Томпсон, Вашингтон, округ Колумбия, стр. 305–347, ISBN  978-0-9502734-2-6, МИСТЕР  0217026
191. Х. Дым; H.P. Маккин (1972), Ряды и интегралы Фурье, Academic Press; Глава 4
192. Мамфорд, Дэвид (1983), Лекции Tata о Theta I, Бостон: Birkhauser, стр. 1–117, ISBN  978-3-7643-3109-2
193. Сидней Порт; Чарльз Стоун (1978), Броуновское движение и классическая теория потенциала, Academic Press, стр. 29
194. * Титчмарш, Э. (1948), Введение в теорию интегралов Фурье (2-е изд.), Оксфордский университет: Clarendon Press (опубликовано в 1986 г.), ISBN  978-0-8284-0324-5.
195. Штейн, Элиас (1970), Сингулярные интегралы и свойства дифференцируемости функций, Princeton University Press; Глава II.
196. Клебанофф, Аарон (2001). «Пи в множестве Мандельброта» (PDF). Фракталы. 9 (4): 393–402. Дои:10.1142 / S0218348X01000828. Архивировано из оригинал (PDF) 27 октября 2011 г.. Получено 14 апреля 2012.
197. Пайтген, Хайнц-Отто, Хаос и фракталы: новые рубежи науки, Springer, 2004, стр. 801–803, ISBN  978-0-387-20229-7.
198. Холлидей, Дэвид; Резник, Роберт; Уокер, Джерл, Основы физики, 5-е изд., John Wiley & Sons, 1997, стр. 381, ISBN  0-471-14854-7.
199. Имамура, Джеймс М. (17 августа 2005 г.). «Принцип неопределенности Гейзенберга». Орегонский университет. Архивировано из оригинал 12 октября 2007 г.. Получено 9 сентября 2007.
200. Ициксон, К.; Зубер, Ж.-Б. (1980). Квантовая теория поля (Изд. 2005 г.). Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-44568-7. LCCN  2005053026. OCLC  61200849.
201. Низкий, Питер, Классическая теория структур на основе дифференциального уравнения, Архив CUP, 1971, стр. 116–118, ISBN  978-0-521-08089-7.
202. Бэтчелор, Г.К., Введение в динамику жидкости, Cambridge University Press, 1967, стр. 233, г. ISBN  0-521-66396-2.
203. Ханс-Хенрик Стёлум (22 марта 1996 г.). «Извилистые реки как процесс самоорганизации». Наука. 271 (5256): 1710–1713. Bibcode:1996Научный ... 271.1710S. Дои:10.1126 / science.271.5256.1710. S2CID  19219185.
204. Posamentier & Lehmann 2004, стр. 140–141
205. Arndt & Haenel 2006, стр. 44–45
206. "Самые запоминающиеся места числа пи" В архиве 14 февраля 2016 г. Wayback Machine, Книга Рекордов Гиннесса.
207. Отакэ, Томоко (17 декабря 2006 г.). «Как можно запомнить 100 000 чисел?». The Japan Times. В архиве из оригинала 18 августа 2013 г.. Получено 27 октября 2007.
208. Raz, A .; Паккард, М. (2009). «Кусочек числа пи: исследовательское нейровизуализационное исследование кодирования и извлечения цифр у опытного запоминающего». Нейроказ. 15 (5): 361–372. Дои:10.1080/13554790902776896. ЧВК  4323087. PMID  19585350.
209. Кит, Майк. "Примечания и комментарии Кадейской каденции". В архиве из оригинала 18 января 2009 г.. Получено 29 июля 2009.
210. Кейт, Майкл; Дайана Кейт (17 февраля 2010 г.). Not A Wake: сон, в котором целые числа (пи) представлены в виде десятичных знаков.. Vinculum Press. ISBN  978-0-9630097-1-5.
211. Например, Пиковер называет π «самой известной математической константой всех времен», а Петерсон пишет: «Однако из всех известных математических констант пи продолжает привлекать наибольшее внимание», ссылаясь на Живанши π духи, Пи (фильм), и День Пи в качестве примеров. Видеть Пиковер, Клиффорд А. (1995), Ключи к бесконечности, Wiley & Sons, стр.59, ISBN  978-0-471-11857-2; Петерсон, Иварс (2002), Математические пути: от сюрреалистических чисел к волшебным кругам, Спектр МАА, Математическая ассоциация Америки, стр. 17, ISBN  978-0-88385-537-9, в архиве из оригинала 29 ноября 2016 г.
212. Документальный фильм BBC "История математики", вторая часть В архиве 23 декабря 2014 г. Wayback Machine, демонстрирующий визуализацию исторически первой точной формулы, начиная со второй части документального фильма через 35 минут и 20 секунд.
213. Posamentier & Lehmann 2004, п. 118
     Arndt & Haenel 2006, п. 50
214. Arndt & Haenel 2006, п. 14. Эта часть истории была исключена из фильм экранизация романа.
215. Гилл, Энди (4 ноября 2005 г.). «Обзор Антенны». Независимый. В архиве из оригинала 15 октября 2006 г. почти аутичное удовлетворение обсессивно-компульсивного математика, очарованного «Пи» (что дает возможность услышать, как Буш медленно поет огромные куски из числа, о котором идет речь, длиной в несколько десятков цифр)
216. Мероприятия в День Пи В архиве 4 июля 2013 в Archive.today.
217. MIT приветствует В архиве 19 января 2009 г. Wayback Machine. Проверено 12 апреля 2012 года.
218. «С Днем Пи! Посмотрите эти потрясающие видео, где дети читают 3,14». USAToday.com. 14 марта 2015. В архиве из оригинала 15 марта 2015 г.. Получено 14 марта 2015.
219. Гриффин, Эндрю. «День числа пи: почему некоторые математики отказываются отмечать 14 марта и не соблюдают день, полный десертов». Независимый. В архиве с оригинала 24 апреля 2019 г.. Получено 2 февраля 2019.
220. "Google's strange bids for Nortel patents". FinancialPost.com. Рейтер. 5 июля 2011 г. В архиве из оригинала от 9 августа 2011 г.. Получено 16 августа 2011.
221. Eagle, Albert (1958). The Elliptic Functions as They Should be: An Account, with Applications, of the Functions in a New Canonical Form. Galloway and Porter, Ltd. p. ix.
222. Последовательность OEIS: A019692,
223. Abbott, Stephen (April 2012). "My Conversion to Tauism" (PDF). Математические горизонты. 19 (4): 34. Дои:10.4169/mathhorizons.19.4.34. S2CID  126179022. В архиве (PDF) из оригинала 28 сентября 2013 г.
224. Palais, Robert (2001). "π Is Wrong!" (PDF). Математический интеллект. 23 (3): 7–8. Дои:10.1007/BF03026846. S2CID  120965049. В архиве (PDF) from the original on 22 June 2012.
225. Tau Day: Why you should eat twice the pie – Light Years – CNN.com Blogs В архиве 12 January 2013 at the Wayback Machine
226. "Life of pi in no danger – Experts cold-shoulder campaign to replace with tau". Телеграф Индия. 30 June 2011. В архиве from the original on 13 July 2013.
227. Arndt & Haenel 2006, стр. 211–212
     Posamentier & Lehmann 2004, стр. 36–37
     Hallerberg, Arthur (May 1977). "Indiana's squared circle". Математический журнал. 50 (3): 136–140. Дои:10.2307/2689499. JSTOR  2689499.
228. Кнут, Дональд (3 October 1990). "The Future of TeX and Metafont" (PDF). TeX Mag. 5 (1): 145. В архиве (PDF) из оригинала 13 апреля 2016 г.. Получено 17 февраля 2017.

Источники

• Andrews, George E.; Askey, Richard; Рой, Ранджан (1999). Специальные функции. Кембридж: Издательство университета. ISBN  978-0-521-78988-2.
• Arndt, Jörg; Haenel, Christoph (2006). Pi Unleashed. Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-66572-4. Получено 5 июн 2013. English translation by Catriona and David Lischka.
• Ayers, Frank (1964). Исчисление. Макгроу-Хилл. ISBN  978-0-07-002653-7.
• Bailey, David H.; Plouffe, Simon M.; Borwein, Peter B.; Borwein, Jonathan M. (1997). "The quest for PI". Математический интеллект. 19 (1): 50–56. CiteSeerX  10.1.1.138.7085. Дои:10.1007/BF03024340. ISSN  0343-6993. S2CID  14318695.
• Beckmann, Peter (1989) [1974]. History of Pi. Пресса Св. Мартина. ISBN  978-0-88029-418-8.
• Berggren, Lennart; Borwein, Jonathan; Borwein, Peter (1997). Pi: a Source Book. Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-20571-7.
• Boeing, Niels (14 March 2016). "Die Welt ist Pi" [The World is Pi]. Zeit Online (на немецком). В архиве из оригинала 17 марта 2016 г. Die Ludolphsche Zahl oder Kreiszahl erhielt nun auch das Symbol, unter dem wir es heute kennen: William Jones schlug 1706 den griechischen Buchstaben π vor, in Anlehnung an perimetros, griechisch für Umfang. Leonhard Euler etablierte π schließlich in seinen mathematischen Schriften. [The Ludolphian number or circle number now also received the symbol under which we know it today: William Jones proposed in 1706 the Greek letter π, based on perimetros [περίμετρος], Greek for perimeter. Leonhard Euler firmly established π in his mathematical writings.]
• Borwein, Jonathan; Borwein, Peter (1987). Pi and the AGM: a Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Вайли. ISBN  978-0-471-31515-5.
• Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (1991). История математики (2-е изд.). Вайли. ISBN  978-0-471-54397-8.
• Bronshteĭn, Ilia; Semendiaev, K.A. (1971). A Guide Book to Mathematics. Верлаг Харри Дойч. ISBN  978-3-87144-095-3.
• Eymard, Pierre; Lafon, Jean Pierre (1999). The Number Pi. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-3246-2., English translation by Stephen Wilson.
• Гупта, Р. (1992). "On the remainder term in the Madhava–Leibniz's series". Ganita Bharati. 14 (1–4): 68–71.
• Howe, Roger (1980), "On the role of the Heisenberg group in harmonic analysis", Бюллетень Американского математического общества, 3 (2): 821–844, Дои:10.1090/S0273-0979-1980-14825-9, МИСТЕР  0578375.
• Joseph, George Gheverghese (1991). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Издательство Принстонского университета. ISBN  978-0-691-13526-7. Получено 5 июн 2013.
• Posamentier, Alfred S.; Lehmann, Ingmar (2004). Pi: A Biography of the World's Most Mysterious Number. Книги Прометея. ISBN  978-1-59102-200-8.
• Reitwiesner, George (1950). "An ENIAC Determination of pi and e to 2000 Decimal Places". Mathematical Tables and Other Aids to Computation. 4 (29): 11–15. Дои:10.2307/2002695. JSTOR  2002695.
• Remmert, Reinhold (2012). "Ch. 5 What is π?". In Heinz-Dieter Ebbinghaus; Hans Hermes; Friedrich Hirzebruch; Max Koecher; Klaus Mainzer; Jürgen Neukirch; Alexander Prestel; Reinhold Remmert (eds.). Числа. Springer. ISBN  978-1-4612-1005-4.
• Rossi, Corinna (2004). Архитектура и математика в Древнем Египте. Кембридж: Издательство университета. ISBN  978-1-107-32051-2.
• Roy, Ranjan (1990). "The Discovery of the Series Formula for pi by Leibniz, Gregory, and Nilakantha". Математический журнал. 63 (5): 291–306. Дои:10.2307/2690896. JSTOR  2690896.
• Schepler, H.C. (1950). "The Chronology of Pi". Математический журнал. 23 (3): 165–170 (Jan/Feb), 216–228 (Mar/Apr), and 279–283 (May/Jun). Дои:10.2307/3029284. JSTOR  3029284.. issue 3 Jan/Feb, issue 4 Mar/Apr, issue 5 May/Jun
• Томпсон, Уильям (1894), "Isoperimetrical problems", Nature Series: Popular Lectures and Addresses, II: 571–592

дальнейшее чтение

• Blatner, David (1999). The Joy of Pi. Walker & Company. ISBN  978-0-8027-7562-7.
• Borwein, Jonathan; Borwein, Peter (1984). "The Arithmetic-Geometric Mean and Fast Computation of Elementary Functions" (PDF). SIAM Обзор. 26 (3): 351–365. CiteSeerX  10.1.1.218.8260. Дои:10.1137/1026073.
• Borwein, Jonathan; Борвейн, Питер; Бейли, Дэвид Х. (1989). "Ramanujan, Modular Equations, and Approximations to Pi or How to Compute One Billion Digits of Pi". Американский математический ежемесячник (Представлена ​​рукопись). 96 (3): 201–219. Дои:10.2307/2325206. JSTOR  2325206.
• Chudnovsky, David V. и Chudnovsky, Gregory V., "Approximations and Complex Multiplication According to Ramanujan", in Рамануджан снова (G.E. Andrews et al. Eds), Academic Press, 1988, pp. 375–396, 468–472
• Cox, David A. (1984). "The Arithmetic-Geometric Mean of Gauss". L'Enseignement Mathématique. 30: 275–330.
• Делахай, Жан-Поль (1997). Le Fascinant Nombre Pi. Paris: Bibliothèque Pour la Science. ISBN  2-902918-25-9.
• Engels, Hermann (1977). "Quadrature of the Circle in Ancient Egypt". Historia Mathematica. 4 (2): 137–140. Дои:10.1016/0315-0860(77)90104-5.
• Эйлер, Леонард, "On the Use of the Discovered Fractions to Sum Infinite Series", in Introduction to Analysis of the Infinite. Книга I, translated from the Latin by J.D. Blanton, Springer-Verlag, 1964, pp. 137–153
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2000). Введение в теорию чисел (пятое изд.). Оксфорд, Великобритания: Clarendon Press.
• Heath, T.L., Произведения Архимеда, Cambridge, 1897; перепечатано в The Works of Archimedes with The Method of Archimedes, Dover, 1953, pp. 91–98
• Huygens, Christiaan, "De Circuli Magnitudine Inventa", Christiani Hugenii Opera Varia I, Leiden 1724, pp. 384–388
• Lay-Yong, Lam; Tian-Se, Ang (1986). "Circle Measurements in Ancient China". Historia Mathematica. 13 (4): 325–340. Дои:10.1016/0315-0860(86)90055-8.
• Lindemann, Ferdinand (1882). "Ueber die Zahl pi". Mathematische Annalen. 20 (2): 213–225. Дои:10.1007/bf01446522. S2CID  120469397. Архивировано из оригинал 22 января 2015 г.
• Matar, K. Mukunda; Rajagonal, C. (1944). "On the Hindu Quadrature of the Circle" (Appendix by K. Balagangadharan)". Journal of the Bombay Branch of the Royal Asiatic Society. 20: 77–82.
• Нивен, Иван (Июль 1947 г.). "A Simple Proof that pi Is Irrational". Бюллетень Американского математического общества. 53 (7): 507. Дои:10.1090/S0002-9904-1947-08821-2.
• Ramanujan, Srinivasa (1914). "Modular Equations and Approximations to π". Ежеквартальный журнал чистой и прикладной математики. XLV: 350–372. Перепечатано в Ramanujan, Srinivasa (2015) [1927]. Hardy, G. H.; Seshu Aiyar, P. V.; Wilson, B. M. (eds.). Srinivasa Ramanujan: Collected Papers. Издательство Кембриджского университета. С. 23–29. ISBN  978-1-107-53651-7.
• Shanks, William, Contributions to Mathematics Comprising Chiefly of the Rectification of the Circle to 607 Places of Decimals, 1853, pp. i–xvi, 10
• Шанкс, Дэниел; Wrench, John William (1962). "Calculation of pi to 100,000 Decimals". Математика вычислений. 16 (77): 76–99. Дои:10.1090/s0025-5718-1962-0136051-9.
• Tropfke, Johannes (1906). Geschichte Der Elementar-Mathematik in Systematischer Darstellung [The history of elementary mathematics] (на немецком). Leipzig: Verlag Von Veit.
• Viete, Francois, Variorum de Rebus Mathematicis Reponsorum Liber VII. F. Viete, Opera Mathematica (reprint), Georg Olms Verlag, 1970, pp. 398–401, 436–446
• Вагон, Стан (1985). "Is Pi Normal?". Математический интеллект. 7 (3): 65–67. Дои:10.1007/BF03025811. S2CID  189884448.
• Wallis, John (1655–1656). Arithmetica Infinitorum, sive Nova Methodus Inquirendi in Curvilineorum Quadratum, aliaque difficiliora Matheseos Problemata (на латыни). Оксфорд. Перепечатано в Opera Mathematica. 1. Oxford: E Theatro Sheldoniano. 1695. pp. 357–478.
• Zebrowski, Ernest (1999). A History of the Circle: Mathematical Reasoning and the Physical Universe. Издательство Университета Рутгерса. ISBN  978-0-8135-2898-4.

внешняя ссылка

• 10 million decimal places
• "Число Пи" at Wolfram Mathworld
• Representations of Pi в вольфрам Альфа
• Demonstration by Lambert (1761) of irrationality of π, онлайн and analysed BibNum (PDF).
• π Поисковый движок 2 billion searchable digits of π, е и √2