Ошибка округления - Round-off error

Для акробатических движений, округления см. Округлять.

А ошибка округления,^[1] также называемый ошибка округления,^[2] разница между результатом, полученным данным алгоритм с использованием точной арифметики и результата, полученного с помощью того же алгоритма с использованием округленной арифметики конечной точности.^[3] Ошибки округления возникают из-за неточности в представлении действительных чисел и выполняемых с ними арифметических операций. Это форма ошибка квантования.^[4] При использовании приближения уравнения или алгоритмов, особенно при использовании конечного числа цифр для представления действительных чисел (которые теоретически имеют бесконечно много цифр), одна из целей числовой анализ должен оценивать ошибки вычислений.^[5] Ошибки вычислений, также называемые числовые ошибки, включить оба ошибки усечения и ошибки округления.

Когда выполняется последовательность вычислений с вводом, содержащим ошибку округления, ошибки могут накапливаться, иногда доминируя при вычислении. В плохо воспитанный проблемы, может накапливаться значительная ошибка.^[6]

Короче говоря, в численных расчетах есть два основных аспекта ошибок округления:^[7]

1. Цифровые компьютеры имеют ограничения по величине и точности их способности представлять числа.
2. Некоторые числовые операции очень чувствительны к ошибкам округления. Это может быть связано как с математическими соображениями, так и с тем, как компьютеры выполняют арифметические операции.

Ошибка представления

Ошибка, возникающая при попытке представить число с помощью конечной строки цифр, является формой ошибки округления, называемой ошибка представления.^[8] Вот несколько примеров ошибок представления в десятичных представлениях:

Обозначение	Представление	Приближение	Ошибка
1/7	0.142 857	0.142 857	0.000 000 142 857
пер. 2	0.693 147 180 559 945 309 41...	0.693 147	0.000 000 180 559 945 309 41...
бревно10 2	0.301 029 995 663 981 195 21...	0.3010	0.000 029 995 663 981 195 21...
^3√2	1.259 921 049 894 873 164 76...	1.25992	0.000 001 049 894 873 164 76...
√2	1.414 213 562 373 095 048 80...	1.41421	0.000 003 562 373 095 048 80...
е	2.718 281 828 459 045 235 36...	2.718 281 828 459 045	0.000 000 000 000 000 235 36...
π	3.141 592 653 589 793 238 46...	3.141 592 653 589 793	0.000 000 000 000 000 238 46...

Увеличение числа цифр, разрешенных в представлении, уменьшает величину возможных ошибок округления, но любое представление, ограниченное конечным числом цифр, все равно вызовет некоторую степень ошибки округления для бесчисленное множество действительные числа. Дополнительные цифры, используемые для промежуточных этапов расчета, известны как охранные цифры.^[9]

Многократное округление может привести к накоплению ошибок.^[10] Например, если 9,945309 округляется до двух десятичных знаков (9,95), а затем снова округляется до одного десятичного знака (10,0), общая ошибка составляет 0,054691. Округление 9,945309 до одного десятичного знака (9,9) за один шаг приводит к меньшей ошибке (0,045309). Обычно это происходит при выполнении арифметических операций (см. Потеря значимости ).

Система счисления с плавающей запятой

По сравнению с система счисления с фиксированной точкой, то система счисления с плавающей запятой более эффективен при представлении действительных чисел, поэтому широко используется в современных компьютерах. Пока реальные цифры ${\displaystyle \mathbb {R} }$ бесконечны и непрерывны, система счисления с плавающей запятой ${\displaystyle F}$ конечно и дискретно. Таким образом, в системе счисления с плавающей точкой возникает ошибка представления, которая приводит к ошибке округления.

Обозначение системы счисления с плавающей запятой

Система счисления с плавающей запятой ${\displaystyle F}$ характеризуется ${\displaystyle 4}$ целые числа:

${\displaystyle \beta }$: основание или основание

${\displaystyle p}$: точность

${\displaystyle [L,U]}$: диапазон экспоненты, где ${\displaystyle L}$ это нижняя граница и ${\displaystyle U}$ это верхняя граница

• Любой ${\displaystyle x\in F}$ имеет следующий вид:

${\displaystyle x=\pm (\underbrace {d_{0}.d_{1}d_{2}\ldots d_{p-1}} _{\text{mantissa}})_{\beta }\times \beta ^{\overbrace {E} ^{\text{exponent}}}=\pm d_{0}\times \beta ^{E}+d_{1}\times \beta ^{E-1}+\ldots +d_{p-1}\times \beta ^{E-(p-1)}}$

куда ${\displaystyle d_{i}}$ такое целое число, что ${\displaystyle 0\leq d_{i}\leq \beta -1}$ за ${\displaystyle i=0,1,\ldots ,p-1}$, и ${\displaystyle E}$ такое целое число, что ${\displaystyle L\leq E\leq U}$.

Нормализованная система с плавающей запятой

• Система счисления с плавающей запятой нормализуется, если первая цифра ${\displaystyle d_{0}}$ всегда отличен от нуля, если число не равно нулю.^[3] Поскольку мантисса ${\displaystyle d_{0}.d_{1}d_{2}\ldots d_{p-1}}$мантисса ненулевого числа в нормированной системе удовлетворяет ${\displaystyle 1\leq {\text{ mantissa }}<\beta }$. Таким образом, нормализованная форма ненулевой IEEE число с плавающей запятой ${\displaystyle \pm 1.bb\ldots b\times 2^{E}}$ куда ${\displaystyle b\in {0,1}}$. В двоичном формате ведущая цифра всегда ${\displaystyle 1}$ поэтому он не записывается и называется неявным битом. Это дает дополнительный бит точности, так что ошибка округления, вызванная ошибкой представления, уменьшается.

• Поскольку система счисления с плавающей запятой ${\displaystyle F}$ является конечным и дискретным, он не может представлять все действительные числа, что означает, что бесконечные действительные числа могут быть аппроксимированы только некоторыми конечными числами через правила округления. Приближение заданного действительного числа с плавающей запятой ${\displaystyle x}$ к ${\displaystyle fl(x)}$ можно обозначить.
  • Общее количество нормализованных чисел с плавающей запятой равно

${\displaystyle 2(\beta -1)\beta ^{p-1}(U-L+1)+1}$, куда

${\displaystyle 2}$ считает выбор знака, положительный или отрицательный

${\displaystyle (\beta -1)}$ считает выбор первой цифры

${\displaystyle \beta ^{p-1}}$ считает оставшуюся мантиссу

${\displaystyle U-L+1}$ считает выбор показателей

${\displaystyle 1}$ считает тот случай, когда число ${\displaystyle 0}$.

Стандарт IEEE

в IEEE стандартная база двоичная, т.е. ${\displaystyle \beta =2}$, и используется нормализация. Стандарт IEEE хранит знак, показатель степени и мантиссу в отдельных полях слова с плавающей запятой, каждое из которых имеет фиксированную ширину (количество бит). Два наиболее часто используемых уровня точности для чисел с плавающей запятой - это одинарная точность и двойная точность.

Точность	Знак (биты)	Экспонента (биты)	Мантисса (биты)
Одинокий	1	8	23
Двойной	1	11	52

Машина эпсилон

Машина эпсилон может использоваться для измерения уровня ошибки округления в системе счисления с плавающей запятой. Вот два разных определения.^[3]

• Машинный эпсилон, обозначенный ${\displaystyle \epsilon _{mach}}$, это максимально возможное абсолютная относительная ошибка в представлении ненулевого действительного числа ${\displaystyle x}$ в системе счисления с плавающей запятой.

${\displaystyle \epsilon _{mach}=\max _{x}{\frac {|x-fl(x)|}{|x|}}}$

• Машинный эпсилон, обозначенный ${\displaystyle \epsilon _{mach}}$, это наименьшее число ${\displaystyle \epsilon }$ такой, что ${\displaystyle fl(1+\epsilon )>1}$. Таким образом, ${\displaystyle fl(1+\delta )=fl(1)=1}$ в любое время ${\displaystyle |\delta |<\epsilon _{mach}}$.

Ошибка округления при разных правилах округления

Существует два общих правила округления: округление за отрезком и округление до ближайшего. Стандарт IEEE использует округление до ближайшего.

• По очереди: База-${\displaystyle \beta }$ расширение ${\displaystyle x}$ усекается после ${\displaystyle (p-1)^{th}}$ цифра.
  • Это правило округления смещено, потому что оно всегда приближает результат к нулю.

• Округление до ближайшего: ${\displaystyle fl(x)}$ устанавливается равным ближайшему числу с плавающей запятой к ${\displaystyle x}$. Когда есть ничья, используется число с плавающей запятой, последняя сохраненная цифра которого четная.
  • Для стандарта IEEE, где базовый ${\displaystyle \beta }$ является ${\displaystyle 2}$, это означает, что когда есть ничья, она округляется так, чтобы последняя цифра была равна ${\displaystyle 0}$.
  • Это правило округления более точное, но более затратное с точки зрения вычислений.
  • Округление таким образом, чтобы последняя сохраненная цифра была даже при равенстве, гарантирует, что она не округляется систематически в большую или меньшую сторону. Это сделано для того, чтобы избежать возможности нежелательного медленного дрейфа в длинных вычислениях просто из-за смещения округления.

• В следующем примере показан уровень ошибки округления в соответствии с двумя правилами округления.^[3] Правило округления (округление до ближайшего) в целом приводит к меньшей ошибке округления.

Икс	По очереди	Ошибка округления	Округление до ближайшего	Ошибка округления
1.649	1.6	0.049	1.6	0.049
1.650	1.6	0.050	1.6	0.050
1.651	1.6	0.051	1.7	-0.049
1.699	1.6	0.099	1.7	-0.001
1.749	1.7	0.049	1.7	0.049
1.750	1.7	0.050	1.8	-0.050

Расчет ошибки округления в стандарте IEEE

Предположим, что используется округление до ближайшего и двойная точность IEEE.

• Пример: десятичное число ${\displaystyle (9.4)_{10}=(1001.{\overline {0110}})_{2}}$ может быть преобразован в

${\displaystyle +1.\underbrace {0010110011001100110011001100110011001100110011001100} _{\text{52 bits}}110\ldots \times 2^{3}}$

Поскольку ${\displaystyle 53^{rd}}$ бит справа от двоичной точки - это ${\displaystyle 1}$ и за ним следуют другие ненулевые биты, правило округления до ближайшего требует округления, то есть добавления ${\displaystyle 1}$ немного к ${\displaystyle 52^{nd}}$ кусочек. Таким образом, нормализованное представление с плавающей запятой в стандарте IEEE ${\displaystyle 9.4}$ является

${\displaystyle fl(9.4)=1.0010110011001100110011001100110011001100110011001101\times 2^{3}}$.

• Теперь ошибку округления можно вычислить при представлении ${\displaystyle 9.4}$ с ${\displaystyle fl(9.4)}$.

Это представление получается отбрасыванием бесконечного хвоста

${\displaystyle 0.{\overline {1100}}\times 2^{-52}\times 2^{3}=0.{\overline {0110}}\times 2^{-51}\times 2^{3}=0.4\times 2^{-48}}$

из правого хвоста, а затем добавил ${\displaystyle 1\times 2^{-52}\times 2^{3}=2^{-49}}$ на этапе округления.

потом ${\displaystyle fl(9.4)=9.4-0.4\times 2^{-48}+2^{-49}=9.4+(0.2)_{10}\times 2^{-49}}$.

Таким образом, ошибка округления равна ${\displaystyle (0.2\times 2^{-49})_{10}}$.

Измерение ошибки округления с помощью машины эпсилон

Машина эпсилон ${\displaystyle \epsilon _{mach}}$ может использоваться для измерения уровня ошибки округления при использовании двух вышеупомянутых правил округления. Ниже приведены формулы и соответствующие доказательства.^[3] Здесь используется первое определение машинного эпсилона.

Теорема

1. По очереди: ${\displaystyle \epsilon _{mach}=\beta ^{1-p}}$
2. Округление до ближайшего: ${\displaystyle \epsilon _{mach}={\frac {1}{2}}\beta ^{1-p}}$

Доказательство

Позволять ${\displaystyle x=d_{0}.d_{1}d_{2}\ldots d_{p-1}d_{p}\ldots \times \beta ^{n}\in \mathbb {R} }$ куда ${\displaystyle n\in [L,U]}$, и разреши ${\displaystyle fl(x)}$ быть представлением с плавающей запятой ${\displaystyle x}$. Поскольку используется последовательное нарезание,${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {|x-fl(x)|}{|x|}}&={\frac {|d_{0}.d_{1}d_{2}\ldots d_{p-1}d_{p}d_{p+1}\ldots \times \beta ^{n}-d_{0}.d_{1}d_{2}\ldots d_{p-1}\times \beta ^{n}|}{|d_{0}.d_{1}d_{2}\ldots \times \beta ^{n}|}}\\&={\frac {|d_{p}.d_{p+1}\ldots \times \beta ^{n-p}|}{|d_{0}.d_{1}d_{2}\ldots \times \beta ^{n}|}}\\&={\frac {|d_{p}.d_{p+1}d_{p+2}\ldots |}{|d_{0}.d_{1}d_{2}\ldots |}}\times \beta ^{-p}\end{aligned}}}$* Чтобы определить максимум этой величины, необходимо найти максимум числителя и минимум знаменателя. С ${\displaystyle d_{0}\neq 0}$ (нормализованная система), минимальное значение знаменателя равно ${\displaystyle 1}$. Числитель ограничен сверху величиной ${\displaystyle (\beta -1).(\beta -1){\overline {(\beta -1)}}=\beta }$. Таким образом, ${\displaystyle {\frac {|x-fl(x)|}{|x|}}\leq {\frac {\beta }{1}}\times \beta ^{-p}=\beta ^{1-p}}$. Следовательно, ${\displaystyle \epsilon =\beta ^{1-p}}$ для округления до ближайшего. Доказательство для округления до ближайшего аналогично.

• Обратите внимание, что первое определение машинного эпсилон не совсем эквивалентно второму определению при использовании правила округления до ближайшего, но оно эквивалентно для последовательного перехода.

Ошибка округления, вызванная арифметикой с плавающей запятой

Даже если некоторые числа могут быть представлены в точности числами с плавающей запятой и такие числа называются номера машин, выполнение арифметики с плавающей запятой может привести к ошибке округления в окончательном результате.

Добавление

Машинное сложение состоит из выстраивания десятичных знаков двух добавляемых чисел, их сложения и последующего сохранения результата как числа с плавающей запятой. Само сложение может быть выполнено с более высокой точностью, но результат должен быть округлен до указанной точности, что может привести к ошибке округления.^[3]

Например, добавив ${\displaystyle 1}$ к ${\displaystyle 2^{-53}}$ в IEEE двойной точности следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}1.00\ldots 0\times 2^{0}+1.00\ldots 0\times 2^{-53}&=1.\underbrace {00\ldots 0} _{\text{52 bits}}\times 2^{0}+0.\underbrace {00\ldots 0} _{\text{52 bits}}1\times 2^{0}\\&=1.\underbrace {00\ldots 0} _{\text{52 bits}}1\times 2^{0}\end{aligned}}}$

• Это сохранено как ${\displaystyle 1.\underbrace {00\ldots 0} _{\text{52 bits}}\times 2^{0}}$ поскольку в стандарте IEEE используется округление до ближайшего. Следовательно, ${\displaystyle 1+2^{-53}}$ равно ${\displaystyle 1}$ в IEEE двойной точности и ошибка округления ${\displaystyle 2^{-53}}$.

Из этого примера видно, что при сложении большого числа и малого числа может возникнуть ошибка округления, поскольку сдвиг десятичных знаков в мантиссах для согласования показателей степени может вызвать потерю некоторых цифр.

Умножение

В общем, продукт ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle p}$-цифровые мантиссы содержат до ${\displaystyle 2p}$ цифр, поэтому результат может не соответствовать мантиссе.^[3] Таким образом, в результат будет включена ошибка округления.

• Например, рассмотрим нормализованную систему счисления с плавающей запятой с основанием ${\displaystyle \beta =10}$ и цифры мантиссы не более ${\displaystyle 2}$. потом ${\displaystyle fl(77)=7.7\times 10}$ и ${\displaystyle fl(88)=8.8\times 10}$. Обратите внимание, что ${\displaystyle 77\times 88=6776}$ но ${\displaystyle fl(6776)=6.7\times 10^{3}}$ так как там самое большее ${\displaystyle 2}$ цифры мантиссы. Ошибка округления будет ${\displaystyle 6776-fl(6776)=6776-6.7\times 10^{3}=76}$.

Разделение

В общем, частное ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle p}$-цифровые мантиссы могут содержать более ${\displaystyle p}$-цифры.^[3] Таким образом, в результат будет включена ошибка округления.

• Например, если приведенная выше нормализованная система счисления с плавающей запятой все еще используется, то ${\displaystyle 1/3=0.333\ldots }$ но ${\displaystyle fl(1/3)=fl(0.333\ldots )=3.3\times 10^{-1}}$. Итак, хвост ${\displaystyle 0.333\ldots -3.3\times 10^{-1}=0.00333\ldots }$ отрезан.

Вычитающая отмена

Вычитание двух почти равных чисел называется вычитающее аннулирование.^[3]

• Когда первые цифры отменяются, результат может быть слишком маленьким, чтобы быть представленным точно, и он будет представлен просто как ${\displaystyle 0}$.
  • Например, пусть ${\displaystyle |\epsilon |<\epsilon _{mach}}$ и здесь используется второе определение машинного эпсилон. Какое решение ${\displaystyle (1+\epsilon )-(1-\epsilon )}$?
    Известно, что ${\displaystyle 1+\epsilon }$ и ${\displaystyle 1-\epsilon }$ почти равные числа, и ${\displaystyle (1+\epsilon )-(1-\epsilon )=1+\epsilon -1+\epsilon =2\epsilon }$. Однако в системе счисления с плавающей запятой ${\displaystyle fl((1+\epsilon )-(1-\epsilon ))=fl(1+\epsilon )-fl(1-\epsilon )=1-1=0}$. Несмотря на то что ${\displaystyle 2\epsilon }$ достаточно большой, чтобы быть представленным, оба экземпляра ${\displaystyle \epsilon }$ были округлены, давая ${\displaystyle 0}$.
• Даже с несколько большим ${\displaystyle \epsilon }$, в типичных случаях результат по-прежнему существенно ненадежен. Нет особой веры в точность значения, потому что наибольшая неопределенность в любом числе с плавающей запятой - это цифры в крайнем правом углу.
  • Например, ${\displaystyle 1.99999\times 10^{2}-1.99998\times 10^{2}=0.00001\times 10^{2}=1\times 10^{-5}\times 10^{2}=1\times 10^{-3}}$. Результат ${\displaystyle 1\times 10^{-3}}$ ясно представима, но в это мало веры.

Накопление ошибки округления

Ошибки могут увеличиваться или накапливаться, когда последовательность вычислений применяется к начальному входу с ошибкой округления из-за неточного представления.

Нестабильные алгоритмы

Алгоритм или численный процесс называется стабильный если небольшие изменения на входе вызывают только небольшие изменения на выходе, и это называется неустойчивый если производятся большие изменения на выходе.^[11]

Последовательность вычислений обычно происходит при запуске какого-либо алгоритма. Количество ошибок в результате зависит от стабильность алгоритма. Ошибка округления будет увеличиваться из-за нестабильных алгоритмов.

Например, ${\displaystyle y_{n}=\int _{0}^{1}\,{\frac {x^{n}}{x+5}}dx}$ за ${\displaystyle n=1,2,\ldots ,8}$ с ${\displaystyle y_{0}}$ данный. Легко показать, что ${\displaystyle y_{n}={\frac {1}{n}}-5y_{n-1}}$. Предполагать ${\displaystyle y_{0}}$ это наше начальное значение и имеет небольшую ошибку представления ${\displaystyle \epsilon }$, что означает, что начальный вход в этот алгоритм ${\displaystyle y_{0}+\epsilon }$ вместо ${\displaystyle y_{0}}$. Затем алгоритм выполняет следующую последовательность вычислений.

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{1}&=1-5(y_{0}+\epsilon )=1-5y_{0}-5\epsilon \\y_{2}&={\frac {1}{2}}-5(1-5y_{0}-5\epsilon )={\frac {1}{2}}-5+25y_{0}+5^{2}\epsilon \\\vdots \\y_{n}&=\ldots +5^{n}\epsilon \end{aligned}}}$

Ошибка округления увеличивается в последующих вычислениях, поэтому этот алгоритм нестабилен.

Плохо обусловленные проблемы

Сравнение1

Сравнение 2

Даже если используется стабильный алгоритм, решение проблемы все равно может быть неточным из-за накопления ошибки округления, когда сама проблема плохо воспитанный.

В номер условия Задачи - это отношение относительного изменения решения к относительному изменению на входе.^[3] Проблема в том хорошо кондиционированный если небольшие относительные изменения входных данных приводят к небольшим относительным изменениям в решении. В противном случае проблема в плохо воспитанный.^[3] Другими словами, проблема в том, плохо воспитанный если его число условия "намного больше", чем ${\displaystyle 1}$.

Число обусловленности вводится как мера ошибок округления, которые могут возникнуть при решении плохо обусловленных задач.^[7]

Например, многочлены высшего порядка имеют тенденцию быть очень плохо воспитанный, то есть они очень чувствительны к ошибке округления.^[7]

В 1901 г. Карл Рунге опубликовал исследование об опасностях полиномиальной интерполяции высокого порядка. Он посмотрел на следующую простую на вид функцию:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+25x^{2}}}}$

который сейчас называется Функция Рунге. Он взял равноудаленные точки данных из этой функции на интервале ${\displaystyle [-1,1]}$. Затем он использовал интерполяционные полиномы возрастающего порядка и обнаружил, что по мере того, как он брал больше точек, полиномы и исходная кривая значительно отличались, как показано на Рисунке «Сравнение1» и Рисунке «Сравнение 2». Дальше ситуация сильно ухудшилась с увеличением заказа. Как показано на Рисунке «Сравнение 2», посадка стала еще хуже, особенно в конце интервала.

Нажмите на рисунки, чтобы увидеть полное описание.

Пример из реального мира: отказ ракеты Patriot из-за увеличения ошибки округления

Американская ракета Patriot

25 февраля 1991 года, во время войны в Персидском заливе, американская ракетная батарея «Пэтриот» в Дхаране, Саудовская Аравия, не смогла перехватить приближающуюся иракскую ракету «Скад». Скад врезался в казармы американской армии и убил 28 солдат. Отчет о Счетная палата правительства озаглавленный «Противоракетная оборона Patriot: проблема программного обеспечения, приведшая к отказу системы в Дахране, Саудовская Аравия», сообщает о причине сбоя: неточный расчет времени с момента загрузки из-за компьютерных арифметических ошибок. В частности, время в десятых долях секунды, измеренное внутренними часами системы, было умножено на 10, чтобы получить время в секундах. Этот расчет был выполнен с использованием 24-битного регистра с фиксированной точкой. В частности, значение 1/10, которое имеет неограниченное двоичное расширение, было прервано на 24 бита после точки счисления. Маленькая ошибка прерывания, умноженная на большое число, дающее время в десятых долях секунды, привела к значительной ошибке. Действительно, батарея Patriot проработала около 100 часов, и простой расчет показывает, что результирующая временная погрешность из-за увеличенной ошибки прерывания составила около 0,34 секунды. (Число 1/10 равно ${\displaystyle 1/2^{4}+1/2^{5}+1/2^{8}+1/2^{9}+1/2^{12}+1/2^{13}+\ldots }$. Другими словами, двоичное разложение 1/10 равно ${\displaystyle 0.0001100110011001100110011001100\ldots }$. Теперь 24-битный регистр в Патриоте хранится вместо ${\displaystyle 0.00011001100110011001100}$ вводя ошибку ${\displaystyle 0.0000000000000000000000011001100\ldots }$ двоичный, или около ${\displaystyle 0.000000095}$ десятичный. Умножая на количество десятых долей секунды в ${\displaystyle 100}$ часов дает ${\displaystyle 0.000000095\times 100\times 60\times 60\times 10=0.34}$). Скад едет примерно 1676 метров в секунду, и поэтому за это время проходит более полукилометра. Этого было достаточно, чтобы приближающийся Скад находился за пределами «ворот дальности», которые отслеживал Патриот. По иронии судьбы, тот факт, что вычисление плохого времени было улучшено в некоторых частях кода, но не во всех, способствовал возникновению проблемы, поскольку это означало, что неточности не отменялись.^[12]

Смотрите также

• Точность (арифметика)
• Усечение
• Округление
• Потеря значимости
• Плавающая точка
• Алгоритм суммирования Кахана
• Машина эпсилон
• Полином Уилкинсона

Рекомендации

1. Задница, Ризван (2009), Введение в численный анализ с использованием MATLAB, Jones & Bartlett Learning, стр. 11–18, ISBN  978-0-76377376-2
2. Уеберхубер, Кристоф В. (1997), Численные вычисления 1: методы, программное обеспечение и анализ, Springer, стр. 139–146, ISBN  978-3-54062058-7
3. Форрестер, Дик (2018). Math / Comp241 Численные методы (конспекты лекций). Колледж Дикинсона.
4. Аксой, Пелин; ДеНардис, Лаура (2007), Информационные технологии в теории, Cengage Learning, стр. 134, ISBN  978-1-42390140-2
5. Ральстон, Энтони; Рабиновиц, Филипп (2012), Первый курс численного анализа, Dover Books on Mathematics (2-е изд.), Courier Dover Publications, стр. 2–4, ISBN  978-0-48614029-2
6. Чепмен, Стивен (2012), Программирование MATLAB с приложениями для инженеров, Cengage Learning, стр. 454, г. ISBN  978-1-28540279-6
7. Чапра, Стивен (2012). Прикладные численные методы с MATLAB для инженеров и ученых (3-е изд.). Компании McGraw-Hill, Inc. ISBN  9780073401102.
8. Лапланте, Филип А. (2000). Словарь компьютерных наук, инженерии и технологий. CRC Press. п. 420. ISBN  978-0-84932691-2.
9. Хайэм, Николас Джон (2002). Точность и стабильность численных алгоритмов. (2-е изд.). Общество промышленной и прикладной математики (СИАМ). С. 43–44. ISBN  978-0-89871521-7.
10. Волков, Е. А. (1990). Численные методы. Тейлор и Фрэнсис. п. 24. ISBN  978-1-56032011-1.
11. Коллинз, Чарльз (2005). «Состояние и стабильность» (PDF). Департамент математики Университета Теннесси. Получено 2018-10-28.
12. Арнольд, Дуглас. "Неудача ракеты" Патриот ". Получено 2018-10-29.

внешняя ссылка

• Ошибка округления в MathWorld.
• Гольдберг, Дэвид (Март 1991 г.). «Что должен знать каждый компьютерный ученый об арифметике с плавающей точкой» (PDF). Опросы ACM Computing. 23 (1): 5–48. Дои:10.1145/103162.103163. Получено 2016-01-20. ([1], [2] )
• 20 известных программных катастроф