Интегральное преобразование - Integral transform

Для использования в других целях см. Преобразование (математика).

В математика, интегральное преобразование отображает функция с оригинала функциональное пространство в другое функциональное пространство через интеграция, где некоторые свойства исходной функции можно было бы легче охарактеризовать и изменить, чем в исходном функциональном пространстве. Преобразованная функция обычно может быть отображена обратно в исходное функциональное пространство с помощью обратное преобразование.

Общая форма

Интегральное преобразование - это любое преобразовать Т следующего вида:

${\displaystyle (Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,dt}$

Входом этого преобразования является функция ж, а на выходе - другая функция Tf. Интегральное преобразование - это особый вид математической оператор.

Существует множество полезных интегральных преобразований. Каждый определяется выбором функции K из двух переменные, то функция ядра, интегральное ядро или же ядро преобразования.

Некоторые ядра имеют связанный обратное ядро K⁻¹(ты, т) что (грубо говоря) дает обратное преобразование:

${\displaystyle f(t)=\int _{u_{1}}^{u_{2}}(Tf)(u)\,K^{-1}(u,t)\,du}$

А симметричное ядро это тот, который не меняется при перестановке двух переменных; это функция ядра K такой, что K(т, ты) = K(ты, т).

Мотивация к использованию

Если отбросить математические обозначения, мотивацию интегральных преобразований легко понять. Есть много классов задач, которые трудно решить - или, по крайней мере, довольно громоздко с алгебраической точки зрения - в их исходных представлениях. Интегральное преобразование «отображает» уравнение из его исходной «области» в другую область. Управлять уравнением и решать его в целевой области может быть намного проще, чем манипулировать и решать в исходной области. Затем решение отображается обратно в исходную область с помощью обратного интегрального преобразования.

Есть много приложений вероятности, которые полагаются на интегральные преобразования, такие как «ядро ценообразования» или стохастический коэффициент дисконтирования, или сглаживание данных, восстановленных из надежной статистики; видеть ядро (статистика).

История

Предвестником преобразований стали Ряд Фурье для выражения функций в конечных интервалах. Позже преобразование Фурье был разработан, чтобы убрать требование конечных интервалов.

Используя ряд Фурье, можно получить практически любую практическую функцию времени ( Напряжение через терминалы гаджет например) можно представить как сумму синусы и косинусы, каждый подходящим образом масштабированный (умноженный на постоянный коэффициент), сдвинутый (опережающий или запаздывающий по времени) и «сжатый» или «растянутый» (увеличивающий или уменьшающий частоту). Синусы и косинусы в ряду Фурье являются примером ортонормированный базис.

Пример использования

В качестве примера применения интегральных преобразований рассмотрим Преобразование Лапласа. Это метод, который отображает дифференциал или же интегро-дифференциальные уравнения в "область времени в полиномиальные уравнения в том, что называется область "комплексной частоты". (Комплексная частота похожа на реальную физическую частоту, но в более общем смысле. В частности, мнимая составляющая ω комплексной частоты s = -σ + iω соответствует обычному понятию частоты, а именно, частота цикла синусоиды, в то время как реальная составляющая σ комплексной частоты соответствует степени "затухания", то есть экспоненциальному уменьшению амплитуды.) Уравнение, составленное в терминах комплексной частоты, легко решается в комплексной частотной области (корни полиномиальных уравнений в комплексной частотной области соответствуют к собственные значения во временной области), что приводит к "решению", сформулированному в частотной области. Используя обратное преобразование, т.е., обратная процедура исходного преобразования Лапласа, можно получить решение во временной области. В этом примере полиномы в комплексной частотной области (обычно встречающиеся в знаменателе) соответствуют степенным рядам во временной области, в то время как осевые сдвиги в комплексной частотной области соответствуют затуханию за счет убывания экспонент во временной области.

Преобразование Лапласа находит широкое применение в физике и особенно в электротехнике, где характеристические уравнения которые описывают поведение электрической цепи в комплексной частотной области, соответствуют линейным комбинациям экспоненциально масштабированных и сдвинутых по времени затухающие синусоиды во временной области. Другие интегральные преобразования находят особое применение в других научных и математических дисциплинах.

Другой пример использования - ядро ​​в интеграл по путям:

${\displaystyle \psi (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }\psi (x',t')K(x,t;x',t')dx'.}$

Это означает, что полная амплитуда ${\displaystyle (x,t)}$ [то есть, ${\displaystyle \psi (x,t)}$] - это сумма или интеграл по всем возможным значениям ${\displaystyle x'}$ от полной амплитуды, чтобы достичь точки ${\displaystyle (x',t')}$ [то есть, ${\displaystyle \psi (x',t')}$], умноженный на амплитуду, чтобы перейти от x 'к x [то есть ${\displaystyle K(x,t;x',t')}$.^[1] Его часто называют пропагатор данной системы. Это (физическое) ядро ​​является ядром интегрального преобразования. Однако для каждой квантовой системы существует свое ядро.^[2]

Таблица преобразований

Таблица интегральных преобразований

Преобразовать	Символ	K	f (t)	т1	т2	K^−1	ты1	ты2
Преобразование Абеля		${\displaystyle {\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}}$		ты	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}}$	т	${\displaystyle \infty }$
преобразование Фурье	${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle e^{-2\pi iut}}$	${\displaystyle L_{1}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle e^{2\pi iut}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование синуса Фурье	${\displaystyle {\mathcal {F}}_{s}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)}$	на ${\displaystyle [0,\infty )}$, с реальной стоимостью	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Косинусное преобразование Фурье	${\displaystyle {\mathcal {F}}_{c}}$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)}$	на ${\displaystyle [0,\infty )}$, с реальной стоимостью	0	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)}$	0	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Ганкеля		${\displaystyle t\,J_{\nu }(ut)}$		0	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle u\,J_{\nu }(ut)}$	0	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Хартли	${\displaystyle {\mathcal {H}}}$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Эрмита	${\displaystyle H}$	${\displaystyle e^{-x^{2}}H_{n}(x)}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Гильберта	${\displaystyle {\mathcal {H}}il}$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}}$	${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Якоби	${\displaystyle J}$	${\displaystyle (1-x)^{\alpha }\ (1+x)^{\beta }\ P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)}$		${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Лагерра	${\displaystyle L}$	${\displaystyle e^{-x}\ x^{\alpha }\ L_{n}^{\alpha }(x)}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Лапласа	${\displaystyle {\mathcal {L}}}$	е^−ut		0	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{ut}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Преобразование Лежандра	${\displaystyle {\mathcal {J}}}$	${\displaystyle P_{n}(x)\,}$		${\displaystyle -1}$	${\displaystyle 1}$		${\displaystyle 0}$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Меллина	${\displaystyle {\mathcal {M}}}$	тты−1		0	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {t^{-u}}{2\pi i}}\,}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Двусторонний Лаплас преобразовать	${\displaystyle {\mathcal {B}}}$	е^−ut		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{ut}}{2\pi i}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$
Ядро Пуассона		${\displaystyle {\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}}$		0	2π
Преобразование радона	Rƒ			${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$
Преобразование Вейерштрасса	${\displaystyle {\mathcal {W}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}}{\sqrt {4\pi }}}\,}$		${\displaystyle -\infty }$	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle {\frac {e^{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}{i{\sqrt {4\pi }}}}}$	${\displaystyle c\!-\!i\infty }$	${\displaystyle c\!+\!i\infty }$

В пределах интегрирования для обратного преобразования c - константа, которая зависит от характера функции преобразования. Например, для одно- и двустороннего преобразования Лапласа c должен быть больше самой большой действительной части нулей функции преобразования.

Обратите внимание, что существуют альтернативные обозначения и соглашения для преобразования Фурье.

Различные домены

Здесь интегральные преобразования определены для функций на действительных числах, но они могут быть определены в более общем плане для функций на группе.

• Если вместо этого использовать функции на окружности (периодические функции), тогда ядра интегрирования будут бипериодическими функциями; свертка по функциям на окружности дает круговая свертка.
• Если использовать функции на циклическая группа порядка п (${\displaystyle C_{n}}$ или же ${\displaystyle \mathbf {Z} /n\mathbf {Z} }$), получаем п × п матрицы как ядра интегрирования; свертка соответствует циркуляционные матрицы.

Общая теория

Хотя свойства интегральных преобразований сильно различаются, у них есть некоторые общие свойства. Например, каждое интегральное преобразование является линейный оператор, поскольку интеграл является линейным оператором, и на самом деле, если ядро ​​может быть обобщенная функция то все линейные операторы являются интегральными преобразованиями (правильно сформулированная версия этого утверждения Теорема о ядре Шварца ).

Общая теория таких интегральные уравнения известен как Теория Фредгольма. В этой теории под ядром понимается компактный оператор действуя на Банахово пространство функций. В зависимости от ситуации, ядро ​​по-разному называют Фредгольмов оператор, то ядерный оператор или Ядро Фредгольма.

Смотрите также

• Преобразование Бейтмана
• Ядро свертки
• Круговая свертка
• Циркулянтная матрица
• Дифференциальные уравнения
• Метод ядра
• Список преобразований
• Список операторов
• Список преобразований, связанных с Фурье
• Теорема Нахбина
• Нелокальный оператор
• Воспроизведение ядра
• Символическая интеграция

Рекомендации

1. Уравнение 3.42 в книге Фейнмана и Хиббса, Квантовая механика и интегралы по траекториям, исправленное издание:
2. Математически, что такое ядро ​​в интеграле по путям?

• А.Д. Полянин, А.В. Манжиров, Справочник интегральных уравнений, CRC Press, Бока-Ратон, 1998. ISBN  0-8493-2876-4
• Р. К. М. Тхамбинаягам, Справочник по диффузии: прикладные решения для инженеров, Макгроу-Хилл, Нью-Йорк, 2011. ISBN  978-0-07-175184-1
• «Интегральное преобразование», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Таблицы интегральных преобразований в EqWorld: мир математических уравнений.