Преобразование Абеля - Abel transform

В математика, то Преобразование Абеля,^[1] назван в честь Нильс Хенрик Абель, является интегральное преобразование часто используется при анализе сферически-симметричных или осесимметричных функций. Преобразование Абеля функции ж(р) дан кем-то

{ Displaystyle F (y) = 2 int _ {y} ^ { infty} { frac {f (r) r} { sqrt {r ^ {2} -y ^ {2}}}} , доктор}

При условии, что ж(р) падает до нуля быстрее, чем 1 /робратное преобразование Абеля дается выражением

{ displaystyle f (r) = - { frac {1} { pi}} int _ {r} ^ { infty} { frac {dF} {dy}} , { frac {dy} { sqrt {y ^ {2} -r ^ {2}}}}.}

В анализ изображений, прямое преобразование Абеля используется для проецирования оптически тонкой осесимметричной функции излучения на плоскость, а обратное преобразование Абеля используется для вычисления функции излучения с учетом проекции (т. е. сканирования или фотографии) этой функции излучения.

В абсорбционная спектроскопия цилиндрических пламен или шлейфов прямое преобразование Абеля представляет собой интегрированное поглощение по лучу с ближайшим расстоянием у от центра пламени, а обратное преобразование Абеля дает локальную коэффициент поглощения На расстоянии р от центра. Преобразование Абеля ограничено приложениями с осесимметричной геометрией. Для более общих асимметричных случаев используются более общие алгоритмы реконструкции, такие как метод алгебраической реконструкции (ART), должны использоваться алгоритмы максимизации ожидания максимального правдоподобия (MLEM), фильтрованной обратной проекции (FBP).

В последние годы обратное преобразование Абеля (и его варианты) стало краеугольным камнем анализа данных в фотофрагментно-ионная визуализация и фотоэлектронная визуализация. Среди недавних наиболее заметных расширений обратного преобразования Абеля - методы фотоэлектронного и фотоионного анализа изображений «луковичная очистка» и «расширение базисного набора» (BASEX).

Геометрическая интерпретация

Геометрическая интерпретация преобразования Абеля в двух измерениях. Наблюдатель (I) смотрит вдоль линии, параллельной Икс ось расстояние у выше начала координат. Наблюдатель видит проекцию (то есть интеграл) симметричной по кругу функции ж(р) по линии прямой видимости. Функция ж(р) представлена на этом рисунке серым цветом. Предполагается, что наблюдатель находится бесконечно далеко от начала координат, так что пределы интегрирования равны ± ∞.

В двух измерениях преобразование Абеля F(у) можно интерпретировать как проекцию симметричной по кругу функции ж(р) по набору параллельных линий взгляда на расстоянии у от происхождения. Ссылаясь на рисунок справа, наблюдатель (I) увидит

{ Displaystyle F (y) = int _ {- infty} ^ { infty} f left ({ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} right) , dx,}

куда ж(р) - это симметричная по кругу функция, представленная на рисунке серым цветом. Предполагается, что наблюдатель действительно находится на Икс = ∞, так что пределы интегрирования равны ± ∞, а все лучи зрения параллельны Икс оси, понимая, что радиус р относится к Икс и у в качестве р² = Икс² + у², следует, что

{ displaystyle dx = { frac {r , dr} { sqrt {r ^ {2} -y ^ {2}}}}}

за Икс > 0. Поскольку ж(р) является даже функция в Икс, мы можем написать

{ Displaystyle F (y) = 2 int _ {0} ^ { infty} f left ({ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} right) , dx = 2 int _ {| y |} ^ { infty} f (r) , { frac {r , dr} { sqrt {r ^ {2} -y ^ {2}}}},}

что дает преобразование Абеля ж(р).

Преобразование Абеля может быть расширено до более высоких измерений. Особый интерес представляет расширение до трех измерений. Если у нас есть осесимметричная функция ж(ρ, z), куда ρ² = Икс² + у² цилиндрический радиус, тогда мы можем захотеть узнать проекцию этой функции на плоскость, параллельную z ось. Не теряя общий смысл, мы можем принять этот самолет за yz самолет, так что

{ Displaystyle F (y, z) = int _ {- infty} ^ { infty} f ( rho, z) , dx = 2 int _ {y} ^ { infty} { frac { f ( rho, z) rho , d rho} { sqrt { rho ^ {2} -y ^ {2}}}},}

что является просто преобразованием Абеля ж(ρ, z) в ρ и у.

Особым типом осевой симметрии является сферическая симметрия. В этом случае у нас есть функция ж(р), куда р² = Икс² + у² + z².Проекция, скажем, на yz Тогда плоскость будет симметричной по кругу и выразимой как F(s), куда s² = у² + z². Осуществляя интеграцию, мы имеем

{ Displaystyle F (s) = int _ {- infty} ^ { infty} f (r) , dx = 2 int _ {s} ^ { infty} { frac {f (r) r , dr} { sqrt {r ^ {2} -s ^ {2}}}},}

что снова является преобразованием Абеля ж(р) в р и s.

Проверка обратного преобразования Абеля.

Предполагая ${ displaystyle f}$ непрерывно дифференцируема и ${ displaystyle f}$ , ${ displaystyle f '}$ упасть до нуля быстрее, чем ${ displaystyle 1 / r}$ , мы можем установить ${ Displaystyle и = е (г)}$ и ${ displaystyle v = { sqrt {r ^ {2} -y ^ {2}}}}$ . Интегрирование по частям дает

{ displaystyle F (y) = - 2 int _ {y} ^ { infty} f '(r) { sqrt {r ^ {2} -y ^ {2}}} , dr.}

Дифференцировать формально,

{ displaystyle F '(y) = 2y int _ {y} ^ { infty} { frac {f' (r)} { sqrt {r ^ {2} -y ^ {2}}}} , доктор}

Теперь подставьте это в формулу обратного преобразования Абеля:

{ displaystyle - { frac {1} { pi}} int _ {r} ^ { infty} { frac {F '(y)} { sqrt {y ^ {2} -r ^ {2 }}}} , dy = int _ {r} ^ { infty} int _ {y} ^ { infty} { frac {-2y} { pi { sqrt {(y ^ {2} -r ^ {2}) (s ^ {2} -y ^ {2})}}}} f '(s) , dsdy.}

К Теорема Фубини, последний интеграл равен

{ displaystyle int _ {r} ^ { infty} int _ {r} ^ {s} { frac {-2y} { pi { sqrt {(y ^ {2} -r ^ {2} ) (s ^ {2} -y ^ {2})}}}} , dyf '(s) , ds = int _ {r} ^ { infty} (- 1) f' (s) , ds = f (r).}

Обобщение преобразования Абеля на разрыв F(у)

Рассмотрим случай, когда ${ Displaystyle F (y)}$ прерывается на ${ displaystyle y = y _ { Delta}}$ , где он резко меняет свое значение на конечную величину ${ displaystyle Delta F}$ . То есть, ${ displaystyle y _ { Delta}}$ и ${ displaystyle Delta F}$ определены ${ displaystyle Delta F Equiv lim _ { epsilon rightarrow 0} [F (y _ { Delta} - epsilon) -F (y _ { Delta} + epsilon)]}$ . Такая ситуация встречается в связанных полимерах (Полимерная кисть ) с вертикальным фазовым разделением, где ${ Displaystyle F (y)}$ обозначает профиль плотности полимера и ${ displaystyle f (r)}$ относится к пространственному распределению концевых, несвязанных мономеров полимеров.

Преобразование Абеля функции ж(р) при этих обстоятельствах снова дается:

{ Displaystyle F (y) = 2 int _ {y} ^ { infty} { frac {f (r) r , dr} { sqrt {r ^ {2} -y ^ {2}}} }.}

Предполагая ж(р) падает до нуля быстрее, чем 1 /р, обратное преобразование Абеля, однако, дается формулой

{ displaystyle f (r) = left [{ frac {1} {2}} delta (r-y _ { Delta}) { sqrt {1- (y _ { Delta} / r) ^ {2 }}} - { frac {1} { pi}} { frac {H (y _ { Delta} -r)} { sqrt {y _ { Delta} ^ {2} -r ^ {2}} }} right] Delta F - { frac {1} { pi}} int _ {r} ^ { infty} { frac {dF} {dy}} { frac {dy} { sqrt {y ^ {2} -r ^ {2}}}}.}

куда ${ displaystyle delta}$ это Дельта-функция Дирака и ${ Displaystyle Н (х)}$ то Ступенчатая функция Хевисайда. Расширенная версия преобразования Абеля для разрывного F доказана после применения преобразования Абеля к сдвинутым непрерывным ${ Displaystyle F (y)}$ , и сводится к классическому преобразованию Абеля, когда ${ displaystyle Delta F = 0}$ . Если ${ Displaystyle F (y)}$ имеет более одного разрыва, необходимо ввести сдвиги для любого из них, чтобы получить обобщенную версию обратного преобразования Абеля, содержащую п дополнительные условия, каждое из которых соответствует одному из п разрывы.

Связь с другими интегральными преобразованиями

Связь с преобразованиями Фурье и Ганкеля

Преобразование Абеля является одним из членов Цикл FHA интегральных операторов. Например, в двух измерениях, если мы определим А как оператор преобразования Абеля, F как преобразование Фурье оператор и ЧАС как нулевой порядок Преобразование Ганкеля оператор, то частный случай теорема о проекции для кругово-симметричных функций утверждает, что

{ displaystyle FA = H.}

Другими словами, применение преобразования Абеля к одномерной функции и затем применение преобразования Фурье к этому результату аналогично применению преобразования Ганкеля к этой функции. Эту концепцию можно распространить на более высокие измерения.

Связь с преобразованием Радона

Преобразование Абеля можно рассматривать как Преобразование радона изотропной 2D функции ж(р). В качестве ж(р) изотропен, его преобразование Радона одинаково при разных углах оси обзора. Таким образом, преобразование Абеля является функцией расстояния только вдоль оси обзора.

Смотрите также

GPS радиозатмение

внешняя ссылка

[1] Н. Х. Абель, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1, стр. 153–157 (1826).

[1]