Преобразование Ганкеля - Hankel transform

В математика, то Преобразование Ганкеля выражает любую заданную функцию ж(р) как взвешенную сумму бесконечного числа Функции Бесселя первого рода J_ν(кр). Все функции Бесселя в сумме имеют один и тот же порядок ν, но отличаются масштабным коэффициентом k вдоль р ось. Необходимый коэффициент F_ν каждой функции Бесселя в сумме в зависимости от масштабного коэффициента k составляет преобразованную функцию. Преобразование Ханкеля - это интегральное преобразование и был впервые разработан математиком Герман Ганкель. Он также известен как преобразование Фурье – Бесселя. Так же, как преобразование Фурье для бесконечного интервала связана с Ряд Фурье на конечном интервале, поэтому преобразование Ганкеля на бесконечном интервале связано с Ряд Фурье – Бесселя на конечном интервале.

Определение

В Преобразование Ганкеля порядка ${\displaystyle \nu }$ функции ж(р) дан кем-то

${\displaystyle F_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }f(r)J_{\nu }(kr)\,r\,\mathrm {d} r,}$

где ${\displaystyle J_{\nu }}$ это Функция Бесселя первого вида заказа ${\displaystyle \nu }$ с ${\displaystyle \nu \geq -1/2}$. Обратное преобразование Ганкеля F_ν(k) определяется как

${\displaystyle f(r)=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,k\,\mathrm {d} k,}$

что можно легко проверить, используя соотношение ортогональности, описанное ниже.

Область определения

Обращение преобразования Ганкеля функции ж(р) действует в каждой точке, в которой ж(р) непрерывна при условии, что функция определена в (0, ∞), кусочно-непрерывна и имеет ограниченную вариацию на каждом конечном подынтервале в (0, ∞), и

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(r)|\,r^{\frac {1}{2}}\,\mathrm {d} r<\infty .}$

Однако, как и преобразование Фурье, область может быть расширена аргументом плотности для включения некоторых функций, интеграл которых выше не является конечным, например ${\displaystyle f(r)=(1+r)^{-3/2}}$.

Альтернативное определение

Альтернативное определение гласит, что преобразование Ганкеля грамм(р) является^[1]

${\displaystyle h_{\nu }(k)=\int _{0}^{\infty }g(r)J_{\nu }(kr)\,{\sqrt {kr}}\,\mathrm {d} r.}$

Эти два определения связаны:

Если ${\displaystyle g(r)=f(r){\sqrt {r}}}$, тогда ${\displaystyle h_{\nu }(k)=F_{\nu }(k){\sqrt {k}}.}$

Это означает, что, как и в предыдущем определении, преобразование Ханкеля, определенное таким образом, также является своим собственным обратным:

${\displaystyle g(r)=\int _{0}^{\infty }h_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)\,{\sqrt {kr}}\,\mathrm {d} k.}$

Очевидная область теперь имеет условие

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|g(r)|\,\mathrm {d} r<\infty ,}$

но это можно продлить. Согласно приведенной выше ссылке, мы можем взять интеграл как предел, поскольку верхний предел стремится к бесконечности ( несобственный интеграл а не Интеграл Лебега ), и таким образом преобразование Ганкеля и его обратная работа для всех функций из L² (0, ∞).

Преобразование уравнения Лапласа

Преобразование Ханкеля можно использовать для преобразования и решения Уравнение Лапласа выражается в цилиндрических координатах. При преобразовании Ганкеля оператор Бесселя превращается в умножение на ${\displaystyle -q^{2}}$.^[2] В осесимметричном случае уравнение в частных производных преобразуется как

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{0}\left\{{\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right\}=-q^{2}U+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}U,}$

которое представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение относительно преобразованной переменной ${\displaystyle U}$.

Ортогональность

Функции Бесселя образуют ортогональный базис относительно весового коэффициента р:^[3]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }J_{\nu }(kr)J_{\nu }(k'r)\,r\,\mathrm {d} r={\frac {\delta (k-k')}{k}},\quad k,k'>0.}$

Теорема Планшереля и теорема Парсеваля

Если ж(р) и грамм(р) таковы, что их преобразования Ганкеля F_ν(k) и грамм_ν(k) хорошо определены, то Теорема Планшереля состояния

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(r)g(r)\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }F_{\nu }(k)G_{\nu }(k)\,k\,\mathrm {d} k.}$

Теорема Парсеваля, в котором говорится

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }|f(r)|^{2}\,r\,\mathrm {d} r=\int _{0}^{\infty }|F_{\nu }(k)|^{2}\,k\,\mathrm {d} k,}$

является частным случаем теоремы Планшереля. Эти теоремы можно доказать, используя свойство ортогональности.

Связь с многомерным преобразованием Фурье

Преобразование Ханкеля появляется, когда человек записывает многомерное преобразование Фурье в гиперсферические координаты, поэтому преобразование Ганкеля часто возникает в физических задачах с цилиндрической или сферической симметрией.

Рассмотрим функцию ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ из ${\textstyle d}$-мерный вектор р. Его ${\textstyle d}$-мерное преобразование Фурье определяется как

$${\displaystyle F(\mathbf {k} )=\int _{\mathbb {R} ^{d}}f(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }\,\mathrm {d} \mathbf {r} .}$$

Чтобы переписать его в гиперсферических координатах, мы можем использовать разложение плоской волны на ${\textstyle d}$-мерные гиперсферические гармоники ${\displaystyle Y_{l,m}}$:^[4]

$${\displaystyle e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }=(2\pi )^{d/2}(kr)^{1-d/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}J_{d/2-1+l}(kr)\sum _{m}Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} })Y_{l,m}^{*}(\Omega _{\mathbf {r} }),}$$

где ${\textstyle \Omega _{\mathbf {r} }}$ и ${\textstyle \Omega _{\mathbf {k} }}$ - множества всех гиперсферических углов в ${\displaystyle \mathbf {r} }$-пространство и ${\displaystyle \mathbf {k} }$-Космос. Это дает следующее выражение для ${\textstyle d}$-мерное преобразование Фурье в гиперсферических координатах:

$${\displaystyle F(\mathbf {k} )=(2\pi )^{d/2}k^{1-d/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}\sum _{m}Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} })\int _{0}^{+\infty }J_{d/2-1+l}(kr)r^{d/2}\mathrm {d} r\int f(\mathbf {r} )Y_{l,m}^{*}(\Omega _{\mathbf {r} })\mathrm {d} \Omega _{\mathbf {r} }.}$$

Если мы расширим ${\displaystyle f(\mathbf {r} )}$ и ${\displaystyle F(\mathbf {k} )}$ в гиперсферических гармониках:

$${\displaystyle f(\mathbf {r} )=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m}f_{l,m}(r)Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {r} }),\quad F(\mathbf {k} )=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m}F_{l,m}(k)Y_{l,m}(\Omega _{\mathbf {k} }),}$$

преобразование Фурье в гиперсферических координатах упрощается до

$${\displaystyle k^{d/2-1}F_{l,m}(k)=(2\pi )^{d/2}(-i)^{l}\int _{0}^{+\infty }r^{d/2-1}f_{l,m}(r)J_{d/2-1+l}(kr)r\mathrm {d} r.}$$

Это означает, что функции с угловой зависимостью в виде гиперсферической гармоники сохраняют ее при многомерном преобразовании Фурье, в то время как радиальная часть подвергается преобразованию Ганкеля (с точностью до некоторых дополнительных факторов, таких как ${\textstyle r^{d/2-1}}$).

Особые случаи

Преобразование Фурье в двух измерениях

Если двумерная функция ж(р) расширяется в многополюсный ряд,

${\displaystyle f(r,\theta )=\sum _{m=-\infty }^{\infty }f_{m}(r)e^{im\theta _{\mathbf {r} }},}$

то его двумерное преобразование Фурье имеет вид

$${\displaystyle F(\mathbf {k} )=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{\mathbf {k} }}F_{m}(k),}$$

где

$${\displaystyle F_{m}(k)=\int _{0}^{\infty }f_{m}(r)J_{m}(kr)\,r\,\mathrm {d} r}$$

это ${\textstyle m}$преобразование Ганкеля ${\displaystyle f_{m}(r)}$ (в этом случае ${\textstyle m}$ играет роль углового момента, который обозначался как ${\textstyle l}$ в предыдущем разделе).

Преобразование Фурье в трех измерениях

Если трехмерная функция ж(р) расширяется в многополюсный ряд над сферические гармоники,

${\displaystyle f(r,\theta _{\mathbf {r} },\varphi _{\mathbf {r} })=\sum _{l=0}^{+\infty }\sum _{m=-l}^{+l}f_{l,m}(r)Y_{l,m}(\theta _{\mathbf {r} },\varphi _{\mathbf {r} }),}$

то его трехмерное преобразование Фурье дается выражением

$${\displaystyle F(k,\theta _{\mathbf {k} },\varphi _{\mathbf {k} })=(2\pi )^{3/2}\sum _{l=0}^{+\infty }(-i)^{l}\sum _{m=-l}^{+l}F_{l,m}(k)Y_{l,m}(\theta _{\mathbf {k} },\varphi _{\mathbf {k} }),}$$

где

$${\displaystyle {\sqrt {k}}F_{l,m}(k)=\int _{0}^{+\infty }{\sqrt {r}}f_{l,m}(r)J_{l+1/2}(kr)r\mathrm {d} r.}$$

преобразование Ганкеля ${\displaystyle {\sqrt {r}}f_{l,m}(r)}$ порядка ${\textstyle (l+1/2)}$.

Этот вид преобразования Ганкеля полуцелого порядка также известен как сферическое преобразование Бесселя.

Преобразование Фурье в d размеры (радиально-симметричный случай)

Если d-мерная функция ж(р) не зависит от угловых координат, то его d-мерное преобразование Фурье F(k) также не зависит от угловых координат и определяется выражением^[5]

$${\displaystyle k^{d/2-1}F(k)=(2\pi )^{d/2}\int _{0}^{+\infty }r^{d/2-1}f(r)J_{d/2-1}(kr)r\mathrm {d} r.}$$

которое является преобразованием Ганкеля ${\displaystyle r^{d/2-1}f(r)}$ порядка ${\textstyle (d/2-1)}$ до фактора ${\displaystyle (2\pi )^{d/2}}$.

2D-функции в ограниченном радиусе

Если двумерная функция ж(р) расширяется в многополюсный ряд а коэффициенты разложения ж_м достаточно гладкие вблизи начала координат и равны нулю вне радиуса р, радиальная часть ж(р)/р^м может быть расширен до степенного ряда 1- (г / р) ^ 2:

${\displaystyle f_{m}(r)=r^{m}\sum _{t\geq 0}f_{m,t}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t},\quad 0\leq r\leq R,}$

такое, что двумерное преобразование Фурье ж(р) становится

${\displaystyle {\begin{aligned}F(\mathbf {k} )&=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}\sum _{t}f_{m,t}\int _{0}^{R}r^{m}\left(1-\left({\tfrac {r}{R}}\right)^{2}\right)^{t}J_{m}(kr)r\,\mathrm {d} r&&\\&=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{m,t}\int _{0}^{1}x^{m+1}(1-x^{2})^{t}J_{m}(kxR)\,\mathrm {d} x&&(x={\tfrac {r}{R}})\\&=2\pi \sum _{m}i^{-m}e^{im\theta _{k}}R^{m+2}\sum _{t}f_{m,t}{\frac {t!2^{t}}{(kR)^{1+t}}}J_{m+t+1}(kR),\end{aligned}}}$

где последнее равенство следует из §6.567.1.^[6] Коэффициенты разложения ж_{м, т} доступны с дискретное преобразование Фурье техники:^[7] если радиальное расстояние масштабируется с

${\displaystyle r/R\equiv \sin \theta ,\quad 1-(r/R)^{2}=\cos ^{2}\theta ,}$

коэффициенты ряда Фурье-Чебышева грамм появиться как

${\displaystyle f(r)\equiv r^{m}\sum _{j}g_{m,j}\cos(j\theta )=r^{m}\sum _{j}g_{m,j}T_{j}(\cos \theta ).}$

Использование повторного расширения

${\displaystyle \cos(j\theta )=2^{j-1}\cos ^{j}\theta -{\frac {j}{1}}2^{j-3}\cos ^{j-2}\theta +{\frac {j}{2}}{\binom {j-3}{1}}2^{j-5}\cos ^{j-4}\theta -{\frac {j}{3}}{\binom {j-4}{2}}2^{j-7}\cos ^{j-6}\theta +\cdots }$

дает ж_{м, т} выражается в виде суммы грамм_{м, дж}.

Это одна из разновидностей техник быстрого преобразования Ганкеля.

Связь с преобразованиями Фурье и Абеля

Преобразование Ханкеля является одним из членов Цикл FHA интегральных операторов. В двух измерениях, если мы определим А как Преобразование Абеля оператор F как преобразование Фурье оператор и ЧАС как оператор преобразования Ганкеля нулевого порядка, то частный случай теорема о проекции для кругово-симметричных функций утверждает, что

${\displaystyle FA=H.}$

Другими словами, применение преобразования Абеля к одномерной функции и последующее применение преобразования Фурье к этому результату аналогично применению преобразования Ганкеля к этой функции. Эта концепция может быть расширена на более высокие измерения.

Числовая оценка

Простой и эффективный подход к численной оценке преобразования Ханкеля основан на наблюдении, что оно может быть представлено в виде свертка логарифмической заменой переменных^[8]

$${\displaystyle r=r_{0}e^{-\rho },\quad k=k_{0}e^{\kappa }.}$$

В этих новых переменных преобразование Ханкеля имеет вид

$${\displaystyle {\tilde {F}}_{\nu }(\kappa )=\int _{-\infty }^{\infty }{\tilde {f}}(\rho ){\tilde {J}}_{\nu }(\kappa -\rho )\mathrm {d} \rho ,}$$

где

$${\displaystyle {\tilde {f}}(\rho )=(r_{0}e^{-\rho })^{1-n}f(r_{0}e^{-\rho }),\quad {\tilde {F}}_{\nu }(\kappa )=(k_{0}e^{\kappa })^{1+n}F_{\nu }(k_{0}e^{\kappa }),\quad {\tilde {J}}_{\nu }(\kappa -\rho )=(k_{0}r_{0}e^{\kappa -\rho })^{1+n}J_{\nu }(k_{0}r_{0}e^{\kappa -\rho }).}$$

Теперь интеграл можно вычислить численно с помощью ${\textstyle O(N\log N)}$ сложность с помощью быстрое преобразование Фурье. Алгоритм может быть дополнительно упрощен, если использовать известное аналитическое выражение для преобразования Фурье ${\textstyle {\tilde {J}}_{\nu }}$:^[9]

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }{\tilde {J}}_{\nu }(x)e^{-iqx}\mathrm {d} x={\frac {\Gamma \left({\frac {\nu +1+n-iq}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu +1-n+iq}{2}}\right)}}2^{n-iq}e^{iq\ln(k_{0}r_{0})}.}$$

Оптимальный выбор параметров ${\textstyle r_{0},k_{0},n}$ зависит от свойств ${\textstyle f(r)}$, в частности его асимптотика при ${\textstyle r\rightarrow 0}$ и ${\textstyle r\rightarrow \infty }$.

Этот алгоритм известен как «квази-быстрое преобразование Ганкеля» или просто «быстрое преобразование Ганкеля».

Поскольку он основан на быстрое преобразование Фурье в логарифмических переменных, ${\textstyle f(r)}$ должен быть определен на логарифмической сетке. Для функций, определенных на однородной сетке, существует ряд других алгоритмов, в том числе простой квадратура, методы, основанные на теорема о проекции, и методы, использующие асимптотическое разложение функций Бесселя.^[10]

Некоторые пары преобразований Ханкеля

^[11]

${\displaystyle f(r)}$	${\displaystyle F_{0}(k)}$
${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {\delta (k)}{k}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{r}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{k}}}$
${\displaystyle r}$	${\displaystyle -{\frac {1}{k^{3}}}}$
${\displaystyle r^{3}}$	${\displaystyle {\frac {9}{k^{5}}}}$
${\displaystyle r^{m}}$	${\displaystyle {\frac {2^{m+1}\Gamma \left({\tfrac {m}{2}}+1\right)}{k^{m+2}\Gamma \left(-{\tfrac {m}{2}}\right)}},\quad -2<\Re (m)<-{\tfrac {1}{2}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {r^{2}+z^{2}}}}}$	${\displaystyle {\frac {e^{-k|z|}}{k}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{z^{2}+r^{2}}}}$	${\displaystyle K_{0}(kz),\quad z\in \mathbf {C} }$
${\displaystyle {\frac {e^{iar}}{r}}}$	${\displaystyle {\frac {i}{\sqrt {a^{2}-k^{2}}}},\quad a>0,k<a}$
	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {k^{2}-a^{2}}}},\quad a>0,k>a}$
${\displaystyle e^{-{\frac {1}{2}}a^{2}r^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}e^{-{\tfrac {k^{2}}{2a^{2}}}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{r}}J_{0}(lr)e^{-sr}}$	${\displaystyle {\frac {2}{\pi {\sqrt {(k+l)^{2}+s^{2}}}}}K{\bigg (}{\sqrt {\frac {4kl}{(k+l)^{2}+s^{2}}}}{\bigg )}}$
${\displaystyle -r^{2}f(r)}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{0}}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{0}}{\mathrm {d} k}}}$

${\displaystyle f(r)}$	${\displaystyle F_{\nu }(k)}$
${\displaystyle r^{s}}$	${\displaystyle {\frac {2^{s+1}}{k^{s+2}}}{\frac {\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}(2+\nu +s)\right)}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}(\nu -s))}}}$
${\displaystyle r^{\nu -2s}\Gamma (s,r^{2}h)}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{2s-\nu -2}\gamma \left(1-s+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4h}}\right)}$
${\displaystyle e^{-r^{2}}r^{\nu }U(a,b,r^{2})}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma (2+\nu -b)}{2\Gamma (2+\nu -b+a)}}\left({\tfrac {k}{2}}\right)^{\nu }e^{-{\frac {k^{2}}{4}}}\,_{1}F_{1}\left(a,2+a-b+\nu ,{\tfrac {k^{2}}{4}}\right)}$
${\displaystyle r^{n}J_{\mu }(lr)e^{-sr}}$	Можно выразить в терминах эллиптические интегралы.[12]
${\displaystyle -r^{2}f(r)}$	${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{\nu }}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{\nu }}{\mathrm {d} k}}-{\frac {\nu ^{2}}{k^{2}}}F_{\nu }}$

K_п(z) это модифицированная функция Бесселя второго рода.K(z) это полный эллиптический интеграл первого рода.

Выражение

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}F_{0}}{\mathrm {d} k^{2}}}+{\frac {1}{k}}{\frac {\mathrm {d} F_{0}}{\mathrm {d} k}}}$

совпадает с выражением для Оператор Лапласа в полярные координаты (k, θ) применительно к сферически симметричной функции F₀(k).

Преобразование Ганкеля Многочлены Цернике по сути являются функциями Бесселя (Noll 1976):

${\displaystyle R_{n}^{m}(r)=(-1)^{\frac {n-m}{2}}\int _{0}^{\infty }J_{n+1}(k)J_{m}(kr)\,\mathrm {d} k}$

даже для п − м ≥ 0.

Смотрите также

• преобразование Фурье
• Интегральное преобразование
• Преобразование Абеля
• Ряд Фурье – Бесселя
• Многочлен Неймана
• Y и H преобразовывает

Рекомендации

1. Луи де Бранж (1968). Гильбертовы пространства целых функций. Лондон: Прентис-Холл. п.189. ISBN  978-0133889000.
2. Пуларикас, Александр Д. (1996). Справочник преобразований и приложений. Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  0-8493-8342-0. OCLC  32237017.
3. Понсе де Леон, Дж. (2015). «Возвращаясь к ортогональности функций Бесселя первого рода на бесконечном интервале». Европейский журнал физики. 36 (1): 015016. Bibcode:2015EJPh ... 36a5016P. Дои:10.1088/0143-0807/36/1/015016.
4. Эйвери, Джеймс Эмиль, автор. Гиперсферические гармоники и их физические приложения. ISBN  978-981-322-930-3. OCLC  1013827621.
5. Фарис, Уильям Г. (2008-12-06). «Радиальные функции и преобразование Фурье: Notes for Math 583A, Fall 2008» (PDF). Университет Аризоны, факультет математики. Получено 2015-04-25.
6. Градштейн, И. С .; Рыжик И. М. (2015). Цвиллинджер, Даниэль (ред.). Таблица интегралов, серий и продуктов (Восьмое изд.). Академическая пресса. п. 687. ISBN  978-0-12-384933-5.
7. Секада, Хосе Д. (1999). «Численная оценка преобразования Ханкеля». Комп. Phys. Comm. 116 (2–3): 278–294. Bibcode:1999CoPhC.116..278S. Дои:10.1016 / S0010-4655 (98) 00108-8.
8. Зигман, А. Э. (1977-07-01). «Квази быстрое преобразование Ганкеля». Письма об оптике. 1 (1): 13. Bibcode:1977 ОптЛ .... 1 ... 13S. Дои:10.1364 / ol.1.000013. ISSN  0146-9592. PMID  19680315.
9. Талман, Джеймс Д. (октябрь 1978 г.). «Числовые преобразования Фурье и Бесселя в логарифмических переменных». Журнал вычислительной физики. 29 (1): 35–48. Bibcode:1978JCoPh..29 ... 35T. Дои:10.1016/0021-9991(78)90107-9. ISSN  0021-9991.
10. Кри, M.J .; Кости, П.Дж. (июль 1993 г.). «Алгоритмы для численной оценки преобразования Ханкеля». Компьютеры и математика с приложениями. 26 (1): 1–12. Дои:10.1016/0898-1221(93)90081-6. ISSN  0898-1221.
11. Папулис, Афанасиос (1981). Системы и преобразования с приложениями в оптике. Флорида, США: Издательство Кригер. С. 140–175. ISBN  978-0898743586.
12. Kausel, E .; Ирфан Байг, М. М. (2012). «Преобразование Лапласа произведений функций Бесселя: посещение более ранних формул» (PDF). Квартал прикладной математики. 70: 77–97. Дои:10.1090 / s0033-569x-2011-01239-2. HDL:1721.1/78923.

• Гаскилл, Джек Д. (1978). Линейные системы, преобразования Фурье и оптика. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. ISBN  978-0-471-29288-3.
• Полянин, А.Д .; Манжиров, А. В. (1998). Справочник интегральных уравнений. Бока-Ратон: CRC Press. ISBN  978-0-8493-2876-3.
• Смайт, Уильям Р. (1968). Статическое и динамическое электричество (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 179–223.
• Оффорд, А. С. (1935). «О превращениях Ганкеля». Труды Лондонского математического общества. 39 (2): 49–67. Дои:10.1112 / плмс / с2-39.1.49.
• Исон, G .; Благородный, B .; Снеддон, И. Н. (1955). «О некоторых интегралах типа Липшица-Ганкеля, содержащих произведения функций Бесселя». Философские труды Королевского общества A. 247 (935): 529–551. Bibcode:1955RSPTA.247..529E. Дои:10.1098 / рста.1955.0005. JSTOR  91565.
• Килпатрик, Дж. Э .; Кацура, Сигетоши; Иноуэ, Юджи (1967). «Вычисление интегралов от произведений функций Бесселя». Математика вычислений. 21 (99): 407–412. Дои:10.1090 / S0025-5718-67-99149-1.
• Маккиннон, Роберт Ф. (1972). «Асимптотические разложения преобразований Ганкеля и связанных с ними интегралов». Математика вычислений. 26 (118): 515–527. Дои:10.1090 / S0025-5718-1972-0308695-9. JSTOR  2003243.
• Линц, Питер; Кропп, Т. Э. (1973). «Заметка о вычислении интегралов с использованием произведений тригонометрических функций и функций Бесселя». Математика вычислений. 27 (124): 871–872. Дои:10.2307/2005522. JSTOR  2005522.
• Нолл, Роберт Дж (1976). «Полиномы Цернике и атмосферная турбулентность». Журнал Оптического общества Америки. 66 (3): 207–211. Bibcode:1976JOSA ... 66..207N. Дои:10.1364 / JOSA.66.000207.
• Зигман, А. Э. (1977). «Квази-быстрое преобразование Ганкеля». Опт. Латыш. 1 (1): 13–15. Bibcode:1977 ОптЛ .... 1 ... 13S. Дои:10.1364 / OL.1.000013. PMID  19680315.
• Магни, Витторио; Серулло, Джулио; Де Сильверстри, Сандро (1992). «Высокоточное быстрое преобразование Ганкеля для распространения оптического луча». J. Opt. Soc. Являюсь. А. 9 (11): 2031–2033. Bibcode:1992JOSAA ... 9.2031M. Дои:10.1364 / JOSAA.9.002031.
• Agnesi, A .; Reali, Giancarlo C .; Patrini, G .; Томаселли, А. (1993). «Численная оценка преобразования Ханкеля: примечания». Журнал Оптического общества Америки A. 10 (9): 1872. Bibcode:1993JOSAA..10.1872A. Дои:10.1364 / JOSAA.10.001872.
• Баракат, Ричард (1996). «Численная оценка преобразования Ганкеля нулевого порядка с использованием квадратурной философии Филона». Письма по прикладной математике. 9 (5): 21–26. Дои:10.1016/0893-9659(96)00067-5. МИСТЕР  1415467.
• Феррари, Хосе А .; Perciante, Daniel; Дубра, Альфредо (1999). «Быстрое преобразование Ганкеля n-го порядка». J. Opt. Soc. Являюсь. А. 16 (10): 2581–2582. Bibcode:1999JOSAA..16.2581F. Дои:10.1364 / JOSAA.16.002581.
• Видер, Томас (1999). «Алгоритм 794: Численное преобразование Ханкеля с помощью программы на языке Fortran HANKEL». ACM Trans. Математика. Softw. 25 (2): 240–250. Дои:10.1145/317275.317284.
• Нокерт, Люк (2000). «Быстрое преобразование Ганкеля с помощью быстрых преобразований синуса и косинуса: связь Меллина» (PDF). IEEE Trans. Сигнальный процесс. 48 (6): 1695–1701. Bibcode:2000ITSP ... 48,1695 К. CiteSeerX  10.1.1.721.1633. Дои:10.1109/78.845927.
• Zhang, D.W .; Юань, X.-C .; Ngo, N. Q .; Шум П. (2002). «Быстрое преобразование Ганкеля и его применение для изучения распространения цилиндрических электромагнитных полей». Опт. Экспресс. 10 (12): 521–525. Bibcode:2002OExpr..10..521Z. Дои:10.1364 / oe.10.000521. PMID  19436390.
• Маркхэм, Джоанна; Кончелло, Хосе-Анхель (2003). «Численное вычисление преобразований Ганкеля для осциллирующих функций». J. Opt. Soc. Являюсь. А. 20 (4): 621–630. Bibcode:2003JOSAA..20..621M. Дои:10.1364 / JOSAA.20.000621. PMID  12683487.
• Perciante, César D .; Феррари, Хосе А. (2004). «Быстрое преобразование Ханкеля n-го порядка с улучшенной производительностью». J. Opt. Soc. Являюсь. А. 21 (9): 1811–2. Bibcode:2004JOSAA..21.1811P. Дои:10.1364 / JOSAA.21.001811. PMID  15384449.
• Гизар-Сикаирос, Мануэль; Гутьеррес-Вега, Хулио К. (2004). «Вычисление квазидискретного преобразования Ханкеля целого порядка для распространения оптических волновых полей». J. Opt. Soc. Являюсь. А. 21 (1): 53–58. Bibcode:2004JOSAA..21 ... 53G. Дои:10.1364 / JOSAA.21.000053. PMID  14725397.
• Cerjan, Чарльз (2007). «Представление Цернике-Бесселя и его приложение к преобразованиям Ганкеля». J. Opt. Soc. Являюсь. А. 24 (6): 1609–1616. Bibcode:2007JOSAA..24.1609C. Дои:10.1364 / JOSAA.24.001609. PMID  17491628.