Теорема о проекции среза - Projection-slice theorem

Теорема Фурье-среза

В математика, то теорема о проекции, центральная теорема среза или же Теорема Фурье-среза в двух измерениях заявляет, что результаты следующих двух вычислений равны:

• Возьмем двумерную функцию ж(р), проект (например, используя Преобразование радона ) на (одномерную) прямую и преобразование Фурье этой проекции.
• Возьмите ту же функцию, но сначала выполните двумерное преобразование Фурье, а затем ломтик это через его начало, которое параллельно линии проекции.

В терминах оператора, если

• F₁ и F₂ - упомянутые выше 1- и 2-мерные операторы преобразования Фурье,
• п₁ - это оператор проекции (который проецирует двумерную функцию на одномерную линию),
• S₁ является оператором среза (который извлекает одномерный центральный срез из функции),

тогда

${\displaystyle F_{1}P_{1}=S_{1}F_{2}.}$

Эту идею можно распространить на более высокие измерения.

Эта теорема используется, например, при анализе медицинскихCT сканирование, где «проекция» - это рентгеновское изображение внутреннего органа. Видно, что преобразования Фурье этих изображений представляют собой срезы через преобразование Фурье трехмерной плотности внутреннего органа, и эти срезы могут быть интерполированы для построения полного преобразования Фурье этой плотности. Затем обратное преобразование Фурье используется для восстановления трехмерной плотности объекта. Этот метод был впервые получен Рональд Н. Брейсвелл в 1956 г. по проблеме радиоастрономии.^[1]

Теорема о проекционном срезе в N размеры

В N размеры, теорема о проекции заявляет, чтопреобразование Фурье из проекция из N-мерная функцияж(р) на м-размерный линейное подмногообразие равно м-размерный ломтик из N-мерное преобразование Фурье этой функции, состоящей из м-мерное линейное подмногообразие через начало координат в пространстве Фурье, параллельное проекционному подмногообразию. В терминах оператора:

${\displaystyle F_{m}P_{m}=S_{m}F_{N}.\,}$

Обобщенная теорема Фурье-среза

Помимо обобщения N размерности, теорема о проекции-срезе может быть дополнительно обобщена с произвольной заменой базиса.^[2] Для удобства обозначений мы считаем изменение базиса в виде B, N-к-N обратимая матрица, работающая на N-мерные векторы-столбцы. Тогда Обобщенная теорема Фурье-среза можно сформулировать как

${\displaystyle F_{m}P_{m}B=S_{m}{\frac {B^{-T}}{|B^{-T}|}}F_{N}.}$

Доказательство в двух измерениях

Графическая иллюстрация теоремы о проекционном срезе в двух измерениях. ж(р) и F(k) являются двумерными парами преобразований Фурье. Проекция ж(р) на Икс-ось является интегралом ж(р) вдоль линий обзора параллельно уось и обозначена п(Икс). Срез через F(k) на k_Икс ось, параллельная оси Икс оси и помечены s(k_Икс). Теорема проекционного среза утверждает, что п(Икс) и s(k_Икс) являются одномерными парами преобразований Фурье.

Теорема о проекции-срезе легко доказывается для случая двух измерений. Без ограничения общности мы можем принять за линию проекции прямую проекции. Икс-axis. Нет никакой потери общности, потому что, если мы используем смещенную и повернутую линию, закон все еще применяется. Использование сдвинутой линии (по оси y) дает такую ​​же проекцию и, следовательно, те же результаты одномерного преобразования Фурье. Повернутая функция - это пара Фурье повернутого преобразования Фурье, для которой теорема снова верна.

Если ж(Икс, у) - двумерная функция, то проекция ж(Икс, у) на Икс ось п(Икс) куда

${\displaystyle p(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dy.}$

Преобразование Фурье ${\displaystyle f(x,y)}$ является

${\displaystyle F(k_{x},k_{y})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,e^{-2\pi i(xk_{x}+yk_{y})}\,dxdy.}$

Затем ломтик ${\displaystyle s(k_{x})}$

${\displaystyle s(k_{x})=F(k_{x},0)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,e^{-2\pi ixk_{x}}\,dxdy}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }\left[\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)\,dy\right]\,e^{-2\pi ixk_{x}}dx}$

${\displaystyle =\int _{-\infty }^{\infty }p(x)\,e^{-2\pi ixk_{x}}dx}$

что является просто преобразованием Фурье п(Икс). Доказательство для более высоких размерностей легко обобщается из приведенного выше примера.

Цикл FHA

Если двумерная функция ж(р) симметрично по кругу, его можно представить в виде ж(р), куда р = |р|, В этом случае проекция на любую линию проекции будет Преобразование Абеля из ж(р). Двумерный преобразование Фурье из ж(р) будет циркулярно-симметричной функцией, заданной нулевым порядком Преобразование Ганкеля из ж(р), который, следовательно, также будет представлять любой срез источника. Теорема проекции-среза затем утверждает, что преобразование Фурье проекции равно срезу или

${\displaystyle F_{1}A_{1}=H,}$

куда А₁ представляет собой оператор преобразования Абеля, проецирующий двумерную симметричную по кругу функцию на одномерную линию, F₁ представляет собой одномерный оператор преобразования Фурье, а ЧАС представляет собой оператор преобразования Ганкеля нулевого порядка.

Расширение до веерной или конической балки CT

Теорема о проекции среза подходит для реконструкции КТ-изображения с параллельными проекциями луча. Это не относится напрямую к ТТ с веерным или конусным лучом. Теорема была распространена на реконструкцию КТ изображений веерного и конусообразного пучков Шуанг-жэнь Чжао в 1995 году.^[3]

Смотрите также

• Преобразование Радона § Связь с преобразованием Фурье

Рекомендации

1. Брейсуэлл, Рональд Н. (1956). «Полосовая интеграция в радиоастрономии». Австралийский журнал физики. 9 (2): 198–217. Bibcode:1956AuJPh ... 9..198B. Дои:10.1071 / PH560198.
2. Нг, Рен (2005). "Фотография среза Фурье" (PDF). Транзакции ACM на графике. 24 (3): 735–744. Дои:10.1145/1073204.1073256.
3. Чжао С.Р. и Х. Холлинг (1995). Новый метод преобразования Фурье для веерной томографии. Опубликовано в 1995 г. Отчет о симпозиуме по ядерной науке и конференции по медицинской визуализации. 2. С. 1287–91. Дои:10.1109 / NSSMIC.1995.510494. ISBN  978-0-7803-3180-8.

дальнейшее чтение

• Брейсуэлл, Рональд Н. (1990). «Числовые преобразования». Наука. 248 (4956): 697–704. Bibcode:1990Sci ... 248..697B. Дои:10.1126 / science.248.4956.697. PMID  17812072.
• Брейсуэлл, Рональд Н. (1956). "Интеграция полос в радиоастрономии". Aust. J. Phys. 9 (2): 198. Bibcode:1956AuJPh ... 9..198B. Дои:10.1071 / PH560198.
• Гаскилл, Джек Д. (2005). Линейные системы, преобразования Фурье и оптика. John Wiley & Sons, Нью-Йорк. ISBN  978-0-471-29288-3.
• Нг, Рен (2005). "Фотография среза Фурье" (PDF). Транзакции ACM на графике. 24 (3): 735–744. Дои:10.1145/1073204.1073256.
• Чжао, Шуанг-Рен; Холлинг, Хорст (1995). «Реконструкция проекций конического пучка со свободным трактом источника обобщенным методом Фурье». Материалы международного совещания 1995 г. по восстановлению полностью трехмерного изображения в радиологии и ядерной медицине: 323–7.
• Garces, Daissy H .; Родос, Уильям Т .; Пенья, Нестор (2011). "Теорема о проекции-срезе: компактное обозначение". Журнал Оптического общества Америки A. 28 (5): 766–769. Bibcode:2011JOSAA..28..766G. Дои:10.1364 / JOSAA.28.000766. PMID  21532686.

внешняя ссылка

• Теорема Фурье-среза (видео). Часть курса «Компьютерная томография и ASTRA Toolbox». Университет Антверпена. 10 сентября 2015 года.