Ряд Фурье – Бесселя - Fourier–Bessel series - Wikipedia

В математика, Ряд Фурье – Бесселя это особый вид обобщенный ряд Фурье (ан бесконечная серия разложение на конечном интервале) на основе Функции Бесселя.

Ряды Фурье – Бесселя используются в решении уравнения в частных производных, особенно в цилиндрическая координата системы. Ряд, образованный функцией Бесселя первого рода, известен как Серия Шлёмильха.

Определение

Ряд Фурье – Бесселя функции f (x) с домен из [0,б] удовлетворение f (b) = 0

${\displaystyle f:[0,b]\rightarrow \mathbb {R} }$

представляет собой представление этой функции как линейная комбинация из многих ортогональный версии того же Функция Бесселя первого рода J_α, где аргумент каждой версии п по-разному масштабируется, согласно

${\displaystyle (J_{\alpha })_{n}(x):=J_{\alpha }\left({\frac {u_{\alpha ,n}}{b}}x\right)}$

куда ты_{α, n} это корень, пронумерованный п связанный с функцией Бесселя J_α и c_п - присвоенные коэффициенты:

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }c_{n}J_{\alpha }\left({\frac {u_{\alpha ,n}}{b}}x\right).}$

Интерпретация

Ряд Фурье – Бесселя можно рассматривать как разложение Фурье по координате ρ цилиндрические координаты. Так же, как Ряд Фурье определен для конечного интервала и имеет аналог, непрерывное преобразование Фурье на бесконечном интервале, поэтому ряд Фурье – Бесселя имеет аналог на бесконечном интервале, а именно Преобразование Ганкеля.

Расчет коэффициентов

Как уже говорилось, функции Бесселя с различным масштабированием ортогональны относительно внутренний продукт

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{0}^{b}xf(x)g(x)\mathrm {d} x}$

в соответствии с

${\displaystyle \int _{0}^{1}xJ_{\alpha }(xu_{\alpha ,n})\,J_{\alpha }(xu_{\alpha ,m})\,dx={\frac {\delta _{mn}}{2}}[J_{\alpha +1}(u_{\alpha ,n})]^{2}}$,

(куда: ${\displaystyle {\delta _{mn}}}$ - дельта Кронекера). Коэффициенты могут быть получены из проектирование функция f (x) на соответствующие функции Бесселя:

${\displaystyle c_{n}={\frac {\langle f,(J_{\alpha })_{n}\rangle }{\langle (J_{\alpha })_{n},(J_{\alpha })_{n}\rangle }}={\frac {\int _{0}^{b}xf(x)(J_{\alpha })_{n}(x)\mathrm {d} x}{{\frac {1}{2}}(bJ_{\alpha \pm 1}(u_{\alpha ,n}))^{2}}}}$

где знак плюс или минус одинаково допустим.

Заявление

Разложение в ряд Фурье – Бесселя использует в качестве основы апериодические и убывающие функции Бесселя. Расширение ряда Фурье-Бесселя успешно применялось в различных областях, таких как диагностика неисправностей механизма, распознавание запахов в турбулентной окружающей среде, анализ постуральной стабильности, определение времени начала голоса, обнаружение моментов (эпох) закрытия голосовой щели, разделение речевых формант, Сегментация сигнала ЭЭГ, улучшение речи и идентификация говорящего. Разложение в ряд Фурье – Бесселя также использовалось для уменьшения перекрестных членов в распределении Вигнера – Вилля.

Серия Дини

Второй ряд Фурье – Бесселя, также известный как Серия Дини, связан с Граничное условие Робина

${\displaystyle bf'(b)+cf(b)=0}$, куда ${\displaystyle c}$ - произвольная постоянная.

Ряд Дини можно определить как

${\displaystyle f(x)\sim \sum _{n=1}^{\infty }b_{n}J_{\alpha }(\gamma _{n}x/b)}$,

куда ${\displaystyle \gamma _{n}}$ это пй ноль ${\displaystyle xJ'_{\alpha }(x)+cJ_{\alpha }(x)}$.

Коэффициенты ${\displaystyle b_{n}}$ даны

${\displaystyle b_{n}={\frac {2\gamma _{n}^{2}}{b^{2}(c^{2}+\gamma _{n}^{2}-\alpha ^{2})J_{\alpha }^{2}(\gamma _{n})}}\int _{0}^{b}J_{\alpha }(\gamma _{n}x/b)\,f(x)\,x\,dx.}$

Смотрите также

• Ортогональность
• Обобщенный ряд Фурье
• Преобразование Ганкеля
• Многочлен Неймана

Рекомендации

• Смайт, Уильям Р. (1968). Статическое и динамическое электричество (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл.
• Магнус, Вильгельм; Оберхеттингер, Фриц; Сони, Радж Пал (1966). Формулы и теоремы для специальных функций математической физики. Берлин: Springer.
• Р. Б. Пачори и П. Сиркар, Нестационарный анализ сигналов: методы, основанные на представлении Фурье-Бесселя, LAP LAMBERT Academic Publishing, Саарбрюккен, Германия, 2010 г., ISBN  978-3-8433-8807-8.
• Дж. Шредер, Обработка сигналов с помощью разложения в ряд Фурье – Бесселя, Цифровая обработка сигналов. 3 (1993), 112–124.
• Г. Д'Элиа, С. Дельвеккио и Г. Далпиаз, Об использовании разложения в ряд Фурье – Бесселя для диагностики зубчатых колес, Proc. Второй Int. Конф. Мониторинг состояния машин в нестационарных операциях (2012), 267-275.
• А. Вергараа, Э. Мартинелли, Р. Уэрта, А. Д’Амико и К. Ди Натале, Ортогональное разложение хемо-сенсорных сигналов: распознавание запахов в турбулентной окружающей среде, Procedure Engineering 25 (2011), 491–494.
• Ф.С. Гурген и С. С. Чен, Улучшение речи с помощью коэффициентов Фурье – Бесселя речи и шума, IEE Proc. Comm. Речь Вис. 137 (1990), 290–294.
• К. Гопалан, Т. Р. Андерсон и Э. Дж. Куплс, Сравнение результатов идентификации говорящего с использованием функций, основанных на кепстре и разложении Фурье – Бесселя, IEEE Trans. Речевой аудиопроцесс. 7 (1999), 289–294.
• Р. Б. Пачори и П. Сиркар, Анализ многокомпонентных сигналов AM-FM методом FB-DESA, Цифровая обработка сигналов, т. 20, стр. 42-62, январь 2010 г.
• Р. Б. Пачори и П. Сиркар, Анализ сигналов ЭЭГ с использованием разложения FB и линейного TVAR-процесса второго порядка, Обработка сигналов, т. 88, нет. 2, стр. 415-420, февраль 2008 г.
• Р. Б. Пачори и П. Сиркар, Новый метод сокращения перекрестных членов в распределении Вигнера, Цифровая обработка сигналов, т. 17, нет. 2, стр. 466-474, март 2007 г.
• А. Бхаттачарья, Л. Сингх и Р. Б. Пачори, Эмпирическое вейвлет-преобразование на основе разложения в ряд Фурье-Бесселя для анализа нестационарных сигналов, Цифровая обработка сигналов, т. 78, pp. 185-196, июль 2018 г.
• П. Джайн и Р. Б. Пачори, Основанный на событиях метод мгновенной оценки основной частоты по вокализированной речи на основе разложения по собственным значениям матрицы Ханкеля, IEEE / ACM Transactions on Audio, Speech and Language Processing, vol. 22. Выпуск 10, стр. 1467-1482, октябрь 2014 г.
• Р.К. Трипати, А. Бхаттачарья и Р. Б. Пачори, Новый подход к обнаружению инфаркта миокарда по сигналам ЭКГ с нескольких электродов., Журнал IEEE Sensors, DOI: 10.1109 / JSEN.2019.2896308, 2019.
• В. Гупта и Р. Б. Пачори, Выявление эпилептических припадков с использованием энтропии ритмов ЭЭГ на основе FBSE, Обработка и контроль биомедицинских сигналов, DOI: 10.1016 / j.bspc.2019.101569, 2019.
• Р. Катияр, В. Гупта и Р. Б. Пачори, Подход на основе FBSE-EWT для определения частоты дыхания по сигналам PPG, Письма о датчиках IEEE, DOI: 10.1109 / LSENS.2019.2926834, 2019.
• Р.К. Трипати, А. Бхаттачарья и Р. Б. Пачори, Локализация инфаркта миокарда по сигналам электрокардиограммы в нескольких отведениях с использованием многомасштабной сверточной нейронной сети, Журнал датчиков IEEE, DOI: 10.1109 / JSEN.2019.2935552, 2019.
• П. Гаджбхийе, Р.К. Трипати и Р. Б. Пачори, Устранение глазных артефактов из одноканальных сигналов ЭЭГ с использованием ритмов на основе FBSE-EWT, Журнал IEEE Sensors, 2019.
• В КАЧЕСТВЕ. Худ, Р.Б. Пачори, В.К. Редди и П. Сиркар, Параметрическое представление речи с использованием модели многокомпонентного сигнала AFM, Международный журнал речевых технологий, вып. 18, выпуск 03, стр. 287-303, сентябрь 2015 г.
• А. Анураги, Д. Сисодиа и Р. Б. Пачори, Автоматическое обнаружение алкоголизма с использованием эмпирического вейвлет-преобразования на основе разложения в ряд Фурье-Бесселя, Журнал датчиков IEEE, DOI: 10.1109 / JSEN.2020.2966766, 2020.
• Т. Сиддхарт, П. Гаджбхайе, Р.К. Трипати и Р. Б. Пачори, Определение зоны фокального приступа на основе ЭЭГ с использованием ритма FBSE-EWT и сети SAE-SVM, IEEE Sensors Journal, DOI: 10.1109 / JSEN.2020.2995749.
• В. Гупта и Р. Б. Пачори, Классификация фокальных сигналов ЭЭГ с использованием гибкого вейвлет-преобразования на основе FBSE, Обработка и контроль биомедицинских сигналов, DOI: https://doi.org/10.1016/j.bspc.2020.102124.
• А. Бхаттачарья, Р.К. Трипати, Л. Гарг и Р. Б. Пачори, Новый многомасштабный подход к вычислению спектральной и временной сложности ЭЭГ для распознавания человеческих эмоций., Журнал датчиков IEEE, DOI: 10.1109 / JSEN.2020.3027181.
• П.К. Чаудхари и Р. Б. Пачори, Автоматическая диагностика глаукомы с использованием двумерного расширения ряда Фурье-Бесселя на основе эмпирического вейвлет-преобразования, Обработка и контроль биомедицинских сигналов, DOI: https://doi.org/10.1016/j.bspc.2020.102237.
• В. Гупта и Р. Б. Пачори, Частотно-временное представление на основе FBDM для классификации стадий сна с использованием сигналов ЭЭГ, Обработка и контроль биомедицинских сигналов, DOI: https://doi.org/10.1016/j.bspc.2020.102265.

внешняя ссылка

• «Ряд Фурье-Бесселя», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик. W. "Ряд Фурье-Бесселя". Из MathWorld - Веб-ресурс Wolfram.
• Применение рядов Фурье – Бесселя к анализу акустического поля на Страница исследования Trinnov Audio