Разложение пространств внутреннего продукта на ортонормированные базисы
В математический анализ, многие обобщения Ряд Фурье оказались полезными. Все они являются частными случаями разложений над ортонормированный базис из внутреннее пространство продукта. Здесь мы считаем, что квадратично интегрируемый функции, определенные на интервал из реальная линия, что важно, в частности, для интерполяция теория.
Определение
Рассмотрим набор квадратично интегрируемый функции со значениями в
,
![Phi = { varphi _ {n}: [a, b] rightarrow { mathbb {F}} } _ {{n = 0}} ^ { infty},](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e21d4e86b5c41e52655f7e60284d634fc1012526)
которые попарно ортогональный для внутренний продукт
![langle f, g rangle _ {w} = int _ {a} ^ {b} f (x) , overline {g} (x) , w (x) , dx](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d89e68f0277c9bc67bd78e7237cb20541c853f3)
куда ш(Икс) это весовая функция, и
представляет комплексное сопряжение, т.е.
за
.
В обобщенный ряд Фурье из квадратично интегрируемый функция ж: [а, б] →
относительно Φ, то
![f (x) sim sum _ {{n = 0}} ^ { infty} c_ {n} varphi _ {n} (x),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21cf3a01f0098d9076982975f35ac549e6cbd39d)
где коэффициенты даются как
![c_ {n} = { langle f, varphi _ {n} rangle _ {w} over | varphi _ {n} | _ {w} ^ {2}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19211b8ff8f04cb44de700004a0084d706e3119f)
Если Φ - полный набор, т.е. ортонормированный базис пространства всех квадратично интегрируемых функций на [а, б], в отличие от меньшего ортонормированного множества, соотношение
становится равенством в L² смысле, точнее по модулю | · |ш (не обязательно точечно, ни почти всюду ).
Пример (ряд Фурье – Лежандра)
В Полиномы Лежандра являются решениями Проблема Штурма – Лиувилля.
![left ((1-x ^ {2}) P_ {n} '(x) right)' + n (n + 1) P_ {n} (x) = 0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b741b45c93d4451462832a321b4dd6c0316aeca4)
и, согласно теории Штурма-Лиувилля, эти многочлены являются собственными функциями задачи и решениями, ортогональными относительно скалярного произведения выше с единичным весом. Таким образом, мы можем сформировать обобщенный ряд Фурье (известный как ряд Фурье – Лежандра), включающий полиномы Лежандра, и
![f (x) sim sum _ {{n = 0}} ^ { infty} c_ {n} P_ {n} (x),](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/433050ca54f74ab9c3e55282ffac8b9ef6e0fd41)
![c_ {n} = { langle f, P_ {n} rangle _ {w} over | P_ {n} | _ {w} ^ {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/481cecd0ff19263f284d265cf9fd69fdbced3085)
В качестве примера вычислим ряд Фурье – Лежандра для ƒ(Икс) = cosИкс более [−1, 1]. Сейчас же,
![{ displaystyle { begin {align} c_ {0} & = { int _ {- 1} ^ {1} cos {x} , dx over int _ {- 1} ^ {1} (1 ) ^ {2} , dx} = sin {1} c_ {1} & = { int _ {- 1} ^ {1} x cos {x} , dx over int _ { -1} ^ {1} x ^ {2} , dx} = {0 over 2/3} = 0 c_ {2} & = { int _ {- 1} ^ {1} {3x ^ {2} -1 over 2} cos {x} , dx over int _ {- 1} ^ {1} {9x ^ {4} -6x ^ {2} +1 over 4} , dx} = {6 cos {1} -4 sin {1} over 2/5} end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b48ab0a452211dd73275b0a312f8787513e6a2a8)
и серию, включающую эти термины
![{ displaystyle c_ {2} P_ {2} (x) + c_ {1} P_ {1} (x) + c_ {0} P_ {0} (x) = {5 over 2} (6 cos { 1} -4 sin {1}) left ({3x ^ {2} -1 over 2} right) + sin 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97f382048be9e7cb24656cd8c6e1a0e93b30cbae)
![= left ({45 over 2} cos {1} -15 sin {1} right) x ^ {2} +6 sin {1} - {15 over 2} cos {1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9621056da74dd71d28e6d94a0e9b841dd58105c0)
который отличается от cos Икс примерно на 0,003, примерно на 0. Использование таких рядов Фурье – Лежандра может быть выгодным, поскольку все собственные функции являются полиномами и, следовательно, интегралы и, следовательно, коэффициенты легче вычислить.
Коэффициентные теоремы
Некоторые теоремы о коэффициентах cп включают:
![{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} | c_ {n} | ^ {2} leq int _ {a} ^ {b} | f (x) | ^ {2} w ( x) , dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b030157028d50ed9125bd15d233411ec6f99faf9)
Если Φ - полный набор,
![{ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} | c_ {n} | ^ {2} = int _ {a} ^ {b} | f (x) | ^ {2} w (x ) , dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b80ed40fa2ee0ec921e78d0e933061812003c764)
Смотрите также