Преобразование Вейерштрасса - Weierstrass transform

В математика, то Преобразование Вейерштрасса^[1] из функция ж : р → р, названный в честь Карл Вейерштрасс, представляет собой "сглаженную" версию ж(Икс) полученные усреднением значений ж, взвешенный с гауссианом с центром вИкс.

График функции ж(Икс) (черный) и его обобщенные преобразования Вейерштрасса для пяти ширины (т) параметры. Стандартное преобразование Вейерштрасса F(Икс) дается случаем т = 1 (зеленым)

В частности, это функция F определяется

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(y)\;e^{-{\frac {(x-y)^{2}}{4}}}\;dy={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x-y)\;e^{-{\frac {y^{2}}{4}}}\;dy~,}$

то свертка из ж с Функция Гаусса

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}~.}$

Множитель 1 / √ (4π ) выбирается так, чтобы общий интеграл гауссиана был равен 1, а значит, постоянные функции не меняются преобразованием Вейерштрасса.

Вместо F(Икс) один также пишет W[ж](Икс). Обратите внимание, что F(Икс) не обязательно существовать для каждого действительного числа Икс, когда определяющий интеграл не сходится.

Преобразование Вейерштрасса тесно связано с уравнение теплопроводности (или, что то же самое, уравнение диффузии с постоянным коэффициентом диффузии). Если функция ж описывает начальную температуру в каждой точке бесконечно длинного стержня, имеющего постоянную теплопроводность равным 1, то распределение температуры стержня т = 1 единицы времени позже будут даны функцией F. Используя значения т отличное от 1, мы можем определить обобщенное преобразование Вейерштрасса из ж.

Обобщенное преобразование Вейерштрасса позволяет аппроксимировать заданную интегрируемую функцию ж произвольно хорошо с аналитические функции.

Имена

Вейерштрасс использовал это преобразование в своем первоначальном доказательстве Аппроксимационная теорема Вейерштрасса. Он также известен как Преобразование Гаусса или же Преобразование Гаусса – Вейерштрасса после Карл Фридрих Гаусс и как Преобразование Хилле после Эйнар Карл Хилле кто изучил это всесторонне. Обобщение W_т упомянутые ниже известны в анализ сигналов как Гауссов фильтр И в обработка изображений (при реализации на р²) как Размытие по Гауссу.

Преобразование некоторых важных функций

Как упоминалось выше, каждая постоянная функция представляет собой собственное преобразование Вейерштрасса. Преобразование Вейерштрасса любого многочлен - многочлен той же степени и, по сути, тот же старший коэффициент ( асимптотический рост без изменений). Действительно, если ЧАС_п обозначает (физика) полином Эрмита степени п, то преобразование Вейерштрасса ЧАС_п(Икс/ 2) просто Икс^п. Это можно показать, используя тот факт, что производящая функция для полиномов Эрмита тесно связан с гауссовым ядром, используемым в определении преобразования Вейерштрасса.

Преобразование Вейерштрасса функции е^топор (куда а - произвольная постоянная) равно е^а2 е^топор. Функция е^топор таким образом собственная функция преобразования Вейерштрасса. (На самом деле это в более общем смысле верно для все свертка преобразовывает.)

Параметр а=би куда я это мнимая единица, и применяя Тождество Эйлера, видно, что преобразование Вейерштрасса функции cos (bx) является е^−б2 cos (bx) и преобразование Вейерштрасса функции sin (bx) является е^−б2 грех (bx).

Преобразование Вейерштрасса функции е^топор2 является

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-4a}}}e^{\frac {ax^{2}}{1-4a}}}$ если а <1/4 и не определено, если а ≥ 1/4.

В частности, выбрав а отрицательно, очевидно, что преобразование Вейерштрасса гауссовой функции снова является гауссовой функцией, но «более широкой».

Общие свойства

Преобразование Вейерштрасса присваивает каждой функции ж новая функция F; это задание линейный. Он также инвариантен к трансляции, что означает, что преобразование функции ж(Икс + а) является F(Икс + а). Оба эти факта в целом верны для любого интегрального преобразования, определенного через свертку.

Если преобразование F(Икс) существует для действительных чисел Икс = а и Икс = б, то он также существует для всех реальных значений между ними и образует аналитическая функция там; более того, F(Икс) будет существовать для всех сложный ценности Икс с а ≤ Re (Икс) ≤ б и образует голоморфная функция на этой полосе комплексная плоскость. Это формальное утверждение «гладкости» F упомянутый выше.

Если ж интегрируема по всей действительной оси (т. е. ж ∈ L¹(р) ), то и его преобразование Вейерштрасса F, а если к тому же ж(Икс) ≥ 0 для всех Икс, то также F(Икс) ≥ 0 для всех Икс и интегралы от ж и F равны. Это выражает физический факт, что полная тепловая энергия или высокая температура сохраняется уравнением теплопроводности или что общее количество диффундирующего материала сохраняется уравнением диффузии.

Используя сказанное выше, можно показать, что при 0 <п ≤ ∞ и ж ∈ L^п(р), у нас есть F ∈ L^п(р) и ||F||_п ≤ ||ж||_п. Следовательно, преобразование Вейерштрасса дает ограниченный оператор W: L^п(р) → L^п(р).

Если ж достаточно гладко, то преобразование Вейерштрасса k-го производная из ж равно k-я производная преобразования Вейерштрассаж.

Существует формула, связывающая преобразование Вейерштрасса W и двустороннее преобразование Лапласа L. Если мы определим

${\displaystyle g(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{4}}}f(x)}$

тогда

${\displaystyle W[f](x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}L[g]\left(-{\frac {x}{2}}\right).}$

Фильтр нижних частот

Дальнейшая информация: Размытие по Гауссу § Фильтр нижних частот

Выше мы видели, что преобразование Вейерштрасса cos (bx) является е^−б2 cos (bx), и аналогично для sin (bx). С точки зрения анализ сигналов, это говорит о том, что если сигнал ж содержит частоту б (т.е. содержит слагаемое, которое является комбинацией sin (bx) и cos (bx)), то преобразованный сигнал F будет содержать ту же частоту, но с амплитуда умноженный на коэффициент е^−б2. Это приводит к тому, что более высокие частоты снижаются больше, чем более низкие, и, таким образом, преобразование Вейерштрасса действует как фильтр нижних частот. Это также можно показать с помощью непрерывное преобразование Фурье, следующее. Преобразование Фурье анализирует сигнал с точки зрения его частот, преобразует свертки в произведения и преобразует гауссианы в гауссианы. Преобразование Вейерштрасса представляет собой свертку с гауссианом и, следовательно, является умножение сигнала с преобразованием Фурье с помощью гауссиана с последующим применением обратного преобразования Фурье. Это умножение на гауссиан в частотном пространстве смешивает высокие частоты, что является еще одним способом описания свойства «сглаживания» преобразования Вейерштрасса.

Обратное преобразование

Следующая формула, тесно связанная с Преобразование Лапласа функции Гаусса и реальный аналог Преобразование Хаббарда – Стратоновича, относительно легко установить:

${\displaystyle e^{u^{2}}={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-uy}e^{-y^{2}/4}\;dy.}$

Теперь замените ты с оператором формального дифференцирования D = d/dx и использовать Лагранжа оператор смены

${\displaystyle e^{-yD}f(x)=f(x-y)}$,

(следствие Серия Тейлор формула и определение экспоненциальная функция ), чтобы получить

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{D^{2}}f(x)&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-yD}f(x)e^{-y^{2}/4}\;dy\\&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(x-y)e^{-y^{2}/4}\;dy=W[f](x)\end{aligned}}}$

чтобы таким образом получить следующее формальное выражение для преобразования Вейерштрасса W,

${\displaystyle W=e^{D^{2}}~,}$

где оператор справа следует понимать как действующий на функцию ж(Икс) в качестве

${\displaystyle e^{D^{2}}f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {D^{2k}f(x)}{k!}}~.}$

Приведенный выше формальный вывод скрывает детали сходимости, а формула W = е^D2 таким образом, не универсально действителен; есть несколько функций ж которые имеют четко определенное преобразование Вейерштрасса, но для которых е^D2ж(Икс) не могут быть осмысленно определены.

Тем не менее, это правило по-прежнему весьма полезно и может, например, использоваться для получения преобразований Вейерштрасса полиномов, экспоненциальных и тригонометрических функций, упомянутых выше.

Таким образом, формальное обратное преобразование Вейерштрасса дается выражением

${\displaystyle W^{-1}=e^{-D^{2}}~.}$

Опять же, эта формула не универсальна, но может служить руководством. Можно показать, что он верен для определенных классов функций, если правильно определен оператор правой части.^[2]

В качестве альтернативы можно попытаться инвертировать преобразование Вейерштрасса немного другим способом: учитывая аналитическую функцию

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}~,}$

подать заявление W⁻¹ чтобы получить

${\displaystyle f(x)=W^{-1}[F(x)]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}W^{-1}[x^{n}]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}H_{n}(x/2)}$

еще раз используя фундаментальное свойство (физиков) Полиномы Эрмита ЧАС_п.

Опять же, эта формула для ж(Икс) является в лучшем случае формальным, так как не проверялось, сходится ли последний ряд. Но если, например, ж ∈ L²(р), то знание всех производных от F в Икс = 0 достаточно, чтобы получить коэффициенты а_п; и таким образом реконструировать ж как серия Полиномы Эрмита.

Третий метод инвертирования преобразования Вейерштрасса использует его связь с упомянутым выше преобразованием Лапласа и хорошо известной формулой инверсии для преобразования Лапласа. Ниже приводится результат для дистрибутивов.

Обобщения

Мы можем использовать свертку с гауссовым ядром ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}}}$ (с некоторыми т > 0) вместо ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{4}}}}$, таким образом определяя оператор W_т , обобщенное преобразование Вейерштрасса.

Для малых значений т, W_т[ж] очень близко к ж, но гладко. Чем больше т, тем больше этот оператор усредняет и изменяет ж. Физически, W_т соответствует уравнению теплопроводности (или диффузии) для т единицы времени, и это аддитивно,

${\displaystyle W_{s}\circ W_{t}=W_{s+t},}$

соответствующий "рассеивающий для т единицы времени, то s единиц времени, эквивалентно диффузии для s + т единицы времени ". Это можно расширить до т = 0, установив W₀ быть тождественным оператором (т.е. сверткой с Дельта-функция Дирака ), которые затем образуют однопараметрическая полугруппа операторов.

Ядро ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}}}$ , используемое для обобщенного преобразования Вейерштрасса, иногда называют Ядро Гаусса – Вейерштрасса, и является Функция Грина для уравнения диффузии ${\displaystyle (\partial _{t}-D^{2})(e^{tD^{2}}f(x))=0}$ на р.

Смотрите также: Уравнение теплопроводности § Основные решения, и Тепловое ядро

W_т можно вычислить из W: задана функция ж(Икс), определите новую функцию ж_т(Икс) = ж(Икс√т); тогда W_т[ж](Икс) = W[ж_т](Икс/√т), следствие правило замены.

Преобразование Вейерштрасса также может быть определено для некоторых классов распределения или «обобщенные функции».^[3] Например, преобразование Вейерштрасса Дельта Дирака гауссовский ${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}}$.

В этом контексте могут быть доказаны строгие формулы обращения, например,

${\displaystyle f(x)=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{i{\sqrt {4\pi }}}}\int _{x_{0}-ir}^{x_{0}+ir}F(z)e^{\frac {(x-z)^{2}}{4}}\;dz}$

куда Икс₀ - любое фиксированное действительное число, для которого F(Икс₀) существует, интеграл продолжается по вертикали в комплексной плоскости с действительной частью Икс₀, а предел следует понимать в смысле распределений.

Кроме того, преобразование Вейерштрасса может быть определено для действительных (или комплексных) функций (или распределений), определенных на р^п. Мы используем ту же формулу свертки, что и выше, но интерпретируем интеграл как распространяющийся на все р^п и выражение (Икс − у)² как квадрат Евклидова длина вектора Икс − у; коэффициент перед интегралом должен быть отрегулирован так, чтобы гауссиан имел полный интеграл 1.

В более общем смысле преобразование Вейерштрасса может быть определено на любом Риманово многообразие: там можно сформулировать уравнение теплопроводности (используя Оператор Лапласа – Бельтрами ) и преобразование Вейерштрасса W[ж] затем задается путем решения уравнения теплопроводности для одной единицы времени, начиная с начального «распределения температуры» ж.

Связанные преобразования

Если рассматривать свертку с ядром 1 / (π (1 +Икс²)) вместо гауссиана получается Преобразование Пуассона который сглаживает и усредняет заданную функцию аналогично преобразованию Вейерштрасса.

Смотрите также

• Размытие по Гауссу
• Гауссов фильтр
• Представление Хусими Q
• Уравнение теплопроводности # Основные решения

Рекомендации

1. Ахмед И. Заид, Справочник по функциям и преобразованиям обобщенных функций, Глава 18. CRC Press, 1996.
2. Г.Г. Билодо "Преобразование Вейерштрасса и многочлены Эрмита ". Математический журнал герцога 29 (1962), стр. 293-308
3. Ю. А. Брычков, А. П. Прудников. Интегральные преобразования обобщенных функций., Глава 5. CRC Press, 1989