Уравнение диффузии - Diffusion equation

В уравнение диффузии это параболическое уравнение в частных производных. В физике он описывает макроскопическое поведение многих микрочастиц в Броуновское движение, возникающие в результате случайных движений и столкновений частиц (см. Законы диффузии Фика ). В математике это связано с Марковские процессы, такие как случайные прогулки, и применяется во многих других областях, таких как материаловедение, теория информации, и биофизика. Уравнение диффузии является частным случаем уравнение конвекции – диффузии, когда объемная скорость равна нулю.

утверждение

Уравнение обычно записывается как:

${ Displaystyle { frac { partial phi ( mathbf {r}, t)} { partial t}} = nabla cdot { big [} D ( phi, mathbf {r}) набла фи ( mathbf {r}, t) { big]},}$

где ϕ(р, т) это плотность рассеивающего материала на месте р и время т и D(ϕ, р) является коллективным коэффициент диффузии для плотности ϕ на месте р; а ∇ представляет вектор дифференциальный оператор дель. Если коэффициент диффузии зависит от плотности, тогда уравнение нелинейное, в противном случае оно линейное.

Вышеприведенное уравнение применимо, когда коэффициент диффузии равен изотропный; в случае анизотропной диффузии D симметричный положительно определенная матрица, а уравнение записывается (для трехмерной диффузии) как:

${ Displaystyle { frac { partial phi ( mathbf {r}, t)} { partial t}} = sum _ {i = 1} ^ {3} sum _ {j = 1} ^ { 3} { frac { partial} { partial x_ {i}}} left [D_ {ij} ( phi, mathbf {r}) { frac { partial phi ( mathbf {r}, t)} { partial x_ {j}}} right]}$

Если D постоянна, то уравнение сводится к следующему линейное дифференциальное уравнение:

{ displaystyle { frac { partial phi ( mathbf {r}, t)} { partial t}} = D nabla ^ {2} phi ( mathbf {r}, t),}

который идентичен уравнение теплопроводности.

Историческое происхождение

В уравнение диффузии частиц был первоначально получен Адольф Фик в 1855 г.^[1]

Вывод

Уравнение диффузии можно тривиально вывести из уравнение неразрывности, который утверждает, что изменение плотности в любой части системы происходит из-за притока и оттока материала в эту часть системы и из нее. Фактически, никакой материал не создается и не уничтожается:

{ displaystyle { frac { partial phi} { partial t}} + набла cdot mathbf {j} = 0,}

где j - поток рассеивающего материала. Из этого легко получить уравнение диффузии в сочетании с феноменологическим Первый закон Фика, который утверждает, что поток диффундирующего материала в любой части системы пропорционален локальному градиенту плотности:

{ displaystyle mathbf {j} = -D ( phi, mathbf {r}) , nabla phi ( mathbf {r}, t).}

Если необходимо учитывать дрейф, то Уравнение Смолуховского дает соответствующее обобщение.

Дискретность

Уравнение диффузии непрерывно как в пространстве, так и во времени. Можно дискретизировать пространство, время или и пространство и время, возникающие в приложении. Само по себе дискретизирующее время просто соответствует выделению временных срезов непрерывной системы, и никаких новых явлений не возникает. Функция Грина становится дискретное гауссово ядро, а не непрерывный Гауссово ядро. Дискретизируя как время, так и пространство, мы получаем случайная прогулка.

Дискретность (изображение)

В правило продукта используется для переписывания уравнения анизотропной тензорной диффузии в стандартных схемах дискретизации, поскольку прямая дискретизация уравнения диффузии только с пространственными центральными разностями первого порядка приводит к артефактам в виде шахматной доски. Переписанное уравнение диффузии, используемое при фильтрации изображений:

${ displaystyle { frac { partial phi ( mathbf {r}, t)} { partial t}} = nabla cdot left [D ( phi, mathbf {r}) right] набла phi ( mathbf {r}, t) + { rm {tr}} { Big [} D ( phi, mathbf {r}) { big (} nabla nabla ^ {T} phi ( mathbf {r}, t) { big)} { Big]}}$

где "tr" обозначает след 2-го ранга тензор, и надстрочный индекс "Т"означает транспонировать, в котором при фильтрации изображений D(ϕ, р) - симметричные матрицы, построенные из собственные векторы изображения структурные тензоры. Тогда пространственные производные можно аппроксимировать двумя центральными координатами первого и второго порядков. конечные разности. Результирующий алгоритм диффузии можно записать в виде изображения свертка с изменяющимся ядром (трафаретом) размером 3 × 3 в 2D и 3 × 3 × 3 в 3D.

Смотрите также

использованная литература

^ Фик, Адольф (1855). «Ueber Diffusion». Annalen der Physik und Chemie. 170 (1): 59–86. Дои:10.1002 / andp.18551700105. ISSN 0003-3804.

дальнейшее чтение

Карслав, Х. С. и Джегер, Дж. К. (1959). Проводимость тепла в твердых телах. Оксфорд: Clarendon Press
Крэнк, Дж. (1956). Математика диффузии. Оксфорд: Clarendon Press
Мэтьюз, Джон; Уокер, Роберт Л. (1970). Математические методы физики (2-е изд.), Нью-Йорк: В. А. Бенджамин, ISBN 0-8053-7002-1
Thambynayagam, Р. К. М. (2011). Справочник по диффузии: прикладные решения для инженеров. Макгроу-Хилл

внешние ссылки

[Fick1855-1] Фик, Адольф (1855). «Ueber Diffusion». Annalen der Physik und Chemie. 170 (1): 59–86. Дои:10.1002 / andp.18551700105. ISSN 0003-3804.

[1]