Del - Del

Для использования в других целях см. Дель (значения).

Эта статья об использовании del в математике. Для получения информации о самом символе см. набла символ.

Оператор Del,
представлена
то набла символ

Del, или набла, является оператор используется в математике, в частности в векторное исчисление, как вектор дифференциальный оператор, обычно представленные набла символ ∇. Применительно к функция определено на одномерный домен, он обозначает его стандарт производная как определено в исчисление. Применительно к полю (функции, определенной в многомерной области), он может обозначать градиент (местами самый крутой склон) скалярное поле (или иногда векторное поле, как в Уравнения Навье – Стокса ), расхождение векторного поля или завиток (вращение) векторного поля в зависимости от способа его применения.

Строго говоря, del - это не конкретный оператор, а удобный математическая запись для этих трех операторов, что делает многие уравнения легче писать и запоминать. Символ del можно интерпретировать как вектор частная производная операторов, и его три возможных значения - градиент, дивергенция и завиток - можно формально рассматривать как товар со скаляром, a скалярное произведение, а перекрестное произведение соответственно дель "оператор" с полем. Эти официальные продукты не обязательно ездить с другими операторами или продуктами. Эти три использования, подробно описанные ниже, резюмируются как:

• Градиент: ${\displaystyle \operatorname {grad} f=\nabla f}$
• Расхождение: ${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}=\nabla \cdot {\vec {v}}}$
• Завиток: ${\displaystyle \operatorname {curl} {\vec {v}}=\nabla \times {\vec {v}}}$

Определение

в Декартова система координат р^п с координатами ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{n})}$ и стандартная основа ${\displaystyle \{{\vec {e}}_{1},\dots ,{\vec {e}}_{n}\}}$, del определяется в терминах частная производная операторы как

${\displaystyle \nabla =\sum _{i=1}^{n}{\vec {e}}_{i}{\partial \over \partial x_{i}}=\left({\partial \over \partial x_{1}},\ldots ,{\partial \over \partial x_{n}}\right)}$

В трехмерный Декартова система координат р³ с координатами ${\displaystyle (x,y,z)}$ и стандартный базис или единичные векторы осей ${\displaystyle \{{\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z}\}}$, del записывается как

${\displaystyle \nabla ={\vec {e}}_{x}{\partial \over \partial x}+{\vec {e}}_{y}{\partial \over \partial y}+{\vec {e}}_{z}{\partial \over \partial z}=\left({\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right)}$

Del также может быть выражено в других системах координат, см. Например del в цилиндрических и сферических координатах.

Обозначения использования

Del используется как сокращенная форма для упрощения многих длинных математических выражений. Чаще всего используется для упрощения выражений для градиент, расхождение, завиток, производная по направлению, и Лапласиан.

Градиент

Векторная производная от a скалярное поле ${\displaystyle f}$ называется градиент, и его можно представить как:

${\displaystyle \operatorname {grad} f={\partial f \over \partial x}{\vec {e}}_{x}+{\partial f \over \partial y}{\vec {e}}_{y}+{\partial f \over \partial z}{\vec {e}}_{z}=\nabla f}$

Он всегда указывает на направление наибольшего увеличения ${\displaystyle f}$, и у него есть величина равняется максимальной скорости роста в данной точке - точно так же, как стандартная производная. В частности, если холм определяется как функция высоты над плоскостью ${\displaystyle h(x,y)}$, градиент в заданном месте будет вектором в плоскости xy (визуализируемой в виде стрелки на карте), указывающим в самом крутом направлении. Величина уклона - это величина самого крутого наклона.

В частности, это обозначение является мощным, потому что правило градиентного произведения очень похоже на случай 1d-производной:

${\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f}$

Однако правила для точечные продукты не оказываются простыми, о чем свидетельствуют:

${\displaystyle \nabla ({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})=({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {u}}+{\vec {u}}\times (\nabla \times {\vec {v}})+{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {u}})}$

Расхождение

В расхождение из векторное поле${\displaystyle {\vec {v}}(x,y,z)=v_{x}{\vec {e}}_{x}+v_{y}{\vec {e}}_{y}+v_{z}{\vec {e}}_{z}}$ это скаляр функция, которая может быть представлена ​​как:

${\displaystyle \operatorname {div} {\vec {v}}={\partial v_{x} \over \partial x}+{\partial v_{y} \over \partial y}+{\partial v_{z} \over \partial z}=\nabla \cdot {\vec {v}}}$

Расхождение - это примерно мера увеличения векторного поля в направлении, которое оно указывает; но точнее, это мера тенденции поля сходиться к точке или отталкиваться от нее.

Сила обозначения del демонстрируется следующим правилом произведения:

${\displaystyle \nabla \cdot (f{\vec {v}})=(\nabla f)\cdot {\vec {v}}+f(\nabla \cdot {\vec {v}})}$

Формула для векторный продукт немного менее интуитивно понятен, потому что этот продукт не коммутативен:

${\displaystyle \nabla \cdot ({\vec {u}}\times {\vec {v}})=(\nabla \times {\vec {u}})\cdot {\vec {v}}-{\vec {u}}\cdot (\nabla \times {\vec {v}})}$

Завиток

В завиток векторного поля ${\displaystyle {\vec {v}}(x,y,z)=v_{x}{\vec {e}}_{x}+v_{y}{\vec {e}}_{y}+v_{z}{\vec {e}}_{z}}$ это вектор функция, которая может быть представлена ​​как:

${\displaystyle \operatorname {curl} {\vec {v}}=\left({\partial v_{z} \over \partial y}-{\partial v_{y} \over \partial z}\right){\vec {e}}_{x}+\left({\partial v_{x} \over \partial z}-{\partial v_{z} \over \partial x}\right){\vec {e}}_{y}+\left({\partial v_{y} \over \partial x}-{\partial v_{x} \over \partial y}\right){\vec {e}}_{z}=\nabla \times {\vec {v}}}$

Изгиб в точке пропорционален крутящему моменту на оси, которому подверглась бы крошечная вертушка, если бы она была отцентрирована в этой точке.

Операцию векторного произведения можно представить как псевдо-детерминант:

${\displaystyle \nabla \times {\vec {v}}=\left|{\begin{matrix}{\vec {e}}_{x}&{\vec {e}}_{y}&{\vec {e}}_{z}\\[2pt]{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\[2pt]v_{x}&v_{y}&v_{z}\end{matrix}}\right|}$

Снова сила обозначений демонстрируется правилом произведения:

${\displaystyle \nabla \times (f{\vec {v}})=(\nabla f)\times {\vec {v}}+f(\nabla \times {\vec {v}})}$

К сожалению, правило для векторного произведения не оказывается простым:

${\displaystyle \nabla \times ({\vec {u}}\times {\vec {v}})={\vec {u}}\,(\nabla \cdot {\vec {v}})-{\vec {v}}\,(\nabla \cdot {\vec {u}})+({\vec {v}}\cdot \nabla )\,{\vec {u}}-({\vec {u}}\cdot \nabla )\,{\vec {v}}}$

Производная по направлению

В производная по направлению скалярного поля ${\displaystyle f(x,y,z)}$ в направлении${\displaystyle {\vec {a}}(x,y,z)=a_{x}{\vec {e}}_{x}+a_{y}{\vec {e}}_{y}+a_{z}{\vec {e}}_{z}}$ определяется как:

${\displaystyle {\vec {a}}\cdot \operatorname {grad} f=a_{x}{\partial f \over \partial x}+a_{y}{\partial f \over \partial y}+a_{z}{\partial f \over \partial z}={\vec {a}}\cdot (\nabla f)}$

Это дает скорость изменения поля ${\displaystyle f}$ в направлении ${\displaystyle {\vec {a}}}$. В обозначениях операторов элемент в скобках можно рассматривать как единую связную единицу; динамика жидкостей широко использует это соглашение, называя его конвективная производная - «движущаяся» производная жидкости.

Обратите внимание, что ${\displaystyle ({\vec {a}}\cdot \nabla )}$ - оператор, переводящий скаляр в скаляр. Его можно расширить для работы с вектором, отдельно работая с каждым из его компонентов.

Лапласиан

В Оператор Лапласа является скалярным оператором, который может применяться как к векторным, так и к скалярным полям; для декартовых систем координат он определяется как:

${\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}=\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}$

а определение более общих систем координат дано в векторный лапласиан.

Лапласианство присутствует повсюду в современном мире. математическая физика, появляясь, например, в Уравнение Лапласа, Уравнение Пуассона, то уравнение теплопроводности, то волновое уравнение, а Уравнение Шредингера.

Матрица Гессе

В то время как ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ обычно представляет собой Лапласиан иногда ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ также представляет Матрица Гессе. Первый относится к внутреннему продукту ${\displaystyle \nabla }$, в то время как последний относится к диадическому продукту ${\displaystyle \nabla }$:

${\displaystyle \nabla ^{2}=\nabla \cdot \nabla ^{T}}$.

Так ли ${\displaystyle \nabla ^{2}}$ относится к матрице лапласа или гессе, в зависимости от контекста.

Тензорная производная

Del также может применяться к векторному полю, в результате чего тензор. В тензорная производная векторного поля ${\displaystyle {\vec {v}}}$ (в трех измерениях) представляет собой 9-членный тензор второго ранга, то есть матрицу 3 × 3, но может быть обозначен просто как ${\displaystyle \nabla \otimes {\vec {v}}}$, где ${\displaystyle \otimes }$ представляет диадический продукт. Эта величина эквивалентна транспонированию Матрица якобиана векторного поля относительно пространства. Тогда дивергенцию векторного поля можно выразить как след этой матрицы.

Для небольшого смещения ${\displaystyle \delta {\vec {r}}}$, изменение векторного поля определяется выражением:

${\displaystyle \delta {\vec {v}}=(\nabla \otimes {\vec {v}})^{T}\cdot \delta {\vec {r}}}$

Правила продукта

Для векторное исчисление:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla (fg)&=f\nabla g+g\nabla f\\\nabla ({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})&={\vec {u}}\times (\nabla \times {\vec {v}})+{\vec {v}}\times (\nabla \times {\vec {u}})+({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {v}}+({\vec {v}}\cdot \nabla ){\vec {u}}\\\nabla \cdot (f{\vec {v}})&=f(\nabla \cdot {\vec {v}})+{\vec {v}}\cdot (\nabla f)\\\nabla \cdot ({\vec {u}}\times {\vec {v}})&={\vec {v}}\cdot (\nabla \times {\vec {u}})-{\vec {u}}\cdot (\nabla \times {\vec {v}})\\\nabla \times (f{\vec {v}})&=(\nabla f)\times {\vec {v}}+f(\nabla \times {\vec {v}})\\\nabla \times ({\vec {u}}\times {\vec {v}})&={\vec {u}}\,(\nabla \cdot {\vec {v}})-{\vec {v}}\,(\nabla \cdot {\vec {u}})+({\vec {v}}\cdot \nabla )\,{\vec {u}}-({\vec {u}}\cdot \nabla )\,{\vec {v}}\end{aligned}}}$

Для матричное исчисление (для которого ${\displaystyle {\vec {u}}\cdot {\vec {v}}}$ можно написать ${\displaystyle {\vec {u}}^{\text{T}}{\vec {v}}}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(\mathbf {A} \nabla \right)^{\text{T}}{\vec {u}}&=\nabla ^{\text{T}}\left(\mathbf {A} ^{\text{T}}{\vec {u}}\right)-\left(\nabla ^{\text{T}}\mathbf {A} ^{\text{T}}\right){\vec {u}}\end{aligned}}}$

Другое интересное отношение (см., Например, Уравнения Эйлера ) следующее, где ${\displaystyle {\vec {u}}\otimes {\vec {v}}}$ это внешний продукт тензор:

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot ({\vec {u}}\otimes {\vec {v}})=(\nabla \cdot {\vec {u}}){\vec {v}}+({\vec {u}}\cdot \nabla ){\vec {v}}\end{aligned}}}$

Вторые производные

Диаграмма DCG: простая диаграмма, отображающая все правила, относящиеся ко вторым производным. D, C, G, L и CC обозначают дивергенцию, локон, градиент, лапласиан и локон локона соответственно. Стрелки указывают на наличие вторых производных. Синий кружок посередине представляет завиток завитка, тогда как два других красных круга (пунктир) означают, что DD и GG не существуют.

Когда del работает со скаляром или вектором, возвращается либо скаляр, либо вектор. Из-за разнообразия векторных произведений (скаляр, точка, крест) одно применение del уже приводит к трем основным производным: градиент (скалярное произведение), дивергенция (скалярное произведение) и curl (перекрестное произведение). Применение этих трех видов производных снова друг к другу дает пять возможных вторых производных для скалярного поля ж или векторное поле v; использование скаляра Лапласиан и векторный лапласиан дает еще два:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {div} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \cdot (\nabla f)\\\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)\\\Delta f&=\nabla ^{2}f\\\operatorname {grad} (\operatorname {div} {\vec {v}})&=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} {\vec {v}})&=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}})\\\operatorname {curl} (\operatorname {curl} {\vec {v}})&=\nabla \times (\nabla \times {\vec {v}})\\\Delta {\vec {v}}&=\nabla ^{2}{\vec {v}}\end{aligned}}}$

Они представляют интерес главным образом потому, что не всегда уникальны или независимы друг от друга. Пока функции хорошо воспитанный^{[требуется разъяснение ]}, два из них всегда равны нулю:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {curl} (\operatorname {grad} f)&=\nabla \times (\nabla f)=0\\\operatorname {div} (\operatorname {curl} {\vec {v}})&=\nabla \cdot \nabla \times {\vec {v}}=0\end{aligned}}}$

Два из них всегда равны:

${\displaystyle \operatorname {div} (\operatorname {grad} f)=\nabla \cdot (\nabla f)=\nabla ^{2}f=\Delta f}$

Остальные 3 производные вектора связаны уравнением:

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times {\vec {v}}\right)=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})-\nabla ^{2}{\vec {v}}}$

И один из них может быть даже выражен тензорным произведением, если функции выполнены правильно:

${\displaystyle \nabla (\nabla \cdot {\vec {v}})=\nabla \cdot (\nabla \otimes {\vec {v}})}$

Меры предосторожности

Большинство вышеперечисленных векторных свойств (за исключением тех, которые явно зависят от дифференциальных свойств del - например, правила произведения) полагаются только на перестановку символов и обязательно должны выполняться, если символ del заменяется любым другим вектором. Это часть значения, которое необходимо получить при обозначении этого оператора в виде вектора.

Хотя часто можно заменить del вектором и получить векторную идентичность, сделав эти идентичности мнемоническими, обратное не обязательно надежно, потому что дель вообще не ездит на работу.

Контрпример, основанный на том, что Дель не смог поехать на работу:

${\displaystyle {\begin{aligned}({\vec {u}}\cdot {\vec {v}})f&\equiv ({\vec {v}}\cdot {\vec {u}})f\\(\nabla \cdot {\vec {v}})f&=\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)f={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}f+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}f+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}f\\({\vec {v}}\cdot \nabla )f&=\left(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)f=v_{x}{\frac {\partial f}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial f}{\partial y}}+v_{z}{\frac {\partial f}{\partial z}}\\\Rightarrow (\nabla \cdot {\vec {v}})f&\neq ({\vec {v}}\cdot \nabla )f\\\end{aligned}}}$

Контрпример, основанный на дифференциальных свойствах Дела:

${\displaystyle {\begin{aligned}(\nabla x)\times (\nabla y)&=\left({\vec {e}}_{x}{\frac {\partial x}{\partial x}}+{\vec {e}}_{y}{\frac {\partial x}{\partial y}}+{\vec {e}}_{z}{\frac {\partial x}{\partial z}}\right)\times \left({\vec {e}}_{x}{\frac {\partial y}{\partial x}}+{\vec {e}}_{y}{\frac {\partial y}{\partial y}}+{\vec {e}}_{z}{\frac {\partial y}{\partial z}}\right)\\&=({\vec {e}}_{x}\cdot 1+{\vec {e}}_{y}\cdot 0+{\vec {e}}_{z}\cdot 0)\times ({\vec {e}}_{x}\cdot 0+{\vec {e}}_{y}\cdot 1+{\vec {e}}_{z}\cdot 0)\\&={\vec {e}}_{x}\times {\vec {e}}_{y}\\&={\vec {e}}_{z}\\({\vec {u}}x)\times ({\vec {u}}y)&=xy({\vec {u}}\times {\vec {u}})\\&=xy{\vec {0}}\\&={\vec {0}}\end{aligned}}}$

Центральным в этих различиях является тот факт, что del - это не просто вектор; это векторный оператор. В то время как вектор - это объект, имеющий как величину, так и направление, del не имеет ни величины, ни направления, пока не будет работать с функцией.

По этой причине тождества с участием del должны быть получены с осторожностью, используя как векторные тождества, так и дифференциация идентичности, такие как правило продукта.

Смотрите также

• Del в цилиндрических и сферических координатах
• Обозначения для дифференцирования
• Тождества векторного исчисления
• Уравнения Максвелла
• Уравнения Навье – Стокса
• Таблица математических символов
• Оператор Quabla

использованная литература

• Уиллард Гиббс & Эдвин Бидвелл Уилсон (1901) Векторный анализ, Издательство Йельского университета, 1960: Dover Publications.
• Шей, Х. М. (1997). Div, Grad, Curl и все такое: неформальный текст по векторному исчислению. Нью-Йорк: Нортон. ISBN  0-393-96997-5.
• Миллер, Джефф. «Раннее использование символов исчисления».
• Арнольд Ноймайер (26 января 1998 г.). Клив Молер (ред.). "История Наблы". Дайджест НС, том 98, выпуск 03. netlib.org.

внешние ссылки

• Обзор неправильного использования ∇ в векторном анализе (1994) Тай, Чен