Математические обозначения - Mathematical notation

Для получения информации о отображении математических формул см. Справка: Формула, Справка: отображение формулы, и Википедия: Руководство по стилю / математике.
Смотрите также: Список математических символов

Математические обозначения это система символический представления математических объектов и идей. Математические обозначения используются в математика, то физические науки, инженерное дело, и экономика. Математические обозначения включают относительно простые символьные представления, такие как числа 0, 1 и 2; переменные такие как x, y и z; разделители, такие как «(» и «|»; функция символы, такие как грех; символы операторов, такие как "+ "; реляционные символы например "<"; концептуальные символы, такие как Lim и dy / dx; уравнения и сложные схематические обозначения, такие как Графические обозначения Пенроуза и Диаграммы Кокстера – Дынкина.[1][2]

Определение

Математическая запись - это система письма используется для записи понятий по математике.

  • В обозначении используются символы или символические символы. выражения которые должны иметь точное семантическое значение.
  • в история математики эти символы обозначают числа, формы, узоры и изменения. Обозначения могут также включать символы для частей общепринятого диалога математиков при просмотре математика как язык.

Носители, используемые для письма, описаны ниже, но распространенные материалы в настоящее время включают бумагу и карандаш, доску и мел (или маркер с сухим стиранием), а также электронные носители. Систематическая приверженность математическим концепциям - фундаментальная концепция математической записи. Для связанных понятий см. логический аргумент, математическая логика, и теория моделей.

Выражения

А математическое выражение это последовательность символов, которые можно оценить. Например, если символы представляют числа, то выражения оцениваются в соответствии с обычным порядок действий который обеспечивает вычисление, если возможно, любых выражений в круглых скобках, за которыми следуют любые показатели и корни, затем умножения и деления и, наконец, любые сложения или вычитания, все выполняется слева направо.

В компьютерный язык эти правила реализуются компиляторы. Подробнее об оценке выражений см. Информатика темы: жадная оценка, ленивая оценка, оценка быстрого доступа, и оператор оценки.

Точное семантическое значение

Современная математика должна быть точной, потому что двусмысленный обозначения не позволяют формальные доказательства. Предположим, что у нас есть заявления, обозначаемый некоторым формальным последовательность символов, о некоторых предметах (например, числах, фигурах, узорах). Пока не будет доказано, что утверждения действительны, их смысл еще не решен. В процессе рассуждений мы можем позволить символам относиться к обозначенным объектам, возможно, в модель. В семантика этого объекта имеет эвристический сторона и дедуктивный сторона. В любом случае мы могли бы захотеть узнать свойства этого объекта, которые затем могли бы перечислить в содержательное определение.

Эти свойства затем могут быть выражены некоторыми хорошо известными и согласованными символами из таблица математических символов. Это математическое обозначение может включать такие аннотации, как

  • «Все x», «Нет x», «Существует x» (или его эквивалент, «Some x»), «Набор», «Функция»
  • «Отображение действительных чисел в комплексные числа»

В разных контекстах один и тот же символ или обозначение могут использоваться для представления различных концепций (так же, как несколько символов могут использоваться для представления одного и того же понятия).[1] Поэтому, чтобы полностью разобраться в математическом письме, важно сначала проверить определения обозначений, данные автором. Это может быть проблематично, например, если автор предполагает, что читатель уже знаком с используемыми обозначениями.

История

Основная статья: История математической записи

Подсчет

Считается, что математическая запись для представления подсчет был впервые разработан не менее 50000 лет назад[3]- ранние математические идеи, такие как подсчет пальцев[4] также были представлены коллекции камней, палочек, кости, глины, камня, резьбы по дереву и узловатых веревок. В подсчет это способ подсчета, восходящий к Верхний палеолит. Возможно, самые старые известные математические тексты относятся к древним Шумер. В Census Quipu Анд и Ишанго Боне из Африки оба использовали отметка метод учета числовых понятий.

Использование нуля как числа - одно из важнейших достижений ранней математики. Он использовался в качестве заполнителя Вавилоняне и Греческие египтяне, а затем целым числом Майя, Индейцы и Арабов (видеть история нуля для дополнительной информации).

Геометрия становится аналитической

Самые ранние математические точки зрения в геометрия плохо поддаются счету. В натуральные числа, их отношение к фракции, и идентификация непрерывный На формирование количества на самом деле потребовались тысячелетия, и даже больше, чтобы учесть развитие системы обозначений.

Фактически, так было до изобретения аналитическая геометрия к Рене Декарт эта геометрия стала более подверженной числовым обозначениям.[5] Некоторые символические сокращения для математических понятий стали использоваться при публикации геометрических доказательств. Более того, сила и авторитет геометрической теоремы и структуры доказательства сильно повлияли на негеометрические трактаты, такие как Principia Mathematica к Исаак Ньютон например.

Современные обозначения

В 18 и 19 веках были созданы и стандартизированы математические обозначения, используемые сегодня. Леонард Эйлер отвечал за многие из используемых в настоящее время обозначений: использование а, б, c для констант и Икс, у, z для неизвестных, е для основания натурального логарифма сигма (Σ) для суммирование, я для мнимая единица, а функциональные обозначения ж(Икс). Он также популяризировал использование π для Постоянная архимеда (из-за Уильям Джонс 'предложение об использовании π таким образом, основанное на более раннем обозначении Уильям Отред ).

Кроме того, многие области математики несут на себе отпечаток своих создателей для обозначений: дифференциальный оператор Лейбниц,[6] в кардинал бесконечности Георг Кантор (в добавок к лемниската (∞) из Джон Уоллис ), соответствие символ (≡) из Гаусс, и так далее.

Компьютеризированная запись

Математически ориентированные языки разметки, такие как TeX, Латекс а совсем недавно MathML, достаточно мощны, чтобы выражать широкий спектр математических обозначений.

Программное обеспечение для доказательства теорем, естественно, имеет свои собственные математические обозначения; в OMDoc проект стремится предоставить открытые возможности для таких обозначений; и Язык MMT обеспечивает основу для взаимодействия между другими обозначениями.

Математическая нотация, не основанная на латыни

Современные арабские математические обозначения основан в основном на Арабский алфавит и широко используется в Арабский мир, особенно в пред-Высшее образование.

(Западная нотация использует арабские цифры, но арабская нотация также заменяет латинские буквы и соответствующие символы арабским шрифтом.)

В дополнение к арабской нотации математика также использует Греческие алфавиты для обозначения самых разнообразных математических объектов и переменных. В некоторых случаях некоторые Ивритские алфавиты также используются (например, в контексте бесконечные кардиналы ).[7]

Некоторые математические обозначения в основном схематичны и поэтому почти полностью не зависят от сценария. Примеры Графические обозначения Пенроуза и Диаграммы Кокстера – Дынкина.

Математические обозначения на основе Брайля, используемые слепыми людьми, включают: Немет Брайля и GS8 Брайля.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ а б «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Получено 2020-08-08.
  2. ^ Хельменстин, Энн Мари (27 июня 2019 г.). «Почему математика - это язык». ThoughtCo. Получено 2020-08-08.
  3. ^ Введение в историю математики (6-е издание) автор: Говард Ивс (1990) стр.9
  4. ^ Жорж Ифра отмечает, что люди научились считать по рукам. Ифра показывает, например, изображение Боэций (который жил 480–524 или 525 гг.), считая по пальцам Ифрах 2000, п. 48.
  5. ^ Бойер, К. Б. (1959), "Декарт и геометризация алгебры", Американский математический ежемесячник, 66 (5): 390–393, Дои:10.2307/2308751, JSTOR  2308751, МИСТЕР  0105335, Великое достижение Декарта в математике неизменно описывается как арифметизация геометрии.
  6. ^ "Готфрид Вильгельм Лейбниц". Получено 5 октября 2014.
  7. ^ «Греческие / ивритские / латинские символы в математике». Математическое хранилище. 2020-03-20. Получено 2020-08-08.

Рекомендации

внешняя ссылка