Подсчет - Counting

О его применении к музыке см. Подсчет (музыка).

Подсчет это процесс определения номер из элементы из конечный набор объектов. Традиционный способ подсчета состоит в непрерывном увеличении (мысленного или устного) счетчика на единицу для каждого элемента набора в определенном порядке, при этом отмечая (или смещая) эти элементы, чтобы избежать посещения одного и того же элемента более одного раза, пока немаркированные элементы остаются; если счетчик был установлен на единицу после первого объекта, значение после посещения последнего объекта дает желаемое количество элементов. Связанный термин перечисление относится к уникальной идентификации элементов конечный (комбинаторный) набор или бесконечное множество, присвоив каждому элементу номер.

В счет иногда используются числа, отличные от единицы; например, при счете денег, отсчете сдачи, «счете по два» (2, 4, 6, 8, 10, 12, ...) или «счете по пять» (5, 10, 15, 20, 25 , ...).

Есть археологические данные, свидетельствующие о том, что люди считали это по крайней мере 50 000 лет.[1] Подсчет в основном использовался в древних культурах для отслеживания социальных и экономических данных, таких как количество членов группы, хищных животных, имущества или долгов (то есть бухгалтерский учет ). Зубчатые кости были также найдены в Пограничных пещерах в Южной Африке, что может свидетельствовать о том, что концепция счета была известна людям еще в 44000 году до нашей эры.[2] Развитие счета привело к развитию математическая запись, системы счисления, и письмо.

Формы подсчета

Подсчет с использованием отметки в Пляж Ханакапяй
Дальнейшая информация: Доисторические цифры и Цифровая цифра

Подсчет может происходить в самых разных формах.

Подсчет может быть словесным; то есть произносить каждое число вслух (или мысленно), чтобы отслеживать прогресс. Это часто используется для подсчета уже имеющихся объектов, вместо того, чтобы подсчитывать различные вещи с течением времени.

Подсчет также может быть в виде отметки, делая отметку для каждого числа, а затем подсчитывая все отметки, когда подсчитываете. Это полезно при подсчете объектов с течением времени, например, количества раз, когда что-то происходит в течение дня. Подсчет ведется по основанию 1; нормальный подсчет производится по базе 10. Компьютеры используют база 2 подсчет (0 и 1).

Подсчет также может быть в виде подсчет пальцев, особенно при подсчете маленьких чисел. Это часто используется детьми для облегчения счета и выполнения простых математических операций. Для подсчета пальцев используется унарная запись (один палец = одна единица), поэтому он ограничен счетом до 10 (если вы не начинаете с пальцев ног). В старых методах подсчета пальцев использовались четыре пальца и три кости в каждом пальце (фаланги ), чтобы сосчитать до числа двенадцать.[3] Также используются другие системы жестов рук, например китайская система, с помощью которой можно считать до 10, используя только жесты одной руки. Используя палец двоичный (счет по основанию 2), можно вести счет пальцев до 1023 = 210 − 1.

Для облегчения подсчета также могут использоваться различные устройства, такие как ручные счетчики и счеты.

Инклюзивный подсчет

Инклюзивный счет обычно встречается при работе со временем в романских языках.[4] В эксклюзивных языках подсчета, таких как английский, при подсчете «8» дней с воскресенья, Понедельник будет 1 день, Вторник день 2, а следующий понедельник будет восьмой день. При подсчете «включительно» будет воскресенье (день начала). 1 день и поэтому следующее воскресенье будет восьмой день. Например, французская фраза "две недели " является Quinzaine (15 [дней]), и похожие слова присутствуют в греческом (δεκαπενθήμερο, декапентхимеро), Испанский (айва) и португальский (Quinzena). Напротив, само английское слово «две недели» происходит от «четырнадцати ночей», как архаика.сеннайт «делает» от «семи ночей»; английские слова не являются примерами инклюзивного счета.

Имена, основанные на инклюзивном счете, появляются и в других календарях: в римском календаре ноны (что означает «девять») за 8 дней до иды; и в христианском календаре Quinquagesima (то есть 50) - это 49 дней до пасхального воскресенья.

В музыкальной терминологии также используется инклюзивный подсчет интервалы между нотами стандартной шкалы: подъем на одну ноту - это второй интервал, подъем на две ноты вверх - это третий интервал и т. д., подъем на семь нот - это октава.

Образование и развитие

Основная статья: Предварительные математические навыки

Обучение счету - важная веха в образовании и развитии в большинстве культур мира. Обучение счету - это самый первый шаг ребенка к математике и составляет самую фундаментальную идею этой дисциплины. Однако некоторые культуры в Амазонии и австралийской глубинке не в счет,[5][6] и их языки не имеют числовых слов.

Многие дети в возрасте всего 2 лет имеют некоторый навык в чтении списка счета (то есть, говоря «один, два, три, ...»). Они также могут ответить на вопросы об обычности для небольших чисел, например, «Что будет после три? ". Они могут даже научиться указывать на каждый предмет в наборе и произносить слова одно за другим. Это приводит многих родителей и педагогов к выводу, что ребенок знает, как использовать счет для определения размера набора.[7] Исследования показывают, что после изучения этих навыков ребенку требуется около года, чтобы понять, что они означают и почему выполняются процедуры.[8][9] А пока дети учатся называть мощности, которые они могут субитировать.

Счет в математике

Основная статья: Комбинаторика

В математике суть подсчета набора и нахождения результата п, заключается в том, что он устанавливает индивидуальная переписка (или биекция) множества с набором чисел {1, 2, ..., п}. Фундаментальный факт, который может быть доказан математическая индукция, состоит в том, что между {1, 2, ..., п} и {1, 2, ..., м} пока не п = м; этот факт (вместе с тем, что две биекции могут быть составлен чтобы дать другое взаимное соответствие) гарантирует, что подсчет одного и того же набора разными способами никогда не приведет к разным числам (если не будет сделана ошибка). Это основная математическая теорема, объясняющая его цель; как бы вы ни считали (конечное) множество, ответ тот же. В более широком контексте теорема представляет собой пример теоремы в математической области (конечных) комбинаторика - поэтому (конечную) комбинаторику иногда называют «математикой счета».

Многие множества, возникающие в математике, не позволяют установить биекцию с {1, 2, ..., п} за любой натуральное число п; они называются бесконечные множества, а те множества, для которых такая биекция существует (для некоторых п) называются конечные множества. Бесконечные множества нельзя считать в обычном смысле; во-первых, математические теоремы, лежащие в основе этого обычного смысла для конечных множеств, неверны для бесконечных множеств. Более того, различные определения понятий, в терминах которых сформулированы эти теоремы, хотя и эквивалентны для конечных множеств, не эквивалентны в контексте бесконечных множеств.

Понятие счета может быть распространено на них в смысле установления (существования) взаимно однозначного соответствия с некоторым хорошо понятным множеством. Например, если набор может быть приведен в соответствие с множеством всех натуральных чисел, то это называется "счетно бесконечный. "Этот вид подсчета фундаментально отличается от подсчета конечных множеств тем, что добавление новых элементов к набору не обязательно увеличивает его размер, потому что возможность взаимного соответствия с исходным набором не исключена. Например, набор всех целые числа (включая отрицательные числа) могут быть приведены в соответствие с множеством натуральных чисел, и даже, казалось бы, гораздо большие множества, такие как все конечные последовательности рациональных чисел, все еще (только) счетно бесконечны. Тем не менее, есть наборы, такие как набор действительные числа, которое может быть показано, что оно "слишком велико", чтобы допустить биекцию с натуральными числами, и эти множества называются "бесчисленный. "Множества, для которых существует взаимно однозначное соответствие, называются одинаковыми. мощность, и в самом общем смысле подсчет множества может означать определение его мощности. Помимо мощностей, задаваемых каждым из натуральных чисел, существует бесконечная иерархия бесконечных мощностей, хотя в обычной математике встречается очень мало таких мощностей (то есть вне теория множеств который подробно изучает возможные мощности).

Счет, в основном состоящий из конечных множеств, имеет различные приложения в математике. Один важный принцип заключается в том, что если два набора Икс и Y имеют такое же конечное число элементов, а функция ж: Икс → Y как известно инъективный, то это тоже сюръективный, наоборот. Связанный с этим факт известен как принцип голубятни, в котором говорится, что если два набора Икс и Y иметь конечное число элементов п и м с п > м, то любая карта ж: Икс → Y является нет инъективный (так что существуют два различных элемента Икс который ж отправляет в тот же элемент Y); это следует из предыдущего принципа, так как если ж были инъективными, то и его ограничение к строгому подмножеству S из Икс с м элементов, и это ограничение было бы сюръективным, что противоречит тому факту, что для Икс в Икс за пределами S, ж(Икс) не может быть в образе ограничения. Подобные аргументы подсчета могут доказать существование определенных объектов без явного указания примера. В случае бесконечных множеств это применимо даже в ситуациях, когда невозможно привести пример.[нужна цитата ]

Область перечислительная комбинаторика занимается вычислением количества элементов конечных множеств без их фактического подсчета; последнее обычно невозможно, потому что сразу рассматриваются бесконечные семейства конечных множеств, например, множество перестановки из {1, 2, ..., п} для любого натурального числа п.


Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ Введение в историю математики (6-е издание) автор: Говард Ивс (1990) стр.9
  2. ^ «Ранние инструменты подсчета людей». Математическая шкала времени. Получено 2018-04-26.
  3. ^ Мейси, Сэмюэл Л. (1989). Динамика прогресса: время, метод и мера. Атланта, Джорджия: Издательство Университета Джорджии. п. 92. ISBN  978-0-8203-3796-8.
  4. ^ Джеймс Эванс, История и практика древней астрономии. Издательство Оксфордского университета, 1998. ISBN  019987445X. Глава 4, стр. 164.
  5. ^ Баттерворт, Б., Рив, Р., Рейнольдс, Ф., и Ллойд, Д. (2008). Числовое мышление со словами и без слов: свидетельства детей коренных народов Австралии. Труды Национальной академии наук, 105 (35), 13179–13184.
  6. ^ Гордон, П. (2004). Числовое познание без слов: данные из Амазонии. Science, 306, 496–499.
  7. ^ Фусон, К. (1988). Детский счет и понятия числа. Нью-Йорк: Спрингер – Верлаг.
  8. ^ Ле Корре, М., и Кэри, С. (2007). Один, два, три, четыре, ничего более: исследование концептуальных источников принципов вербального счета. Познание, 105, 395–438.
  9. ^ Ле Корре, М., Ван де Валле, Г., Браннон, Э. М., Кэри, С. (2006). Повторное посещение дискуссии о компетенции / производительности при освоении принципов подсчета. Когнитивная психология, 52 (2), 130–169.