История математической записи - History of mathematical notation

Смотрите также: Хронология математики и Основы математики

В история математической записи^[1] включает начало, прогресс и культурное распространение из математические символы и конфликт методов обозначения, с которым сталкивается движение обозначения к популярности или незаметности. Математические обозначения^[2] включает в себя символы раньше писал математические уравнения и формулы. Обозначения обычно подразумевают набор четко определенный представления величин и символы операторов.^[3] История включает Индусско-арабские цифры, письма из Римский, Греческий, иврит, и Немецкий алфавиты, и множество символов, изобретенных математиками за последние несколько столетий.

Развитие математической записи можно разделить на этапы.^[4][5] "риторический этап, на котором вычисления выполняются словами, а символы не используются.^[6] "синкопированный "этап, на котором часто используемые операции и количества представлены символическими синтаксический сокращения. С древних времен до постклассической эпохи,^{[примечание 1]} всплески математического творчества часто сменялись столетиями застоя. Поскольку ранний современный век открылись и началось всемирное распространение знаний, появились письменные примеры математических разработок. "символический«стадия, когда всеобъемлющие системы обозначений заменяют риторику. Начиная с Италии в 16 веке, новые математические разработки, взаимодействующие с новыми научными открытиями, делались все более быстрыми темпами, которые продолжаются и по сей день. Эта символическая система использовалась средневековыми Индийские математики и в Европе с середины 17 века,^[7] и продолжал развиваться в современная эпоха.

Область исследования, известная как история математики это прежде всего исследование происхождения открытий в математике и, в центре внимания, исследование математических методов и обозначений прошлого.

Риторический этап

Смотрите также: Измерение

Хотя история начинается с истории Ионические школы, несомненно, что те Древние греки обратившие на это внимание, во многом обязаны предыдущим исследованиям Древние египтяне и Древние финикийцы. Отличительная черта числового обозначения, то есть символы, имеющие как локальные, так и внутренние значения (арифметика ), подразумевает состояние цивилизация в период его изобретения. Наши знания о математических достижениях этих древних народов, которым посвящен этот раздел, несовершенны, и следующие краткие заметки следует рассматривать как краткое изложение выводов, которые кажутся наиболее вероятными, а история математики начинается с символических разделов.

Многие области математики начались с изучения проблемы реального мира, до того, как основные правила и концепции были определены и определены как абстрактные структуры. Например, геометрия берет свое начало в расчет расстояний и области в реальном мире; алгебра началась с методов решения задач в арифметика.

Нет сомнений в том, что большинство древних народов, оставивших записи, знали кое-что о нумерация и механика, и что некоторые были также знакомы с элементами землеустройство. В частности, египтяне обращали внимание на геометрию и числа, а финикийцы - на практическую арифметику, бухгалтерский учет, навигация, и землеустроительные. В результаты, достигнутые этими людьми, кажутся доступными, при определенных условиях, путешественникам. Вероятно, что знания египтян и финикийцев в значительной степени были результатом наблюдение и измерение, и представлял собой накопленный многовековой опыт.

Начало обозначений

Смотрите также: Древняя история, История написания древних чисел, и История науки в ранних культурах

Письменная математика началась с чисел, выражаемых как отметки, где каждый счет представляет собой отдельную единицу. Числовые символы, вероятно, состояли из штрихов или выемок, вырезанных в дереве или камне, и были понятны всем народам.^{[заметка 2]} Например, одна выемка в кости изображала одно животное, или человека, или что-то еще. Народы, с которыми греки Малой Азии (среди которых начинаются записи в западной истории), вероятно, часто контактировали, были теми, кто населял восточные районы. прибрежный Средиземноморья: и греческая традиция однозначно приписывала особое развитие геометрии египтянам, а наука чисел^{[заметка 3]} либо египтянам, либо финикийцам.

В Древние египтяне имел символическое обозначение, которое было нумерация иероглифами.^[8][9] В Египетская математика имел символы для единицы, десяти, ста, одной тысячи, десяти тысяч, ста тысяч и одного миллиона. Меньшие цифры были помещены слева от числа, как в индусско-арабских цифрах. Позже египтяне использовали иератический вместо иероглифический скрипт для отображения чисел. Иератик был больше похож на курсив и заменял несколько групп символов отдельными. Например, четыре вертикальные линии, использованные для представления четырех, были заменены одной горизонтальной линией. Это находится в Математический папирус Райнда (ок. 2000–1800 гг. до н.э.) и Московский математический папирус (ок. 1890 г. до н.э.). Система, которую использовали египтяне, была открыта и изменена многими другими цивилизациями Средиземноморья. У египтян также были символы для основных операций: ноги, идущие вперед, представляли сложение, а ноги, идущие назад, - вычитание.

В Месопотамцы были символы для каждой степени десяти.^[10] Позже они записали свои числа почти так же, как в наше время. Вместо символов для каждой степени десяти они просто поставили коэффициент из этого числа. Каждая цифра отделялась только пробелом, но по времени Александр Великий, они создали символ, представляющий ноль и являющийся заполнителем. Месопотамцы также использовали шестидесятеричный система, то есть база шестьдесят. Именно эта система используется в наше время для измерения времени и углов. Вавилонская математика основана на более чем 400 глиняных табличках, обнаруженных с 1850-х годов.^[11] Написано в Клинопись Таблички писали, пока глина была влажной и сильно запекалась в духовке или под воздействием солнечного тепла. Некоторые из них выглядят как домашние задания с оценками. Самые ранние свидетельства письменной математики относятся к древним временам. Шумеры и система метрология с 3000 г. до н.э. Примерно с 2500 г. до н.э. шумеры писали таблицы умножения на глиняных табличках и разбирался геометрический упражнения и разделение проблемы. К этому периоду относятся и самые ранние следы вавилонских цифр.^[12]

Большинство месопотамских глиняных табличек датируются периодом 1800–1600 гг. До н.э. и охватывают темы, включая дроби, алгебру, квадратные и кубические уравнения, а также вычисление обычный взаимный пары.^[13] Таблички также включают таблицы умножения и методы решения линейный и квадратные уравнения. Вавилонская табличка YBC 7289 дает приближение √2 с точностью до пяти знаков после запятой. Вавилонская математика была написана с использованием шестидесятеричный (база-60) система счисления. Отсюда и происходит современное использование 60 секунд в минуту, 60 минут в час и 360 (60 × 6) градусов по кругу, а также использование минут и секунд дуги для обозначения долей градуса. . Вавилонскому прогрессу в математике способствовал тот факт, что 60 имеет много делителей: величина, обратная любому целому числу, кратному делителю 60, имеет конечное разложение по основанию 60 (в десятичной арифметике только обратные числа, кратные 2 и 5, имеют в конечных десятичных разложениях.) Кроме того, в отличие от египтян, греков и римлян, у вавилонян была настоящая система счисления знаков, в которой цифры, записанные в левом столбце, представляли большие значения, как и в десятичный система. Однако им не хватало эквивалента десятичной точки, и поэтому значение места символа часто приходилось выводить из контекста.

Синкопированная стадия

Архимед Вдумчивый
к Фетти (1620)

---

Последние слова, приписываемые Архимеду: "Не беспокоить мои круги ",^{[примечание 4]} ссылка на круги на математическом рисунке, который он изучал, когда его потревожил римский солдат.

Смотрите также: Основная теорема арифметики и Наивная теория множеств

Историю математики нельзя с уверенностью проследить до какой-либо школы или периода, предшествовавшего истории ионийских греков, но последующая история может быть разделена на периоды, различия между которыми достаточно хорошо заметны. Греческая математика, возникшая с изучения геометрии, с самого начала имела тенденцию к дедукции и научности. С четвертого века нашей эры Пифагор обычно приписывают открытие теорема Пифагора, теорема в геометрии, которая утверждает, что в прямоугольном треугольнике площадь квадрата на гипотенузе (сторона, противоположная прямому углу) равна сумме площадей квадратов двух других сторон.^{[примечание 5]} Древние математические тексты доступны с ранее упомянутой нотацией древних египтян и с Плимптон 322 (Вавилонская математика ок. 1900 г. до н.э.). Изучение математики как самостоятельного предмета начинается в VI веке до нашей эры. Пифагорейцы, который ввел термин «математика» из древнегреческого μάθημα (математика), что означает «предмет обучения».^[14]

Платон влияние России было особенно сильным в математике и естественных науках. Он помог различить чистый и Прикладная математика увеличивая разрыв между "арифметикой", которая теперь называется теория чисел и «логистический», теперь называемый арифметика. Греческая математика значительно усовершенствовали методы (особенно за счет введения дедуктивного мышления и математическая строгость в доказательства ) и расширил предмет математики.^[15] Аристотель приписывают то, что позже будет называться закон исключенного среднего.

Абстрактная математика^[16] это то, что имеет значение^{[примечание 6]} или же количество, абсолютно и обычно, безотносительно к каким-либо видам особой величины, таким как арифметика и геометрия, В этом смысле абстрактная математика противопоставляется смешанная математика, в котором простые и абстрактные свойства и отношения величин, примитивно рассматриваемые в математике, применяются к чувственным объектам и, таким образом, смешиваются с физическими соображениями, такими как гидростатика, оптика, и навигация.^[16]

Архимед обычно считается величайшим математик древности и один из величайших за все время.^[17][18] Он использовал метод истощения рассчитать площадь под дугой парабола с суммирование бесконечного ряда, и дал удивительно точное приближение число Пи.^[19] Он также определил спираль нося его имя, формулы для тома из поверхности вращения и оригинальная система выражения очень больших чисел.

Элементы Евклида

---

Опора. 31, 32 и 33 книги Евклида XI, которая находится в т. 2 рукописи, листы с 207 по 208 лицевой.

В историческом развитии геометрии шаги к абстракции геометрии были сделаны древними греками. Элементы Евклида является самой ранней из сохранившихся документальных свидетельств аксиом плоской геометрии, хотя Прокл говорит о более раннем аксиоматизация к Гиппократ Хиосский.^[20] Евклида Элементы (ок. 300 г. до н.э.) - один из старейших сохранившихся греческих математических трактатов.^{[примечание 7]} и состоял из 13 книг, написанных в Александрии; сбор теорем, доказанных другими математиками, дополненный некоторыми оригинальными работами.^{[примечание 8]} Документ представляет собой успешный сборник определений, постулатов (аксиом), утверждений (теорем и построений) и математических доказательств утверждений. Первая теорема Евклида это лемма который обладает свойствами простые числа. Тринадцать влиятельных книг охватывают евклидову геометрию, геометрическую алгебру и древнегреческую версию алгебраических систем и элементарной теории чисел. Это было повсеместно в Квадривиум и способствует развитию логики, математики и естественных наук.

Диофант Александрийский был автором серии книг под названием Арифметика, многие из которых сейчас потеряны. Эти тексты посвящены решению алгебраические уравнения. Боэций предоставил место математике в учебной программе в VI веке, когда он ввел термин квадривиум описать изучение арифметики, геометрии, астрономии и музыки. Он написал De Institutione Arithmetica, вольный перевод с греческого языка Никомах с Введение в арифметику; De Institutione Musica, также происходящие из греческих источников; и ряд отрывков из Евклида Элементы. Его работы были теоретическими, а не практическими, и были основой математических исследований до восстановления греческих и арабских математических работ.^[21][22]

Акрофоническая и милетская нумерация

В Греки нанятый Нумерация чердаков,^[23] который был основан на системе египтян и позже был адаптирован и использовался Римляне. Греческие цифры с первого по четвертый - вертикальные линии, как в иероглифах. Символом пяти была греческая буква Π (пи), которая является буквой греческого слова пять, пенте. Номера с шестого по девятый были пенте с вертикальными линиями рядом с ним. Десять было представлено буквой (Δ) слова десять, дека, сто буквой от слова за сотню и т. д.

В Ионическая нумерация использовали весь свой алфавит, включая три архаичных буквы. Цифровые обозначения греков, хотя и гораздо менее удобны, чем те, которые используются сейчас, были сформированы по совершенно регулярному и научному плану.^[24] и мог использоваться с приемлемым эффектом в качестве инструмента расчета, для чего римская система была совершенно неприменима. Греки разделили двадцать четыре буквы своего алфавита на три класса, и, добавив еще один символ к каждому классу, у них были символы для обозначения единиц, десятков и сотен. (Жан Батист Жозеф Деламбр "Astronomie Ancienne", т. II.)

Α (α)	Β (β)	Г (γ)	Δ (δ)	Ε (е)	Ϝ (ϝ)	Ζ (ζ)	Η (η)	θ (θ)	Ι (ι)	Κ (κ)	Λ (λ)	Μ (μ)	Ν (ν)	Ξ (ξ)	Ο (ο)	Π (π)	Ϟ (ϟ)	Ρ (р)	Σ (σ)	Τ (т)	Υ (υ)	Φ (φ)	Χ (χ)	Ψ (ψ)	Ω (ω)	Ϡ (ϡ)
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100	200	300	400	500	600	700	800	900

Эта система появилась в третьем веке до нашей эры, до того, как буквы дигамма (Ϝ), коппа (Ϟ) и сампи (Ϡ) устарели. Когда буквы нижнего регистра стали отличаться от букв верхнего регистра, буквы нижнего регистра использовались как символы для обозначения. Умножение на тысячу было записано как девять чисел с чертой перед ними: таким образом, тысяча была ", α", две тысячи было ", β" и т. Д. M (для μὐριοι, как в "мириадах") было используется для умножения чисел на десять тысяч. Например, число 88,888,888 можно записать как M, ηωπη * ηωπη^[25]

Греческие математические рассуждения были почти полностью геометрический (хотя часто используется для рассуждений о негеометрических предметах, таких как теория чисел ), и поэтому греков не интересовали алгебраический символы. Великим исключением было Диофант из Александрия, великий алгебраист.^[26] Его Арифметика был одним из текстов, в которых использовались символы в уравнениях. Это не было полностью символическим, но гораздо более важным, чем предыдущие книги. Неизвестный номер был назван s.^[27] Квадрат s был ${displaystyle Delta ^{y}}$; куб был ${displaystyle K^{y}}$; четвертая власть была ${displaystyle Delta ^{y}Delta }$; и пятая степень была ${displaystyle Delta K^{y}}$.^{[28][примечание 9]}

Китайская математическая запись

Основная статья: Цифры Сучжоу

Смотрите также: Китайские цифры

Цифры 0–9 в китайских цифрах huām (花 碼).

Китайцы использовали цифры, очень похожие на систему подсчета голосов.^[29] Номера с первого по четвертый были горизонтальными линиями. Пять - это крестик между двумя горизонтальными линиями; он выглядел почти так же, как Римская цифра за десять. В настоящее время система хуам используется только для отображения цен на китайских рынках или в традиционных рукописных счетах.

В истории китайцев были те, кто был знаком с науками арифметики, геометрии, механики, оптики, навигации и астрономии. Математика в Китае возникла независимо к XI веку до нашей эры.^[30] Почти несомненно, что китайцы были знакомы с некоторыми геометрическими или, скорее, архитектурными орудиями;^{[примечание 10]} с механическими машинами;^{[примечание 11]} что они знали о характерных свойствах магнитной стрелки; и знали, что астрономические события происходят циклично. Китайцы того времени делали попытки классифицировать или расширить известные им правила арифметики или геометрии и объяснить причины явлений, с которыми они были знакомы заранее. Китайцы самостоятельно разработали очень большие и отрицательные числа, десятичные дроби, десятичная система счисления, a бинарная система, алгебра, геометрия, и тригонометрия.

Счетные числа стержня

Китайская математика сделал ранний вклад, в том числе система ценностей.^[31][32] Геометрическая теорема, известная древним китайцам, была применима в определенных случаях (а именно отношение сторон).^{[примечание 12]} Им были известны и геометрические теоремы, которые можно продемонстрировать квазиэкспериментальным способом суперпозиции. В арифметике их познания, по-видимому, ограничивались искусством вычисления с помощью лебедь, а также возможность письменного выражения результатов. Наши знания о первых достижениях китайцев, хотя они и незначительны, более полны, чем у большинства их современников. Таким образом, это поучительно и служит для иллюстрации того факта, что можно знать, что нация может обладать значительными навыками в прикладных искусствах, но наши знания более поздней математики, на которой основаны эти искусства, могут быть скудными. Знания китайской математики до 254 г. до н.э. несколько фрагментарны, и даже после этой даты рукописные традиции остаются неясными. Даты за столетия до классического периода обычно считаются предположительными китайскими учеными, если они не сопровождаются подтвержденными археологическими свидетельствами.

Как и в других ранних обществах, основное внимание уделялось астрономия в целях совершенствования сельскохозяйственных календарь, и другие практические задачи, а не на создание формальные системы. В Китайский совет математики обязанности ограничивались ежегодной подготовкой альманаха, датами и предсказаниями, которые он регулировал. Древние китайские математики не разработали аксиоматический подход, но добились успехов в разработке алгоритмов и алгебре. Достижения китайской алгебры достигли апогея в 13 веке, когда Чжу Шицзе изобрел метод четырех неизвестных.

Предполагается, что в результате очевидных лингвистических и географических барьеров, а также содержания, китайская математика и математика древнего средиземноморского мира развивались более или менее независимо до того времени, когда Девять глав математического искусства достигла окончательной формы, а Письма о расплате и Хуайнаньцзы примерно современники классической греческой математики. Вероятен некоторый обмен идеями в Азии посредством известных культурных обменов, по крайней мере, с римских времен. Часто элементы математики ранних обществ соответствуют рудиментарным результатам, обнаруженным позже в таких областях современной математики, как геометрия и др. теория чисел. В теорема Пифагора Например, был засвидетельствован ко времени Герцог Чжоу. Знание Треугольник Паскаля также было показано, что существовали в Китае столетия назад Паскаль,^[33] например, от Шен Куо.

Впечатление современного художника от Шен Куо.

Штат тригонометрия в Китае медленно начали меняться и развиваться во время династии Сун (960–1279), когда китайские математики начали уделять больше внимания необходимости сферической тригонометрии в календарной науке и астрономических расчетах.^[34] В эрудит Китайский ученый, математик и чиновник Шен Куо (1031–1095) использовали тригонометрические функции для решения математических задач хорд и дуг.^[34] Сал Рестиво пишет, что работа Шена о длинах дуг окружностей послужила основой для сферическая тригонометрия разработан в 13 веке математиком и астрономом Го Шоуцзин (1231–1316).^[35] Как утверждают историки Л. Гоше и Джозеф Нидхэм, Го Шоуцзин использовал сферическая тригонометрия в своих расчетах по улучшению календарная система и Китайская астрономия.^[36][37] Математическая наука Китая будет включать в себя работу и обучение арабских миссионеров со знанием сферической тригонометрии, которые приехали в Китай в течение тринадцатого века.

Индийские и арабские цифры и обозначения

Дальнейшая информация: арабские цифры, Индусско-арабская система счисления, История индуистско-арабской системы счисления, и Математика в средневековом исламе

Хотя происхождение нашей нынешней системы числовых обозначений является древним, нет сомнений в том, что она использовалась индусами более двух тысяч лет назад. Алгебраические обозначения Индийский математик, Брахмагупта, был синкопированный. Сложение обозначалось размещением чисел рядом, вычитание - помещением точки над вычитаемое (число, которое нужно вычесть), и деление путем размещения делителя под делимым, аналогично нашим обозначениям, но без черты. Умножение, эволюция и неизвестные величины были представлены сокращениями соответствующих терминов.^[38] В Индусско-арабская система счисления и правила использования его операций, используемые сегодня во всем мире, вероятно, эволюционировали в течение первого тысячелетия нашей эры в Индия и был передан на запад через исламскую математику.^[39][40]

Страница из книги аль-Хваризми Алгебра

Несмотря на свое имя, арабские цифры имеют корни в Индии. Причина этого неправильное употребление европейцы видели цифры, используемые в арабской книге, Об индуистском искусстве счета, к Мохоммед ибн-Муса аль-Хорезми. Аль-Хваризми написал несколько важных книг по индусско-арабским цифрам и методам решения уравнений. Его книга О вычислении с помощью индусских цифр, написано около 825 г., вместе с работами Аль-Кинди,^{[примечание 13]} сыграли важную роль в распространении Индийская математика и Индийские цифры на запад. Аль-Хорезми не называл цифры арабскими, но в нескольких латинских переводах тот факт, что цифры были индийскими по происхождению, был утерян. Слово алгоритм происходит от латинизации имени Аль-Хваризми, Алгоритми, и слова алгебра из названия одной из его работ, Аль-Китаб аль-Мухтагар фи хисаб аль-Табр ва'ль-мукабала (Сборник по расчетам методом комплектования и балансировки).

Исламская математика развил и расширил математику, известную Среднеазиатский цивилизации.^[41] Аль-Хваризми дал исчерпывающее объяснение алгебраического решения квадратных уравнений с положительными корнями,^[42] и Аль-Хваризми должен был преподавать алгебру в элементарная форма и ради него самого.^[43] Аль-Хваризми также обсудил фундаментальный метод "снижение "и" уравновешивание ", относящееся к переносу вычтенных членов на другую сторону уравнения, то есть отмене одинаковых членов на противоположных сторонах уравнения. Это операция, которую аль-Хваризми первоначально описал как Аль-Джабр.^[44] Его алгебра также больше не занималась "серией проблемы предстоит решить, но экспозиция который начинается с примитивных терминов, в которых комбинации должны давать все возможные прототипы для уравнений, которые отныне явным образом составляют истинный объект исследования ". Аль-Хваризми также изучал уравнение само по себе и" в общем смысле, поскольку оно не просто возникают в процессе решения проблемы, но специально призваны определять бесконечный класс проблем ».^[45]

Аль-Караджи в своем трактате аль-Фахри, расширяет методологию для включения целых степеней и целых корней неизвестных величин.^{[примечание 14][46]} В историк математики, Ф. Вопке,^[47] похвалил Аль-Караджи за то, что он «был первым, кто представил теория из алгебраический исчисление. "Также в 10 веке, Абул Вафа перевел произведения Диофант на арабский. Ибн аль-Хайсам разовьется аналитическая геометрия. Аль-Хайтам вывел формулу суммы четвертых степеней, используя метод, который легко обобщается для определения общей формулы суммы любых целых степеней. Аль-Хайтам выполнил интегрирование, чтобы найти объем параболоид, и смог обобщить свой результат на интегралы от многочлены вверх к четвертая степень.^{[примечание 15][48]} В конце 11 века Омар Хайям разовьется алгебраическая геометрия, написал Обсуждение трудностей в Евклиде,^{[примечание 16]} и написал об общем геометрическом решении кубические уравнения. Насир ад-Дин Туси (Насиреддин) добился успехов в сферическая тригонометрия. Мусульманские математики в этот период добавили десятичная точка обозначение арабские цифры.

Современный Арабская цифра символы, используемые во всем мире, впервые появились в исламских Северная Африка в 10 веке. Отличительный западноарабский вариант Восточные арабские цифры начали появляться примерно в 10 веке в Магриб и Аль-Андалус (иногда называют Губар цифры, хотя этот термин не всегда используется), которые являются прямым предком современных арабских цифр, используемых во всем мире.^[49]

Многие греческие и арабские тексты по математике были тогда переведен на латынь, что привело к дальнейшему развитию математики в средневековой Европе. В XII веке ученые отправились в Испанию и Сицилию в поисках научных арабских текстов, включая труд аль-Хваризми.^{[примечание 17]} и полный текст Евклида Элементы.^{[примечание 18][50][51]} Одной из европейских книг, пропагандировавших использование цифр, была Liber Abaci Леонардо Пизанский, более известный как Фибоначчи. Liber Abaci более известна математической проблемой, которую Фибоначчи написал в ней о популяции кроликов. Рост населения оказался Последовательность Фибоначчи, где член - это сумма двух предыдущих членов.

Символический этап

Символы по популярной дате введения

Дальнейшая информация: Таблица математических символов по дате введения

Ранняя арифметика и умножение

Смотрите также: Ранний современный век, Вероятность, Статистика, Обозначения в вероятности и статистике, История вероятности, История статистики, и Научная революция

Переход к символической алгебре, где используются только символы, впервые можно увидеть в работе Ибн аль-Банна аль-Марракуши (1256–1321) и Абу аль-Хасан ибн Али аль-Каладади (1412–1482).^[52][53] Аль-Каласади был последним крупным средневековым Арабский алгебраист, который улучшил алгебраическая запись ранее использовался в Магриб Ибн аль-Банны.^[54] В отличие от синкопированных обозначений своих предшественников, Диофант и Брахмагупта, в котором отсутствовали символы для математические операции,^[55] Алгебраическая система обозначений аль-Каласади была первой, в которой были символы для этих функций, и, таким образом, была «первым шагом к введению алгебраической символики». Он представлял математические символы используя персонажей из Арабский алфавит.^[54]

Использование в 1489 г. знаки плюс и минус в печати.

В 14 веке появились новые математические концепции для исследования широкого круга проблем.^[56] Два широко используемых арифметических символа - это сложение и вычитание, + и -. В знак плюс использовался к 1360 г. Николь Орем^{[57][примечание 19]} в его работе Пропорциональный алгоритм.^[58] Считается, что это сокращение от «et», что означает «и» на латыни, почти так же амперсанд знак тоже начинался как «эт». Орем в Парижский университет и итальянский Джованни ди Казали независимо предоставили графические демонстрации расстояния, пройденного телом, совершающим равномерно ускоренное движение, утверждая, что площадь под линией, изображающей постоянное ускорение, представляет собой общее пройденное расстояние.^[59] В знак минус был использован в 1489 году Йоханнес Видманн в Меркантильная арифметика или же Behende und hüpsche Rechenung auff allen Kauffmanschafft,.^[60] Видманн использовал символ «минус» со знаком «плюс» для обозначения дефицита и излишка соответственно.^[61] В Сумма арифметики, геометрия, пропорциональная и пропорциональная,^{[примечание 20][62]} Лука Пачоли использованные символы для плюс и минус символы и содержали алгебра.^{[примечание 21]}

В 15 веке Гият аль-Каши вычислил значение π до 16-го знака после запятой. У Каши также был алгоритм расчета пй корни.^{[примечание 22]} В 1533 г. Региомонтан были опубликованы таблицы синусов и косинусов.^[63] Сципионе-дель-Ферро и Никколо Фонтана Тарталья обнаружил решения для кубические уравнения. Джероламо Кардано опубликовал их в своей книге 1545 г. Арс Магна вместе с решением для уравнения четвертой степени, обнаруженный его учеником Лодовико Феррари. В радикальный символ^{[примечание 23]} для квадратного корня был введен Кристоф Рудольф.^{[примечание 24]} Майкл Стифель важная работа Арифметика интегра^[64] содержал важные нововведения в математической записи. В 1556 г. Никколо Тарталья круглые скобки используются для группировки приоритетов. В 1557 г. Роберт Рекорд опубликовано Точильный камень Витте где для английского читателя использовались знак равенства (=), а также знаки плюс и минус. В 1564 г. Джероламо Кардано проанализированы азартные игры начало ранних этапов теория вероятности. В 1572 г. Рафаэль Бомбелли опубликовал свой L'Algebra в котором он показал, как бороться с мнимые величины это могло появиться в формуле Кардано для решения кубических уравнений. Саймон Стевин книга De Thiende («искусство десятых»), опубликованная на голландском языке в 1585 году, содержала систематическое рассмотрение десятичная запись, что повлияло на всю последующую работу над система вещественных чисел. В Новая алгебра (1591) из Франсуа Виет представил современную систему обозначений алгебраических выражений. Для навигации и точных карт больших территорий, тригонометрия превратился в крупную отрасль математики. Bartholomaeus Pitiscus чеканить слово «тригонометрия», опубликовав его Тригонометрия в 1595 г.

Джон Напье наиболее известен как изобретатель логарифмы^{[примечание 25][65]} и сделал обычным использование десятичная точка по арифметике и математике.^[66][67] После Напьера Эдмунд Гюнтер создал логарифмические шкалы (линии или правила), на которых правила слайдов основаны, это было Уильям Отред кто использовал две такие шкалы, скользящие одна по другой, для выполнения прямого умножение и разделение; и он считается изобретателем логарифмической линейки в 1622 году. В 1631 году Отред ввел знак умножения (×) в свой знак пропорциональности,^{[примечание 26]} и сокращения грех и потому что для синус и косинус функции.^[68] Альбер Жирар также использовали сокращения sin, cos и tan для обозначения тригонометрические функции в своем трактате.

Иоганн Кеплер был одним из пионеров математических приложений бесконечно малые.^{[примечание 27]} Рене Декарт считается отцом аналитическая геометрия, мост между алгеброй и геометрией,^{[примечание 28]} имеет решающее значение для открытия исчисление бесконечно малых и анализ. В 17 веке Декарт представил Декартовы координаты что позволило развить аналитическую геометрию.^{[примечание 29]} Блез Паскаль повлиял на математику на протяжении всей своей жизни. Его Арифметический треугольник («Трактат об арифметическом треугольнике») 1653 г. описал удобное табличное представление для биномиальные коэффициенты.^{[примечание 30]} Пьер де Ферма и Блез Паскаль исследовал бы вероятность.^{[примечание 31]} Джон Уоллис представил символ бесконечности.^{[примечание 32]} Он также использовал это обозначение для бесконечно малых.^{[примечание 33]} В 1657 г. Кристиан Гюйгенс опубликовал трактат о вероятности, О рассуждении в азартных играх.^{[примечание 34][69]}

Иоганн Ран представил знак деления (÷, an обел вариант перепрофилирован) и поэтому подпишите в 1659 г. Уильям Джонс использовал π в Синопсис пальмариорум матесиос^[70] в 1706 году, потому что это первая буква греческого слова периметрон (περιμετρον), что означает периметр на греческом. Это использование было популяризировано в 1737 году Эйлером. В 1734 г. Пьер Бугер используется двойная горизонтальная полоса под знак неравенства.^[71]

Обозначение производных: Лейбниц и Ньютон

Смотрите также: Обозначения Лейбница и Споры об исчислении Лейбница-Ньютона

Производная обозначения
сэр Исаак Ньютон Готфрид Вильгельм Лейбниц

Изучение линейная алгебра возник в результате изучения детерминанты, которые использовались для решения систем линейные уравнения. В исчислении были две основные системы обозначений, каждая из которых была создана одним из создателей: Исаак Ньютон и обозначения, разработанные Готфрид Лейбниц. Обозначения Лейбница используются сегодня чаще всего. Ньютон был просто точкой или тире, помещенной над функцией.^{[примечание 35]} В современном обиходе это обозначение обычно обозначает производные физических величин по времени и часто используется в науке о времени. механика. Лейбниц, с другой стороны, использовал букву d в качестве префикса для обозначения дифференциации и ввел обозначение, представляющее производные, как если бы они были особым типом дроби.^{[примечание 36]} Это обозначение делает явным переменную, по которой берется производная функции. Лейбниц также создал интегральный символ.^{[примечание 37]} Символ - это удлиненный S, представляющий латинский слово Сумма, что означает «сумма». При нахождении областей под кривыми интеграция часто иллюстрируется разделением области на бесконечное множество высоких и тонких прямоугольников, области которых складываются. Таким образом, интегральный символ представляет собой удлиненную букву s для суммы.

Операторы и функции высокого уровня

Смотрите также: современный век

Буквы алфавита в это время должны были использоваться как символы количество; и хотя существовало много различий в выборе букв, должно было быть несколько общепризнанные правила в следующей истории.^[24] Таким образом, здесь в истории уравнений первые буквы алфавита были условно известны как коэффициенты, последние буквы неизвестные термины (ан incerti ordinis ). В алгебраическая геометрия и снова должно было соблюдаться аналогичное правило: последние буквы алфавита обозначают переменную или текущую координаты. Определенные буквы, например ${displaystyle pi }$, ${displaystyle e}$, и Т. Д., были всеобщее согласие присваиваются как символы часто встречающихся чисел 3.14159 ..., и 2.7182818 ....,^{[примечание 38]} и т. д., и их использования в любых других целях следует избегать, насколько это возможно.^[24] Буквы также должны были использоваться как символы операции, а вместе с ними и другие ранее упомянутые символы произвольной операции. Письма ${displaystyle d}$, удлиненный ${displaystyle S}$ должны были использоваться в качестве действующих символов в дифференциальное исчисление и интегральное исчисление, ${displaystyle Delta }$ и ∑ в исчисление разностей.^[24] В функциональная запись, буква, как символ операции, сочетается с другой, которая рассматривается как символ количество.^{[24][примечание 39]}

Начиная с 1718 года Томас Твинен использовал разделительная косая черта (солидус ), что происходит от более раннего арабского горизонтальная полоса дроби. Пьер-Симон, маркиз де Лаплас разработали широко используемые Лапласовский дифференциальный оператор.^{[примечание 40]} В 1750 г. Габриэль Крамер развитый "Правило Крамера "для решения линейные системы.

Эйлер и простые обозначения

Подпись Леонарда Эйлера

Леонард Эйлер был одним из самых плодовитых математиков в истории, а также плодотворным изобретателем канонической системы обозначений. Его вклад включать его использование е представлять основу натуральные логарифмы. Точно не известно, почему ${displaystyle e}$ был выбран, но, вероятно, потому, что четыре буквы алфавита уже широко использовались для обозначения переменных и других констант. Эйлер использовал ${displaystyle pi }$ представлять число Пи последовательно. Использование ${displaystyle pi }$ было предложено Уильям Джонс, который использовал это как сокращение для периметр. Эйлер использовал ${displaystyle i}$ чтобы представить квадратный корень из отрицательного,^{[примечание 41]} хотя раньше он использовал его как бесконечное число. ^{[примечание 42][примечание 43]} За суммирование, Эйлер использовал сигма, Σ.^{[примечание 44]} За функции, Эйлер использовал обозначения ${displaystyle f(x)}$ представлять функцию ${displaystyle x}$. В 1730 году Эйлер написал гамма-функция.^{[примечание 45]} В 1736 году Эйлер публикует свою статью о Семь мостов Кенигсберга^[72] инициирование изучения теория графов.

В математик Уильям Эмерсон^[73] разовьет знак соразмерности.^{[примечание 46][примечание 47][74][75]} Гораздо позже в абстрактных выражениях ценности различных пропорциональных явлений частей на обозначение станет полезным в качестве набора псевдо-единиц для описания небольших значений разных безразмерные величины. Маркиз де Кондорсе, в 1768 г. частный дифференциал знак.^{[примечание 48]} В 1771 г. Александр-Теофиль Вандермонд сделал вывод о важности топологических особенностей при обсуждении свойства узлов связанные с геометрией положения. Между 1772 и 1788 годами Жозеф-Луи Лагранж переформулировал формулы и расчеты классической «ньютоновской» механики, названной Лагранжева механика. В главный символ для производных также был сделан Лагранжем.

Но в нашем мнение правда такого рода следует извлекать из понятий, а не из нотаций.

— Карл Фридрих Гаусс^{[примечание 49]}

Обозначения Гаусса, Гамильтона и Матрицы

На рубеже 19-го века Карл Фридрих Гаусс разработал идентификационный знак за отношение конгруэнтности И в Квадратичная взаимность, то неотъемлемая часть. Гаусс внес функции из комплексные переменные, в геометрия, а о сходимости серии. Он дал удовлетворительные доказательства основная теорема алгебры и из квадратичный закон взаимности. Гаусс разработал теорию решения линейных систем, используя Гауссово исключение, который изначально был отмечен как прогресс в геодезия.^[76] Он также будет развивать знак продукта. Также в это время Нильс Хенрик Абель и Эварист Галуа^{[примечание 50]} провели свою работу по разрешимость уравнений, связывание теория групп и теория поля.

После 1800-х годов Кристиан Крамп будет продвигать факториал обозначение во время его исследования в обобщенной факториальной функции, которая применяется к нецелым числам.^[77] Джозеф Диас Жергонн представил установить включение приметы.^{[примечание 51]} Питер Густав Лежен Дирихле развитый Дирихле L-функции чтобы дать доказательство Теорема Дирихле об арифметических прогрессиях и началось аналитическая теория чисел.^{[примечание 52]} В 1828 году Гаусс доказал свое Теорема Egregium (замечательная теорема на латыни), устанавливая свойства поверхностей. В 1830-х годах Джордж Грин развитый Функция Грина. В 1829 г. Карл Густав Джейкоб Якоби издает Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum с его эллиптический тета-функции. К 1841 г. Карл Вейерштрасс, "отец современного анализ ", разработанная на основе концепции абсолютная величина и определитель матрицы.

Матричные обозначения будет более полно разработан Артур Кэли в своих трех статьях по темам, которые были предложены при чтении Mécanique analytique^[78] Лагранжа и некоторых работ Лапласа. Кэли определил матричное умножение и матрица обратная. Кэли использовал одну букву для обозначения матрицы,^[79] Таким образом, матрица рассматривается как совокупный объект. Он также осознал связь между матрицами и определителями,^[80] и написал "Об этой теории матриц можно было бы сказать много вещей, которые, как мне кажется, должны предшествовать теории детерминантов.".^[81]

[... Математический кватернион] имеет или, по крайней мере, включает ссылку на четыре измерения.

— Уильям Роуэн Гамильтон^{[примечание 53]}

Уильям Роуэн Гамильтон представит набла символ^{[примечание 54]} за векторные дифференциалы.^[82][83] Ранее это использовалось Гамильтоном как универсальный знак оператора.^[84] Гамильтон переформулировал Ньютоновская механика, теперь называется Гамильтонова механика. Эта работа оказалась центральной для современного изучения классических теорий поля, таких как электромагнетизм. Это также было важно для развития квантовая механика.^{[примечание 55]} В математике он, пожалуй, больше всего известен как изобретатель кватернионная запись^{[примечание 56]} и бикватернионы. Гамильтон также ввел слово "тензор "в 1846 году.^{[85][примечание 57]} Джеймс Кокл разовьет тессарины^{[примечание 58]} а в 1849 г. кокватернионы. В 1848 г. Джеймс Джозеф Сильвестр введены в матричная алгебра период, термин матрица.^{[примечание 59]}

Обозначения Максвелла, Клиффорда и Риччи

Джеймс Клерк Максвелл

---

Самым выдающимся достижением Максвелла было сформулировать система уравнений который объединил ранее не связанные наблюдения, эксперименты и уравнения электричество, магнетизм, и оптика в последовательную теорию.^[86]

В 1864 г. Джеймс Клерк Максвелл свел все современные на тот момент знания об электромагнетизме в связанный набор дифференциальные уравнения с 20 уравнениями от 20 переменных, содержащихся в Динамическая теория электромагнитного поля..^[87] (Видеть Уравнения Максвелла.) Метод расчета, который необходимо использовать, был дан Лагранжем и впоследствии развит с некоторыми изменениями Уравнения Гамильтона. Обычно его называют Принцип Гамильтона; когда используются уравнения в исходной форме, они известны как Уравнения Лагранжа. В 1871 г. Ричард Дедекинд называется набором действительных или комплексных чисел, который закрывается четырьмя арифметическими операциями поле. В 1873 году Максвелл представил Трактат об электричестве и магнетизме.

В 1878 г. Уильям Кингдон Клиффорд опубликовал свой Элементы динамического.^[88] Клиффорд разработал сплит-бикватернионы,^{[примечание 60]} который он назвал алгебраические двигатели. Клиффорд избежал исследования кватернионов, разделив скалярное произведение и перекрестное произведение двух векторов из полной кватернионной записи.^{[примечание 61]} Такой подход сделал векторное исчисление доступны для инженеров и других сотрудников, работающих в три измерения и скептический из эффект опережения-запаздывания^{[примечание 62]} в четвертое измерение.^{[примечание 63]} Общее векторные обозначения используются при работе с векторами, которые пространственный или более абстрактных членов векторные пространства, пока обозначение угла (или же фазор обозначение) - обозначение, используемое в электроника.

В 1881 г. Леопольд Кронекер определил то, что он назвал "областью рациональности", которая является расширение поля из поле рациональных чисел в современных условиях.^[89] В 1882 г. Хусейн Тевфик Паша [tr ] написал книгу под названием «Линейная алгебра».^[90][91] Лорд Кельвин с эфирный теория атома (1860-е годы) светодиод Питер Гатри Тейт в 1885 г., чтобы опубликовать топологический таблица узлов с количеством пересечений до десяти, известная как Домыслы Тэйта. В 1893 г. Генрих М. Вебер дал четкое определение абстрактное поле.^{[примечание 64]} Тензорное исчисление был разработан Грегорио Риччи-Курбастро между 1887–96 гг., представленный в 1892 г. под названием абсолютное дифференциальное исчисление,^[92] а современное использование «тензор» было заявлено Вольдемар Фойгт в 1898 г.^[93] В 1895 г. Анри Пуанкаре опубликовано Analysis Situs.^[94] В 1897 г. Чарльз Протеус Штайнмец опубликовал бы Теория и расчет явлений переменного тока, с помощью Эрнста Дж. Берга.^[95]

От формульной математики к тензорам

Вышеупомянутое предложение иногда бывает полезным.

— Бертран Рассел^{[примечание 65]}

В 1895 г. Джузеппе Пеано выдал свой Formulario mathematico,^[96] попытка переварить математику в краткий текст, основанный на специальных символах. Он дал бы определение векторное пространство и линейная карта. Он также представит знак перекрестка, то знак союза, то знак членства (является элементом), и экзистенциальный квантор^{[примечание 66]} (Существует). Пеано перейдет к Бертран Рассел его работа в 1900 году на Парижской конференции; это настолько впечатлило Рассела, что Рассел тоже увлекся стремлением передать математику более кратко. Результат был Principia Mathematica написано с Альфред Норт Уайтхед. Этот трактат знаменует собой переломный момент в современной литературе, где символ стал доминирующим.^{[примечание 67]} Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита популяризировал обозначение тензорного индекса около 1900 г.^[97]

Математическая логика и абстракция

Абстракция
Феликс Кляйн Георг Кантор

В начале этого периода Феликс Кляйн "s"Программа Эрланген "определили основную тему различных геометрий, определяя каждую из них как изучение инвариант свойств под данной группой симметрии. Этот уровень абстракции выявил связи между геометрией и абстрактная алгебра. Георг Кантор^{[примечание 68]} представит символ алеф за Количественные числительные трансфинитных множеств.^{[примечание 69]} Его обозначение для количественных чисел было буквой на иврите. ${displaystyle aleph }$ (алеф ) с индексом натурального числа; для ординалов он использовал греческую букву ω (омега ). Это обозначение до сих пор используется в порядковая запись конечной последовательности символов из конечного алфавита, который называет порядковый номер по некоторой схеме, которая придает смысл языку. Его теория создал много споров. Кантор в своем исследовании Ряд Фурье, рассмотрим точечные множества в Евклидово пространство.

На рубеже 20-го века Джозайя Уиллард Гиббс будет в физическая химия вводить средняя точка за скалярное произведение и знак умножения за перекрестные продукты. Он также предоставит обозначения для скалярных и векторных произведений, которые были введены в Векторный анализ. В 1904 г. Эрнст Цермело продвигает аксиома выбора и его доказательство теорема о хорошем порядке.^[98] Вскоре после этого Бертран Рассел представит логическая дизъюнкция (ИЛИ ЖЕ ) в 1906. Также в 1906 году Пуанкаре опубликует О динамике электрона^[99] и Морис Фреше представил метрическое пространство.^[100] Потом, Герхард Ковалевски и Катберт Эдмунд Каллис^{[101][102][103]} будет последовательно вводить обозначение матриц, матрицу в скобках и обозначение прямоугольной матрицы соответственно. После 1907 года математики^{[примечание 70]} изучил узлы с точки зрения группа узлов и инварианты из теория гомологии.^{[примечание 71]} В 1908 г. Джозеф Уэддерберн структурные теоремы сформулированы для конечномерных алгебры над полем. Также в 1908 г. Эрнст Цермело предложенное "определенное" свойство и первое аксиоматическая теория множеств, Теория множеств Цермело. В 1910 г. Эрнст Стейниц опубликовал влиятельную газету Алгебраическая теория полей.^{[примечание 72][примечание 73]} В 1911 году Штейнмец опубликует Теория и расчет переходных электрических явлений и колебаний.

Альберт Эйнштейн в 1921 году

Альберт Эйнштейн, в 1916 г. ввела Обозначения Эйнштейна^{[примечание 74]} который суммировал по набору индексированные термины в формуле, тем самым обеспечивая краткость обозначений. Арнольд Зоммерфельд создаст контурный интеграл войдите в 1917 г. Также в 1917 г. Димитрий Мириманов предлагает аксиома регулярности. В 1919 г. Теодор Калуца решит общая теория относительности уравнения с использованием пять измерений, в результате возникнут электромагнитные уравнения.^[104] Это будет опубликовано в 1921 году в «Zum Unitätsproblem der Physik».^[105] В 1922 г. Авраам Френкель и Торальф Сколем независимо предложила заменить схема аксиомы спецификации с схема аксиомы замены. Также в 1922 г. Теория множеств Цермело – Френкеля был развит. В 1923 году Штейнмец опубликует Четыре лекции по теории относительности и космосу. Около 1924 г. Ян Арнольдус Схоутен разработал бы современные обозначения и формализм для Исчисление Риччи во время применения абсолютного дифференциального исчисления для общая теория относительности и дифференциальная геометрия в начале ХХ века.^{[примечание 75][106][107][108]} В 1925 г. Энрико Ферми описал бы система, состоящая из множества одинаковых частиц, которые подчиняются принципу исключения Паули, впоследствии разрабатывая уравнение диффузии (Уравнение Ферми возраста ). В 1926 г. Оскар Кляйн разовьет Теория Калуцы – Клейна. В 1928 г. Эмиль Артин абстрагированный теория колец с Артинианские кольца. В 1933 г. Андрей Колмогоров вводит Аксиомы Колмогорова. В 1937 г. Бруно де Финетти вывел "операционный субъективный " концепция.

Математический символизм

Смотрите также: Теория категорий, Теория моделей, Таблица логических символов, и Логический алфавит

Математическая абстракция началась как процесс извлечения лежащих в основе сущность математической концепции,^[109][110] устранение любой зависимости от объектов реального мира, с которыми он мог быть изначально связан,^[111] и обобщив его так, чтобы он имел более широкое применение или совпадение среди других абстрактных описаний эквивалентных явления. Две абстрактные области современной математики: теория категорий и теория моделей. Бертран Рассел,^[112] сказал, "Обычный язык совершенно не подходит для выражения того, что на самом деле утверждает физика, поскольку слова повседневной жизни недостаточно абстрактны. Только математика и математическая логика могут сказать то, что хочет сказать физик.". Тем не менее, можно заменить объекты реального мира математикой, отклониться от уравнения за уравнением и построить концептуальную структуру, не имеющую отношения к реальности.^[113]

Символическая логика изучает чисто формальные свойства цепочек символов. Интерес к этой области проистекает из двух источников. Во-первых, обозначения, используемые в символической логике, можно рассматривать как представление слов, используемых в философская логика. Во-вторых, правила манипулирования символами, найденные в символической логике, могут быть реализованы на вычислительная машина. Символическая логика обычно делится на два подполя: логика высказываний и логика предикатов. Другие интересные логики включают темпоральная логика, модальная логика и нечеткая логика. Область символической логики называется логика высказываний, также называемый пропозициональное исчисление, изучает свойства предложений, образованных из константы^{[примечание 76]} и логические операторы. Соответствующие логические операции известны, соответственно, как соединение, дизъюнкция, материальный условный, двусмысленный, и отрицание. Эти операторы обозначаются как ключевые слова^{[примечание 77]} и символическими обозначениями.

Некоторые из введенных в то время обозначений математической логики включали набор символов, используемых в Булева алгебра. Это было создано Джордж Буль в 1854 году. Сам Буль не считал логику разделом математики, но в любом случае ее охватили. Символы в булевой алгебре включают: ${displaystyle land }$ (И), ${displaystyle lor }$ (ИЛИ), и ${displaystyle lnot }$ (нет). С помощью этих символов и букв для обозначения различных ценности истины, можно сделать логические утверждения, такие как ${displaystyle alor lnot a=1}$, то есть "(а верно ИЛИ а является нет правда) верно ", то есть верно, что а либо истинно, либо неверно (т.е. ложно). У логической алгебры есть много практических применений, но она также положила начало тому, что могло бы стать большим набором символов, который будет использоваться в логике.^{[примечание 78]} Логика предикатов, первоначально называемая исчисление предикатов, расширяет логику высказываний введением переменные^{[примечание 79]} и предложениями, содержащими переменные, называемые предикаты.^{[примечание 80]} Кроме того, логика предикатов позволяет кванторы.^{[примечание 81]} С этими логические символы и дополнительные кванторы из логики предикатов,^{[примечание 82]} действительный доказательства может быть изготовлен которые иррационально искусственный,^{[примечание 83]} но синтаксический.^{[примечание 84]}

Обозначение неполноты Гёделя

Смотрите также: Схема доказательства первой теоремы Гёделя о неполноте

Каждому ω-согласованный рекурсивный класс κ формулы соответствуют рекурсивные знаки класса r, так что ни v Gen р ни Neg (v Gen р) принадлежит Flg (κ) (где v это свободная переменная из р).

— Курт Гёдель^[114]

Доказывая свое теоремы о неполноте,^{[примечание 85]} Курт Гёдель создал альтернативу символам, обычно используемым в логике. Он использовал Числа Гёделя, которые представляли собой числа, представляющие операции с множеством чисел, и переменные с простыми числами больше 10. С помощью чисел Гёделя логические утверждения можно разбить на числовую последовательность. Затем Гёдель сделал еще один шаг вперед, п простые числа и возложение их в степени чисел в последовательности. Затем эти числа были перемножены, чтобы получить конечный продукт, присвоив каждому логическому утверждению собственный номер.^{[115][примечание 86]}

Современные обозначения и темы

Смотрите также: Современная эпоха

Обозначение начала 20-го века

Абстрагирование обозначений - это непрерывный процесс, и историческое развитие многих математических тем показывает прогрессию от конкретного к абстрактному. Разные установить обозначения будет разработан для фундаментального объекта наборы. Около 1924 г. Дэвид Гильберт и Ричард Курант опубликовано "Методы математической физики. Уравнения с частными производными ".^[116] В 1926 г. Оскар Кляйн и Уолтер Гордон предложил Уравнение Клейна – Гордона для описания релятивистских частиц.^{[примечание 87]} Первая формулировка квантовая теория описание взаимодействия излучения и вещества обусловлено Поль Адриан Морис Дирак, который в 1920 году впервые смог вычислить коэффициент спонтанного излучения атом.^[117] В 1928 г. релятивистский Уравнение Дирака был сформулирован Дираком для объяснения поведения релятивистски движущихся электрон.^{[примечание 88]} Дирак описал количественную оценку электромагнитного поля как совокупность гармонические осцилляторы с введением концепции операторы создания и уничтожения частиц. В последующие годы при участии Вольфганг Паули, Юджин Вигнер, Паскуаль Джордан, и Вернер Гейзенберг, и элегантная формулировка квантовой электродинамики благодаря Энрико Ферми,^[118] физики пришли к выводу, что в принципе можно выполнить любые вычисления для любого физического процесса, включающего фотоны и заряженные частицы.

В 1931 г. Александру Прока разработал Уравнение Прока (Уравнение Эйлера – Лагранжа. )^{[примечание 89]} для вектора мезон теория ядерные силы и релятивистские квантовые уравнения поля. Джон Арчибальд Уиллер в 1937 г. развивается S-матрица. Исследования Феликс Блох с Арнольд Нордзик,^[119] и Виктор Вайскопф,^[120] в 1937 и 1939 годах, показали, что такие вычисления были надежными только при первом порядке теория возмущений, проблема уже отмечена Роберт Оппенгеймер.^[121] На более высоких порядках в серии появлялись бесконечности, делающие такие вычисления бессмысленными и вызывающие серьезные сомнения во внутренней непротиворечивости самой теории. Поскольку в то время не было известно решения этой проблемы, оказалось, что существует фундаментальная несовместимость между специальная теория относительности и квантовая механика.

В 1930-х годах двойная заглавная буква Z для целых чисел была создана Эдмунд Ландау. Николя Бурбаки создал двойную заглавную букву Q для наборов рациональных чисел. В 1935 году Герхард Гентцен сделал универсальные кванторы. В 1936 г. Теорема Тарского о неопределенности заявлено Альфред Тарский и доказал.^{[примечание 90]} В 1938 г. Гёдель предлагает конструируемая вселенная в газете "Непротиворечивость аксиомы выбора и гипотезы обобщенного континуума ". Андре Вайль и Николя Бурбаки разовьет пустой набор войдите в 1939 году. В том же году, Натан Джейкобсон чеканит заглавную букву C с двойным начертанием вместо комплексное число наборы.

Примерно в 1930-е гг. Обозначение Фойгта^{[примечание 91]} будет разработан для полилинейная алгебра как способ представить симметричный тензор уменьшив его порядок. Обозначение Шенфлиса^{[примечание 92]} стал одним из двух соглашений, используемых для описания точечные группы (другое существо Обозначения Германа – Могена ). Также в это время обозначение ван дер Вардена^[122][123] стало популярным использование двухкомпонентных спиноры (Спиноры Вейля ) в четырех измерениях пространства-времени. Аренд Хейтинг представит Алгебра Гейтинга и Арифметика Гейтинга.

Стрелка, например, →, была разработана для обозначение функции в 1936 г. Øystein Ore для обозначения изображений конкретных элементов.^{[примечание 93][примечание 94]} Позже, в 1940 г., он принял нынешний вид, например, е: X → Y, благодаря работе Витольд Гуревич. Вернер Гейзенберг в 1941 г. предложил Теория S-матрицы взаимодействий частиц.

Поль Дирак, изображенная здесь, внесла фундаментальный вклад в раннее развитие как квантовой механики, так и квантовая электродинамика.

Обозначение Бра – Кет (Обозначение Дирака ) - стандартное обозначение для описания квантовые состояния, состоящий из угловые скобки и вертикальные полосы. Его также можно использовать для обозначения абстрактных векторов и линейные функционалы. Это так называется потому, что внутренний продукт (или же скалярное произведение на комплексном векторном пространстве) двух состояний обозначается ⟨bra | ket⟩^{[примечание 95]} состоящий из левой части, ⟨φ|, а правая часть, |ψ⟩. Обозначение было введено в 1939 г. Поль Дирак,^[124] хотя это обозначение имеет предшественники в Грассманн использование обозначения [φ|ψ] для своих внутренних продуктов почти 100 лет назад.^[125]

Обозначения бра – кет широко распространены в квантовая механика: почти каждое явление, которое объясняется с помощью квантовой механики, включая большую часть современная физика - обычно объясняется с помощью лифчиковых обозначений. Нотация устанавливает независимость закодированного абстрактного представления, производя универсальное конкретное представление (например, Икс, или же п, или же собственная функция база) без особого адо или чрезмерная зависимость от природа из линейные пространства участвует. Выражение перекрытия ⟨φ|ψ⟩ Обычно интерпретируется как амплитуда вероятности для государственный ψ к крах в состояние ϕ. В Обозначение фейнмана слэш (Обозначение слэша Дирака^[126]) был разработан Ричард Фейнман для изучения Поля Дирака в квантовая теория поля.

В 1948 г. Валентин Баргманн и Юджин Вигнер предложил релятивистский Уравнения Баргмана – Вигнера описать свободные частицы а уравнения представлены в виде многокомпонентных спинорное поле волновые функции. В 1950 г. Уильям Валланс Дуглас Ходж представлен "Топологические инварианты алгебраических многообразий "в трудах Международного конгресса математиков. Между 1954 и 1957 гг. Эухенио Калаби работал над Гипотеза Калаби за Кэлеровы метрики и развитие Многообразия Калаби – Яу.. В 1957 г. Туллио Редже сформулировал математическое свойство потенциального рассеяния в Уравнение Шредингера.^{[примечание 96]} Стэнли Мандельштам вместе с Редже занимались первоначальной разработкой Теория Редже феноменологии сильного взаимодействия. В 1958 г. Мюррей Гелл-Манн и Ричард Фейнман, вместе с Георгий Сударшан и Роберт Маршак, вывел хиральные структуры из слабое взаимодействие по физике. Джеффри Чу, наряду с другими, будет способствовать матричной записи для сильное взаимодействие, и связанные принцип начальной загрузки, в 1960 году. В 1960-х гг. обозначение построителя множеств был разработан для описания набор указав свойства, которым должны удовлетворять его члены. Также в 1960-х тензоры абстрагировались внутри теория категорий с помощью концепции моноидальная категория. Потом, многоиндексная запись устраняет традиционные понятия, используемые в многомерное исчисление, уравнения в частных производных, и теория распределения, абстрагируя понятие целого числа индекс к заказанному кортеж индексов.

Современные математические обозначения

Смотрите также: Теория приближений, Универсальная собственность, Тензорная алгебра, Свободная алгебра, и Абстрактная алгебра

В современной математике специальная теория относительности, электромагнетизм и теория волн, то оператор Даламбера^{[примечание 97][примечание 98]} это Оператор Лапласа из Пространство Минковского. В Символ Леви-Чивита^{[примечание 99]} используется в тензорное исчисление.

После полного Ковариация Лоренца формулировки, которые были конечными в любом порядке в серии возмущений квантовой электродинамики, Син-Итиро Томонага, Джулиан Швингер и Ричард Фейнман были совместно награждены Нобелевская премия по физике в 1965 г.^[127] Их вклад и вклад Фриман Дайсон, были ковариантными и калибровочный инвариант формулировки квантовой электродинамики, которые позволяют вычислять наблюдаемые в любом порядке теория возмущений. Математический метод Фейнмана, основанный на его диаграммы, поначалу казался очень отличным от теоретико-полевого, оператор основанный на подходе Швингера и Томонаги, но Фриман Дайсон позже показал, что эти два подхода эквивалентны. Перенормировка, необходимость придания физического смысла некоторым расхождениям, возникающим в теории, через интегралы, впоследствии стал одним из фундаментальных аспектов квантовая теория поля и стал рассматриваться как критерий общей приемлемости теории. Квантовая электродинамика послужила моделью и шаблоном для последующих квантовых теорий поля. Питер Хиггс, Джеффри Голдстоун, и другие, Шелдон Глэшоу, Стивен Вайнберг и Абдус Салам независимо показал, как слабая ядерная сила и квантовую электродинамику можно было бы объединить в единую электрослабая сила. В конце 1960-х гг. зоопарк частиц состоял из известных тогда элементарные частицы до открытия кварки.

Стандартная модель элементарных частиц.

---

В фундаментальные фермионы и фундаментальные бозоны. (c.2008)^{[примечание 100]} На основе собственное издание, Обзор физики элементарных частиц.^{[примечание 101]}

Шаг навстречу Стандартная модель был Шелдон Глэшоу открытие в 1960 году способа объединить электромагнитный и слабые взаимодействия.^[128] В 1967 г. Стивен Вайнберг^[129] и Абдус Салам^[130] включены Механизм Хиггса^{[131][132][133]} в Глэшоу электрослабая теория, придав ему современный вид. Считается, что механизм Хиггса вызывает массы из всех элементарные частицы в Стандартной модели. Это включает в себя массы W- и Z-бозоны, и массы фермионы - т.е. кварки и лептоны. Также в 1967 г. Брайс ДеВитт опубликовано его уравнение под именем "Уравнение Эйнштейна – Шредингера. "(позже переименован в"Уиллер –Уравнение ДеВитта").^[134] В 1969 г. Ёитиро Намбу, Хольгер Бех Нильсен, и Леонард Сасскинд описал пространство и время в термины строк. В 1970 г. Пьер Рамон развивают двумерные суперсимметрии. Мичио Каку и Кейджи Киккава впоследствии сформулировал бы строковые вариации. В 1972 г. Майкл Артин, Александр Гротендик, Жан-Луи Вердье предложить Вселенная Гротендика.^[135]

После нейтральные слабые токи вызванный
Z
бозонный обмен были обнаружены в ЦЕРН в 1973 г.,^{[136][137][138][139]} теория электрослабого взаимодействия получила широкое признание, и Глэшоу, Салам и Вайнберг разделили концепцию 1979 г. Нобелевская премия по физике для открытия. Теория сильное взаимодействие, в который многие внесли свой вклад, приобрел свою современную форму примерно в 1973–74. С созданием квантовая хромодинамика доработан набор фундаментальных и обменных частиц, позволивший установить "стандартная модель "на основе математики калибровочная инвариантность, который успешно описывает все силы, кроме силы тяжести, и который остается общепринятым в той области, к которой он предназначен. В конце 1970-х гг. Уильям Терстон представил гиперболическая геометрия в изучение узлов с теорема гиперболизации. В орбифолдная запись система, изобретенная Терстоном, была разработана для представления типов группы симметрии в двумерных пространствах постоянной кривизны. В 1978 г. Шинг-Тунг Яу пришел к выводу, что Гипотеза Калаби имеют Ricci квартира метрики. В 1979 г. Даниэль Фридан показал, что уравнения движения теория струн являются абстракциями Уравнения Эйнштейна из Общая теория относительности.

В первая суперструнная революция состоит из математических уравнений, разработанных между 1984 и 1986 годами. В 1984 году Воан Джонс вывел Многочлен Джонса и последующие взносы от Эдвард Виттен, Максим Концевич и др., выявили глубокую связь между теорией узлов и математическими методами в статистическая механика и квантовая теория поля. В соответствии с теория струн, все частицы в "зоопарке частиц" имеют общего предка, а именно вибрирующая струна. В 1985 г. Филип Канделас, Гэри Горовиц,^[140] Эндрю Строминджер, а Эдвард Виттен опубликует "Вакуумные конфигурации для суперструн"^[141] Позже тетрадный формализм (обозначение тетрадного индекса ) будет представлен как подход к общая теория относительности который заменяет выбор координатная база менее ограничительным выбором локального базиса для касательного расслоения.^{[примечание 102][142]}

В 1990-е годы Роджер Пенроуз предложил бы Графические обозначения Пенроуза (обозначение тензорной диаграммы ) как обычно рукописное визуальное изображение полилинейные функции или же тензоры.^[143] Пенроуз также представит обозначение абстрактного индекса.^{[примечание 103]} В 1995 году Эдвард Виттен предложил М-теория и впоследствии использовал его для объяснения некоторых наблюдаемых дуальности, инициируя вторая суперструнная революция.^{[примечание 104]}

Джон Х. Конвей, плодовитый математик нотации.

Джон Конвей будет способствовать различным обозначениям, включая Обозначение стрелок Конвея, то Обозначения Конвея теории узлов, а Обозначения многогранника Конвея. В Обозначение Кокстера система классифицирует группы симметрии, описывая углы между фундаментальными отражениями Группа Коксетера. Он использует обозначения в квадратных скобках с модификаторами для обозначения определенных подгрупп. Обозначение названо в честь Х. С. М. Коксетер и Норман Джонсон более подробно определил его.

Комбинаторный Обозначение LCF^{[примечание 105]} был разработан для представления кубические графы которые Гамильтониан.^[144][145] В обозначение цикла это соглашение о записи перестановка с точки зрения его составляющих циклы.^[146] Это также называется круговое обозначение и перестановка, называемая циклический или же круговой перестановка.^[147]

Компьютеры и обозначения разметки

Основные статьи: История вычислительной техники и Хронология вычислений

Смотрите также: Символьное вычисление, Символическая динамика, Теория вычислительной сложности, Математический язык разметки, MathML, Базовые подпрограммы линейной алгебры, Числовая линейная алгебра, Список числовых библиотек, Список программного обеспечения для численного анализа, Язык DOT, Лисп (язык программирования), Объектно-ориентированного программирования, и Алгоритм Эрли

В 1931 г. IBM производит Ударник умножения IBM 601; это электромеханическая машина, которая может считывать с карты два числа длиной до 8 цифр и наносить их продукт на ту же карту.^[148] В 1934 г. Уоллес Эккерт использовал оснастку IBM 601 Multiplying Punch для автоматизации интегрирования дифференциальных уравнений.^[149] В 1936 г. Алан Тьюринг издает "О вычислимых числах в приложении к Entscheidungsproblem ".^{[150][примечание 106]} Джон фон Нейман, пионер цифровых компьютеров и информатики,^{[примечание 107]} в 1945 г. неполный Первый проект отчета о EDVAC. В 1962 г. Кеннет Э. Айверсон разработал обозначение интегральной части, которое стало APL, для управления массивами, которым он обучал своих учеников и описал в своей книге Язык программирования. В 1970 г. Эдгар Ф. Кодд предложил реляционная алгебра как реляционная модель данных за языки запросов к базе данных. В 1971 г. Стивен Кук издает "Сложность процедур доказательства теорем "^[151] В 1970-е годы в компьютерная архитектура, Обозначение цитаты был разработан для представительной системы счисления рациональное число. Также в этом десятилетии Обозначение Z (как и Язык APL, задолго до этого) использует много не-ASCII символы, спецификация включает предложения по отображению символов нотации Z в ASCII И в Латекс. В настоящее время существуют различные C математические функции (Math.h) и числовые библиотеки. Они есть библиотеки используется в разработка программного обеспечения для выполнения числовой расчеты. Эти вычисления могут быть выполнены символические казни; анализ программы, чтобы определить, какие входные данные вызывают выполнение каждой части программы. Mathematica и SymPy являются примерами вычислительных программ на основе символическая математика.

Будущее математической записи

Основная статья: Будущее математики

Сечение квинтики тройного многообразия Калаби – Яу (3D проекция ); напоминая теория атомного вихря.

В истории математической нотации нотация идеографических символов прошла полный цикл с появлением компьютерных систем визуализации. Обозначения могут применяться к абстрактным визуализациям, например, для визуализации некоторых проекций Калаби-Яу многообразие. Примеры абстрактная визуализация которые, собственно, принадлежат математическому воображению, можно найти в компьютерная графика. Потребность в таких моделях изобилует, например, когда меры для объекта исследования фактически случайные переменные и не совсем обычный математические функции.

Смотрите также

• Математический портал

Основная актуальность

Злоупотребление обозначениями, Правильная формула, Обозначение Big O (L-обозначение ), Обозначение Даукера, Венгерская нотация, Обозначение инфиксов, Позиционное обозначение, Польская нотация (Обратная польская запись ), Знаковое обозначение, История написания чисел

Цифры и количества

Список номеров, Иррациональные и предполагаемые иррациональные числа, γ, ζ (3), √2, √3, √5, φ, ρ, δ_S, α, е, π, δ, Физические константы, c, ε₀, час, грамм, Греческие буквы, используемые в математике, науке и технике

Общая актуальность

Порядок действий, Научная нотация (Инженерная нотация ), Актуарное обозначение

Точечная запись

Химическое обозначение (Точечная запись Льюиса (Электронно-точечная запись )), Точечно-десятичная запись

Обозначение стрелки

Обозначение Кнута со стрелкой вверх, бесконечная комбинаторика (Обозначение стрелки (теория Рамсея))

Геометрии

Проективная геометрия, Аффинная геометрия, Конечная геометрия

Списки и наброски

Очерк математики (Темы истории математики и По математике (Категории математики )), Математические теории ( Теории первого порядка, Теоремы и Опровергнутые математические идеи ), Математические доказательства (Неполные доказательства ), Математические тождества, Математический ряд, Справочные таблицы по математике, Темы математической логики, Математические методы, Математические функции, Трансформирует и Операторы, Очки по математике, Математические фигуры, Узлы (Простые узлы и Математические узлы и ссылки ), Неравенства, Математические понятия названы в честь мест, Математические темы в классической механике, Математические вопросы квантовой теории, Математические темы в теории относительности, Темы теории струн, Нерешенные задачи по математике, Математический жаргон, Математические примеры, Математические сокращения, Список математических символов

Разное.

Проблемы Гильберта, Математическое совпадение, Шахматная запись, Обозначение строки, Музыкальная нотация (Пунктирная записка ), Нотация Уайта, Обозначение игральных костей, рекурсивный категориальный синтаксис

Люди

Математики (Математики-любители и Женщины-математики ), Томас Брэдвардин, Томас Харриот, Феликс Хаусдорф, Гастон Джулия, Хельге фон Кох, Поль Леви, Александр Ляпунов, Бенуа Мандельброт, Льюис Фрай Ричардсон, Вацлав Серпинский, Saunders Mac Lane, Пол Коэн, Готлоб Фреге, Г. С. Карр, Роберт Рекорд, Бартель Леендерт ван дер Варден, Г. Х. Харди, Э. М. Райт, Джеймс Р. Ньюман, Карл Густав Джейкоб Якоби, Роджер Джозеф Боскович, Эрик В. Вайсштейн, Математические вероятностники, Статистиков

Примечания

1. Или средневековье.
2. Фактически, такие символы сохраняются с небольшими изменениями в Римская запись, счет которого можно найти в Джон Лесли Философия арифметики.
3. Теория чисел это раздел чистой математики, посвященный в первую очередь изучение целых чисел. Ученые-теоретики чисел простые числа а также свойства объектов, состоящих из целых чисел (например, рациональное число ) или определяемые как обобщения целые числа (например., алгебраические целые числа ).
4. Греческий: μή μου τοὺς κύκλους τάραττε
5. То есть, ${displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$.
6. Величина (математика), относительный размер объекта; Величина (вектор), термин для размера или длины вектора; Скаляр (математика), величина, определяемая только ее величиной; Евклидов вектор, величина, определяемая как величиной, так и направлением; Порядок величины, класс шкалы, имеющий фиксированное отношение значений к предыдущему классу.
7. Автолик ' На движущейся сфере это еще один древний математический манускрипт того времени.
8. Прокл, греческий математик, живший через несколько столетий после Евклида, написал в своем комментарии к Элементам: «Евклид, который объединил Элементы, собрав многие из Евдокс теоремы, совершенствующие многие из Theaetetus ', а также доведя до исчерпывающей демонстрации то, что его предшественники лишь несколько слабо доказали ».
9. Выражение:
   ${displaystyle 2x^{4}+3x^{3}-4x^{2}+5x-6}$
   будет записано как:
   SS2 C3 x5 M S4 u6
   .^{[нужна цитата ]}
10. такой как правило, квадрат, компасы, уровень воды (тростник ), и отвес.
11. такой как колесо и ось
12. Площадь квадрата, описанного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, описанных на сторонах
13. Аль-Кинди также представил криптоанализ и частотный анализ.
14. Что-то близкое к доказательство к математическая индукция появляется в книге, написанной аль-Караджи около 1000 г. н.э., который использовал ее, чтобы доказать биномиальная теорема, Треугольник Паскаля, а сумма интеграл кубики.
15. Таким образом, он подошел к поиску общей формулы для интегралы многочленов, но его не интересовали полиномы выше четвертой степени.
16. книгу о том, что он считал недостатками в Евклида Элементы, особенно параллельный постулат
17. переведено на латынь Роберт Честерский
18. переведено в разных версиях Аделард из Бата, Герман Каринтии, и Жерар Кремонский
19. Его личное использование началось около 1351 года.
20. Summa de Arithmetica: Geometria Proportioni et Proportionalita. Тр. Сумма арифметики: геометрия в пропорциях и соразмерности.
21. Большая часть работы была написана Пьеро делла Франческа кого он присвоенный и украденный.
22. Это был частный случай методов, данных много веков спустя Руффини и Хорнер.
23. То есть, ${displaystyle {sqrt {~}}}$.
24. Считается, что оно напоминало строчную букву «r» (для «основание ").
25. Опубликовано в Описание чудесного канона логарифмов
26. То есть,
    ∷
27. видеть Закон непрерывности.
28. С помощью Декартовы координаты на плоскости расстояние между двумя точками (Икс₁, у₁) и (Икс₂, у₂) определяется формулой:
    ${displaystyle d={sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}},}$
    который можно рассматривать как версию теорема Пифагора.
29. Дальнейшие шаги в абстракции были предприняты Лобачевский, Бойяи, Риман, и Гаусс кто обобщил понятия геометрии, чтобы развить неевклидовы геометрии.
30. Сейчас называется Треугольник Паскаля.
31. Например, "проблема очков ".
32. То есть, ${displaystyle {infty }}$.
33. Например, ${displaystyle {frac {1}{infty }}.}$
34. Исходное название, "De ratiociniis в ludo aleae"
35. Например, производная функции Икс будет записано как ${displaystyle {dot {x}}}$. Вторая производная от Икс будет записано как ${displaystyle {ddot {x}}}$, так далее.
36. Например, производная функции Икс по переменной т в обозначениях Лейбница будет записано как ${displaystyle {dx over dt}}$.
37. То есть, ${displaystyle int _{-N}^{N}f(x),dx}$.
38. Смотрите также: Список представительств е
39. Таким образом ${displaystyle f(x)}$ обозначает математический результат выполнения операции ${displaystyle f}$ на предмет ${displaystyle x}$. Если бы после этого результата повторилась та же операция, новый результат был бы выражен как ${displaystyle f[f(x)]}$, или более кратко ${displaystyle f^{2}(x)}$, и так далее. Количество ${displaystyle x}$ сам рассматривается как результат той же операции ${displaystyle f}$ по какой-то другой функции; соответствующий символ, для которого, по аналогии, ${displaystyle f^{-1}(x)}$. Таким образом ${displaystyle f}$ и ${displaystyle f^{-1}}$ символы обратные операции, первое отменяет влияние второго на предмет ${displaystyle x}$. ${displaystyle f(x)}$ и ${displaystyle f^{-1}(x)}$ аналогичным образом называются обратные функции.
40. То есть, ${displaystyle Delta f(p)}$
41. То есть, ${displaystyle {sqrt {-1}}}$
42. Сегодня символ, созданный Джон Уоллис, ${displaystyle infty }$, используется для бесконечности.
43. Как в, ${displaystyle sum _{n=1}^{infty }{frac {1}{n^{2}}}}$
44. Обозначение заглавной буквы использует символ, который компактно представляет собой суммирование многих похожих терминов: символ суммирования, ∑, увеличенная форма прямой заглавной греческой буквы Сигма. Это определяется как:
    

    ${displaystyle sum _{i=m}^{n}a_{i}=a_{m}+a_{m+1}+a_{m+2}+cdots +a_{n-1}+a_{n}.}$

    
    

    Где, я представляет индекс суммирования; а_я индексированная переменная, представляющая каждый последующий член в ряду; м это нижняя граница суммирования, и п это верхняя граница суммирования. В "я = м" под символом суммирования означает, что индекс я начинается равным м. Индекс, я, увеличивается на 1 для каждого последующего члена, останавливаясь, когда я = п.

45. То есть, ${displaystyle n!=int _{0}^{1}(-ln s)^{n},{m {d}}s}$.
    действительно для n> 0.
46. То есть,
    ∝
47. Пропорциональность - это соотношение одного количества к другому, особенно отношение части к целому. В математическом контексте пропорция - это утверждение равенства между двумя отношениями; Видеть Пропорциональность (математика), отношение двух переменных, отношение которых постоянно. Смотрите также соотношение сторон, геометрические пропорции.
48. В кудрявый d или же Дельта Якоби.
49. О доказательстве Теорема Вильсона. Disquisitiones Arithmeticae (1801) Статья 76
50. Теория Галуа и Геометрия Галуа назван в его честь.
51. То есть «подмножество» и «надмножество»; Позже это будет переработано Эрнст Шредер.
52. А наука чисел который использует методы из математический анализ решать проблемы с целыми числами.
53. цитируется в Роберт Персиваль Грейвс ' Жизнь сэра Уильяма Роуэна Гамильтона (3 тома, 1882, 1885, 1889)
54. То есть, ${displaystyle abla }$ (или, позже названный дель, ∇)
55. Видеть Гамильтониан (квантовая механика).
56. То есть, ${displaystyle i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1}$
57. Хотя его использование описывает нечто иное, чем то, что сейчас подразумевается под тензором. А именно нормальная работа в алгебраической системе определенного типа (ныне известной как Алгебра Клиффорда ).
58. То есть,
    ${displaystyle t=w+xi+yj+zk,quad w,x,y,zin mathbb {R} }$
    куда
    ${displaystyle ij=ji=k,quad i^{2}=-1,quad j^{2}=+1.}$
59. Это латинское слово «матка».
60. То есть, ${displaystyle q=w+xi+yj+zk}$
61. Клиффорд пересек алгебру с кватернионами Гамильтона, заменив Герман Грассманн правило е_пе_п = 0 по правилу е_пе_п = 1. Подробнее см. внешняя алгебра.
62. Видеть: Фазор, Группа (математика), Скорость сигнала, Полифазная система, Гармонический осциллятор, и Последовательная цепь RLC
63. Или концепция четвертого пространственного измерения. Смотрите также: Пространство-время, объединение времени и пространства как четырехмерного континуум; и, Пространство Минковского, математическая установка специальной теории относительности.
64. Смотрите также: Математические поля и Расширение поля
65. Комментарий после доказательства того, что 1 + 1 = 2, завершенного в Principia mathematica, Альфредом Норт Уайтхедом ... и Бертраном Расселом. Том II, первое издание (1912 г.)
66. Это вызывает вопросы чистые теоремы существования.
67. Пеано Formulario Mathematico, хотя и менее популярный, чем работы Рассела, выдержал пять выпусков. Пятый появился в 1908 году и включал 4200 формул и теорем.
68. Изобретатель теория множеств
69. Трансфинитная арифметика является обобщением элементарная арифметика к бесконечный такие количества, как бесконечные множества; Видеть Трансфинитные числа, Трансфинитная индукция, и Трансфинитная интерполяция. Смотрите также Порядковая арифметика.
70. Такие как Макс Ден, Дж. В. Александер, и другие.
71. Такой как Полином александра.
72. (Немецкий: алгебраическая теория дер Кёрпер)
73. В этой статье Стейниц аксиоматически изучил свойства полей и определил многие важные теоретико-полевые концепции, такие как основное поле, идеальное поле и степень трансцендентности из расширение поля.
74. Индексы варьируются от набор {1, 2, 3},
    ${displaystyle y=sum _{i=1}^{3}c_{i}x^{i}=c_{1}x^{1}+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}}$
    сокращается по соглашению до:
    ${displaystyle y=c_{i}x^{i},.}$
    Верхние индексы не экспоненты но индексы координат, коэффициенты или же базисные векторы.
    Смотрите также: Исчисление Риччи
75. Исчисление Риччи представляет собой правила индексной записи и манипуляции для тензоры и тензорные поля. Смотрите также: Synge J.L .; Шильд А. (1949). Тензорное исчисление. первое издание Dover Publications 1978 года. С. 6–108.
76. Здесь логическая константа - это символ в символической логике, который имеет одинаковое значение во всех моделях, например, символ «=» для «равно».
    А постоянный, в математическом контексте, является число, которое естественно возникает в математике, такой как π или e; Такой математическая константа значение не меняются. Это может означать полином постоянный срок (срок степени 0) или постоянная интеграции, свободный параметр, возникающий при интегрировании.
    В связи с этим физическая постоянная - физическая величина, которую обычно считают универсальной и неизменной. Константы программирования - это значения, которые, в отличие от переменной, не могут быть повторно связаны с другим значением.
77. Хотя не индексный термин, ключевые слова - это термины, которые представляют информацию. Ключевое слово - это слово со специальным значением (это семантическое определение), а синтаксически это терминальные символы в грамматике фраз. Видеть зарезервированное слово для связанной концепции.
78. Большинство этих символов можно найти в пропозициональное исчисление, а формальная система описан как ${displaystyle {mathcal {L}}={mathcal {L}} (mathrm {A} , Omega , mathrm {Z} , mathrm {I} )}$. ${displaystyle mathrm {A} }$ это набор элементов, таких как а в примере с булевой алгеброй выше. ${displaystyle Omega }$ - это набор, содержащий подмножества, содержащие операции, такие как ${displaystyle lor }$ или же ${displaystyle land }$. ${displaystyle mathrm {Z} }$ содержит правила вывода, которые являются правилами, определяющими, как могут быть логически сделаны выводы, и ${displaystyle mathrm {I} }$ содержит аксиомы. Смотрите также: Основные и производные формы аргументов.
79. Обычно обозначается как Икс, у, z, или другие строчные буквы
    Здесь символы, представляющие величину в математическом выражении, математическая переменная как используется во многих науках.
    Переменные могут иметь символическое имя, связанное со значением и связанное с ним значение, которое может быть изменено, известное в информатике как ссылка на переменную. А Переменная также может быть введен в действие способ представления атрибута для дальнейшего обработка данных (например, логический набор атрибутов). Смотрите также: Зависимые и независимые переменные в статистике.
80. Обычно обозначается заглавной буквой, за которой следует список переменных, например P (Икс) или Q (у,z)
    Здесь предикат математической логики, фундаментальная концепция в логике первого порядка. Грамматические предикаты являются грамматическими составляющими предложения.
    Связано это синтаксический предикат в технологии парсера, которые являются руководящими принципами для процесса парсера. В компьютерном программировании предикация ветви позволяет выбрать выполнять или не выполнять данную инструкцию в зависимости от содержимого машинного регистра.
81. Представляя ВСЕ и СУЩЕСТВУЕТ
82. например ∃ для «существует» и ∀ для «для всех»
83. Смотрите также: Диалетеизм, Противоречие, и Парадокс
84. Связанный, шутливый абстрактная чушь описывает определенные виды аргументов и методов, относящихся к теории категорий, которые напоминают комические литературные не связанные с секвитурой устройства (нет нелогичные непоследовательности ).
85. Теоремы Гёделя о неполноте показывает, что Программа Гильберта найти полный и последовательный набор аксиомы для всех математика невозможно, дать оспариваемый отрицательный ответ на Вторая проблема Гильберта
86. Например, возьмем утверждение "Существует номер Икс так что это не у". Используя символы исчисления высказываний, это будет: ${displaystyle (exists x)(x=lnot y)}$.
    Если числа Гёделя заменяют символы, это становится:${displaystyle {8,4,11,9,8,11,5,1,13,9}}$.
    Всего десять чисел, поэтому мы нашли десять простых чисел: ${displaystyle {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29}}$.
    Затем числа Гёделя превращаются в степени соответствующих простых чисел и умножаются, что дает: ${displaystyle 2^{8} imes 3^{4} imes 5^{11} imes 7^{9} imes 11^{8} imes 13^{11} imes 17^{5} imes 19^{1} imes 23^{13} imes 29^{9}}$.
    Полученное число примерно ${displaystyle 3.096262735 imes 10^{78}}$.
87. Уравнение Клейна – Гордона:
    

    ${displaystyle {frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}psi -abla ^{2}psi +{frac {m^{2}c^{2}}{hbar ^{2}}}psi =0.}$

88. Уравнение Дирака в форме, первоначально предложенной Дираком:
    

    ${displaystyle left(eta mc^{2}+sum _{k=1}^{3}alpha _{k}p_{k},cight)psi (mathbf {x} ,t)=ihbar {frac {partial psi (mathbf {x} ,t)}{partial t}}}$

    
    куда, ψ = ψ (Икс, т) это волновая функция для электрон, Икс и т - координаты пространства и времени, м это масса покоя электрона, п это импульс, понимается как оператор импульса в Теория Шредингера, c это скорость света, и час = час/2π сокращенный Постоянная Планка.
89. То есть,
    

    ${displaystyle partial _{mu }(partial ^{mu }A^{u }-partial ^{u }A^{mu })+left({frac {mc}{hbar }}ight)^{2}A^{u }=0}$

90. Теорема применима в более общем плане к любой достаточно сильной формальной системе, показывая, что истина в стандартной модели системы не может быть определена внутри системы.
91. Назван в честь работы Фойгта 1898 года.
92. Названный в честь Артур Мориц Шенфлис
93. Видеть Связи Галуа.
94. Ойстейн Оре также написал бы "Теория чисел и ее история ".
95. ${displaystyle langle phi |psi angle }$
96. Что амплитуду рассеяния можно рассматривать как аналитическую функцию углового момента, и что положение полюсов определяет степенные темпы роста амплитуды в чисто математической области больших значений косинуса угла рассеяния.
97. То есть, ${displaystyle scriptstyle Box }$
98. Также известен как д'Аламбертиан или же волновой оператор.
99. Также известный как, "символ перестановки " (видеть: перестановка ), "антисимметричный символ " (видеть: антисимметричный ), или же "переменный символ "
100. Обратите внимание, что "массы "(например, когерентная неопределенная форма тела) частицы периодически переоценен посредством научное сообщество. Значения могли быть скорректированы; корректирование по операциям, проводимым с приборами, чтобы обеспечить заданные показания, соответствующие заданным значениям измеряемая величина. В инженерии, математике и геодезии оптимальные параметр такая оценка математическая модель с тем чтобы наиболее подходящий а набор данных.
101. Для консенсус, видеть Группа данных о частицах.
102. Локально определенный набор из четырех линейно независимых векторные поля называется тетрада
103. Он использовал суммирование Эйнштейна для того, чтобы компенсировать неудобство при описании схватки и ковариантное дифференцирование в современной абстрактной тензорной нотации, сохраняя при этом явное ковариация используемых выражений.
104. Смотрите также: Пейзаж теории струн и Болото
105. Разработано Джошуа Ледерберг и продлен Coxeter и Frucht
106. А в 1938 г. Тьюринг, А. М. (1938). «О вычислимых числах в приложении к Entscheidungsproblem. Исправление». Труды Лондонского математического общества. s2-43: 544–546. Дои:10.1112 / плмс / с2-43.6.544..
107. Среди других работ фон Неймана - применение теория операторов к квантовая механика, в развитии функциональный анализ, и на различных формах теория операторов.

Ссылки и цитаты

Общий

• Флориан Каджори (1929) История математических обозначений, 2 тт. Отпечаток Dover в 1 т., 1993. ISBN  0-486-67766-4.

Цитаты

1. Флориан Каджори. История математических обозначений: два тома в одном. Cosimo, Inc., 1 декабря 2011 г.
2. Словарь науки, литературы и искусства, Том 2. Под редакцией Уильям Томас Бранде, Джордж Уильям Кокс. Стр. 683
3. «Обозначение - из Wolfram MathWorld». Mathworld.wolfram.com. Получено 24 июн 2014.
4. Диофант Александрийский: исследование по истории греческой алгебры. Сэр Томас Литтл Хит. Стр. 77.
5. Математика: ее сила и полезность. Карл Дж. Смит. Стр. 86.
6. Коммерческая революция и зарождение западной математики в эпоху Возрождения Флоренция, 1300–1500. Уоррен Ван Эгмонд. 1976. С. 233.
7. Соломон Гандз. "Источники алгебры аль-Ховаризми"
8. Encyclopdia Americana. Томас Гамалиэль Брэдфорд. Стр. 314
9. Математический экскурс, расширенное издание: расширенное издание с веб-назначением Ричард Н. Ауфманн, Джоанн Локвуд, Ричард Д. Нейшн, Дэниел К. Клег. Стр. 186
10. Математика в Египте и Месопотамии^{[мертвая ссылка ]}
11. Бойер, К. История математики, 2-е изд. rev. к Ута К. Мерцбах. Нью-Йорк: Уайли, 1989. ISBN  0-471-09763-2 (1991 г., изд. ISBN  0-471-54397-7). «Месопотамия» с. 25.
12. Дункан Дж. Мелвилл (2003). Хронология третьего тысячелетия, Математика третьего тысячелетия. Университет Святого Лаврентия.
13. Aaboe, Asger (1998). Эпизоды из ранней истории математики. Нью-Йорк: Random House. С. 30–31.
14. Хит (1931). «Учебное пособие по греческой математике». Природа. 128 (3235): 5. Bibcode:1931Натура.128..739Т. Дои:10.1038 / 128739a0. S2CID  3994109.
15. Сэр Томас Л. Хит, Учебное пособие по греческой математике, Довер, 1963, стр. 1: «В случае математики наиболее важно знать вклад Греции, поскольку именно греки сделали математику наукой».
16. Новая энциклопедия; или Универсальный словарь искусств и наук. Энциклопедия Perthensi. Стр. 49
17. Calinger, Рональд (1999). Контекстная история математики. Прентис-Холл. п. 150. ISBN  0-02-318285-7. Вскоре после Евклида, составителя окончательного учебника, пришел Архимед Сиракузский (ок. 287 212 до н.э.), самый оригинальный и глубокий математик древности.
18. «Архимед Сиракузский». Архив истории математики MacTutor. Январь 1999. Получено 9 июн 2008.
19. О'Коннор, Дж. Дж .; Робертсон, Э. Ф. (февраль 1996 г.). «История математического анализа». Сент-Эндрюсский университет. В архиве из оригинала 15 июля 2007 г.. Получено 7 августа 2007.
20. "Резюме Прокла". Gap.dcs.st-and.ac.uk. Архивировано из оригинал 23 сентября 2015 г.. Получено 24 июн 2014.
21. Колдуэлл, Джон (1981) "The De Institutione Arithmetica и De Institutione Musica", стр. 135–54 в Маргарет Гибсон, изд., Боэций: его жизнь, мысли и влияние, (Оксфорд: Бэзил Блэквелл).
22. Фолькертс, Менсо, "Боэций" Геометрия II, (Висбаден: Franz Steiner Verlag, 1970).
23. Математика и измерения Освальд Эштон Вентворт Дилк. Стр. 14
24. Словарь науки, литературы и искусства, изд. пользователя W.T. Brande. Стр. 683
25. Бойер, Карл Б. История математики, 2-е издание, John Wiley & Sons, Inc., 1991.
26. Диофантовы уравнения. Представлено: Аароном Церхузеном, Крисом Рейксом и Шастой Мис. МА 330-002. Доктор Карл Эберхарт. 16 февраля 1999 г.
27. История греческой математики: от Аристарха до Диофанта. Сэр Томас Литтл Хит. Стр. 456
28. История греческой математики: от Аристарха до Диофанта. Сэр Томас Литтл Хит. Стр. 458
29. The American Mathematical Monthly, том 16. Стр. 131
30. «Обзор китайской математики». Группы.dcs.st-and.ac.uk. Получено 24 июн 2014.
31. Джордж Гевергезе Джозеф, Герб Павлина: неевропейские корни математики, Penguin Books, Лондон, 1991, стр.140-148.
32. Жорж Ифра, Universalgeschichte der Zahlen, Campus, Франкфурт / Нью-Йорк, 1986, стр. 428–437.
33. "Фрэнк Дж. Свец и Т. И. Као: Был ли Пифагор китайцем?". Psupress.psu.edu. Получено 24 июн 2014.
34. Нидхэм, Джозеф (1986). Наука и цивилизация в Китае: Том 3, Математика и науки о Небесах и Земле. Тайбэй: Caves Books, Ltd.
35. Сал Рестиво
36. Нидхэм, Джозеф (1986). Наука и цивилизация в Китае: Том 3, Математика и науки о Небесах и Земле. Тайбэй: Caves Books, Ltd.
37. Марсель Гоше, 151.
38. Бойер, К. Б. История математики, 2-е изд. rev. пользователя Uta C. Merzbach. Нью-Йорк: Уайли, 1989. ISBN  0-471-09763-2 (1991 г., изд. ISBN  0-471-54397-7). «Китай и Индия» с. 221. (ср., "Он был первым, кто дал Общее решение линейного диофантова уравнения ax + by = c, где a, b и c - целые числа. [...] Большая заслуга Брахмагупты в том, что он дал все интегральные решения линейного диофантова уравнения, тогда как сам Диофант удовлетворился тем, что дал одно частное решение неопределенного уравнения. Поскольку Брахмагупта использовал некоторые из тех же примеров, что и Диофант, мы снова видим вероятность греческого влияния в Индии - или возможность того, что они оба использовали общий источник, возможно, из Вавилонии. Интересно также отметить, что алгебра Брахмагупты, как и алгебра Диофанта, была синкопирована. Сложение обозначалось сопоставлением, вычитание - помещением точки над вычитаемым, а деление - помещением делителя под делимым, как в нашей дробной системе счисления, но без черты. Операции умножения и эволюции (извлечения корней), а также неизвестные величины были представлены сокращениями соответствующих слов. ")
39. Роберт Каплан, «Ничто, что есть: естественная история нуля», Аллен Лейн / Penguin Press, Лондон, 1999
40. ""Гениальный метод выражения всех возможных чисел с помощью набора из десяти символов (каждый символ имеет разрядное значение и абсолютное значение) появился в Индии. В наши дни идея кажется настолько простой, что ее значимость и глубокая важность больше не осознаются. Его простота заключается в том, что он упрощает вычисления и ставит арифметику на первое место среди полезных изобретений. Важность этого изобретения легче понять, если учесть, что оно превосходило двух величайших людей античности, Архимеда и Аполлония ». Пьер-Симон Лаплас». History.mcs.st-and.ac.uk. Получено 24 июн 2014.
41. А. П. Юшкевич, "Geschichte der Mathematik im Mittelalter", Тойбнер, Лейпциг, 1964 г.
42. Бойер, К. Б. История математики, 2-е изд. rev. пользователя Uta C. Merzbach. Нью-Йорк: Уайли, 1989. ISBN  0-471-09763-2 (1991 г., изд. ISBN  0-471-54397-7). «Арабская гегемония» с. 230. (см. «Шесть случаев приведенных выше уравнений исчерпывают все возможности для линейных и квадратных уравнений, имеющих положительный корень. Изложение аль-Хваризми было настолько систематическим и исчерпывающим, что его читатели, должно быть, не испытывали особых трудностей в освоении решений»).
43. Гандз и Саломан (1936), Истоки алгебры Хорезми, Osiris i, pp. 263–77: «В некотором смысле Хорезми имеет больше прав называться« отцом алгебры », чем Диофант, потому что Хорезми первым преподает алгебру в элементарной форме, а Диофант - это ради нее самого. в первую очередь занимается теорией чисел ».
44. Бойер, К. Б. История математики, 2-е изд. rev. пользователя Uta C. Merzbach. Нью-Йорк: Уайли, 1989. ISBN  0-471-09763-2 (1991 г., изд. ISBN  0-471-54397-7). «Арабская гегемония» с. 229. (ср .: «Неясно, какие термины Аль-Джабр и мукабала означает, но обычная интерпретация аналогична той, что подразумевается в переводе выше. Слово Аль-Джабр предположительно означал что-то вроде «восстановление» или «завершение» и, кажется, относился к переносу вычтенных членов на другую сторону уравнения; слово мукабала относится к "сокращению" или "уравновешиванию", то есть к отмене одинаковых членов в противоположных частях уравнения ").
45. Rashed, R .; Армстронг, Анджела (1994). Развитие арабской математики. Springer. С. 11–12. ISBN  0-7923-2565-6. OCLC  29181926.
46. Виктор Дж. Кац (1998). История математики: введениеС. 255–59. Эддисон-Уэсли. ISBN  0-321-01618-1.
47. Ф. Вопке (1853). Extrait du Fakhri, traité d'Algèbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi. Париж.
48. Кац, Виктор Дж. (1995). «Идеи исчисления в исламе и Индии». Математический журнал. 68 (3): 163–74. Дои:10.1080 / 0025570X.1995.11996307.
49. Куницш, Пол (2003), «Передача индусско-арабских цифр в новом свете» в J. P. Hogendijk; А. И. Сабра (ред.), Предприятие науки в исламе: новые перспективы, MIT Press, стр. 3–22 (12–13), ISBN  978-0-262-19482-2
50. Мари-Тереза ​​д'Алверни, «Переводы и переводчики», стр. 421–62 в Роберте Л. Бенсоне и Джайлсе Констебле, Возрождение и обновление в XII веке, (Кембридж: издательство Гарвардского университета, 1982).
51. Гай Божуан, "Преобразование квадривиума", стр. 463–87 в Роберте Л. Бенсоне и Джайлсе Констебле, Возрождение и обновление в XII веке, (Кембридж: издательство Гарвардского университета, 1982).
52. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., "аль-Марракуши ибн аль-Банна", Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
53. Гуллберг, Ян (1997). Математика: от рождения чисел. W. W. Norton. п.298. ISBN  0-393-04002-X.
54. О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф., "Абу'л Хасан ибн Али аль Каласади", Архив истории математики MacTutor, Сент-Эндрюсский университет.
55. Бойер, К. Б. История математики, 2-е изд. rev. пользователя Uta C. Merzbach. Нью-Йорк: Уайли, 1989. ISBN  0-471-09763-2 (1991 г., изд. ISBN  0-471-54397-7). «Возрождение и упадок греческой математики» с. 178 (см. «Главное отличие диофантова синкопии от современной алгебраической записи - отсутствие специальных символов для операций и отношений, а также экспоненциальной записи»).
56. Грант, Эдвард и Джон Э. Мердок (1987), ред., Математика и ее приложения в науке и естественной философии в средние века, (Кембридж: издательство Кембриджского университета) ISBN  0-521-32260-X.
57. Математический журнал, Том 1. Артемас Мартин, 1887. Страница 124
58. Der Algorismus пропорциональный дез Николаус Орем: Zum ersten Male nach der Lesart der Handschrift R.40.2. der Königlichen Gymnasial-bibliothek zu Thorn. Николь Орем. С. Голгофа и компания, 1868 г.
59. Клагетт, Маршалл (1961) Наука механики в средние века(Мэдисон: University of Wisconsin Press), стр. 332–45, 382–91.
60. Потом ранний модерн версия: Новая система меркантильной арифметики: Адаптировано к коммерции Соединенных Штатов, в их внутренних и внешних отношениях с формами счетов и другими письменными документами, обычно встречающимися в торговле. К Майкл Уолш. Эдмунд М. Блант (собственник), 1801.
61. Миллер, Джефф (4 июня 2006 г.). «Самые ранние виды использования символов операции». Средняя школа Персидского залива. Получено 24 сентября 2006.
62. Арифметические книги от изобретения печати до наших дней. К Огастес Де Морган. п 2.
63. Граттан-Гиннесс, Айвор (1997). Радуга математики: история математических наук. W.W. Нортон. ISBN  0-393-32030-8.
64. Арифметика интегра. К Майкл Стифель, Филипп Меланхтон. Norimbergæ: Апуд Иоан Петрейум, 1544.
65. История математики Энн Роун. Стр. 40
66. Воспоминания Джона Напьера из Мерчистона. Марк Напье
67. Рассказ о жизни, писаниях и изобретениях Джона Напьера из Мерчистона. Дэвид Стюарт Эрскин, граф Бьюкен, Уолтер Минто
68. Флориан Каджори (1919). История математики. Макмиллан. п.157.
69. Ян Гуллберг, Математика с рождения чисел, W. W. Norton & Company; ISBN  978-0-393-04002-9. стр. 963–965,
70. Synopsis Palmariorum Matheseos. К Уильям Джонс. 1706. (Альтернативный вариант: Synopsis Palmariorum Matheseos: или новое введение в математику. archive.org.)
71. Когда меньше значит больше: визуализация основных неравенств. Клауди Альсина, Роджер Б. Нелсе. Стр. 18.
72. Эйлер, Леонард, Решение проблемы с геометрией situs pertinentis
73. Элементы геометрии. Уильям Эмерсон
74. Доктрина пропорции, арифметической и геометрической. Вместе с общим методом пропорционального распределения. Уильям Эмерсон.
75. Математический корреспондент. Джордж Барон. 83
76. Витулли, Мари. «Краткая история линейной алгебры и теории матриц». Кафедра математики. Университет Орегона. Архивировано из оригинал 10 сентября 2012 г.. Получено 24 января 2012.
77. "Биография Крампа". History.mcs.st-and.ac.uk. Получено 24 июн 2014.
78. Mécanique analytique: Том 1, Том 2. К Жозеф Луи Лагранж. РС. Ve Courcier, 1811.
79. Собрание математических работ Артура Кэли. Том 11. Стр. 243.
80. Историческая энциклопедия естественных и математических наук, том 1. Ари Бен-Менахем. Стр. 2070.
81. Витулли, Мари. «Краткая история линейной алгебры и теории матриц». Кафедра математики. Университет Орегона. Первоначально по адресу: darkwing.uoregon.edu/~vitulli/441.sp04/LinAlgHistory.html.
82. Слова математики. Стивен Шварцман. 6.
83. Электро-магнетизм: теория и приложения. Автор А. Праманик. 38
84. История Наблы и других математических символов. homepages.math.uic.edu/~hanson.
85. Гамильтон, Уильям Роуэн (1854–1855). Уилкинс, Дэвид Р. (ред.). "О некоторых расширениях кватернионов" (PDF). Философский журнал (7–9): 492–499, 125–137, 261–269, 46–51, 280–290. ISSN  0302-7597.
86. "Джеймс Клерк Максвелл". Сеть глобальной истории IEEE. Получено 25 марта 2013.
87. Максвелл, Джеймс Клерк (1865). «Динамическая теория электромагнитного поля» (PDF). Философские труды Лондонского королевского общества. 155: 459–512. Bibcode:1865РСПТ..155..459С. Дои:10.1098 / рстл.1865.0008. S2CID  186207827. (Эта статья сопровождала выступление Максвелла 8 декабря 1864 г. перед Королевским обществом.)
88. Книги I, II, III (1878) на Интернет-архив; Книга IV (1887) на Интернет-архив
89. Кокс, Дэвид А. (2012). Теория Галуа. Чистая и прикладная математика. 106 (2-е изд.). Джон Вили и сыновья. п. 348. ISBN  978-1118218426.
90. «ТЮБИТАК УЛАКБИМ ДергиПарк». Journals.istanbul.edu.tr. Архивировано из оригинал 16 марта 2014 г.. Получено 24 июн 2014.
91. "Линейная алгебра: Хусейн Тевфик: Бесплатная загрузка и потоковая передача: Интернет-архив". А.Х. Бояджян. 1882 г.. Получено 24 июн 2014.
92. Риччи Курбастро, Г. (1892). "Résumé de quelques travaux sur les systèmes variables de fonctions associés à une form différentielle quadratique". Bulletin des Sciences Mathématiques. 2 (16): 167–189.
93. Войт, Вольдемар (1898). Die Fundmentalen Physikalischen Eigenschaften der Krystalle в elementarer Darstellung. Лейпциг: фон Файт.
94. Пуанкаре, Анри, "Analysis situs", Journal de l'École Polytechnique ser 2, 1 (1895), стр. 1–123
95. Уайтхед, Джон Б. младший (1901). "Рассмотрение: Явления переменного токаК. П. Штейнмеца " (PDF). Бык. Амер. Математика. Soc. 7 (9): 399–408. Дои:10.1090 / s0002-9904-1901-00825-7.
96. Есть много редакций. Вот два:
    • (Французский) Опубликовано в 1901 году Готье-Вилларом, Париж. 230p. OpenLibrary OL15255022W, PDF.
    • (Итальянский) Опубликовано в 1960 году издательством Edizione cremonese, Roma. 463п. OpenLibrary OL16587658M.
97. Риччи, Грегорио; Леви-Чивита, Туллио (март 1900 г.), "Абсолютные методы расчета и других приложений", Mathematische Annalen, Спрингер, 54 (1–2): 125–201, Дои:10.1007 / BF01454201, S2CID  120009332
98. Цермело, Эрнст (1904). "Beweis, dass jede Menge wohlgeordnet werden kann" (перепечатка). Mathematische Annalen. 59 (4): 514–16. Дои:10.1007 / BF01445300. S2CID  124189935.
99. О динамике электрона (июль)  - через Wikisource.
100. Фреше, Морис, "Sur quelques points du Calcul fonctionnel", докторская диссертация, 1906 г.
101. Катберт Эдмунд Каллис (автор) (5 июня 2011 г.). "Матрицы и детерминиды Том 2: Катберт Эдмунд Каллис: Amazon.com: Книги". Получено 24 июн 2014.
102. Может быть назначена заданная матрица: Насчет класса матриц. (Gr. Ueber eine Klasse von Matrizen: die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen.) Исай Шур
103. Введение в современную теорию уравнений. Флориан Каджори.
104. Известия Прусской академии наук (1918 г.). Стр.966.
105. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften (1918) (Тр. Известия Прусской Академии наук (1918)). archive.org; Смотрите также: Теория Калуцы – Клейна.
106. J.A. Уиллер; К. Миснер; К.С. Торн (1973). Гравитация. W.H. Freeman & Co., стр.85 –86, §3.5. ISBN  0-7167-0344-0.
107. Р. Пенроуз (2007). Дорога к реальности. Винтажные книги. ISBN  978-0-679-77631-4.
108. Схоутен, Ян А. (1924). Р. Курант (ред.). Der Ricci-Kalkül - Eine Einführung in die neueren Methoden und Probleme der mehrdimensionalen Differentialgeometrie (Исчисление Риччи - Введение в новейшие методы и проблемы многомерной дифференциальной геометрии). Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (на немецком языке). 10. Берлин: Springer Verlag.
109. Роберт Б. Эш. Учебник по абстрактной математике. Cambridge University Press, 1 января 1998 г.
110. Новый американский энциклопедический словарь. Под редакцией Эдварда Томаса Роу, Ле Роя Хукера, Томаса У. Хэндфорда. Стр. 34
111. Математические основы естественной философии, том 1. Сэр Исаак Ньютон, Джон Мачин. Стр.12.
112. В "Научном мировоззрении" (1931)
113. Математика упростилась и сделалась привлекательной: или, объяснение законов движения. Томас Фишер. Стр. 15. (ср. Но абстракция, не основанная и не созвучная Природа и (Логический ) Правда, будет фальшь, безумие.)
114. Предложение VI, О формально неразрешимых предложениях в Principia Mathematica и связанные системы I (1931)
115. Касти, Джон Л. 5 золотых правил. Нью-Йорк: MJF Books, 1996.
116. Gr. Methoden Der Mathematischen Physik
117. P.A.M. Дирак (1927). «Квантовая теория излучения и поглощения излучения». Труды Лондонского королевского общества A. 114 (767): 243–265. Bibcode:1927RSPSA.114..243D. Дои:10.1098 / RSPA.1927.0039.
118. Э. Ферми (1932). «Квантовая теория излучения». Обзоры современной физики. 4 (1): 87–132. Bibcode:1932РвМП .... 4 ... 87Ф. Дои:10.1103 / RevModPhys.4.87.
119. Ф. Блох; А. Нордзик (1937). «Заметка о радиационном поле электрона». Физический обзор. 52 (2): 54–59. Bibcode:1937ПхРв ... 52 ... 54Б. Дои:10.1103 / PhysRev.52.54.
120. В. Ф. Вайскопф (1939). «О собственной энергии и электромагнитном поле электрона». Физический обзор. 56 (1): 72–85. Bibcode:1939PhRv ... 56 ... 72Вт. Дои:10.1103 / PhysRev.56.72.
121. Р. Оппенгеймер (1930). «Заметка о теории взаимодействия поля и материи». Физический обзор. 35 (5): 461–477. Bibcode:1930PhRv ... 35..461O. Дои:10.1103 / PhysRev.35.461.
122. Van der Waerden B.L. (1929). «Спиноранализ». Nachr. Ges. Wiss. Göttingen Math.-Phys. 1929: 100–109.
123. Веблен О. (1933). «Геометрия двухкомпонентных спиноров». Proc. Natl. Акад. Sci. Соединенные Штаты Америки. 19 (4): 462–474. Bibcode:1933ПНАС ... 19..462В. Дои:10.1073 / пнас.19.4.462. ЧВК  1086023. PMID  16577541.
124. П. А. Дирак (1939). «Новые обозначения для квантовой механики». Математические труды Кембриджского философского общества. 35 (3). С. 416–418. Bibcode:1939PCPS ... 35..416D. Дои:10.1017 / S0305004100021162.
125. Х. Грассманн (1862). Теория расширений. История источников математики. Американское математическое общество, Лондонское математическое общество, 2000 перевод Ллойда К. Канненберга.
126. Стивен Вайнберг (1964), Квантовая теория полей, Том 2, Cambridge University Press, 1995, стр. 358, ISBN  0-521-55001-7
127. "Нобелевская премия по физике 1965 г.". Нобелевский фонд. Получено 9 октября 2008.
128. S.L. Глэшоу (1961). «Частичные симметрии слабых взаимодействий». Ядерная физика. 22 (4): 579–588. Bibcode:1961NucPh..22..579G. Дои:10.1016/0029-5582(61)90469-2.
129. С. Вайнберг (1967). «Модель лептонов». Письма с физическими проверками. 19 (21): 1264–1266. Bibcode:1967PhRvL..19.1264W. Дои:10.1103 / PhysRevLett.19.1264.
130. А. Салам (1968). Н. Свартхольм (ред.). Физика элементарных частиц: релятивистские группы и аналитичность. Восьмой Нобелевский симпозиум. Стокгольм: Альмквист и Викселл. п. 367.
131. Ф. Энглерт; Р. Браут (1964). «Нарушенная симметрия и масса калибровочных векторных мезонов». Письма с физическими проверками. 13 (9): 321–323. Bibcode:1964ПхРвЛ..13..321Э. Дои:10.1103 / PhysRevLett.13.321.
132. П.В. Хиггс (1964). «Нарушенные симметрии и массы калибровочных бозонов». Письма с физическими проверками. 13 (16): 508–509. Bibcode:1964ПхРвЛ..13..508Х. Дои:10.1103 / PhysRevLett.13.508.
133. Гуральник Г.С. C.R. Hagen; T.W.B. Киббл (1964). «Глобальные законы сохранения и безмассовые частицы». Письма с физическими проверками. 13 (20): 585–587. Bibcode:1964ПхРвЛ..13..585Г. Дои:10.1103 / PhysRevLett.13.585.
134. http://www.physics.drexel.edu/~vkasli/phys676/Notes%20for%20a%20brief%20history%20of%20quantum%20gravity%20-%20Carlo%20Rovelli.pdf
135. Бурбаки, Николас (1972). "Универс". В Майкл Артин; Александр Гротендик; Жан-Луи Вердье (ред.). Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1963-64 - Théorie des topos et cohomologie étale des schémas - (SGA 4) - vol. 1 (Конспекты лекций по математике 269) (На французском). Берлин; Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 185–217.
136. Ф.Дж. Хазерт; и другие. (1973). «Поиски упругого рассеяния электронов мюон-нейтрино». Письма по физике B. 46 (1): 121. Bibcode:1973ФЛБ ... 46..121Н. Дои:10.1016/0370-2693(73)90494-2.
137. Ф.Дж. Хазерт; и другие. (1973). «Наблюдение нейтриноподобных взаимодействий без мюона или электрона в нейтринном эксперименте Гаргамеля». Письма по физике B. 46 (1): 138. Bibcode:1973ФЛБ ... 46..138Н. Дои:10.1016/0370-2693(73)90499-1.
138. Ф.Дж. Хазерт; и другие. (1974). «Наблюдение нейтриноподобных взаимодействий без мюона или электрона в нейтринном эксперименте Гаргамеля». Ядерная физика B. 73 (1): 1. Bibcode:1974НуФБ..73 .... 1Ч. Дои:10.1016/0550-3213(74)90038-8.
139. Д. Хайдт (4 октября 2004 г.). «Открытие слабых нейтральных токов». ЦЕРН Курьер. Получено 8 мая 2008.
140. "Главная страница".
141. Канделас, П. (1985). «Вакуумные конфигурации для суперструн». Ядерная физика B. 258: 46–74. Bibcode:1985НуФБ.258 ... 46С. Дои:10.1016/0550-3213(85)90602-9.
142. De Felice, F .; Кларк, C.J.S. (1990), Относительность на искривленных многообразиях, п. 133
143. "Квантовые инварианты узлов и трехмерных многообразий" В. Г. Тураева (1994), стр. 71
144. Писанский, Томаж; Серватиус, Бриджит (2013), «2.3.2 Кубические графы и нотация LCF», Конфигурации с графической точки зрения, Springer, стр. 32, ISBN  9780817683641
145. Фрухт, Р. (1976), "Каноническое представление трехвалентных гамильтоновых графов", Журнал теории графов, 1 (1): 45–60, Дои:10.1002 / jgt.3190010111
146. Fraleigh 2002: 89; Хангерфорд 1997: 230
147. Ден, Эдгар. Алгебраические уравнения, Дувр. 1930: 19
148. "Ударник умножения IBM 601". Columbia.edu. Получено 24 июн 2014.
149. «Связанное оборудование для перфокарт». Columbia.edu. 24 октября 1935 г.. Получено 24 июн 2014.
150. Труды Лондонского математического общества 42 (2)
151. Повар, Стивен (1971). «Сложность процедур доказательства теорем». Материалы третьего ежегодного симпозиума ACM по теории вычислений. С. 151–158.

дальнейшее чтение

Общий

• Краткое изложение истории математики. К Уолтер Уильям Роуз Болл.
• Букварь по истории математики. Уолтер Уильям Роуз Болл.
• История элементарной математики: С советами по методам обучения. Флориан Каджори.
• История элементарной математики. Флориан Каджори.
• История математики. Флориан Каджори.
• Краткая история греческой математики. К Джеймс Гоу.
• О развитии математической мысли в девятнадцатом веке. К Джон Теодор Мерц.
• Новый математико-философский словарь. Питер Барлоу.
• Историческое введение в математическую литературу. К Джордж Абрам Миллер
• Краткая история математики. К Карл Финк, Вустер Вудрафф Беман, Дэвид Юджин Смит
• История современной математики. Дэвид Юджин Смит.
• История современной математики. Дэвид Юджин Смит, Мэнсфилд Мерриман.

Другой

• Principia Mathematica, Том 1 & Том 2. Альфред Норт Уайтхед, Бертран Рассел.
• Математические основы естественной философии, Том 1, Выпуск 1. Сэр Исаак Ньютон, Эндрю Мотт, Уильям Дэвис, Джон Мачин, Уильям Эмерсон.
• Общие исследования криволинейных поверхностей 1827 и 1825 гг.. Карл Фридрих Гаус.

внешняя ссылка

• Математическая нотация: прошлое и будущее
• История математических обозначений
• Самые ранние виды использования математических обозначений
• Подсчет пальцев. files.chem.vt.edu.
• Некоторые общеупотребительные математические символы и сокращения (с историей). Исайя Лэнкхэм, Бруно Нахтергаэле, Энн Шиллинг.