Гамильтониан (квантовая механика) - Hamiltonian (quantum mechanics)

В квантовая механика, то Гамильтониан системы - это оператор соответствует полной энергии этой системы, включая оба кинетическая энергия и потенциальная энергия. Его спектр, система энергетический спектр или его набор собственные значения энергии, - это набор возможных результатов, получаемых при измерении полной энергии системы. Из-за его тесной связи с энергетическим спектром и эволюция во времени системы, это имеет фундаментальное значение в большинстве формулировки квантовой теории.

Гамильтониан назван в честь Уильям Роуэн Гамильтон, который разработал революционную переформулировку Ньютоновская механика, известный как Гамильтонова механика, что было исторически важно для развития квантовой физики. Похожий на векторные обозначения, обычно обозначается ${\displaystyle {\hat {H}}}$, где шляпа означает, что это оператор. Его также можно записать как ${\displaystyle <H>}$ в обозначение бюстгальтера или как ${\displaystyle H}$ или же ${\displaystyle {\check {H}}}$.

Вступление

Основная статья: Оператор (физика) § Операторы в квантовой механике

Гамильтониан системы - это сумма кинетических энергий всех частиц плюс потенциальная энергия частиц, связанных с системой. Гамильтониан принимает различные формы и в некоторых случаях может быть упрощен, принимая во внимание конкретные характеристики анализируемой системы, такие как одна или несколько частиц в системе, взаимодействие между частицами, вид потенциальной энергии, изменяющийся во времени потенциал или не зависящий от времени. один.

Гамильтониан Шредингера

Одна частица

По аналогии с классическая механика, гамильтониан обычно выражается как сумма операторы соответствующий кинетический и потенциал энергии системы в виде

${\displaystyle {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}},}$

куда

${\displaystyle {\hat {V}}=V=V(\mathbf {r} ,t),}$

это потенциальная энергия оператор и

${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2},}$

это кинетическая энергия оператор, в котором ${\displaystyle m}$ это масса частицы точка обозначает скалярное произведение векторов и

${\displaystyle {\hat {p}}=-i\hbar \nabla ,}$

это оператор импульса где ${\displaystyle \nabla }$ это дель оператор. В скалярное произведение из ${\displaystyle \nabla }$ сам с собой Лапласиан ${\displaystyle \nabla ^{2}}$. В трех измерениях с использованием Декартовы координаты оператор Лапласа

${\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z}^{2}}}}$

Хотя это не техническое определение Гамильтониан в классической механике, это форма, которую он принимает чаще всего. Объединение этих результатов дает знакомую форму, используемую в Уравнение Шредингера:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&={\hat {T}}+{\hat {V}}\\[6pt]&={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}+V(\mathbf {r} ,t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)\end{aligned}}}$

что позволяет применять гамильтониан к системам, описываемым волновая функция ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} ,t)}$. Это подход, обычно используемый во вводных курсах квантовой механики с использованием формализма волновой механики Шредингера.

Можно также сделать замены в определенных переменных, чтобы соответствовать конкретным случаям, например, с использованием электромагнитных полей.

Многие частицы

Формализм можно расширить до ${\displaystyle N}$ частицы:

${\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}}$

куда

${\displaystyle {\hat {V}}=V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t),}$

- функция потенциальной энергии, теперь функция пространственной конфигурации системы и времени (конкретный набор пространственных положений в некоторый момент времени определяет конфигурацию) и;

${\displaystyle {\hat {T}}_{n}={\frac {\mathbf {p} _{n}\cdot \mathbf {p} _{n}}{2m_{n}}},}$

- оператор кинетической энергии частицы ${\displaystyle n}$, и ${\displaystyle \nabla _{n}}$ градиент для частицы ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle \nabla _{n}^{2}}$ - лапласиан для частицы с использованием координат:

${\displaystyle \nabla _{n}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y_{n}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z_{n}^{2}}},}$

Комбинируя эти результаты, получаем гамильтониан Шредингера для ${\displaystyle N}$-частичный случай:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=\sum _{n=1}^{N}{\hat {T}}_{n}+{\hat {V}}\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{N}{\frac {\mathbf {\hat {p}} _{n}\cdot \mathbf {\hat {p}} _{n}}{2m_{n}}}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\\[6pt]&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{m_{n}}}\nabla _{n}^{2}+V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N},t)\end{aligned}}}$

Однако могут возникнуть осложнения в проблема многих тел. Поскольку потенциальная энергия зависит от пространственного расположения частиц, кинетическая энергия также будет зависеть от пространственной конфигурации для сохранения энергии. Движение любой частицы будет изменяться из-за движения всех других частиц в системе. По этой причине в гамильтониане могут появиться перекрестные члены для кинетической энергии; смесь градиентов для двух частиц:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2M}}\nabla _{i}\cdot \nabla _{j}}$

куда ${\displaystyle M}$ обозначает массу совокупности частиц, приводящую к этой дополнительной кинетической энергии. Условия этой формы известны как условия массовой поляризации, и входят в гамильтониан многих электронных атомов (см. ниже).

За ${\displaystyle N}$ взаимодействующие частицы, то есть частицы, которые взаимодействуют друг с другом и образуют многочастичную ситуацию, функция потенциальной энергии ${\displaystyle V}$ является нет просто сумма отдельных потенциалов (и, конечно, не продукт, поскольку это неверно по размерам). Функцию потенциальной энергии можно записать только так, как указано выше: функцию всех пространственных положений каждой частицы.

Для невзаимодействующих частиц, то есть частиц, которые не взаимодействуют друг с другом и движутся независимо, потенциал системы представляет собой сумму отдельной потенциальной энергии для каждой частицы,^[1] то есть

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{N}V(\mathbf {r} _{i},t)=V(\mathbf {r} _{1},t)+V(\mathbf {r} _{2},t)+\cdots +V(\mathbf {r} _{N},t)}$

Общий вид гамильтониана в этом случае:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+\sum _{i=1}^{N}V_{i}\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{i}}}\nabla _{i}^{2}+V_{i}\right)\\[6pt]&=\sum _{i=1}^{N}{\hat {H}}_{i}\end{aligned}}}$

где сумма берется по всем частицам и их соответствующим потенциалам; в результате гамильтониан системы представляет собой сумму отдельных гамильтонианов для каждой частицы. Это идеализированная ситуация - на практике частицы почти всегда находятся под влиянием некоторого потенциала, и существуют взаимодействия многих тел. Один наглядный пример взаимодействия двух тел, в котором эта форма неприменима, - это электростатические потенциалы, обусловленные заряженными частицами, поскольку они взаимодействуют друг с другом посредством кулоновского взаимодействия (электростатическая сила), как показано ниже.

Уравнение Шредингера

Основная статья: Уравнение Шредингера

Гамильтониан генерирует временную эволюцию квантовых состояний. Если ${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle }$ состояние системы во время ${\displaystyle t}$, тогда

${\displaystyle H\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle .}$

Это уравнение является Уравнение Шредингера. Он имеет ту же форму, что и Уравнение Гамильтона – Якоби, что является одной из причин ${\displaystyle H}$ также называется гамильтонианом. Учитывая состояние в некоторый начальный момент времени (${\displaystyle t=0}$), мы можем решить его, чтобы получить состояние в любое время. В частности, если ${\displaystyle H}$ не зависит от времени, то

${\displaystyle \left|\psi (t)\right\rangle =e^{-iHt/\hbar }\left|\psi (0)\right\rangle .}$

В экспоненциальный оператор в правой части уравнения Шредингера обычно определяется соответствующим степенной ряд в ${\displaystyle H}$. Можно заметить, что взяв многочлены или степенные ряды от неограниченные операторы которые не определены везде, могут не иметь математического смысла. Строго говоря, чтобы взять функции неограниченных операторов, a функциональное исчисление необходимо. В случае экспоненциальной функции непрерывный, или просто голоморфное функциональное исчисление достаточно. Заметим, однако, что для обычных расчетов формулы физиков вполне достаточно.

Посредством *-гомоморфизм свойство функционального исчисления, оператор

${\displaystyle U=e^{-iHt/\hbar }}$

это унитарный оператор. Это эволюция во времени оператор, или же пропагатор, замкнутой квантовой системы. Если гамильтониан не зависит от времени, ${\displaystyle \{U(t)\}}$ сформировать унитарная группа с одним параметром (более чем полугруппа ); это приводит к физическому принципу подробный баланс.

Формализм Дирака

Однако в более общий формализм из Дирак, гамильтониан обычно реализуется как оператор на Гильбертово пространство следующим образом:

Собственные сети (собственные векторы ) из ${\displaystyle H}$, обозначенный ${\displaystyle \left|a\right\rangle }$, предоставить ортонормированный базис для гильбертова пространства. Спектр разрешенных уровней энергии системы задается набором собственных значений, обозначаемых ${\displaystyle \{E_{a}\}}$, решая уравнение:

${\displaystyle H\left|a\right\rangle =E_{a}\left|a\right\rangle .}$

С ${\displaystyle H}$ это Эрмитов оператор, энергия всегда настоящий номер.

С математически строгой точки зрения, следует соблюдать осторожность с приведенными выше предположениями. Операторы в бесконечномерных гильбертовых пространствах не обязательно должны иметь собственные значения (набор собственных значений не обязательно совпадает с спектр оператора ). Однако все рутинные квантово-механические расчеты можно выполнить с использованием физической формулировки.^{[требуется разъяснение ]}

Выражения для гамильтониана

Ниже приведены выражения для гамильтониана в ряде ситуаций.^[2] Типичные способы классификации выражений - это количество частиц, количество измерений и природа функции потенциальной энергии - что важно, пространственная и временная зависимость. Обозначаем массы ${\displaystyle m}$, и обвинения ${\displaystyle q}$.

Общие формы для одной частицы

Бесплатная частица

Частица не связана никакой потенциальной энергией, поэтому потенциал равен нулю, и этот гамильтониан является самым простым. Для одного измерения:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}}$

и в более высоких измерениях:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}}$

Постоянно-потенциальная яма

Для частицы в области постоянного потенциала ${\displaystyle V=V_{0}}$ (без зависимости от пространства или времени), в одном измерении гамильтониан:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V_{0}}$

в трех измерениях

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V_{0}}$

Это касается элементарного "частица в коробке "проблема, и ступенчатые потенциалы.

Простой гармонический осциллятор

Для простой гармонический осциллятор в одном измерении потенциал меняется в зависимости от положения (но не от времени) в соответствии с:

${\displaystyle V={\frac {k}{2}}x^{2}={\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}}$

где угловая частота ${\displaystyle \omega }$, эффективный жесткость пружины ${\displaystyle k}$, а масса ${\displaystyle m}$ генератора удовлетворяют:

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {k}{m}}}$

так что гамильтониан:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}}$

Для трех измерений это становится

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}r^{2}}$

где трехмерный вектор положения ${\displaystyle \mathbf {r} }$ с использованием декартовых координат (${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, ${\displaystyle z}$), его величина

${\displaystyle r^{2}=\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} =|\mathbf {r} |^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$

Полное описание гамильтониана показывает, что это просто сумма одномерных гамильтонианов в каждом направлении:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\\[6pt]&=\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}x^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}y^{2}\right)+\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}z^{2}\right)\end{aligned}}}$

Жесткий ротор

Для жесткий ротор - то есть система частиц, которые могут свободно вращаться вокруг любых осей, не связанных никаким потенциалом (например, свободные молекулы с незначительными колебательными степени свободы скажем из-за двойной или же тройной химические связи ) гамильтониан:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{xx}}}{\hat {J}}_{x}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{yy}}}{\hat {J}}_{y}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2I_{zz}}}{\hat {J}}_{z}^{2}}$

куда ${\displaystyle I_{xx}}$, ${\displaystyle I_{yy}}$, и ${\displaystyle I_{zz}}$ являются момент инерции компоненты (технически диагональные элементы тензор момента инерции ), и ${\displaystyle {\hat {J}}_{x}\,\!}$, ${\displaystyle {\hat {J}}_{y}\,\!}$ и ${\displaystyle {\hat {J}}_{z}\,\!}$ общие угловой момент операторы (компоненты), о ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$, и ${\displaystyle z}$ оси соответственно.

Электростатический или кулоновский потенциал

В Кулоновская потенциальная энергия за двухточечные сборы ${\displaystyle q_{1}}$ и ${\displaystyle q_{2}}$ (т.е. заряженные частицы, поскольку частицы не имеют пространственной протяженности) в трех измерениях равно (в Единицы СИ -скорее, чем Гауссовы единицы которые часто используются в электромагнетизм ):

${\displaystyle V={\frac {q_{1}q_{2}}{4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} |}}}$

Однако это только возможность для одного точечного заряда из-за другого. Если есть много заряженных частиц, каждый заряд имеет потенциальную энергию из-за любого другого точечного заряда (кроме самого себя). За ${\displaystyle N}$ зарядов, потенциальная энергия заряда ${\displaystyle q_{j}}$ из-за всех других сборов (см. также Электростатическая потенциальная энергия, хранящаяся в конфигурации дискретных точечных зарядов ):^[3]

${\displaystyle V_{j}={\frac {1}{2}}\sum _{i\neq j}q_{i}\phi (\mathbf {r} _{i})={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}}$

куда ${\displaystyle \phi (\mathbf {r} _{i})}$ это электростатический потенциал заряда ${\displaystyle q_{j}}$ в ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$. Общий потенциал системы в этом случае равен сумме ${\displaystyle j}$:

${\displaystyle V={\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}}$

так что гамильтониан:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {H}}&=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum _{j=1}^{N}{\frac {1}{m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{j=1}^{N}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\\&=\sum _{j=1}^{N}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{j}}}\nabla _{j}^{2}+{\frac {1}{8\pi \varepsilon _{0}}}\sum _{i\neq j}{\frac {q_{i}q_{j}}{|\mathbf {r} _{i}-\mathbf {r} _{j}|}}\right)\\\end{aligned}}}$

Электрический диполь в электрическом поле

Для электрический дипольный момент ${\displaystyle \mathbf {d} }$ составляющие заряды величины ${\displaystyle q}$, в форме, электростатическое поле (не зависящий от времени) ${\displaystyle \mathbf {E} }$, размещенные в одном месте, потенциал:

${\displaystyle V=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E} }$

сам дипольный момент является оператором

${\displaystyle \mathbf {\hat {d}} =q\mathbf {\hat {r}} }$

Поскольку частица неподвижна, поступательная кинетическая энергия диполя отсутствует, поэтому гамильтониан диполя - это просто потенциальная энергия:

${\displaystyle {\hat {H}}=-\mathbf {\hat {d}} \cdot \mathbf {E} =-q\mathbf {\hat {r}} \cdot \mathbf {E} }$

Магнитный диполь в магнитном поле

Для магнитного дипольного момента ${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}$ в однородном магнитостатическом поле (не зависящем от времени) ${\displaystyle \mathbf {B} }$, размещенные в одном месте, потенциал:

${\displaystyle V=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$

Поскольку частица неподвижна, поступательная кинетическая энергия диполя отсутствует, поэтому гамильтониан диполя - это просто потенциальная энергия:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} }$

Для спин-½ частицы соответствующий спиновый магнитный момент равен:^[4]

${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{S}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S} }$

куда ${\displaystyle g_{s}}$ это вращение гиромагнитное отношение (он же "спин" g-фактор "), ${\displaystyle e}$ - заряд электрона, ${\displaystyle \mathbf {S} }$ это оператор вращения вектор, компонентами которого являются Матрицы Паули, следовательно

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {g_{s}e}{2m}}\mathbf {S} \cdot \mathbf {B} }$

Заряженная частица в электромагнитном поле

Для частицы с массой ${\displaystyle m}$ и зарядить ${\displaystyle q}$ в электромагнитном поле, описываемом скалярный потенциал ${\displaystyle \phi }$ и векторный потенциал ${\displaystyle \mathbf {A} }$, есть две части гамильтониана, которые нужно заменить.^[1] Канонический оператор импульса ${\displaystyle \mathbf {\hat {\Pi }} }$, который включает вклад ${\displaystyle \mathbf {A} }$ поле и выполняет каноническое коммутационное соотношение, необходимо квантовать;

${\displaystyle \mathbf {\hat {\Pi }} =\mathbf {\hat {P}} +q\mathbf {A} }$,

куда ${\displaystyle \mathbf {\hat {P}} }$ это кинетический импульс оператор. Рецепт квантования гласит

${\displaystyle \mathbf {\hat {\Pi }} =-i\hbar \nabla }$,

так что соответствующий оператор кинетической энергии

${\displaystyle {\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {P}} \cdot \mathbf {\hat {P}} }{2m}}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {\hat {\Pi }} -q\mathbf {A} \right)^{2}}$

и потенциальная энергия, связанная с ${\displaystyle \phi }$ поле, задается

${\displaystyle {\hat {V}}=q\phi }$.

Преобразование всего этого в гамильтониан дает

${\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left(-i\hbar \nabla -q\mathbf {A} \right)^{2}+q\phi }$.

Вырождение собственных вычислений энергии, симметрия и законы сохранения

Во многих системах два или более собственных энергетических состояния имеют одинаковую энергию. Простым примером этого является свободная частица, чьи собственные энергетические состояния имеют волновые функции, которые являются распространением плоских волн. Энергия каждой из этих плоских волн обратно пропорциональна квадрату ее длина волны. Волна, распространяющаяся в ${\displaystyle x}$ направление - это состояние, отличное от состояния, распространяющегося в ${\displaystyle y}$ направление, но если они имеют одинаковую длину волны, то их энергии будут одинаковыми. Когда это происходит, состояния называются выродиться.

Оказывается, что вырождение возникает всякий раз, когда нетривиальный унитарный оператор ${\displaystyle U}$ ездит на работу с гамильтонианом. Чтобы увидеть это, предположим, что ${\displaystyle |a\rangle }$ является собственным энергетическим набором. потом ${\displaystyle U|a\rangle }$ является собственным набором энергии с тем же собственным значением, поскольку

${\displaystyle UH|a\rangle =UE_{a}|a\rangle =E_{a}(U|a\rangle )=H\;(U|a\rangle ).}$

С ${\displaystyle U}$ нетривиально, хотя бы одна пара ${\displaystyle |a\rangle }$ и ${\displaystyle U|a\rangle }$ должны представлять различные состояния. Следовательно, ${\displaystyle H}$ имеет по крайней мере одну пару собственных вырожденных энергетических наборов. В случае свободной частицы унитарный оператор, создающий симметрию, - это оператор вращения, который поворачивает волновые функции на некоторый угол, сохраняя при этом их форму.

Из существования оператора симметрии следует существование консервированный наблюдаемый. Позволять ${\displaystyle G}$ быть эрмитовым генератором ${\displaystyle U}$:

${\displaystyle U=I-i\varepsilon G+O(\varepsilon ^{2})\,}$

Несложно показать, что если ${\displaystyle U}$ ездит с ${\displaystyle H}$, то так же ${\displaystyle G}$:

${\displaystyle [H,G]=0\,}$

Следовательно,

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\langle \psi (t)|G|\psi (t)\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\langle \psi (t)|[G,H]|\psi (t)\rangle =0.}$

При получении этого результата мы использовали уравнение Шредингера, а также его двойной,

${\displaystyle \langle \psi (t)|H=-i\hbar {\partial \over \partial t}\langle \psi (t)|.}$

Таким образом ожидаемое значение наблюдаемых ${\displaystyle G}$ сохраняется для любого состояния системы. В случае свободной частицы сохраняющейся величиной является угловой момент.

Уравнения Гамильтона

Гамильтон уравнения в классических Гамильтонова механика имеют прямую аналогию в квантовой механике. Предположим, у нас есть набор базисных состояний ${\displaystyle \left\{\left|n\right\rangle \right\}}$, которые не обязательно должны быть собственными состояниями энергии. Для простоты мы предполагаем, что они дискретны, и что они ортонормированы, т. Е.

${\displaystyle \langle n'|n\rangle =\delta _{nn'}}$

Обратите внимание, что предполагается, что эти базовые состояния не зависят от времени. Предположим, что гамильтониан также не зависит от времени.

Мгновенное состояние системы во времени ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle \left|\psi \left(t\right)\right\rangle }$, может быть расширен с точки зрения этих базовых состояний:

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}a_{n}(t)|n\rangle }$

куда

${\displaystyle a_{n}(t)=\langle n|\psi (t)\rangle .}$

Коэффициенты ${\displaystyle a_{n}(t)}$ находятся сложный переменные. Мы можем рассматривать их как координаты, которые определяют состояние системы, например координаты положения и импульса, которые определяют классическую систему. Как и классические координаты, они обычно непостоянны во времени, и их зависимость от времени приводит к временной зависимости системы в целом.

Среднее значение гамильтониана этого состояния, которое также является средней энергией, равно

${\displaystyle \langle H(t)\rangle \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \langle \psi (t)|H|\psi (t)\rangle =\sum _{nn'}a_{n'}^{*}a_{n}\langle n'|H|n\rangle }$

где последний шаг был получен разложением ${\displaystyle \left|\psi \left(t\right)\right\rangle }$ с точки зрения базовых состояний.

Каждый ${\displaystyle a_{n}(t)}$ фактически соответствует два независимые степени свободы, так как переменная имеет действительную и мнимую части. Теперь мы выполняем следующий трюк: вместо использования действительной и мнимой частей в качестве независимых переменных мы используем ${\displaystyle a_{n}(t)}$ и это комплексно сопряженный ${\displaystyle a_{n}^{*}(t)}$. При таком выборе независимых переменных мы можем вычислить частная производная

${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n'}^{*}}}=\sum _{n}a_{n}\langle n'|H|n\rangle =\langle n'|H|\psi \rangle }$

Применяя Уравнение Шредингера и, используя ортонормированность базисных состояний, это далее сводится к

${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n'}^{*}}}=i\hbar {\frac {\partial a_{n'}}{\partial t}}}$

Аналогично можно показать, что

${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n}}}=-i\hbar {\frac {\partial a_{n}^{*}}{\partial t}}}$

Если мы определим переменные "сопряженного импульса" ${\displaystyle \pi _{n}}$ к

${\displaystyle \pi _{n}(t)=i\hbar a_{n}^{*}(t)}$

тогда приведенные выше уравнения становятся

${\displaystyle {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial \pi _{n}}}={\frac {\partial a_{n}}{\partial t}},\quad {\frac {\partial \langle H\rangle }{\partial a_{n}}}=-{\frac {\partial \pi _{n}}{\partial t}}}$

что и есть форма уравнений Гамильтона с ${\displaystyle a_{n}}$s как обобщенные координаты, ${\displaystyle \pi _{n}}$s как сопряженные импульсы, а ${\displaystyle \langle H\rangle }$ заменяющий классический гамильтониан.

Смотрите также

• Гамильтонова механика
• Квантовая система с двумя состояниями
• Оператор (физика)
• Обозначение Бра – Кет
• Квантовое состояние
• Линейная алгебра
• Сохранение энергии
• Возможная теория
• Проблема многих тел
• Электростатика
• Электрическое поле
• Магнитное поле
• Неравенство Либа – Тирринга

Рекомендации

1. Resnick, R .; Айсберг, Р. (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Джон Вили и сыновья. ISBN  0-471-87373-X.
2. Аткинс, П. В. (1974). Quanta: Справочник концепций. Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-855493-1.
3. Грант, И. С .; Филлипс, У. Р. (2008). Электромагнетизм. Манчестерская серия физики (2-е изд.). ISBN  978-0-471-92712-9.
4. Bransden, B.H .; Иоахайн, К. Дж. (1983). Физика атомов и молекул. Лонгман. ISBN  0-582-44401-2.