C-симметрия - C-symmetry

В физика, зарядовое сопряжение это трансформация это переключает все частицы с соответствующими античастицы, таким образом меняя знак всех обвинения: не только электрический заряд но также обвинения, относящиеся к другим силам. Период, термин C-симметрия является аббревиатурой от фразы «симметрия зарядового сопряжения» и используется при обсуждении симметрии физических законов при зарядовом сопряжении. Другие важные дискретные симметрии: P-симметрия (паритет) и Т-симметрия (разворот времени).

Эти дискретные симметрии C, P и T представляют собой симметрии уравнений, описывающих известные фундаментальные силы природы: электромагнетизм, сила тяжести, то сильный и слабые взаимодействия. Проверка того, правильно ли моделирует данное математическое уравнение природа требует физической интерпретации не только непрерывные симметрии, такие как движение вовремя, но и к этому дискретные симметрии, а затем определить, соблюдает ли природа эти симметрии. В отличие от непрерывных симметрий, интерпретация дискретных симметрий немного более интеллектуально требовательна и запутана. Ранний сюрприз появился в 1950-х годах, когда Чиен Шиунг Ву продемонстрировали, что слабое взаимодействие нарушает P (и, следовательно, C) симметрию. В течение нескольких десятилетий казалось, что комбинированная симметрия CP сохраняется, пока CP-нарушающие взаимодействия были обнаружены. Оба открытия приводят к Нобелевские премии.

С-симметрия вызывает особые проблемы с физической точки зрения, поскольку Вселенная в основном заполнена дело не антивещество, в то время как наивная C-симметрия физических законов предполагает, что должно быть одинаковое количество обоих. В настоящее время считается, что CP-нарушение в ранней Вселенной может объяснить «избыточную» материю, хотя споры еще не окончены. Ранние учебники по космология, до 1970-х годов,^{[который? ]} обычно предполагал, что, возможно, далекие галактики полностью состоят из антивещества, таким образом поддерживая чистый баланс во Вселенной равным нулю.

Эта статья посвящена выявлению и формулированию C-симметрии различных важных уравнений и теоретических систем, включая Уравнение Дирака и структура квантовая теория поля. Различные элементарные частицы могут быть классифицированы по поведению при зарядовом сопряжении; это описано в статье о C-четность.

Неформальный обзор

Зарядовое сопряжение происходит как симметрия в трех разных, но тесно связанных параметрах: симметрия (классических, неквантованных) решений нескольких известных дифференциальных уравнений, включая Уравнение Клейна – Гордона и Уравнение Дирака, симметрия соответствующих квантовых полей и в общем случае симметрия в (псевдо)Риманова геометрия. Во всех трех случаях симметрия в конечном итоге оказывается симметрией относительно комплексное сопряжение, хотя именно то, что сопрягается, иногда может быть запутано, в зависимости от обозначений, выбора координат и других факторов.

В классических областях

Симметрия зарядового сопряжения интерпретируется как симметрия электрический заряд, поскольку во всех трех случаях (классическом, квантовом и геометрическом) можно построить Токи Нётер которые напоминают те из классическая электродинамика. Это происходит потому, что сама электродинамика через Уравнения Максвелла, можно интерпретировать как структуру на U (1) пучок волокон, так называемое связка кругов. Это обеспечивает геометрическую интерпретацию электромагнетизма: электромагнитный потенциал ${\displaystyle A_{\mu }}$ интерпретируется как соединение манометра (в Связь Ehresmann ) на расслоении кругов. Эта геометрическая интерпретация затем позволяет (буквально почти) что-либо, обладающее структурой с комплексными числами, быть связано с электромагнитным полем, при условии, что эта связь осуществляется в калибровочно-инвариантный путь. Калибровочная симметрия в этой геометрической настройке - это утверждение, что при движении по окружности связанный объект также должен трансформироваться «круговым путем», отслеживая его соответствующим образом. Более формально говорят, что уравнения должны быть калибровочно-инвариантными относительно замены локального системы координат по кругу. Для U (1) это просто утверждение, что система инвариантна относительно умножения на фазовый множитель ${\displaystyle e^{i\phi (x)}}$ которая зависит от координаты (пространства-времени) ${\displaystyle x.}$ В этом геометрическом контексте зарядовое сопряжение можно понимать как дискретную симметрию ${\displaystyle z=(x+iy)\mapsto {\overline {z}}=(x-iy)}$ который выполняет комплексное сопряжение, которое меняет направление по кругу.

В квантовой теории

В квантовая теория поля, зарядовое сопряжение можно понимать как обмен частицы с участием античастицы. Чтобы понять это утверждение, нужно иметь минимальное представление о том, что такое квантовая теория поля. Выражаясь (значительно) упрощенно, это метод выполнения вычислений для получения решений системы связанных дифференциальных уравнений с помощью теория возмущений. Ключевым ингредиентом этого процесса является квантовое поле, по одному на каждое из (свободных, несвязанных) дифференциальных уравнений системы. Квантовое поле условно записывается как

${\displaystyle \psi (x)=\int d^{3}p\sum _{\sigma ,n}e^{-ip\cdot x}a({\vec {p}},\sigma ,n)u({\vec {p}},\sigma ,n)+e^{ip\cdot x}a^{\dagger }({\vec {p}},\sigma ,n)v({\vec {p}},\sigma ,n)}$

где ${\displaystyle {\vec {p}}}$ это импульс, ${\displaystyle \sigma }$ это спин-этикетка, ${\displaystyle n}$ является вспомогательной меткой для других состояний в системе. В ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle a^{\dagger }}$ находятся операторы создания и уничтожения (операторы лестницы ) и ${\displaystyle u,v}$ являются решениями рассматриваемого дифференциального уравнения (свободного, невзаимодействующего, несвязанного). Квантовое поле играет центральную роль, поскольку, как правило, неизвестно, как получить точные решения системы связанных дифференциальных вопросов. Однако с помощью теории возмущений приближенные решения могут быть построены как комбинации решений в свободном поле. Чтобы выполнить это построение, нужно иметь возможность извлекать и работать с любым заданным свободным полевым решением по запросу, когда это необходимо. Квантовое поле обеспечивает именно это: оно перечисляет все возможные решения свободного поля в векторном пространстве, так что любое из них может быть выделено в любой момент времени с помощью операторов создания и уничтожения.

Операторы создания и уничтожения подчиняются канонические коммутационные соотношения, в том, что один оператор «отменяет» то, что «создает» другой. Это означает, что любое данное решение ${\displaystyle u({\vec {p}},\sigma ,n)}$ должен быть в паре с его «антираствором» ${\displaystyle v({\vec {p}},\sigma ,n)}$ так что одно отменяет или отменяет другое. Спаривание должно выполняться так, чтобы все симметрии сохранялись. Поскольку обычно интересует Лоренц-инвариантность квантовое поле содержит интеграл по всем возможным системам координат Лоренца, записанный выше как интеграл по всем возможным импульсам (это интеграл по слою комплект кадров ). Сопряжение требует, чтобы данное ${\displaystyle u({\vec {p}})}$ связан с ${\displaystyle v({\vec {p}})}$ противоположного импульса и энергии. Квантовое поле также является суммой всех возможных спиновых состояний; двойное спаривание снова соответствует противоположным спинам. Как и для любых других квантовых чисел, они также объединяются в пары как противоположности. Есть техническая трудность в выполнении этого двойного спаривания: нужно описать, что это означает для некоторого данного решения. ${\displaystyle u}$ быть "двойным" какому-то другому решению ${\displaystyle v,}$ и описать его таким образом, чтобы он оставался последовательно двойственным при интегрировании по слою связки каркасов, при интегрировании (суммировании) по волокну, описывающему спин, и при интегрировании (суммировании) по любым другим слоям, которые встречаются в теория.

Когда интегрируемое волокно представляет собой U (1) волокно электромагнетизма, двойное спаривание таково, что направление (ориентация) волокна меняется на противоположное. Когда интегрируемое волокно является волокном SU (3) цветной заряд, двойная пара снова меняет ориентацию. Это «просто работает» для SU (3), потому что у него есть два двойных фундаментальные представления ${\displaystyle \mathbf {3} }$ и ${\displaystyle {\overline {\mathbf {3} }}}$ которые могут быть естественно спарены. Этот рецепт для квантового поля естественным образом обобщается на любую ситуацию, когда можно перечислить непрерывные симметрии системы и определить двойственные пары согласованным и непротиворечивым образом. Спаривание связывает вместе противоположное обвинения в полностью абстрактном смысле. В физике заряд связан с генератором непрерывной симметрии. Разные заряды связаны с разными собственными подпространствами Инварианты Казимира из универсальная обертывающая алгебра для этих симметрий. Это случай для и то и другое симметрия Лоренца основной пространство-время многообразие, а также симметрии любых слоев в расслоении, заданном над пространственно-временным многообразием. Двойственность заменяет генератор симметрии минусом. Таким образом, зарядовое сопряжение связано с отражением вдоль линейный пакет или детерминантный пучок пространства симметрий.

Вышеизложенное представляет собой набросок общей идеи квантового поля в квантовой теории поля. Физическая интерпретация такова, что решения ${\displaystyle u({\vec {p}},\sigma ,n)}$ соответствуют частицам, а растворы ${\displaystyle v({\vec {p}},\sigma ,n)}$ соответствуют античастицам, и поэтому зарядовое сопряжение представляет собой их сочетание. Остальное, как говорится, «мелочи». Этот эскиз также дает достаточно подсказок, чтобы указать, как может выглядеть зарядовое сопряжение в общей геометрической обстановке. Нет особого принудительного требования использовать теорию возмущений для построения квантовых полей, которые будут действовать как посредники в пертурбативном расширении. Зарядовое сопряжение можно задать в общих условиях.

В геометрии

Для общего Риманов и псевдоримановы многообразия, у одного есть касательный пучок, а котангенсный пучок и метрика что связывает их вместе. В этой ситуации можно сделать несколько интересных вещей. Во-первых, гладкая структура позволяет дифференциальные уравнения позировать на коллекторе; то касательная и котангенсные пространства обеспечить достаточную структуру для выполнения исчисление на многообразиях. Ключевой интерес представляет Лапласиан, а с постоянным членом - оператор Клейна – Гордона. Котангенсные расслоения по своей основной конструкции всегда симплектические многообразия. Симплектические многообразия имеют канонические координаты ${\displaystyle x,p}$ интерпретируется как позиция и импульс, подчинение канонические коммутационные соотношения. Это обеспечивает базовую инфраструктуру для расширения двойственности и, таким образом, зарядового сопряжения в этой общей обстановке.

Вторая интересная вещь, которую можно сделать, - это построить спиновая структура. Возможно, самое замечательное в этом то, что это очень узнаваемое обобщение ${\displaystyle (p,q)}$-мерное псевдориманово многообразие общепринятой физической концепции спиноры живущий на (1,3) -мерном Пространство-время Минковского. Строительство проходит через сложную Алгебра Клиффорда построить Связка Клиффорда и спиновый коллектор. В конце этой конструкции мы получаем систему, которая очень хорошо знакома, если уже знакомы со спинорами Дирака и уравнением Дирака. В этом общем случае можно провести несколько аналогий. Во-первых, спиноры являются Спиноры Вейля, и они входят в комплексно-сопряженные пары. Они естественно антикоммутируют (это следует из алгебры Клиффорда), и это именно то, что нужно для установления контакта с Принцип исключения Паули. Другой - существование хиральный элемент, аналогично гамма-матрица ${\displaystyle \gamma _{5}}$ который сортирует эти спиноры на левое и правое подпространства. Комплексообразование - ключевой ингредиент, который обеспечивает «электромагнетизм» в этом обобщенном контексте. Спинорный пучок не "просто" трансформируется под ${\displaystyle SO(p,q)}$, обобщение Группа Лоренца ${\displaystyle SO(1,3)}$, но в более крупной группе сложные вращательная группа ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q).}$ Он больше тем, что имеет двойное покрытие от ${\displaystyle SO(p,q)\times U(1).}$

В ${\displaystyle U(1)}$ произведение можно отождествить с электромагнетизмом несколькими способами. Один из способов - Операторы Дирака на спиновом коллекторе в квадрате содержат кусок ${\displaystyle F=dA}$ с участием ${\displaystyle A}$ возникает из той части связи, которая связана с ${\displaystyle U(1)}$ кусок. Это полностью аналогично тому, что происходит, когда квадрат обычного уравнения Дирака возводится в обычное пространство-время Минковского. Второй намек: это ${\displaystyle U(1)}$ часть связана с детерминантный пучок структуры спина, эффективно связывая вместе левый и правый спиноры посредством комплексного сопряжения.

Осталось проработать дискретные симметрии приведенной выше конструкции. Есть несколько, которые, кажется, обобщают P-симметрия и Т-симметрия. Выявление ${\displaystyle p}$ измерения со временем, и ${\displaystyle q}$ измерения с пространством, можно обратить касательные векторы в ${\displaystyle p}$ размерное подпространство, чтобы получить обращение времени, и изменение направления ${\displaystyle q}$ габариты соответствуют паритету. C-симметрию можно отождествить с отражением на линейном расслоении. Чтобы связать все это вместе в узел, у человека наконец появляется концепция транспозиция, в том, что элементы алгебры Клиффорда могут быть записаны в обратном (транспонированном) порядке. Конечный результат состоит в том, что в общую риманову постановку переходят не только идеи традиционной физики полей, но и идеи дискретных симметрий.

На это можно отреагировать двумя способами. Один - относиться к этому как к интересному курьеру. Другой - осознать, что в малых измерениях (в низкоразмерном пространстве-времени) существует множество «случайных» изоморфизмов между различными Группы Ли и другие разные конструкции. Возможность исследовать их в общем контексте позволяет распутать эти отношения, более четко показывая, «откуда все».

Зарядовое сопряжение для полей Дирака

Законы электромагнетизм (и то и другое классический и квант ) находятся инвариантный при обмене электрических зарядов с их отрицаниями. В случае электроны и кварки, оба из которых элементарная частица фермион поля одночастичные полевые возбуждения описываются Уравнение Дирака

${\displaystyle (i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi =0}$

Хочется найти зарядово-сопряженное решение

${\displaystyle (i{\partial \!\!\!{\big /}}+q{A\!\!\!{\big /}}-m)\psi ^{c}=0}$

Достаточно нескольких алгебраических манипуляций, чтобы получить второе из первого.^[1][2][3] Стандартные изложения уравнения Дирака демонстрируют сопряженное поле ${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0},}$ интерпретируется как поле античастиц, удовлетворяющее комплексно-транспонированному уравнению Дирака

${\displaystyle {\overline {\psi }}(-i{\partial \!\!\!{\big /}}-q{A\!\!\!{\big /}}-m)=0}$

Обратите внимание, что некоторые, но не все признаки изменились. Повторное транспонирование обратно дает почти желаемую форму, при условии, что можно найти матрицу 4x4 ${\displaystyle C}$ что переносит гамма-матрицы для вставки необходимого изменения знака:

${\displaystyle C\gamma _{\mu }C^{-1}=-\gamma _{\mu }^{T}}$

Тогда решение зарядового сопряженного инволюция

${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}=\eta _{c}\,C{\overline {\psi }}^{T}}$

Матрица 4x4 ${\displaystyle C,}$ называется матрицей зарядового сопряжения, имеет явный вид, приведенный в статье о гамма-матрицы. Любопытно, что эта форма не зависит от представления, но зависит от конкретного матричного представления, выбранного для гамма группа (подгруппа Алгебра Клиффорда захват алгебраических свойств гамма-матрицы ). Эта матрица зависит от представления из-за тонкого взаимодействия, включающего усложнение вращательная группа описывающий лоренцеву ковариацию заряженных частиц. Комплексное число ${\displaystyle \eta _{c}}$ - произвольный фазовый множитель ${\displaystyle |\eta _{c}|=1,}$ обычно считается ${\displaystyle \eta _{c}=1.}$

Зарядовое сопряжение, хиральность, спиральность

Взаимодействие между хиральностью и зарядовым сопряжением немного тонкое и требует артикуляции. Часто говорят, что зарядовое сопряжение не меняет хиральность частиц. Это не так для поля, разница, возникающая в интерпретации частиц "дырочной теорией", где античастица интерпретируется как отсутствие частицы. Об этом говорится ниже.

Обычно ${\displaystyle \gamma _{5}}$ используется как оператор хиральности. При зарядовом сопряжении он преобразуется как

${\displaystyle C\gamma _{5}C^{-1}=\gamma _{5}^{T}}$

и будет ли ${\displaystyle \gamma _{5}^{T}}$ равно ${\displaystyle \gamma _{5}}$ зависит от выбранного представления для гамма-матриц. В дираковском и киральном базисе ${\displaystyle \gamma _{5}^{T}=\gamma _{5}}$, в то время как ${\displaystyle \gamma _{5}^{T}=-\gamma _{5}}$ получается в базисе Майорана. Ниже приводится рабочий пример.

Спиноры Вейля

В случае безмассовых спинорных полей Дирака киральность равна спиральности для решений с положительной энергией (и минус спиральность для решений с отрицательной энергией).^[а] Это можно получить, записав безмассовое уравнение Дирака в виде

${\displaystyle i\partial \!\!\!{\big /}\psi =0}$

Умножение на ${\displaystyle \gamma ^{5}\gamma ^{0}=-i\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}}$ можно получить

${\displaystyle {\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij}\partial _{m}\psi =\gamma _{5}\partial _{t}\psi }$

где ${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }=i[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]/2}$ это оператор углового момента и ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$ это полностью антисимметричный тензор. Это можно привести к чуть более узнаваемой форме, определив оператор трехмерного вращения ${\displaystyle \Sigma ^{m}\equiv {\epsilon _{ij}}^{m}\sigma ^{ij},}$ переход в состояние плоской волны ${\displaystyle \psi (x)=e^{-ik\cdot x}\psi (k)}$, применяя ограничение на оболочке, которое ${\displaystyle k\cdot k=0}$ и нормализуя импульс как трехмерный единичный вектор: ${\displaystyle {\hat {k}}_{i}=k_{i}/k_{0}}$ написать

${\displaystyle (\Sigma \cdot {\hat {k}})\psi =\gamma _{5}\psi ~.}$

Изучая вышесказанное, можно сделать вывод, что собственные состояния углового момента (спиральность eigenstates) соответствуют собственным состояниям хиральный оператор. Это позволяет четко разделить безмассовое поле Дирака на пару Спиноры Вейля ${\displaystyle \psi _{L}}$ и ${\displaystyle \psi _{R},}$ каждый индивидуально удовлетворяет Уравнение Вейля, но с противоположной энергией:

${\displaystyle \left(-p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{R}=0}$

и

${\displaystyle \left(p_{0}+\sigma \cdot {\vec {p}}\right)\psi _{L}=0}$

Обратите внимание на свободу приравнивать отрицательную спиральность к отрицательной энергии, а значит, и античастицу к частице противоположной спиральности. Чтобы было ясно, ${\displaystyle \sigma }$ вот Матрицы Паули, и ${\displaystyle p_{\mu }=i\partial _{\mu }}$ - оператор импульса.

Зарядовое сопряжение в киральном базисе

Принимая Представление Вейля гамма-матриц, можно записать спинор Дирака (теперь считающийся массивным) как

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{L}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}}$

Соответствующее дуальное (античастичное) поле равно

${\displaystyle {\overline {\psi }}^{T}=\left(\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}\right)^{T}={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{L}^{*}\\\psi _{R}^{*}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{R}^{*}\\\psi _{L}^{*}\end{pmatrix}}}$

Зарядово-сопряженные спиноры:

${\displaystyle \psi ^{c}={\begin{pmatrix}\psi _{L}^{c}\\\psi _{R}^{c}\end{pmatrix}}=\eta _{c}C{\overline {\psi }}^{T}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{R}^{*}\\\psi _{L}^{*}\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{R}^{*}\\i\sigma ^{2}\psi _{L}^{*}\end{pmatrix}}}$

где, как и раньше, ${\displaystyle \eta _{c}}$ - фазовый множитель, который можно принять ${\displaystyle \eta _{c}=1.}$ Обратите внимание, что левое и правое состояния меняются местами. Это можно восстановить с помощью преобразования четности. Под паритет, спинор Дирака преобразуется как

${\displaystyle \psi (t,{\vec {x}})\mapsto \psi ^{p}(t,{\vec {x}})=\gamma ^{0}\psi (t,-{\vec {x}})}$

При комбинированном начислении и паритете тогда

${\displaystyle \psi (t,{\vec {x}})\mapsto \psi ^{cp}(t,{\vec {x}})={\begin{pmatrix}\psi _{L}^{cp}(t,{\vec {x}})\\\psi _{R}^{cp}(t,{\vec {x}})\end{pmatrix}}=\eta _{c}{\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}\psi _{L}^{*}(t,-{\vec {x}})\\i\sigma ^{2}\psi _{R}^{*}(t,-{\vec {x}})\end{pmatrix}}}$

Обычно берется ${\displaystyle \eta _{c}=1}$ глобально. Однако см. Примечание ниже.

Состояние Майорана

В Состояние Майорана налагает ограничение между полем и его сопряженным зарядом, а именно, что они должны быть равны: ${\displaystyle \psi =\psi ^{c}.}$ Возможно, лучше всего это сформулировать как требование, чтобы спинор Майораны был собственным состоянием инволюции зарядового сопряжения. Это требует некоторой осторожности в обозначениях. Во многих текстах, обсуждающих зарядовое сопряжение, инволюция ${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}}$ не имеет явного символического имени в применении к одночастичные растворы уравнения Дирака. Это в отличие от случая, когда квантованное поле обсуждается, где унитарный оператор ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ определяется (как это делается в следующем разделе ниже). В настоящем разделе пусть инволюция будет называться ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{c}}$ так что ${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi ^{c}.}$ Принимая это за линейный оператор, можно рассматривать его собственные состояния. Условие Майорана выделяет одно из таких: ${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi .}$ Однако существует два таких собственных состояния: ${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi ^{(\pm )}=\pm \psi ^{(\pm )}.}$ Продолжая в базисе Вейля, как и выше, эти собственные состояния

${\displaystyle \psi ^{(+)}={\begin{pmatrix}\psi _{L}\\i\sigma ^{2}\psi _{L}^{*}\end{pmatrix}}}$

и

${\displaystyle \psi ^{(-)}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}\psi _{R}^{*}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}}$

Спинор Майораны условно рассматривается как просто положительное собственное состояние, а именно ${\displaystyle \psi ^{(+)}.}$ Киральный оператор ${\displaystyle \gamma _{5}}$ обменивается этими двумя, в том, что

${\displaystyle \gamma _{5}{\mathsf {C}}=-{\mathsf {C}}\gamma _{5}}$

Это легко проверить прямой заменой. Помните, что ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$ делает не имеют матричное представление 4x4! Точнее, не существует комплексной матрицы 4x4, которая могла бы преобразовать комплексное число в комплексное сопряжение; для этой инверсии потребуется вещественная матрица 8x8. Физическая интерпретация комплексного сопряжения как зарядового сопряжения становится ясной при рассмотрении комплексного сопряжения скалярных полей, описанного в следующем разделе ниже.

Проекторы на киральные собственные состояния можно записать как ${\displaystyle P_{L}=(1-\gamma _{5})/2}$ и ${\displaystyle P_{R}=(1+\gamma _{5})/2,}$ и поэтому вышесказанное переводится как

${\displaystyle P_{L}{\mathsf {C}}={\mathsf {C}}P_{R}~.}$

Это прямо демонстрирует, что зарядовое сопряжение, примененное к одночастичным комплексным числам решений уравнения Дирака, меняет киральность решения. Проекторы на собственные подпространства зарядового сопряжения имеют вид ${\displaystyle P^{(+)}=(1+{\mathsf {C}})P_{L}}$ и ${\displaystyle P^{(-)}=(1-{\mathsf {C}})P_{R}.}$

Геометрическая интерпретация

Фазовый фактор ${\displaystyle \eta _{c}}$ можно дать геометрическую интерпретацию. Было отмечено, что для массивных спиноров Дирака «произвольный» фазовый множитель ${\displaystyle \eta _{c}}$ может зависеть как от импульса, так и от спиральности (но не от хиральности).^[b] Это можно интерпретировать как указание на то, что эта фаза может меняться вдоль волокна спинорный пучок, в зависимости от локального выбора системы координат. Другими словами, спинорное поле является локальным раздел спинорного пучка, а лоренцевы бусты и повороты соответствуют движениям по волокнам соответствующих комплект кадров (опять же, просто выбор локальной системы координат). При таком рассмотрении эту дополнительную фазовую свободу можно интерпретировать как фазу, возникающую из-за электромагнитного поля. Для Спиноры майораны, фаза будет ограничена, чтобы не изменяться при повышениях и вращениях.

Зарядовое сопряжение для квантованных полей

Выше описывается зарядовое сопряжение только для одночастичных растворов. Когда поле Дирака вторично квантованный, как в квантовая теория поля спинорное и электромагнитное поля описываются операторами. Тогда инволюция зарядового сопряжения проявляется как унитарный оператор ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ действующие на поля частиц, выраженные как^[c][d]

1. ${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{c}={\mathcal {C}}\psi {\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}\,C{\overline {\psi }}^{T}}$
2. ${\displaystyle {\overline {\psi }}\mapsto {\overline {\psi }}^{c}={\mathcal {C}}{\overline {\psi }}{\mathcal {C}}^{\dagger }=\eta _{c}^{*}\,\psi ^{T}C^{-1}}$
3. ${\displaystyle A_{\mu }\mapsto A_{\mu }^{c}={\mathcal {C}}A_{\mu }{\mathcal {C}}^{\dagger }=-A_{\mu }}$

где некаллиграфический ${\displaystyle C}$ это та же матрица 4x4, что и ранее.

Инверсия заряда в электрослабой теории

Сопряжение зарядов не изменяет хиральность частиц. Левша нейтрино будет принято спряжение зарядов в левую антинейтрино, который не взаимодействует в Стандартной модели. Это свойство и подразумевается под «максимальным нарушением» C-симметрии в слабом взаимодействии.

Некоторые постулируемые расширения Стандартная модель, любить лево-правые модели, восстановим эту C-симметрию.

Скалярные поля

Поле Дирака имеет «скрытый» ${\displaystyle U(1)}$ свобода калибровки, позволяющая ему напрямую взаимодействовать с электромагнитным полем без каких-либо дополнительных изменений в уравнении Дирака или в самом поле.^[e] Это не так для скалярные поля, который должен быть явно «усложнен», чтобы соединиться с электромагнетизмом. Это делается путем "натяжения" дополнительного фактора комплексная плоскость ${\displaystyle \mathbb {C} }$ в поле или построив Декартово произведение с участием ${\displaystyle U(1)}$.

Один очень традиционный метод - просто начать с двух реальных скалярных полей, ${\displaystyle \phi }$ и ${\displaystyle \chi }$ и создайте линейную комбинацию

${\displaystyle \psi \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\phi +i\chi \over {\sqrt {2}}}}$

Зарядовое сопряжение инволюция тогда отображение ${\displaystyle {\mathsf {C}}:i\mapsto -i}$ поскольку этого достаточно, чтобы изменить знак электромагнитного потенциала (так как это комплексное число используется для связи с ним). Для реальных скалярных полей зарядовое сопряжение - это просто карта идентичности: ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi }$ и ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\chi \mapsto \chi }$ так что для комплексифицированного поля зарядовое сопряжение просто ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto \psi ^{*}.}$ Стрелка "mapsto" ${\displaystyle \mapsto }$ удобно отслеживать «что куда идет»; эквивалентная старая запись - просто написать ${\displaystyle {\mathsf {C}}\phi =\phi }$ и ${\displaystyle {\mathsf {C}}\chi =\chi }$ и ${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi ^{*}.}$

Выше описано обычное построение заряженного скалярного поля. Также возможно ввести дополнительную алгебраическую структуру в поля другими способами. В частности, можно определить «реальное» поле, ведущее себя как ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto -\phi }$. Поскольку это реально, он не может соединяться с электромагнетизмом сам по себе, но, будучи комплексным, приведет к заряженному полю, которое трансформируется как ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\psi \mapsto -\psi ^{*}.}$ Поскольку C-симметрия дискретная симметрия у человека есть некоторая свобода играть в подобные алгебраические игры в поисках теории, которая правильно моделирует некоторую заданную физическую реальность.

В физической литературе такое преобразование, как ${\displaystyle {\mathsf {C}}:\phi \mapsto \phi ^{c}=-\phi }$ может быть написано без каких-либо дополнительных объяснений. Формальная математическая интерпретация этого состоит в том, что поле ${\displaystyle \phi }$ является элементом ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {Z} _{2}}$ где ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}=\{+1,-1\}.}$ Таким образом, собственно поле следует записать как ${\displaystyle \phi =(r,c)}$ который ведет себя при зарядовом сопряжении как ${\displaystyle {\mathsf {C}}:(r,c)\mapsto (r,-c).}$ Это очень заманчиво, но не совсем корректно с формальной точки зрения - просто перемножить их, передвинуть по месту расположения этого знака минус; это в основном «просто работает», но неспособность правильно отследить это приведет к путанице.

Комбинация заряда и разворота паритета

Некоторое время считалось, что C-симметрия может сочетаться с паритет -инверсионное преобразование (см. P-симметрия ) для сохранения комбинированного CP-симметрия. Однако нарушения этой симметрии были выявлены в слабых взаимодействиях (особенно в каоны и B мезоны ). В Стандартной модели это Нарушение CP связано с одной фазой в Матрица СКМ. Если CP сочетается с обращением времени (Т-симметрия ), результирующий CPT-симметрия можно показать, используя только Аксиомы Вайтмана повиноваться повсеместно.

В общих настройках

Аналог зарядового сопряжения можно определить для многомерные гамма-матрицы, с явной конструкцией спиноров Вейля, приведенной в статье о Матрицы Вейля – Брауэра. Обратите внимание, однако, на спиноры, как они определены абстрактно в теории представлений Алгебры Клиффорда не поля; скорее, их следует рассматривать как существующие в нульмерном пространстве-времени.

Аналог Т-симметрия следует из ${\displaystyle \gamma ^{1}\gamma ^{3}}$ как оператор T-сопряжения для спиноров Дирака. Спинорам тоже присуща P-симметрия, полученный изменением направления всех базисных векторов Алгебра Клиффорда из которых построены спиноры. Связь с P- и T-симметриями для фермионного поля на пространственно-временном многообразии немного тонка, но ее можно примерно охарактеризовать следующим образом. Когда спинор строится с помощью алгебры Клиффорда, для построения требуется векторное пространство. По соглашению это векторное пространство является касательное пространство многообразия пространства-времени в заданной фиксированной точке пространства-времени (единственный слой в касательное многообразие ). Операции P и T, применяемые к пространственно-временному многообразию, можно понимать как также переворачивание координат касательного пространства; таким образом, оба склеиваются. Изменение четности или направления времени в одном из них также изменяет его в другом. Это условность. Можно потерять связь, если не распространить эту связь.

Это делается путем принятия касательного пространства как векторное пространство, расширяя его до тензорная алгебра, а затем с помощью внутренний продукт в векторном пространстве, чтобы определить Алгебра Клиффорда. Рассматривая каждую такую ​​алгебру как слой, получаем пучок волокон называется Связка Клиффорда. При изменении базиса касательного пространства элементы алгебры Клиффорда преобразуются в соответствии с вращательная группа. Здание основной пучок волокон со спиновой группой, поскольку волокно приводит к спиновая структура.

Все, что отсутствует в приведенных выше абзацах, - это спиноры самих себя. Для этого требуется «комплексификация» касательного многообразия: тензорирование его с помощью комплексной плоскости. Как только это будет сделано, Спиноры Вейля могут быть построены. Они имеют вид

${\displaystyle w_{j}=(e_{2j}-ie_{2j+1})/{\sqrt {2}}}$

где ${\displaystyle e_{j}}$ являются базисными векторами для векторного пространства ${\displaystyle V=T_{p}M}$, касательное пространство в точке ${\displaystyle p\in M}$ в пространственно-временном многообразии ${\displaystyle M.}$ Спиноры Вейля вместе с их комплексно сопряженными элементами покрывают касательное пространство в том смысле, что

${\displaystyle V\otimes \mathbb {C} =W\oplus {\overline {W}}}$

Альтернативная алгебра ${\displaystyle \wedge W}$ называется спинорное пространство, это были живые спиноры, а также продукты спиноров (таким образом, объекты с более высокими значениями спина, включая векторы и тензоры).

---

Взять перерыв; в этом разделе следует расширить следующие утверждения:

• Препятствие для строительства спиновых структур Класс Штифеля-Уитни c_2
• Комплексное сопряжение меняет два спинора
• Операторы Дирака можно определить этот квадрат к лапласиану, то есть квадрат связности Леви-Чивиты (плюс скалярная кривизна плюс кривизна линейного расслоения)
• кривизна линейного пучка явно равна F = dA, следовательно, она должна быть E&M

Смотрите также

• C паритет
• Античастица
• Антивещество
• Действительно нейтральная частица

Заметки

1. Ициксон и Зубер, см. Раздел 2-4-3, стр. 87 и далее.
2. Ициксон и Зубер, (См. Раздел 2-4-2 Конъюгация зарядов, стр. 86, уравнение 2-100.)
3. Бьоркен и Дрелл, (См. Главу 15.)
4. Ициксон и Зубер, (См. Раздел 3-4.)
5. Эта свобода явно удалена, ограничена в Спиноры майораны.

использованная литература

1. Джеймс Д. Бьоркен, Сидни Д. Дрелл, (1964) «Релятивистская квантовая механика», МакГроу-Хилл (См. Глава 5.2, страницы 66-70)
2. Клод Ициксон и Жан-Бернар Зубер, (1980) Квантовая теория поля, McGraw-Hill (См. Главу 2-4, страницы 85 и далее.)
3. Пескин, М.Е .; Шредер, Д. (1997). Введение в квантовую теорию поля. Эддисон Уэсли. ISBN  0-201-50397-2.

• Соцци, М. (2008). Дискретные симметрии и нарушение CP. Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-929666-8.