Уравнение майорана - Majorana equation

В Уравнение майорана это релятивистское волновое уравнение. Назван в честь итальянского физика. Этторе Майорана, который предложил его в 1937 году как средство описания фермионы это их собственные античастица.^[1] Частицы, соответствующие этому уравнению, называются Майорановые частицы, хотя этот термин теперь имеет более широкое значение, относясь к любой (возможно, нерелятивистской) фермионной частице, которая является ее собственной античастицей (и, следовательно, электрически нейтральна).

Статья о Майорановые частицы представляет статус экспериментального поиска. В этой статье основное внимание уделяется зарядовое сопряжение симметрия уравнений и их волновая функция решения.

Определение

В литературе можно найти множество противоречивых определений «уравнения Майорана». Традиционно отправной точкой является утверждение, что Уравнение Дирака можно записать в чисто мнимой эрмитовой форме, когда гамма-матрицы взяты в представлении Майораны. Тогда уравнение Дирака записывается как^[2]

${\displaystyle \left(-i{\frac {\partial }{\partial t}}-i{\hat {\alpha }}\cdot \nabla +\beta m\right)\psi =0}$

с ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ чисто вещественные симметричные матрицы 4x4, и ${\displaystyle \beta }$ является чисто мнимым кососимметричным (как требуется, чтобы гарантировать, что оператор между (...) является эрмитовым). В этом случае можно найти чисто реальные 4-спинорные решения уравнения; это спиноры Майораны.

При выражении Ковариация Лоренца этой формы, и, чтобы прояснить их, принято переинтерпретировать это в терминах комплексных 2-спиноров, подчиняющихся дифференциальным уравнениям 2x2 первого порядка.^[3][4][5][6] По большей части это эффективно алгебраические комбинации Спинор Вейля решения для Уравнение Вейля. Однако есть тонкости в отношении массового термина.

Характеристики

Уравнение Майорана и его решения обладают рядом интересных и иногда сбивающих с толку свойств, которые кратко описаны здесь.

Уравнение Майорана аналогично уравнению Уравнение Дирака, в том смысле, что он включает четырехкомпонентные спиноры, гамма-матрицы и массовые члены, но включает зарядовое сопряжение  ${\textstyle \psi _{c}}$ из спинор  ${\textstyle \psi }$. Напротив, Уравнение Вейля для двухкомпонентного спинора без массы.

Решения уравнения Майорана можно интерпретировать как электрически нейтральные частицы, которые являются собственной античастицей. По условию зарядовое сопряжение оператор переводит частицы в их античастицы, и поэтому спинор Майорана обычно определяется как решение, в котором ${\displaystyle \psi =\psi _{c}.}$ То есть спинор Майораны - это «собственная античастица». Поскольку зарядовое сопряжение переносит электрически заряженную частицу в ее античастицу с противоположным зарядом, следует сделать вывод, что спинор Майоаны электрически нейтрален.

Уравнение Майорана имеет вид Инвариант Лоренца, хотя доказательство этого имеет некоторые тонкие отличия от стандартного доказательства лоренц-инвариантности для уравнения Дирака. Эти различия объясняют некоторые запутанные и противоречивые утверждения, которые можно найти в литературе.

Решения

Спряжение заряда

Для зарядового сопряжения определите оператор ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$ в качестве

${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi =\psi _{c}=C({\overline {\psi }})^{T}}$

Общее обсуждение, объясняющее, почему это правильное определение оператора зарядового сопряжения, дано в статье о зарядовое сопряжение. Он следует традиционным разработкам, предоставленным Bjorken & Drell.^[7] или Itzykson & Zuber.^[а] Здесь, ${\displaystyle C}$ матрица 4х4, приведенная в статье о гамма-матрицы. Его явная форма зависит от представления. Оператор ${\displaystyle {\mathsf {C}}}$ не может быть записана как матрица 4x4, поскольку она принимает комплексное сопряжение ${\displaystyle \psi }$, и комплексное сопряжение не может быть достигнуто с помощью сложной матрицы 4x4. Его можно записать как реальную матрицу 8x8, предполагая, что она также пишет ${\displaystyle \psi }$ как чисто реальный 8-компонентный спинор (иначе говоря: принято писать ${\displaystyle \psi }$ как сложный 4-компонентный спинор, соглашение, используемое в этой статье.)

Оператор зарядового сопряжения имеет два собственных вектора. В базисе Вейля они даются

${\displaystyle \psi _{Weyl}^{(+)}={\begin{pmatrix}\psi _{L}\\i\sigma ^{2}\psi _{L}^{*}\end{pmatrix}}}$

и

${\displaystyle \psi _{Weyl}^{(-)}={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}\psi _{R}^{*}\\\psi _{R}\end{pmatrix}}}$

которые подчиняются ${\displaystyle {\mathsf {C}}\psi ^{(\pm )}=\pm \psi ^{(\pm )}}$ в любой базе. Спинор ${\displaystyle \psi ^{(+)}}$ спинор Майораны в том смысле, что он является сопряженным со своим собственным зарядом; он решает уравнение Майорана. Спинор ${\displaystyle \psi ^{(-)}}$ это спинор Элко, это делает нет решить уравнение Дирака, поскольку оно переворачивает знак минус на массовом члене.

Лоренц-инвариантность

Как отмечалось выше, спинор Элко связан с перевернутым знаком массового члена. Это говорит о том, что необходимо более детально изучить лоренц-инвариантность.

Собственные состояния спина

Одной из удобных отправных точек для написания решений является работа в режиме покоя спиноров. Написание квантового гамильтониана с обычным соглашением о знаках ${\displaystyle H=i\partial _{t}}$ приводит к уравнению Майорана, имеющему вид

${\displaystyle i\partial _{t}\psi =-i{\vec {\alpha }}\cdot \nabla \psi +m\beta \psi _{c}}$

В киральном (вейлевском) базисе имеем

${\displaystyle \gamma ^{0}=\beta ={\begin{pmatrix}0&I\\I&0\end{pmatrix}},\quad {\vec {\alpha }}={\begin{pmatrix}{\vec {\sigma }}&0\\0&-{\vec {\sigma }}\end{pmatrix}}}$

с ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$ то Вектор Паули. Условные обозначения здесь соответствуют статье гамма-матрицы. Подключение к собственному состоянию сопряжения положительного заряда ${\displaystyle \psi _{Weyl}^{(+)}}$ приведенное выше, получается уравнение для двухкомпонентного спинора

${\displaystyle i\partial _{t}\psi _{L}=-i{\vec {\sigma }}\cdot \nabla \psi _{L}+m(i\sigma _{2}\psi _{L}^{*})}$

и аналогично

${\displaystyle i\partial _{t}(i\sigma _{2}\psi _{L}^{*})=+i{\vec {\sigma }}\cdot \nabla (i\sigma _{2}\psi _{L}^{*})+m\psi _{L}}$

Фактически, это одно и то же уравнение, что можно проверить, отметив, что ${\displaystyle \sigma _{2}}$ дает комплексное сопряжение матриц Паули:

${\displaystyle \sigma _{2}({\vec {k}}\cdot {\vec {\sigma }})\sigma _{2}=-{\vec {k}}\cdot {\vec {\sigma }}^{*}.}$

В плоская волна решения могут быть разработаны для энергии-импульса ${\displaystyle (k_{0},{\vec {k}})}$ и их легче всего выразить в остальной рамке. Спин-вверх остальной раствор-кадр

${\displaystyle \psi _{L}^{(u)}={\begin{pmatrix}e^{-imt}\\e^{imt}\end{pmatrix}}}$

в то время как решение с понижением скорости вращения

${\displaystyle \psi _{L}^{(d)}={\begin{pmatrix}e^{imt}\\-e^{-imt}\end{pmatrix}}}$

То, что они интерпретируются правильно, можно увидеть, повторно выразив их в базисе Дирака, как Спиноры Дирака. В этом случае они принимают вид

${\displaystyle \psi _{Dirac}^{(u)}={\begin{bmatrix}e^{-imt}\\0\\0\\-e^{imt}\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle \psi _{Dirac}^{(d)}={\begin{bmatrix}0\\e^{-imt}\\-e^{imt}\\0\end{bmatrix}}}$

Это спиноры покоя. Их можно рассматривать как линейную комбинацию решений уравнения Дирака с положительной и отрицательной энергией. Это единственные два решения; уравнение Майорана имеет только два линейно независимых решения, в отличие от уравнения Дирака, которое имеет четыре. Удвоение степеней свободы уравнения Дирака можно приписать спинорам Дирака, несущим заряд.

Собственные состояния импульса

В общей системе импульсов спинор Майорана можно записать как

Электрический заряд

Появление обоих ${\textstyle \psi }$ и ${\textstyle \psi _{c}}$ в уравнении Майорана означает, что поле${\textstyle \psi }$ не может быть соединен с заряженным электромагнитное поле не нарушая сохранение заряда, поскольку частицы имеют заряд, противоположный их собственным античастицам. Чтобы удовлетворить это ограничение, ${\textstyle \psi }$ должны считаться электрически нейтральными. Это можно сформулировать более подробно.

Уравнение Дирака можно записать в чисто реальной форме, когда гамма-матрицы взяты в представлении Майораны. Тогда уравнение Дирака можно записать как^[b]

${\displaystyle \left(-i{\frac {\partial }{\partial t}}-i{\hat {\alpha }}\cdot \nabla +\beta m\right)\psi =0}$

с ${\displaystyle {\hat {\alpha }}}$ чисто вещественные симметричные матрицы, и ${\displaystyle \beta }$ будучи чисто мнимой кососимметричной. В этом случае можно найти чисто реальные решения уравнения; это спиноры Майораны. Под действием Преобразования Лоренца, они преобразуются при (чисто реальных) вращательная группа ${\displaystyle \mathrm {Spin} (1,3).}$ Это контрастирует с Спиноры Дирака, которые ковариантны только под действием комплексифицированной спиновой группы ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(1,3).}$ Интерпретация состоит в том, что комплексированная спиновая группа кодирует электромагнитный потенциал, а реальная спиновая группа - нет.

Это также можно сформулировать по-другому: уравнение Дирака и спиноры Дирака содержат достаточную калибровочную свободу, чтобы естественным образом кодировать электромагнитные взаимодействия. В этом можно убедиться, заметив, что электромагнитный потенциал можно очень просто добавить к уравнению Дирака, не требуя каких-либо дополнительных модификаций или расширений либо уравнения, либо спинора. Расположение этой дополнительной степени свободы определяется оператором зарядового сопряжения и наложением ограничения Майорана ${\textstyle \psi =\psi _{c}}$ устраняет эту дополнительную степень свободы. После удаления не может быть никакой связи с электромагнитным потенциалом, следовательно, спинор Майорана обязательно электрически нейтрален. Электромагнитная связь может быть получена только добавлением фазового фактора с комплексным числом и связыванием этого фазового фактора с электромагнитным потенциалом.

Вышеизложенное можно еще более уточнить, изучив ситуацию в ${\displaystyle (p,q)}$ пространственные размеры. В этом случае комплексифицированная спиновая группа ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(p,q)}$ имеет двойное покрытие к ${\displaystyle SO(p,q)\times S^{1}}$ с ${\displaystyle S^{1}\cong U(1)}$ круг. Подразумевается, что ${\displaystyle SO(p,q)}$ кодирует обобщенные преобразования Лоренца (конечно), а круг можно отождествить с ${\displaystyle U(1)}$ действие группы датчиков на электрические заряды. То есть действие калибровочной группы комплексифицированной спиновой группы на спинор Дирака может быть разделено на чисто вещественную лоренцеву часть и электромагнитную часть. Это может быть дополнительно проработано на неплохом (неминковском) спиновые многообразия. В этом случае Оператор Дирака действует на спинорный пучок. Разложенный на отдельные члены, он включает обычную ковариантную производную ${\displaystyle d+A.}$ В ${\displaystyle A}$ Можно видеть, что поле возникает непосредственно из кривизны комплексифицированной части спинового пучка, поскольку калибровочные преобразования связаны с комплексифицированной частью, а не с реальной спинорной частью. Что ${\displaystyle A}$ поле соответствует электромагнитному потенциалу, можно увидеть, отметив, что (например) квадрат оператора Дирака равен лапласиану плюс скалярная кривизна ${\displaystyle R}$ (нижележащего многообразия, на котором находится спинорное поле) плюс напряженность (электромагнитного) поля ${\displaystyle F=dA.}$ В случае Майораны на спинор Майораны действуют только преобразования Лоренца; комплексообразование роли не играет. Подробное рассмотрение этих тем можно найти в Jost.^[8] в то время как ${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$ Дело сформулировано в Bleeker.^[9] К сожалению, ни один из этих текстов не формулирует спинор Майораны в прямой форме.

Кванты поля

Кванты уравнения Майорана учитывают два класса частиц: нейтральную частицу и ее нейтральную частицу. античастица. Часто применяемое дополнительное условие ${\textstyle \Psi =\Psi _{c}}$ соответствует спинору Майораны.

Майоранская частица

Основная статья: Майоранская частица

Частицы, соответствующие спинорам Майораны, известны как Майорановые частицы, из-за указанного выше ограничения самосопряженности. Все фермионы, входящие в Стандартная модель были исключены как Майорана фермионы (поскольку они имеют ненулевой электрический заряд, они не могут быть античастицами сами по себе), за исключением нейтрино (что нейтрально).

Теоретически нейтрино - возможное исключение из этой закономерности. Если так, безнейтринный двойной бета-распад, а также ряд нарушающих лептонное число мезон и заряжен лептон распада, возможны. В настоящее время проводится ряд экспериментов, направленных на выяснение того, является ли нейтрино майорановской частицей.^[10]

Примечания

1. Ициксон и Зубер, op. соч. (См. Приложение А)
2. Ициксон и Зубер, (См. Главу 2-1-2, стр. 49)

Рекомендации

1. Этторе Майорана, «Теория Симметрика делль Элеттроне и дель Позитроне», Nuovo Cimento 14 (1937) стр.171–184.PDF Оригинальная итальянская версия
2. Клод Ициксон и Жан-Бернар Зубер, (1980) «Квантовая теория поля», MacGraw-Hill (См. Главу 2-1-2, стр. 49)}}
3. Андреас Асте, (2010) «Прямая дорога к Майоранским полям», Симметрия 2010, 2, pp.1776–1809; DOI: 10.3390 / sym2041776 arXiv: 0806.1690 hep-th
4. Палаш Б. Пал (2011) "Фермионы Дирака, Майораны и Вейля", Американский журнал физики 79, p485. arXiv: 1006.1718 hep-ph
5. Эккарт Марш (2012) "Об уравнении Майорана: взаимосвязь между его комплексными двухкомпонентными и действительными четырехкомпонентными собственными функциями", Международная сеть научных исследований, ISRN Mathematical Physics, Объем 2012, Идентификатор статьи 760239, 17 страниц doi: 10.5402 / 2012/760239 Хиндави
6. Эккарт Марш, (2013) «Новый путь к уравнению Майораны», Симметрия объем 5 выпуск 4, стр.271-286; DOI: 10.3390 / sym5040271. PDF
7. Джеймс Д. Бьоркен, Сидни Д. Дрелл, (1964) «Релятивистская квантовая механика», МакГроу-Хилл (См. Глава 5.2, страницы 66-70)
8. Юрген Йост (2002) «Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е издание) Springer Universitext. (См. Главу 1.8 для спиновых структур и главу 3.4 для оператора Дирака.)
9. Дэвид Бликер, (1981) "Теория калибровки и вариационные принципы" Аддисон-Уэсли (См. Главу 6 о свободном поле Дирака и главу 7 о поле взаимодействия).
10. А. Франклин, Существуют ли действительно нейтрино?: Доказательная история (Westview Press, 2004), стр. 186

Дополнительное чтение

• "Наследие Майораны в современной физике ", Электронный журнал теоретической физики (EJTP) Том 3, выпуск 10 (апрель 2006 г.) Спецвыпуск к столетию со дня рождения Этторе Майорана (1906-1938?). ISSN 1729-5254
• Франк Вильчек, (2009) "Майорана возвращается ", Природа Физика Vol. 5 страницы 614–618.