Спинор Дирака - Dirac spinor

В квантовая теория поля, то Спинор Дирака это спинор это описывает все известные элементарные частицы которые фермионы, за возможным исключением нейтрино. Он появляется в плоская волна решение Уравнение Дирака, и представляет собой определенную комбинацию двух Спиноры Вейля, в частности, биспинор которая трансформируется "спинориально" под действием Группа Лоренца.

Спиноры Дирака важны и интересны во многих отношениях. Прежде всего, они важны, поскольку они описывают все известные фермионы элементарных частиц в природа; это включает электрон и кварки. Алгебраически они действуют в определенном смысле как «квадратный корень» вектор. Это не так очевидно при прямом рассмотрении, но за последние 60 лет постепенно стало очевидно, что спинорные представления являются фундаментальными для геометрия. Например, практически все Римановы многообразия может иметь спиноры и вращать связи построенный на них, через Алгебра Клиффорда.^[1] Спинор Дирака специфичен для спинора Пространство-время Минковского и Преобразования Лоренца; общий случай очень похож.

Остальная часть статьи изложена в педагогической манере с использованием обозначений и соглашений, характерных для стандартного представления спинора Дирака в учебниках по квантовой теории поля. Основное внимание уделяется алгебре решений в виде плоских волн. Способ преобразования спинора Дирака под действием группы Лоренца обсуждается в статье о биспиноры.

Данная статья посвящена спинору Дирака в Представление Дирака. Это соответствует определенному представлению гамма-матрицы, и лучше всего подходит для демонстрации решений уравнения Дирака с положительной и отрицательной энергией. Есть и другие представления, в первую очередь хиральное представление, который лучше подходит для демонстрации киральная симметрия решений уравнения Дирака. Хиральные спиноры могут быть записаны как линейные комбинации спиноров Дирака, представленных ниже; таким образом, ничего не теряется или не приобретается, кроме изменения перспективы в отношении дискретные симметрии решений.

Определение

В Спинор Дирака это биспинор в плоская волна решение

${\displaystyle \psi =\omega _{\vec {p}}\;e^{-ipx}\;}$

из бесплатных Уравнение Дирака,

${\displaystyle \left(i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc\right)\psi =0\;\Rightarrow \left(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\psi =0\;}$

где (в единицах ${\displaystyle c\,=\,\hbar \,=\,1}$)

${\displaystyle \psi }$ это релятивистский спин-1/2 поле,

${\displaystyle \omega _{\vec {p}}}$ Дирак спинор связанных с плоской волной с волновой вектор ${\displaystyle {\vec {p}}}$,

${\displaystyle px\;\equiv \;p_{\mu }x^{\mu }\;\equiv \;Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}}$,

${\displaystyle p^{\mu }\;=\;\left\{\pm {\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}},\,{\vec {p}}\right\}}$ - четырехволновой вектор плоской волны, где ${\displaystyle {\vec {p}}}$ произвольно,

${\displaystyle x^{\mu }}$ четыре координаты в данной инерциальная система отсчета ссылки.

Спинор Дирака для решения с положительной частотой можно записать как

${\displaystyle \omega _{\vec {p}}={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E_{\vec {p}}+m}}\phi \end{bmatrix}}\;,}$

куда

${\displaystyle \phi }$ - произвольный двухспинор,

${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$ это Вектор Паули,

${\displaystyle E_{\vec {p}}}$ положительный квадратный корень ${\displaystyle E_{\vec {p}}\;=\;+{\sqrt {m^{2}+{\vec {p}}^{2}}}}$

В натуральные единицы, когда м² добавлен к п² или когда м добавлен к ${\displaystyle {p\!\!\!/}}$, м средства MC в обычных единицах; когда м добавлен к E, м средства MC² в обычных единицах. Когда м добавлен к ${\displaystyle \partial _{\mu }}$ или чтобы ${\displaystyle \nabla }$ это означает ${\displaystyle {mc \over \hbar }}$ (который называется «обратным приведенным Комптоновская длина волны ») В обычных единицах.

Вывод из уравнения Дирака

Уравнение Дирака имеет вид

${\displaystyle \left(-i{\vec {\alpha }}\cdot {\vec {\nabla }}+\beta m\right)\psi =i{\frac {\partial \psi }{\partial t}}\,}$

Чтобы получить выражение для четырехспинора ${\displaystyle \scriptstyle \omega }$, матрицы α и β можно представить в конкретном виде. Точная форма, которую они принимают, зависит от репрезентации. Для всей статьи используется представление Дирака. В этом представлении матрицы имеют вид

${\displaystyle {\vec {\alpha }}={\begin{bmatrix}\mathbf {0} &{\vec {\sigma }}\\{\vec {\sigma }}&\mathbf {0} \end{bmatrix}}\quad \quad \beta ={\begin{bmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &-\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$

Эти две матрицы 4 × 4 связаны с Гамма-матрицы Дирака. Обратите внимание, что 0 и я здесь матрицы 2 × 2.

Следующим шагом будет поиск решений вида

${\displaystyle \psi =\omega e^{-ip\cdot x}=\omega e^{-i\left(Et-{\vec {p}}\cdot {\vec {x}}\right)}}$,

при этом разделяя ω на два двухспинора:

${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}\,}$.

Полученные результаты

Использование всей вышеуказанной информации для включения в уравнение Дирака приводит к

${\displaystyle E{\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\mathbf {I} &{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\\{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}&-m\mathbf {I} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\phi \\\chi \end{bmatrix}}}$.

Это матричное уравнение на самом деле представляет собой два связанных уравнения:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(E-m\right)\phi &=\left({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\chi \\\left(E+m\right)\chi &=\left({\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}\right)\phi \end{aligned}}}$

Решите 2-е уравнение относительно ${\displaystyle \scriptstyle \chi \,}$ и получается

${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}\,}$.

Обратите внимание, что это решение должно иметь ${\displaystyle E=+{\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}$ для того, чтобы решение было действительным в кадре, где частица ${\displaystyle {\vec {p}}={\vec {0}}}$.

Вывод знака энергии в этом случае

Мы рассматриваем потенциально проблемный термин ${\displaystyle {\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi }$.

• Если ${\displaystyle E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}$, четко ${\displaystyle {\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\rightarrow 0}$ в качестве ${\displaystyle {\vec {p}}\rightarrow {\vec {0}}}$.
• С другой стороны, пусть ${\displaystyle E=-{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}$, ${\displaystyle {\vec {p}}=p{\hat {n}}}$ с ${\displaystyle {\hat {n}}}$ единичный вектор, и пусть ${\displaystyle p\rightarrow 0}$.

${\displaystyle {\begin{aligned}E=-m{\sqrt {1+{\frac {p^{2}}{m^{2}}}}}&\rightarrow -m\left(1+{\frac {1}{2}}{\frac {p^{2}}{m^{2}}}\right)\\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}&\rightarrow p{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\hat {n}}}{-m-{\frac {p^{2}}{2m}}+m}}\propto {\frac {1}{p}}\rightarrow \infty \end{aligned}}}$

Следовательно, отрицательное решение явно следует опустить, и ${\displaystyle E=+{\sqrt {p^{2}+m^{2}}}}$.

Собирая эти части, положительное энергетическое решение условно записывается как

${\displaystyle \psi ^{(+)}=u^{(\phi )}({\vec {p}})e^{-ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}e^{-ip\cdot x}}$

Вышеупомянутый вводит коэффициент нормализации ${\displaystyle \textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}},}$ выведено в следующем разделе.

Решая вместо этого 1-е уравнение для ${\displaystyle \phi \,}$ найден другой набор решений:

${\displaystyle \omega ={\begin{bmatrix}-{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{-E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}\,}$.

В этом случае необходимо обеспечить соблюдение этого ${\displaystyle E=-\textstyle {\sqrt {{\vec {p}}^{2}+m^{2}}}}$ чтобы это решение было действительным в системе отсчета, где частица ${\displaystyle {\vec {p}}={\vec {0}}}$. Доказательство проводится аналогично предыдущему случаю. Это так называемый решение с отрицательной энергией. Иногда может сбивать с толку перенос явно отрицательной энергии, поэтому принято менять знак как для энергии, так и для импульса и записывать это как

${\displaystyle \psi ^{(-)}=v^{(\chi )}({\vec {p}})e^{ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}}$

В дальнейшем развитии ${\displaystyle \psi ^{(+)}}$-типа решения называются частица решения, описывающие частицу положительной массы со спином 1/2, несущую положительную энергию, и ${\displaystyle \psi ^{(-)}}$-типа решения называются античастица решения, снова описывающие частицу положительной массы со спином 1/2, снова несущую положительную энергию. В лабораторных условиях считается, что оба имеют положительную массу и положительную энергию, хотя они по-прежнему очень двойственны друг другу, с перевернутым знаком на плоской волне античастицы, предполагающей, что она «движется назад во времени». Интерпретация «обратного времени» немного субъективна и неточна, что равносильно маханию рукой, когда единственное свидетельство - эти решения. Это действительно получает более убедительные доказательства при рассмотрении квантованного поля Дирака. Более точное значение этих двух наборов решений, «противоположных друг другу», дается в разделе, посвященном зарядовое сопряжение, ниже.

Ориентация вращения

Двухспиноры

В представлении Дирака наиболее удобными определениями двух спиноров являются:

${\displaystyle \phi ^{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\quad \quad \phi ^{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\,}$

и

${\displaystyle \chi ^{1}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}\quad \quad \chi ^{2}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}\,}$

Матрицы Паули

В Матрицы Паули находятся

${\displaystyle \sigma _{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\quad \quad \sigma _{2}={\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}\quad \quad \sigma _{3}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}}$

Используя их, можно получить то, что иногда называют Вектор Паули:

${\displaystyle {\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}=\sigma _{1}p_{1}+\sigma _{2}p_{2}+\sigma _{3}p_{3}={\begin{bmatrix}p_{3}&p_{1}-ip_{2}\\p_{1}+ip_{2}&-p_{3}\end{bmatrix}}}$

Ортогональность

Спиноры Дирака обеспечивают полный и ортогональный набор решений уравнения Дирака.^[2][3] Это проще всего продемонстрировать, записав спиноры в системе координат покоя, где это становится очевидным, а затем перейдя в произвольную систему координат Лоренца. В системе покоя, где трехимпульс исчезает: ${\displaystyle {\vec {p}}={\vec {0}},}$ можно определить четыре спинора

${\displaystyle u^{(1)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad u^{(2)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\1\\0\\0\end{bmatrix}}\qquad v^{(1)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\0\end{bmatrix}}\qquad v^{(2)}\left({\vec {0}}\right)={\begin{bmatrix}0\\0\\0\\1\end{bmatrix}}}$

Представляем Обозначение фейнмана слэш

${\displaystyle {p\!\!\!/}=\gamma ^{\mu }p_{\mu }}$

усиленные спиноры можно записать как

${\displaystyle u^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\frac {{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}u^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi ^{(s)}\\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi ^{(s)}\end{bmatrix}}}$

и

${\displaystyle v^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\frac {-{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}v^{(s)}\left({\vec {0}}\right)=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi ^{(s)}\\\chi ^{(s)}\end{bmatrix}}}$

Сопряженные спиноры определяются как ${\displaystyle {\overline {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ которое можно показать, чтобы решить сопряженное уравнение Дирака

${\displaystyle {\overline {\psi }}(i{\partial \!\!\!/}+m)=0}$

при этом производная считается действующей влево. Тогда сопряженные спиноры

${\displaystyle {\overline {u}}^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\overline {u}}^{(s)}\left({\vec {0}}\right){\frac {{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}}$

и

${\displaystyle {\overline {v}}^{(s)}\left({\vec {p}}\right)={\overline {v}}^{(s)}\left({\vec {0}}\right){\frac {-{p\!\!\!/}+m}{\sqrt {2m(E+m)}}}}$

Выбранная здесь нормализация такова, что скалярный инвариант ${\displaystyle {\overline {\psi }}\psi }$ действительно инвариантен во всех фреймах Лоренца. В частности, это означает

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {u}}^{(a)}(p)u^{(b)}(p)&=\delta _{ab}&{\overline {u}}^{(a)}(p)v^{(b)}(p)&=0\\{\overline {v}}^{(a)}(p)v^{(b)}(p)&=-\delta _{ab}&{\overline {v}}^{(a)}(p)u^{(b)}(p)&=0\end{aligned}}}$

Полнота

Четыре спинора покоя ${\displaystyle u^{(s)}({\vec {0}}),}$ ${\displaystyle \;v^{(s)}({\vec {0}})}$ указывают на то, что существует четыре различных, действительных, линейно независимых решения уравнения Дирака. То, что они действительно являются решениями, можно пояснить, заметив, что при записи в импульсном пространстве уравнение Дирака имеет вид

${\displaystyle ({p\!\!\!/}-m)u^{(s)}({\vec {p}})=0}$

и

${\displaystyle ({p\!\!\!/}+m)v^{(s)}({\vec {p}})=0}$

Это следует потому, что

${\displaystyle {p\!\!\!/}{p\!\!\!/}=p^{\mu }p_{\mu }=m^{2}}$

что, в свою очередь, следует из антикоммутационных соотношений для гамма-матрицы:

${\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }}$

с ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$ в метрический тензор в плоском пространстве (в искривленном пространстве гамма-матрицы можно рассматривать как своего рода vielbein, хотя это выходит за рамки данной статьи). Возможно, полезно отметить, что уравнение Дирака, записанное в системе покоя, принимает вид

${\displaystyle (\gamma ^{0}-1)u^{(s)}({\vec {0}})=0}$

и

${\displaystyle (\gamma ^{0}+1)v^{(s)}({\vec {0}})=0}$

так что спиноры системы покоя можно правильно интерпретировать как решения уравнения Дирака. Здесь четыре уравнения, а не восемь. Хотя 4-спиноры записываются как четыре комплексных числа, что предполагает 8 действительных переменных, только четыре из них обладают динамической независимостью; остальные четыре не имеют значения и всегда могут быть параметризованы. То есть можно было взять каждый из четырех векторов ${\displaystyle u^{(s)}({\vec {0}}),}$ ${\displaystyle \;v^{(s)}({\vec {0}})}$ и умножить каждую на отдельную глобальную фазу ${\displaystyle e^{i\eta }.}$ Эта фаза ничего не меняет; это можно интерпретировать как своего рода глобальную калибровочную свободу. Это не означает, что «фазы не имеют значения», как, конечно, они имеют значение; уравнение Дирака должно быть записано в сложной форме, а фазы связаны с электромагнетизмом. Фазы даже имеют физическое значение, так как Эффект Бома-Ааронова подразумевает: поле Дирака, связанное с электромагнетизмом, является U (1) пучок волокон (в связка кругов ), а эффект Бома-Ааронова демонстрирует голономия этого пакета. Все это не оказывает прямого влияния на подсчет количества различных компонентов поля Дирака. В любом сеттинге есть только четыре реальных отдельных компонента.

При соответствующем выборе гамма-матриц можно записать уравнение Дирака в чисто реальной форме, имея только действительные решения: это Уравнение майорана. Однако у него есть только два линейно независимых решения. Эти решения делают нет пара с электромагнетизмом; они описывают массивную электрически нейтральную частицу со спином 1/2. Очевидно, связь с электромагнетизмом удваивает количество решений. Но, конечно, в этом есть смысл: связь с электромагнетизмом требует взятия реального поля и его усложнения. Приложив некоторые усилия, уравнение Дирака можно интерпретировать как «комплексное» уравнение Майорана. Это проще всего продемонстрировать в общей геометрической обстановке, выходящей за рамки данной статьи.

Матрицы проекции собственных состояний энергии

Обычно определяют пару проекция матрицы ${\displaystyle \Lambda _{+}}$ и ${\displaystyle \Lambda _{-}}$, которые проецируют собственные состояния положительной и отрицательной энергии. Для фиксированной системы координат Лоренца (т.е. фиксированный импульс), это

${\displaystyle {\begin{aligned}\Lambda _{+}(p)=\sum _{s=1,2}{u_{p}^{(s)}\otimes {\bar {u}}_{p}^{(s)}}&={\frac {{p\!\!\!/}+m}{2m}}\\\Lambda _{-}(p)=\sum _{s=1,2}{v_{p}^{(s)}\otimes {\bar {v}}_{p}^{(s)}}&={\frac {-{p\!\!\!/}+m}{2m}}\end{aligned}}}$

Это пара матриц 4х4. Они суммируются в единичную матрицу:

${\displaystyle \Lambda _{+}(p)+\Lambda _{-}(p)=I}$

ортогональны

${\displaystyle \Lambda _{+}(p)\Lambda _{-}(p)=\Lambda _{-}(p)\Lambda _{+}(p)=0}$

и есть идемпотент

${\displaystyle \Lambda _{\pm }(p)\Lambda _{\pm }(p)=\Lambda _{\pm }(p)}$

Их след удобно заметить:

${\displaystyle \operatorname {tr} \Lambda _{\pm }(p)=2}$

Обратите внимание, что след и свойства ортонормированности сохраняются независимо от фрейма Лоренца; это коварианты Лоренца.

Спряжение заряда

Спряжение заряда преобразует спинор с положительной энергией в спинор с отрицательной энергией. Зарядовое сопряжение - это отображение ( инволюция ) ${\displaystyle \psi \mapsto \psi _{c}}$ имеющий явный вид

${\displaystyle \psi _{c}=\eta C\left({\overline {\psi }}\right)^{\textsf {T}}}$

куда ${\displaystyle (\cdot )^{\textsf {T}}}$ обозначает транспонирование, ${\displaystyle C}$ является матрицей 4 × 4, а ${\displaystyle \eta }$ - произвольный фазовый множитель, ${\displaystyle \eta ^{*}\eta =1.}$ Статья о зарядовое сопряжение происходит от приведенной выше формы и демонстрирует, почему слово «заряд» является подходящим для использования: его можно интерпретировать как электрический заряд. В представлении Дирака для гамма-матрицы, матрица ${\displaystyle C}$ можно записать как

${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma _{2}\\-i\sigma _{2}&0\end{pmatrix}}}$

Таким образом, решение с положительной энергией (отбрасывая верхний индекс спина, чтобы избежать перегрузки записи)

${\displaystyle \psi ^{(+)}=u\left({\vec {p}}\right)e^{-ip\cdot x}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}\phi \\{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi \end{bmatrix}}e^{-ip\cdot x}}$

переносится к его зарядовому конъюгату

${\displaystyle \psi _{c}^{(+)}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}-i\sigma _{2}\phi ^{*}\\i\sigma _{2}{\frac {{\vec {\sigma }}^{*}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\phi ^{*}\end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}}$

Обратите внимание на случайные комплексные конъюгаты. Их можно объединить с идентичностью

${\displaystyle \sigma _{2}\;\left({\vec {\sigma }}^{*}\cdot {\vec {k}}\right)\;\sigma _{2}=-{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {k}}}$

чтобы получить

${\displaystyle \psi _{c}^{(+)}=\textstyle {\sqrt {\frac {E+m}{2m}}}{\begin{bmatrix}{\frac {{\vec {\sigma }}\cdot {\vec {p}}}{E+m}}\chi \\\chi \end{bmatrix}}e^{ip\cdot x}}$

с 2-спинорным существом

${\displaystyle \chi =-i\sigma _{2}\phi ^{*}}$

Поскольку это точно имеет форму решения с отрицательной энергией, становится ясно, что зарядовое сопряжение меняет местами растворы частиц и античастиц. Обратите внимание, что не только энергия меняется на противоположную, но также меняется и импульс. Вращение вверх превращается в замедление. Можно показать, что паритет также перевернут. Зарядовое конъюгация - это во многом сочетание спинора Дирака с его «полной противоположностью».

Смотрите также

• Уравнение Дирака
• Уравнение Вейля
• Уравнение майорана
• Основа спиральности
• Отжим (1,3), то двойная крышка из ТАК (1,3) по вращательная группа

Рекомендации

1. Юрген Йост, (2002) «Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е издание)», Springer. См. Главу 1, раздел 1.8.
2. Джеймс Д. Бьоркен, Сидни Д. Дрелл, (1964) «Релятивистская квантовая механика», МакГроу-Хилл (См. Главу 3)
3. Клод Ициксон и Жан-Бернар Зубер, (1980) «Квантовая теория поля», MacGraw-Hill (См. Главу 2)

• Aitchison, I.J.R .; A.J.G. Привет (сентябрь 2002 г.). Калибровочные теории в физике элементарных частиц (3-е изд.). Издательский институт Физики. ISBN  0-7503-0864-8.
• Миллер, Дэвид (2008). «Релятивистская квантовая механика (РКМ)» (PDF). С. 26–37.