Гамма-матрицы - Gamma matrices - Wikipedia

В математическая физика, то гамма матрицы, ${\displaystyle \{\gamma ^{0},\gamma ^{1},\gamma ^{2},\gamma ^{3}\}}$, также известный как Дирак матрицы, представляют собой набор обычных матриц с определенными антикоммутация отношения, которые обеспечивают генерировать матричное представление Алгебра Клиффорда Cℓ_1,3(р). Также можно определить многомерные гамма-матрицы. При интерпретации как матрицы действия набора ортогональный базисные векторы за контравариантный векторов в Пространство Минковского, векторы-столбцы, на которые действуют матрицы, становятся пространством спиноры, на котором алгебра Клиффорда пространство-время действует. Это, в свою очередь, позволяет представить бесконечно малые пространственные вращения и Лоренц усиливает. Спиноры в целом упрощают вычисления пространства-времени и, в частности, являются фундаментальными для Уравнение Дирака для релятивистского спин-½ частицы.

В Представление Дирака, четверка контравариантный гамма-матрицы

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}},&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\-1&0&0&0\end{pmatrix}},\\\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&i&0&0\\-i&0&0&0\end{pmatrix}},&\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\-1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle \gamma ^{0}}$ - временноподобная эрмитова матрица. Остальные три представляют собой пространственно-подобные антиэрмитовые матрицы. Более компактно, ${\displaystyle \gamma ^{0}=\sigma ^{3}\otimes I}$, и ${\displaystyle \gamma ^{j}=i\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{j}}$, куда ${\displaystyle \otimes }$ обозначает Кронекер продукт и ${\displaystyle \sigma ^{j}}$ (за j = 1, 2, 3) обозначают Матрицы Паули.

Гамма-матрицы имеют групповую структуру, гамма группа, который является общим для всех матричных представлений группы в любом измерении для любой сигнатуры метрики. Например, Матрицы Паули представляют собой набор «гамма» -матриц размерности 3 с метрикой евклидовой сигнатуры (3, 0). В 5 измерениях пространства-времени 4 гамма-матрицы выше вместе с пятой гамма-матрицей, которая будет представлена ​​ниже, образуют алгебру Клиффорда.

Математическая структура

Определяющее свойство гамма-матриц для создания Алгебра Клиффорда это антикоммутационное отношение

${\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4},}$

куда ${\displaystyle \{,\}}$ это антикоммутатор, ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }}$ это Метрика Минковского с подписью (+ − − −), и ${\displaystyle I_{4}}$ это 4 × 4 единичная матрица.

Это определяющее свойство является более фундаментальным, чем числовые значения, используемые в конкретном представлении гамма-матриц. Ковариантный гамма-матрицы определяются

${\displaystyle \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{\gamma ^{0},-\gamma ^{1},-\gamma ^{2},-\gamma ^{3}\right\},}$

и Обозначения Эйнштейна предполагается.

Обратите внимание, что другой подписать соглашение для метрики, (− + + +) требует либо изменения в определяющем уравнении:

${\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=-2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}$

или умножение всех гамма-матриц на ${\displaystyle i}$, что, конечно же, меняет их свойства эрмитичности, подробно описанные ниже. В соответствии с альтернативным соглашением о знаках для метрики ковариантные гамма-матрицы затем определяются как

${\displaystyle \gamma _{\mu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\left\{-\gamma ^{0},+\gamma ^{1},+\gamma ^{2},+\gamma ^{3}\right\}.}$

Физическая структура

Алгебра Клиффорда Cl_1,3(ℝ) в пространстве-времени V можно рассматривать как множество вещественных линейных операторов из V себе, Конец(V), или в более общем смысле, когда усложненный к Cl_1,3(ℝ)_ℂ, как набор линейных операторов из любого 4-мерного комплексного векторного пространства в себя. Проще говоря, имея основу для V, Cl_1,3(ℝ)_ℂ это просто набор всех 4 × 4 комплексные матрицы, но наделенные структурой алгебры Клиффорда. Предполагается, что пространство-время наделено метрикой Минковского. η_μν. Пространство биспиноров, U_Икс, также предполагается в каждой точке пространства-времени, наделенного биспинорное представительство из Группа Лоренца. Биспинорные поля Ψ уравнений Дирака, вычисленных в любой точке Икс в пространстве-времени являются элементами U_Икс, Смотри ниже. Предполагается, что алгебра Клиффорда действует на U_Икс а также (умножением матриц на векторы-столбцы Ψ (Икс) в U_Икс для всех Икс). Это будет первичный вид элементов Cl_1,3(ℝ)_ℂ в этой секции.

Для каждого линейного преобразования S из U_Икс, происходит преобразование Конец(U_Икс) данный SES⁻¹ за E в Cl_1,3(ℝ)_ℂ ≈ Конец (U_Икс). Если S принадлежит представлению группы Лоренца, то индуцированное действие E ↦ SES⁻¹ также будет принадлежать представлению группы Лоренца, см. Теория представлений группы Лоренца.

Если S (Λ) это биспинорное представительство действующий на U_Икс произвольного Преобразование Лоренца Λ в стандартном (4-векторном) представлении, действующем на V, то на Конец(U_Икс) = Cl_1,3(ℝ)_ℂ данный

${\displaystyle \gamma ^{\mu }\mapsto S(\Lambda )\gamma ^{\mu }S(\Lambda )^{-1}={(\Lambda ^{-1})^{\mu }}_{\nu }\gamma ^{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }\gamma ^{\nu },}$

показывая, что γ^μ можно рассматривать как основа из пространство представления из 4-векторное представление группы Лоренца, сидящей внутри алгебры Клиффорда. Последняя идентичность может быть распознана как определяющее отношение для матриц, принадлежащих неопределенная ортогональная группа, который ${\displaystyle \eta \Lambda ^{T}\eta =\Lambda ^{-1},}$ записано в индексированной записи. Это означает, что количества вида

${\displaystyle a\!\!\!/:=a_{\mu }\gamma ^{\mu }}$

следует рассматривать как 4-векторы в манипуляциях. Это также означает, что индексы можно поднимать и опускать на γ используя метрику η_μν как с любым 4-вектором. Обозначение называется Обозначение фейнмана слэш. Операция косой черты отображает основу е_μ из V, или любое 4-мерное векторное пространство, в базисные векторы γ_μ. Правило преобразования для сокращенных величин просто

${\displaystyle {a\!\!\!/}^{\mu }\mapsto {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{a\!\!\!/}^{\nu }.}$

Следует отметить, что это отличается от правила преобразования для γ^μ, которые теперь рассматриваются как (фиксированные) базисные векторы. Обозначение 4-го кортежа (γ^μ) = (γ⁰, γ¹, γ², γ³) Таким образом, термин "4-вектор", который иногда встречается в литературе, является некорректным. Последнее преобразование соответствует активному преобразованию компонентов разрезанной величины по базису γ^μ, а первое - к пассивному преобразованию базиса γ^μ сам.

Элементы σ^μν = γ^μγ^ν − γ^νγ^μ сформировать представление о Алгебра Ли группы Лоренца. Это представление вращения. Когда эти матрицы и их линейные комбинации возведены в степень, они являются биспинорными представлениями группы Лоренца, например, S (Λ) из вышеперечисленных имеют эту форму. 6-мерное пространство σ^μν span - это пространство представления тензорного представления группы Лоренца. Об элементах высших порядков алгебры Клиффорда в целом и правилах их преобразования см. Статью Алгебра Дирака. Спиновое представление группы Лоренца закодировано в вращательная группа Вращение(1, 3) (для реальных незаряженных спиноров) и в комплексифицированной спиновой группе Spinc (1, 3) для заряженных (дираковских) спиноров.

Выражение уравнения Дирака

Основная статья: Уравнение Дирака

В натуральные единицы, уравнение Дирака можно записать как

${\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0}$

куда ${\displaystyle \psi }$ спинор Дирака.

Переход на Обозначение Фейнмана, уравнение Дирака имеет вид

${\displaystyle (i{\partial \!\!\!/}-m)\psi =0.}$

Пятая «гамма» матрица, γ⁵

Полезно определить произведение четырех гамма-матриц как ${\displaystyle \gamma ^{5}=\sigma _{1}\otimes I}$, так что

${\displaystyle \gamma ^{5}:=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{pmatrix}}}$ (в базисе Дирака).

Несмотря на то что ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ использует буквенную гамму, это не одна из то гамма-матрицы Cℓ_1,3(р). Число 5 - это пережиток старых обозначений, в которых ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ назывался "${\displaystyle \gamma ^{4}}$".

${\displaystyle \gamma ^{5}}$ имеет также альтернативную форму:

${\displaystyle \gamma ^{5}={\frac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }}$

используя соглашение ${\displaystyle \varepsilon _{0123}=1}$, или же

${\displaystyle \gamma ^{5}=-{\frac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \alpha \beta }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\alpha }\gamma _{\beta }}$

используя соглашение ${\displaystyle \varepsilon ^{0123}=1}$.

Доказательство

Это можно увидеть, воспользовавшись тем фактом, что все четыре гамма-матрицы антикоммутируют, поэтому

${\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\gamma ^{[0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3]}={\frac {1}{4!}}\delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{0123}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }}$,

куда ${\displaystyle \delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }}$ это тип (4,4) обобщенная дельта Кронекера в 4-х измерениях, полностью антисимметризация. Если ${\displaystyle \varepsilon _{\alpha \dots \beta }}$ обозначает Символ Леви-Чивита в п размеры, мы можем использовать идентичность ${\displaystyle \delta _{\mu \nu \varrho \sigma }^{\alpha \beta \gamma \delta }=\varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }}$.Тогда мы получаем, используя соглашение ${\displaystyle \varepsilon ^{0123}=1}$,

${\displaystyle \gamma ^{5}=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}={\frac {i}{4!}}\varepsilon ^{0123}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }={\frac {i}{4!}}\varepsilon _{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\varrho }\gamma ^{\sigma }=-{\frac {i}{4!}}\varepsilon ^{\mu \nu \varrho \sigma }\,\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }\gamma _{\varrho }\gamma _{\sigma }}$

Эта матрица полезна при обсуждении квантово-механических хиральность. Например, поле Дирака можно спроецировать на его левую и правую составляющие:

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\psi ,\qquad \psi _{\rm {R}}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}\psi }$.

Некоторые свойства:

• Это отшельник:

  ${\displaystyle (\gamma ^{5})^{\dagger }=\gamma ^{5}.}$

• Его собственные значения равны ± 1, потому что:

  ${\displaystyle (\gamma ^{5})^{2}=I_{4}.}$

• Он антикоммутируется с четырьмя гамма-матрицами:

  ${\displaystyle \left\{\gamma ^{5},\gamma ^{\mu }\right\}=\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0.}$

Фактически, ${\displaystyle \psi _{\rm {L}}}$ и ${\displaystyle \psi _{\rm {R}}}$ являются собственными векторами ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ поскольку

${\displaystyle \gamma ^{5}\psi _{\rm {L}}={\frac {\gamma ^{5}-(\gamma ^{5})^{2}}{2}}\psi =-\psi _{\rm {L}}}$, и ${\displaystyle \gamma ^{5}\psi _{\rm {R}}={\frac {\gamma ^{5}+(\gamma ^{5})^{2}}{2}}\psi =\psi _{\rm {R}}.}$

Пять измерений

В Алгебра Клиффорда в нечетных размерах ведет себя как два копии алгебры Клиффорда на одно измерение меньше, левую копию и правую копию.^[1] Таким образом, можно использовать небольшой трюк, чтобы перепрофилировать яγ⁵ как один из генераторов алгебры Клиффорда в пяти измерениях. В этом случае набор {γ⁰, γ¹, γ², γ³, iγ⁵} следовательно, по последним двум свойствам (учитывая, что я² = −1) и те из старых гамм, составляет основу алгебры Клиффорда в 5 пространственно-временные измерения для метрической подписи (1,4).^[2] В метрической подписи (4,1), набор {γ⁰, γ¹, γ², γ³, γ⁵} используется, где γ^μ подходят для (3,1) подпись.^[3] Этот образец повторяется для измерения пространства-времени. 2п четное и следующее нечетное измерение 2п + 1 для всех п ≥ 1.^[4] Подробнее см. Гамма-матрицы более высокой размерности.

Идентичности

Следующие тождества следуют из фундаментального антикоммутационного соотношения, поэтому они верны в любом базисе (хотя последнее зависит от выбора знака для ${\displaystyle \gamma ^{5}}$).

Разные личности

1. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I_{4}}$
   Доказательство

   Возьмем стандартное антикоммутационное отношение:

   ${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}.}$

   Можно сделать эту ситуацию похожей, используя метрику ${\displaystyle \eta }$:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}&\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }\\={}&\gamma ^{\mu }\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\end{aligned}}}$
   ${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \nu }+\eta _{\nu \mu }\right)\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }}$	(${\displaystyle \eta }$ симметричный)
   ${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\eta _{\nu \mu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)}$	(расширяется)
   ${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\eta _{\mu \nu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\right)}$	(термин переназначение справа)
   ${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}}$
   ${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\eta _{\mu \nu }\left(2\eta ^{\mu \nu }I_{4}\right)=\eta _{\mu \nu }\eta ^{\mu \nu }I_{4}=4I_{4}.}$

2. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\nu }}$
   Доказательство

   Аналогично доказательству 1, снова начиная со стандартного коммутационного соотношения:

   ${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma _{\mu }&=\gamma ^{\mu }\left(2\eta _{\mu }^{\nu }I_{4}-\gamma _{\mu }\gamma ^{\nu }\right)\\&=2\gamma ^{\mu }\eta _{\mu }^{\nu }-\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }\gamma ^{\nu }\\&=2\gamma ^{\nu }-4\gamma ^{\nu }=-2\gamma ^{\nu }.\end{aligned}}}$

3. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}}$
   Доказательство

   Показывать

   ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}.}$

   Используйте антикоммутатор, чтобы сдвинуть ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ Направо

   ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }}$	${\displaystyle =\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }}$
   	${\displaystyle =2\ \eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }-\gamma ^{\nu }\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\rho }\right\}\gamma _{\mu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }.}$

   Используя соотношение ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma _{\mu }=4I}$ мы можем сократить последние две гаммы и получить

   ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }}$	${\displaystyle =2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }-\gamma ^{\nu }2\eta ^{\mu \rho }\gamma _{\mu }+4\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }}$
   	${\displaystyle =2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }-2\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }+4\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }}$
   	${\displaystyle =2\left(\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)}$
   	${\displaystyle =2\left\{\gamma ^{\nu },\gamma ^{\rho }\right\}.}$

   Наконец, используя антикоммутаторное тождество, получаем

   ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma _{\mu }=4\eta ^{\nu \rho }I_{4}.}$

4. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }=-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }}$
   Доказательство

   ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }}$	${\displaystyle =(2\eta ^{\mu \nu }-\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }\,}$ (антикоммутаторная идентичность)
   	${\displaystyle =2\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma _{\mu }-4\gamma ^{\nu }\eta ^{\rho \sigma }\,}$ (используя удостоверение 3)
   	${\displaystyle =2\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }-4\gamma ^{\nu }\eta ^{\rho \sigma }}$ (поднимая индекс)
   	${\displaystyle =2\left(2\eta ^{\rho \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)\gamma ^{\nu }-4\gamma ^{\nu }\eta ^{\rho \sigma }}$ (антикоммутаторная идентичность)
   	${\displaystyle =-2\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\nu }}$ (2 условия отменить)

5. ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }=\eta ^{\mu \nu }\gamma ^{\rho }+\eta ^{\nu \rho }\gamma ^{\mu }-\eta ^{\mu \rho }\gamma ^{\nu }-i\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}}$
   Доказательство

   Если ${\displaystyle \mu =\nu =\rho }$ тогда ${\displaystyle \epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }=0}$ и это легко проверить личность. Так бывает и тогда, когда ${\displaystyle \mu =\nu \neq \rho }$, ${\displaystyle \mu =\rho \neq \nu }$ или же ${\displaystyle \nu =\rho \neq \mu }$.

   С другой стороны, если все три индекса разные, ${\displaystyle \eta ^{\mu \nu }=0}$, ${\displaystyle \eta ^{\mu \rho }=0}$ и ${\displaystyle \eta ^{\nu \rho }=0}$ и обе стороны полностью антисимметричны; левая часть из-за антикоммутативности ${\displaystyle \gamma }$ матриц, а в правой части из-за антисимметрии ${\displaystyle \epsilon _{\sigma \mu \nu \rho }}$. Таким образом, достаточно проверить тождества для случаев ${\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}}$, ${\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{3}}$, ${\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{2}\gamma ^{3}}$ и ${\displaystyle \gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}}$.

   ${\displaystyle {\begin{aligned}-i\epsilon ^{\sigma 012}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{3012}\left(-\gamma ^{3}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=-\epsilon ^{3012}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}=\epsilon ^{0123}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\\-i\epsilon ^{\sigma 013}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{2013}\left(-\gamma ^{2}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=\epsilon ^{2013}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{3}=\epsilon ^{0123}\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{3}\\-i\epsilon ^{\sigma 023}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{1023}\left(-\gamma ^{1}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=-\epsilon ^{1023}\gamma ^{0}\gamma ^{2}\gamma ^{3}=\epsilon ^{0123}\gamma ^{0}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\\-i\epsilon ^{\sigma 123}\gamma _{\sigma }\gamma ^{5}&=-i\epsilon ^{0123}\left(\gamma ^{0}\right)\left(i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)=\epsilon ^{0123}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\end{aligned}}}$

6. ${\displaystyle \gamma ^{5}\gamma ^{\nu \rho }={\frac {i}{2}}\epsilon ^{\sigma \mu \nu \rho }\gamma _{\sigma \mu }}$

Идентификаторы трассировки

Гамма-матрицы подчиняются следующим отслеживать личности:

0. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\right)=0}$
1. След любого товара из нечетного количества ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ ноль
2. След ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ умноженное на произведение нечетного числа ${\displaystyle \gamma ^{\mu }}$ все еще ноль
3. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=4\eta ^{\mu \nu }}$
4. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\right)=4\left(\eta ^{\mu \nu }\eta ^{\rho \sigma }-\eta ^{\mu \rho }\eta ^{\nu \sigma }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)}$
5. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0}$
6. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5}\right)=-4i\epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }}$
7. ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu _{1}}\dots \gamma ^{\mu _{n}}\right)=\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu _{n}}\dots \gamma ^{\mu _{1}}\right)}$

Доказательство вышеизложенного предполагает использование трех основных свойств след оператор:

• tr (А + В) = tr (А) + tr (B)
• tr (rA) = р tr (А)
• tr (ABC) = tr (ТАКСИ) = tr (BCA)

Доказательство 0

Из определения гамма-матриц,

${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2\eta ^{\mu \nu }I}$

Мы получили

${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }=\eta ^{\mu \mu }I}$

или эквивалентно,

${\displaystyle {\frac {\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }}{\eta ^{\mu \mu }}}=I}$

куда ${\displaystyle \eta ^{\mu \mu }}$ это число, а ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu }}$ это матрица.

${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\nu })={\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu })}$ (вставив тождество и используя tr (rA) = r tr (A))

${\displaystyle =-{\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })}$ (из антикоммутационного соотношения, и учитывая, что мы можем выбрать ${\displaystyle \mu \neq \nu }$)

${\displaystyle =-{\frac {1}{\eta ^{\mu \mu }}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\mu })}$ (используя tr (ABC) = tr (BCA))

${\displaystyle =-\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu })}$ (удаление личности)

Из этого следует ${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\nu })=0}$

Доказательство 1

Показывать

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathrm {odd\ num\ of\ } \gamma )=0}$

Сначала обратите внимание, что

${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu })=0.}$

Мы также будем использовать два факта о пятой гамма-матрице. ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ что говорит:

${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\right)^{2}=I_{4},\quad \mathrm {and} \quad \gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=-\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }}$

Итак, давайте используем эти два факта, чтобы доказать это тождество для первого нетривиального случая: след трех гамма-матриц. Шаг первый - вставить одну пару ${\displaystyle \gamma ^{5}}$перед тремя оригинальными ${\displaystyle \gamma }$, а второй шаг - поменять местами ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ матрица возвращается в исходное положение после использования цикличности трассы.

${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho })}$	${\displaystyle =\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)}$
	${\displaystyle =-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{5}\right)}$
	${\displaystyle =-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\gamma ^{5}\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)}$ (используя tr (ABC) = tr (BCA))
	${\displaystyle =-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)}$

Это может быть выполнено, только если

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)=0}$

Расширение до 2n + 1 (n целых) гамма-матриц можно найти, поместив две гамма-5 после (скажем) 2-й гамма-матрицы на трассе, переместив одну вправо (со знаком минус) и переместив другая гамма-5 2n выходит влево [с изменением знака (-1) ^ 2n = 1]. Затем мы используем циклическую идентичность, чтобы собрать две гамма-5 вместе, и, следовательно, они равняются единице, оставляя нам след, равный самому минусу, то есть 0.

Доказательство 2

Если на трассе появляется нечетное количество гамма-матриц, за которыми следует ${\displaystyle \gamma ^{5}}$, наша цель - переехать ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ с правой стороны на левую. Это оставит след инвариантным благодаря свойству цикличности. Чтобы сделать этот ход, мы должны антикоммутировать его со всеми другими гамма-матрицами. Это означает, что мы антикоммутируем его нечетное количество раз и получаем знак минус. След, равный самому себе отрицательному, должен быть нулевым.

Доказательство 3

Показывать

${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })=4\eta ^{\mu \nu }}$

Начинать с,

${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })}$	${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu })+\operatorname {tr} (\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })\right)}$
	${\displaystyle ={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu })={\frac {1}{2}}\operatorname {tr} \left(\left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}\right)}$
	${\displaystyle ={\frac {1}{2}}2\eta ^{\mu \nu }\operatorname {tr} (I_{4})=4\eta ^{\mu \nu }}$

Доказательство 4

${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma })}$	${\displaystyle =\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }(2\eta ^{\rho \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho })\right)}$
	${\displaystyle =2\eta ^{\rho \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (1)}$

Для термина справа мы продолжим схему обмена ${\displaystyle \gamma ^{\sigma }}$ со своим соседом слева,

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\rho }\right)}$	${\displaystyle =\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }(2\eta ^{\nu \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu })\gamma ^{\rho }\right)}$
	${\displaystyle =2\eta ^{\nu \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\rho }\right)-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (2)}$

Опять же, на срок справа своп ${\displaystyle \gamma ^{\sigma }}$ со своим соседом слева,

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)}$	${\displaystyle =\operatorname {tr} \left((2\eta ^{\mu \sigma }-\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu })\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)}$
	${\displaystyle =2\eta ^{\mu \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad (3)}$

Уравнение (3) - это член справа от уравнения (2), а уравнение (2) - член справа от уравнения (1). Мы также будем использовать идентификационный номер 3, чтобы упростить такие термины:

${\displaystyle 2\eta ^{\rho \sigma }\operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\right)=2\eta ^{\rho \sigma }(4\eta ^{\mu \nu })=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }.}$

Итак, наконец, уравнение (1), когда вы вставляете всю эту информацию, дает

${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma })=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-8\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+8\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }}$

${\displaystyle -\ \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)\quad \quad \quad \quad \quad \quad (4)}$

Члены внутри трассы можно циклически перемещать, поэтому

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\sigma }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\right)=\operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }).}$

Так что на самом деле (4)

${\displaystyle 2\ \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma })=8\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-8\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+8\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }}$

или же

${\displaystyle \operatorname {tr} (\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma })=4\left(\eta ^{\rho \sigma }\eta ^{\mu \nu }-\eta ^{\nu \sigma }\eta ^{\mu \rho }+\eta ^{\mu \sigma }\eta ^{\nu \rho }\right)}$

Доказательство 5

Показывать

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=0}$,

начинать с

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)}$	${\displaystyle =\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{5}\right)}$	(потому что ${\displaystyle \gamma ^{0}\gamma ^{0}=I_{4}}$)
	${\displaystyle =-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)}$	(антикоммутируют ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ с ${\displaystyle \gamma ^{0}}$)
	${\displaystyle =-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{5}\right)}$	(чередовать термины внутри трассировки)
	${\displaystyle =-\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)}$	(удалять ${\displaystyle \gamma ^{0}}$s)

Добавлять ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)}$ в обе стороны от вышесказанного, чтобы увидеть

${\displaystyle 2\operatorname {tr} \left(\gamma ^{5}\right)=0}$.

Теперь этот шаблон также можно использовать для отображения

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0}$.

Просто добавьте два фактора ${\displaystyle \gamma ^{\alpha }}$, с ${\displaystyle \alpha }$ отличается от ${\displaystyle \mu }$ и ${\displaystyle \nu }$. Антикоммутируйте три раза вместо одного, выбирая три знака минус, и выполняйте цикл, используя циклическое свойство трассировки.

Так,

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{5}\right)=0}$ .

Доказательство 6

Для подтверждения личности 6 тот же прием все еще работает, если только ${\displaystyle \left(\mu \nu \rho \sigma \right)}$ является некоторой перестановкой (0123), так что появляются все 4 гаммы. Правила антикоммутации подразумевают, что перестановка двух индексов меняет знак следа, поэтому ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\rho }\gamma ^{\sigma }\gamma ^{5}\right)}$ должен быть пропорционален ${\displaystyle \epsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }}$ ${\displaystyle \left(\epsilon ^{0123}=\eta ^{0\mu }\eta ^{1\nu }\eta ^{2\rho }\eta ^{3\sigma }\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }=\eta ^{00}\eta ^{11}\eta ^{22}\eta ^{33}\epsilon _{0123}=-1\right)}$. Константа пропорциональности равна ${\displaystyle 4i}$, что можно проверить, подключив ${\displaystyle (\mu \nu \rho \sigma )=(0123)}$, выписывая ${\displaystyle \gamma ^{5}}$, и помня, что след личности равен 4.

Доказательство 7

Обозначим произведение ${\displaystyle n}$ гамма-матрицы ${\displaystyle \Gamma =\gamma ^{\mu 1}\gamma ^{\mu 2}\dots \gamma ^{\mu n}.}$ Рассмотрим эрмитово сопряжение ${\displaystyle \Gamma }$:

${\displaystyle \Gamma ^{\dagger }}$	${\displaystyle =\gamma ^{\mu n\dagger }\dots \gamma ^{\mu 2\dagger }\gamma ^{\mu 1\dagger }}$
	${\displaystyle =\gamma ^{0}\gamma ^{\mu n}\gamma ^{0}\dots \gamma ^{0}\gamma ^{\mu 2}\gamma ^{0}\gamma ^{0}\gamma ^{\mu 1}\gamma ^{0}}$	(так как сопряжение гамма-матрицы с ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ производит свое эрмитово сопряжение, как описано ниже)
	${\displaystyle =\gamma ^{0}\gamma ^{\mu n}\dots \gamma ^{\mu 2}\gamma ^{\mu 1}\gamma ^{0}}$	(все ${\displaystyle \gamma ^{0}}$s кроме первого и последнего выпавших)

Конъюгирование с ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ еще раз, чтобы избавиться от двух ${\displaystyle \gamma ^{0}}$s, которые там, мы видим, что ${\displaystyle \gamma ^{0}\Gamma ^{\dagger }\gamma ^{0}}$ противоположен ${\displaystyle \Gamma }$. Сейчас же,

${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma ^{0}\Gamma ^{\dagger }\gamma ^{0}\right)}$	${\displaystyle =\operatorname {tr} \left(\Gamma ^{\dagger }\right)}$	(поскольку след инвариантен относительно преобразований подобия)
	${\displaystyle =\operatorname {tr} \left(\Gamma ^{*}\right)}$	(поскольку след инвариантен относительно транспонирования)
	${\displaystyle =\operatorname {tr} \left(\Gamma \right)}$	(так как след произведения гамма-матриц действительный)

Нормализация

Гамма-матрицы могут быть выбраны с условиями экстраэрмитовости, которые, однако, ограничены указанными выше антикоммутационными соотношениями. Мы можем навязать

${\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}}$, совместим с ${\displaystyle \left(\gamma ^{0}\right)^{2}=I_{4}}$

а для остальных гамма-матриц (для k = 1, 2, 3)

${\displaystyle \left(\gamma ^{k}\right)^{\dagger }=-\gamma ^{k}}$, совместим с ${\displaystyle \left(\gamma ^{k}\right)^{2}=-I_{4}.}$

Сразу проверяется, что эти отношения отшельничества выполняются для представления Дирака.

Указанные выше условия можно объединить в соотношении

${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }\gamma ^{0}.}$

Условия эрмитовости не инвариантны относительно действия ${\displaystyle \gamma ^{\mu }\to S(\Lambda )\gamma ^{\mu }{S(\Lambda )}^{-1}}$ преобразования Лоренца ${\displaystyle \Lambda }$ потому что ${\displaystyle S(\Lambda )}$ не обязательно является унитарным преобразованием из-за некомпактности группы Лоренца.

Спряжение заряда

В зарядовое сопряжение оператор в любом базисе может быть определен как

${\displaystyle C\gamma _{\mu }C^{-1}=-(\gamma _{\mu })^{T}}$

куда ${\displaystyle (\cdot )^{T}}$ обозначает матрица транспонировать. Явная форма, что ${\displaystyle C}$ принимает зависит от конкретного представления, выбранного для гамма-матриц. Это потому, что хотя зарядовое сопряжение автоморфизм из гамма группа, это нет ан внутренний автоморфизм (группы). Сопрягающие матрицы могут быть найдены, но они зависят от представления.

Независимые от представления идентичности включают:

${\displaystyle {\begin{aligned}C\gamma _{5}C^{-1}&=+(\gamma _{5})^{T}\\C\sigma _{\mu \nu }C^{-1}&=-(\sigma _{\mu \nu })^{T}\\C\gamma _{5}\gamma _{\mu }C^{-1}&=+(\gamma _{5}\gamma _{\mu })^{T}\\\end{aligned}}}$

Кроме того, для всех четырех представлений, приведенных ниже (Дирака, Майорана и обоих киральных вариантов), одно имеет

${\displaystyle C^{-1}=C^{\dagger }=C^{T}=-C.}$

Обозначения слэш Фейнмана, используемые в квантовой теории поля

В Обозначение фейнмана слэш определяется

${\displaystyle {a\!\!\!/}:=\gamma ^{\mu }a_{\mu }}$

для любого 4-вектора а.

Вот некоторые идентификаторы, похожие на приведенные выше, но с использованием косой черты:

• ${\displaystyle {a\!\!\!/}{b\!\!\!/}=a\cdot b-ia_{\mu }\sigma ^{\mu \nu }b_{\nu }}$
• ${\displaystyle {a\!\!\!/}{a\!\!\!/}=a^{\mu }a^{\nu }\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }={\frac {1}{2}}a^{\mu }a^{\nu }\left(\gamma _{\mu }\gamma _{\nu }+\gamma _{\nu }\gamma _{\mu }\right)=\eta _{\mu \nu }a^{\mu }a^{\nu }=a^{2}}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=4(a\cdot b)}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=4\left[(a\cdot b)(c\cdot d)-(a\cdot c)(b\cdot d)+(a\cdot d)(b\cdot c)\right]}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\right)=0}$
• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left(\gamma _{5}{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}\right)=-4i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }a^{\mu }b^{\nu }c^{\rho }d^{\sigma }}$
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{a\!\!\!/}}$
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=4(a\cdot b)}$
• ${\displaystyle \gamma _{\mu }{a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\gamma ^{\mu }=-2{c\!\!\!/}{b\!\!\!/}{a\!\!\!/}}$

  куда ${\displaystyle \epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }}$ это Символ Леви-Чивита и ${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}\left[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right].}$ Actually traces of products of odd number of ${\displaystyle \gamma }$ is zero and thus

• ${\displaystyle \operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}\right)=\operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}\right)=\operatorname {tr} \left({a\!\!\!/}{b\!\!\!/}{c\!\!\!/}{d\!\!\!/}{e\!\!\!/}\right)=0}$^[5]

Другие представления

The matrices are also sometimes written using the 2×2 единичная матрица, ${\displaystyle I_{2}}$, и

${\displaystyle \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}}}$

куда k runs from 1 to 3 and the σ^k находятся Матрицы Паули.

Dirac basis

The gamma matrices we have written so far are appropriate for acting on Спиноры Дирака написано в Dirac basis; in fact, the Dirac basis is defined by these matrices. To summarize, in the Dirac basis:

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}.}$

In the Dirac basis, the charge conjugation operator is^[6]

${\displaystyle C=i\gamma ^{2}\gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}}.}$

Weyl (chiral) basis

Another common choice is the Weyl или же chiral basis, в котором ${\displaystyle \gamma ^{k}}$ remains the same but ${\displaystyle \gamma ^{0}}$ is different, and so ${\displaystyle \gamma ^{5}}$ is also different, and diagonal,

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}},}$

or in more compact notation:

${\displaystyle \gamma ^{\mu }={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{\mu }\\{\bar {\sigma }}^{\mu }&0\end{pmatrix}},\quad \sigma ^{\mu }\equiv (1,\sigma ^{i}),\quad {\bar {\sigma }}^{\mu }\equiv (1,-\sigma ^{i}).}$

В Weyl basis has the advantage that its chiral projections take a simple form,

${\displaystyle \psi _{\rm {L}}={\frac {1}{2}}\left(1-\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\rm {R}}={\frac {1}{2}}\left(1+\gamma ^{5}\right)\psi ={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi .}$

The idempotence of the chiral projections is manifest.By slightly abusing the notation and reusing the symbols ${\displaystyle \psi _{\rm {L/R}}}$ we can then identify

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {L}}\\\psi _{\rm {R}}\end{pmatrix}},}$

где сейчас ${\displaystyle \psi _{\rm {L}}}$ и ${\displaystyle \psi _{\rm {R}}}$ are left-handed and right-handed two-component Weyl spinors.

The charge conjugation operator in this basis is

${\displaystyle C={\begin{pmatrix}i\sigma ^{2}&0\\0&-i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}}$

The Dirac basis can be obtained from the Weyl basis as

${\displaystyle \gamma _{\rm {W}}^{\mu }=U\gamma _{\rm {D}}^{\mu }U^{\dagger },\quad \psi _{\rm {W}}=U\psi _{\rm {D}}}$

via the unitary transform

${\displaystyle U={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(1+\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}{\begin{pmatrix}I_{2}&-I_{2}\\I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}.}$

Weyl (chiral) basis (alternate form)

Another possible choice^[6][7] of the Weyl basis has

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{k}={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{k}\\-\sigma ^{k}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}.}$

В хиральные проекции принять несколько иную форму, чем другой вариант Вейля,

${\displaystyle \psi _{\rm {R}}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&0\end{pmatrix}}\psi ,\quad \psi _{\rm {L}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}\psi .}$

Другими словами,

${\displaystyle \psi ={\begin{pmatrix}\psi _{\rm {R}}\\\psi _{\rm {L}}\end{pmatrix}},}$

куда ${\displaystyle \psi _{\rm {L}}}$ и ${\displaystyle \psi _{\rm {R}}}$ являются левыми и правыми двухкомпонентными спинорами Вейля, как и раньше.

Оператор зарядового сопряжения в этом базисе есть

${\displaystyle C=-i\sigma ^{3}\otimes \sigma ^{2}={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{2}&0\\0&i\sigma ^{2}\end{pmatrix}}}$

Этот базис может быть получен из базиса Дирака, приведенного выше, как ${\displaystyle \gamma _{\rm {W}}^{\mu }=U\gamma _{\rm {D}}^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\rm {W}}=U\psi _{\rm {D}}}$ через унитарное преобразование

${\displaystyle U={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(1-\gamma ^{5}\gamma ^{0}\right)={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}{\begin{pmatrix}I_{2}&I_{2}\\-I_{2}&I_{2}\end{pmatrix}}.}$

Основа Майорана

Также есть Майорана базис, в котором все матрицы Дирака мнимые, а спиноры и уравнение Дирака действительны. Взяв во внимание Матрицы Паули, базис можно записать как^[6]

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{0}&={\begin{pmatrix}0&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},&\gamma ^{1}&={\begin{pmatrix}i\sigma ^{3}&0\\0&i\sigma ^{3}\end{pmatrix}},&\gamma ^{2}&={\begin{pmatrix}0&-\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\\\gamma ^{3}&={\begin{pmatrix}-i\sigma ^{1}&0\\0&-i\sigma ^{1}\end{pmatrix}},&\gamma ^{5}&={\begin{pmatrix}\sigma ^{2}&0\\0&-\sigma ^{2}\end{pmatrix}},&C&={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{2}\\-i\sigma ^{2}&0\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

куда ${\displaystyle C}$ матрица зарядового сопряжения, как определено выше.

(Причина, по которой все гамма-матрицы являются мнимыми, состоит исключительно в том, чтобы получить метрику физики элементарных частиц (+, −, −, −), в котором квадраты масс положительны. Однако представление Майораны вполне реально. Можно выделить я для получения другого представления с четырьмя компонентными реальными спинорами и вещественными гамма-матрицами. Последствие удаления ${\displaystyle i}$ состоит в том, что единственная возможная метрика с вещественными гамма-матрицами - это (−, +, +, +).)

Базис Майорана может быть получен из базиса Дирака выше как ${\displaystyle \gamma _{\rm {M}}^{\mu }=U\gamma _{\rm {D}}^{\mu }U^{\dagger },~~\psi _{\rm {M}}=U\psi _{\rm {D}}}$ через унитарное преобразование

${\displaystyle U=U^{\dagger }={\frac {1}{\sqrt {2\,}}}{\begin{pmatrix}I_{2}&\sigma ^{2}\\\sigma ^{2}&-I_{2}\end{pmatrix}}.}$

Cℓ_1,3(C) и Cℓ_1,3(Р)

В Алгебра Дирака можно рассматривать как комплексирование действительной алгебры Cℓ_1,3(р), называется алгебра пространства-времени:

${\displaystyle Cl_{1,3}(\mathbb {C} )=Cl_{1,3}(\mathbb {R} )\otimes \mathbb {C} }$

Cℓ_1,3(р) отличается от Cℓ_1,3(C): в Cℓ_1,3(р) Только настоящий допускаются линейные комбинации гамма-матриц и их произведений.

Следует отметить две вещи. В качестве Алгебры Клиффорда, Cℓ_1,3(C) и Cℓ₄(C) изоморфны, см. классификация алгебр Клиффорда. Причина в том, что базовая сигнатура метрики пространства-времени теряет свою сигнатуру (1,3) при переходе к комплексификации. Однако преобразование, необходимое для приведения билинейной формы к комплексной канонической форме, не является преобразованием Лоренца и, следовательно, не является «допустимым» (по крайней мере, непрактичным), поскольку вся физика тесно связана с симметрией Лоренца, и предпочтительно ее сохранить. манифест.

Сторонники геометрическая алгебра стремитесь работать с реальными алгебрами везде, где это возможно. Они утверждают, что обычно возможно (и обычно поучительно) идентифицировать присутствие воображаемой единицы в физическом уравнении. Такие единицы возникают из одной из многих величин в реальной алгебре Клиффорда, квадратов к -1, и они имеют геометрическое значение из-за свойств алгебры и взаимодействия ее различных подпространств. Некоторые из этих сторонников также задаются вопросом, нужно ли или даже полезно ли вводить дополнительную мнимую единицу в контексте уравнения Дирака.^[8]

В математике Риманова геометрия, алгебру Клиффорда Cℓ_{р, д}(ℝ) для произвольных размеров р, д; антикоммутация Спиноры Вейля естественно возникает из алгебры Клиффорда.^[9] Спиноры Вейля преобразуются под действием вращательная группа ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)}$. Комплексификация спиновой группы, называемая спинковой группой ${\displaystyle \mathrm {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)}$, это продукт ${\displaystyle \mathrm {Spin} (n)\times _{\mathbb {Z} _{2}}S^{1}}$ спиновой группы с кружком ${\displaystyle S^{1}\cong U(1).}$ Продукт ${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$ просто условное обозначение для идентификации ${\displaystyle (a,u)\in \mathrm {Spin} (n)\times S^{1}}$ с ${\displaystyle (-a,-u).}$ Геометрический смысл этого состоит в том, что он отделяет реальный спинор, ковариантный относительно преобразований Лоренца, от ${\displaystyle U(1)}$ компонент, который можно идентифицировать с ${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$ волокно электромагнитного взаимодействия. В ${\displaystyle \times _{\mathbb {Z} _{2}}}$ запутывает паритет и зарядовое сопряжение способом, подходящим для установления связи между состояниями дираковских частиц и античастиц (эквивалентно хиральным состояниям в базисе Вейля). В биспинор, поскольку он имеет линейно независимые левую и правую компоненты, может взаимодействовать с электромагнитным полем. Это в отличие от Майорана спинор и спинор ELKO, который не может (т.е. они электрически нейтральны), поскольку они явно ограничивают спинор, чтобы не взаимодействовать с ${\displaystyle S^{1}}$ часть происходит от усложнения.

Поскольку представление заряда и четности может быть запутанной темой в обычных учебниках по квантовой теории поля, более тщательное рассмотрение этих тем в общей геометрической обстановке может прояснить ситуацию. Стандартные изложения алгебры Клиффорда строят спиноры Вейля из первых принципов; то, что они "автоматически" антикоммутируют, является элегантным геометрическим побочным продуктом конструкции, полностью игнорируя любые аргументы, которые обращаются к Принцип исключения Паули (или иногда обычное ощущение, что Переменные Грассмана были введены через для этого случая аргументация.)

Однако в современной практике физики алгебра Дирака, а не алгебра пространства-времени, продолжает оставаться стандартной средой. спиноры уравнения Дирака «живут» в.

Евклидовы матрицы Дирака

В квантовая теория поля можно Фитиль вращается ось времени для перехода от Пространство Минковского к Евклидово пространство. Это особенно полезно в некоторых перенормировка процедуры, а также решеточная калибровочная теория. В евклидовом пространстве обычно используются два представления матриц Дирака:

Хиральное представление

${\displaystyle \gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&i\sigma ^{1,2,3}\\-i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}}$

Обратите внимание, что факторы ${\displaystyle i}$ были вставлены в пространственные гамма-матрицы, так что евклидова алгебра Клиффорда

${\displaystyle \left\{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\right\}=2\delta ^{\mu \nu }I_{4}}$

появится. Также стоит отметить, что есть варианты, которые вставляют вместо ${\displaystyle -i}$ на одной из матриц, например в решеточных кодах КХД, которые используют киральный базис.

В евклидовом пространстве

${\displaystyle \gamma _{\rm {M}}^{5}=i\left(\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\rm {M}}={\frac {1}{i^{2}}}\left(\gamma ^{4}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\right)_{\rm {E}}=\left(\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}\gamma ^{4}\right)_{\rm {E}}=\gamma _{\rm {E}}^{5}.}$

Используя антикоммутатор и отмечая, что в евклидовом пространстве ${\displaystyle \left(\gamma ^{\mu }\right)^{\dagger }=\gamma ^{\mu }}$, один показывает, что

${\displaystyle \left(\gamma ^{5}\right)^{\dagger }=\gamma ^{5}}$

В киральном базисе в евклидовом пространстве

${\displaystyle \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}-I_{2}&0\\0&I_{2}\end{pmatrix}}}$

который не изменился по сравнению с версией Минковского.

Нерелятивистское представление

${\displaystyle \gamma ^{1,2,3}={\begin{pmatrix}0&-i\sigma ^{1,2,3}\\i\sigma ^{1,2,3}&0\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{4}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}},\quad \gamma ^{5}={\begin{pmatrix}0&-I_{2}\\-I_{2}&0\end{pmatrix}}}$

Смотрите также

• физический портал

• Матрицы Паули
• Матрицы Гелл-Манна
• Гамма-матрицы более высокой размерности
• Фирц идентичность

Рекомендации

1. Юрген Йост (2002) "Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е издание)" Springer Universitext (См. Следствие 1.8.1, стр. 68)
2. Набор матриц (Γ^А) = (γ^μ, iγ⁵) с А = (0, 1, 2, 3, 4) удовлетворяют пятимерной алгебре Клиффорда {Γ^А, Γ^B} = 2η^AB. Видеть Тонг 2007, п. 93.
3. Вайнберг 2002 Раздел 5.5.
4. де Вит и Смит 1996, п. 679 Ошибка harvnb: цель отсутствует: CITEREFde_WitSmith1996 (помощь).
5. Лекция от Техасский университет в Остине
6. Клод Ициксон и Жан-Бернар Зубер, (1980) «Квантовая теория поля», MacGraw-Hill (См. Приложение А)
7. Мичио Каку, Квантовая теория поля, ISBN  0-19-509158-2, Приложение
8. См. Например Hestenes 1996.
9. Юрген Йост (2002) "Риманова геометрия и геометрический анализ (3-е издание)", Springer Universitext. См. Раздел 1.8

• Хальзен, Фрэнсис; Мартин, Алан (1984). Кварки и лептоны: вводный курс современной физики элементарных частиц. Джон Вили и сыновья. ISBN  0-471-88741-2.
• А. Зи, Квантовая теория поля в двух словах (2003), Издательство Принстонского университета: Принстон, Нью-Джерси. ISBN  0-691-01019-6. См. Главу II.1..
• М. Пескин, Д. Шредер, Введение в квантовую теорию поля (Westview Press, 1995) ISBN  0-201-50397-2 См. Раздел 3.2.
• В. Паули (1936). "Вклад в математику в теории матриц Дирака". Annales de l'Institut Анри Пуанкаре. 6: 109.
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей, 1, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-55001-7
• Тонг, Дэвид (2007). «Квантовая теория поля». Дэвид Тонг из Кембриджского университета. п. 93. Получено 2015-03-07.
• de Wit, B .; Смит, Дж. (1986). Теория поля в физике элементарных частиц. Личная библиотека Северной Голландии. 1. Северная Голландия. ISBN  978-0444869999.Приложение E
• Дэвид Хестенес, Настоящая теория Дирака, в J. Keller and Z. Oziewicz (Eds.), Теория электрона, UNAM, Facultad de Estudios Superiores, Куаутитлан, Мексика (1996), стр. 1–50.

внешняя ссылка

• Матрицы Дирака на mathworld, включая их групповые свойства
• Матрицы Дирака как абстрактная группа на GroupNames
• «Матрицы Дирака», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]