Решеточная калибровочная теория - Lattice gauge theory

В физика, решеточная калибровочная теория это изучение калибровочные теории в пространстве-времени, которое было дискретизированный в решетка.

Калибровочные теории важны в физика элементарных частиц, и включают преобладающие теории элементарные частицы: квантовая электродинамика, квантовая хромодинамика (КХД) и физика элементарных частиц ' Стандартная модель. Непертурбативный Расчеты калибровочной теории в непрерывном пространстве-времени формально включают вычисление бесконечномерного интеграл по путям, который сложно решить в вычислительном отношении. Работая над дискретным пространство-время, то интеграл по путям становится конечномерным и может быть оценено как стохастическое моделирование такие методы, как Метод Монте-Карло. Когда размер решетки берется бесконечно большим, а ее узлы бесконечно близки друг к другу, калибровочная теория континуума восстанавливается.^[1]

Основы

В решеточной калибровочной теории пространство-время равно Фитиль повернут в Евклидово пространство и дискретизирован в решетку с узлами, разделенными расстоянием ${\displaystyle a}$ и связаны ссылками. В наиболее часто рассматриваемых случаях, таких как решеточная КХД, фермион поля определены в узлах решетки (что приводит к удвоение фермионов ), в то время калибровочные поля определены по ссылкам. То есть элемент U из компактный Группа Ли г (не алгебра ) присваивается каждой ссылке. Следовательно, для моделирования КХД с группой Ли SU (3), 3 × 3 унитарная матрица определяется по каждой ссылке. Ссылке присвоена ориентация, при этом обратный элемент соответствующий тому же звену с противоположной ориентацией. И каждому узлу присваивается значение в ℂ³ (цветной 3-вектор, пространство, на котором фундаментальное представление актов SU (3)), a биспинор (4-спинор Дирака), п_ж вектор, а Переменная Грассмана.

Таким образом, композиция элементов SU (3) звеньев вдоль пути (т. Е. Упорядоченное умножение их матриц) аппроксимирует экспонента с упорядоченным по пути (геометрический интеграл), из которого Петля Вильсона значения могут быть рассчитаны для замкнутых путей.

Действие Янга – Миллса

В Ян – Миллс действие записывается на решетке с помощью Петли Вильсона (названный в честь Кеннет Г. Уилсон ), так что предел ${\displaystyle a\to 0}$ формально воспроизводит исходное действие континуума.^[1] Учитывая верный неприводимое представление ρ из г, решеточное действие Янга-Миллса представляет собой сумму по всем узлам решетки (действительной компоненты) след над п ссылки е₁, ..., е_п в петле Вильсона,

${\displaystyle S=\sum _{F}-\Re \{\chi ^{(\rho )}(U(e_{1})\cdots U(e_{n}))\}.}$

Здесь χ - характер. Если ρ - настоящий (или псевдореальный ) представление, взяв реальный компонент, является избыточным, потому что даже если ориентация цикла Вильсона перевернута, его вклад в действие остается неизменным.

Есть много возможных решеточных действий Янга-Миллса, в зависимости от того, какие петли Вильсона используются в действии. В простейшем "действии Вильсона" используется только петля Вильсона 1 × 1, и оно отличается от действия континуума "артефактами решетки", пропорциональными небольшому интервалу решетки. ${\displaystyle a}$. Используя более сложные циклы Вильсона для построения «улучшенных действий», артефакты решетки могут быть уменьшены до пропорциональности ${\displaystyle a^{2}}$, делая вычисления более точными.

Измерения и расчеты

Этот результат Решетка КХД расчет показывает мезон, состоящий из кварка и антикварка. (По материалам M. Cardoso et al.^[2])

Такие величины, как масса частиц, рассчитываются стохастически с использованием таких методов, как Метод Монте-Карло. Конфигурации измерительного поля генерируются с помощью вероятности пропорционально ${\displaystyle e^{-\beta S}}$, где ${\displaystyle S}$ - действие решетки и ${\displaystyle \beta }$ связано с шагом решетки ${\displaystyle a}$. Интересующее количество рассчитывается для каждой конфигурации и усредняется. Расчеты часто повторяются при разных шагах решетки. ${\displaystyle a}$ так что результат может быть экстраполированный к континууму, ${\displaystyle a\to 0}$.

Такие вычисления часто являются чрезвычайно ресурсоемкими и могут потребовать использования самых больших доступных суперкомпьютеры. Чтобы уменьшить вычислительную нагрузку, так называемый закаленное приближение можно использовать, в котором фермионные поля рассматриваются как нединамические «замороженные» переменные. В то время как это было обычным явлением в ранних расчетах решеточной КХД, «динамические» фермионы сейчас являются стандартными.^[3] В этих симуляциях обычно используются алгоритмы, основанные на молекулярная динамика или микроканонический ансамбль алгоритмы.^[4][5]

Результаты расчетов решеточной КХД показывают, например, что что в мезоне не только частицы (кварки и антикварки), но и "трубки "глюонных полей важны.^{[нужна цитата ]}

Квантовая тривиальность

Решеточная калибровочная теория также важна для изучения квантовая тривиальность в реальном пространстве ренормгруппа.^[6] Самая важная информация в потоке RG - это то, что называется фиксированные точки.

Возможные макроскопические состояния системы в крупном масштабе задаются этим набором неподвижных точек. Если эти неподвижные точки соответствуют теории свободного поля, теория называется банальный или невзаимодействовать. При исследовании решеточных теорий Хиггса появляются многочисленные неподвижные точки, но природа связанных с ними квантовых теорий поля остается открытым вопросом.^[7]

Тривиальность еще предстоит строго доказать, но вычисления на решетке убедительно доказали это. Этот факт важен, поскольку квантовую тривиальность можно использовать для ограничения или даже предсказания таких параметров, как масса бозон Хиггса.

Другие приложения

Первоначально решаемые калибровочные теории на двумерной решетке были введены теоретиком в 1971 году как модели с интересными статистическими свойствами. Франц Вегнер, который работал в области фазовых переходов.^[8]

Когда в действии появляются только петли Вильсона 1 × 1, можно показать, что калибровочная теория решетки в точности двойственна отжимная пена модели.^[9]

Смотрите также

• Гамильтонова решеточная калибровочная теория
• Теория поля решетки
• Решетка КХД
• Квантовая тривиальность

использованная литература

1. Уилсон, К. (1974). «Конфайнмент кварков». Физический обзор D. 10 (8): 2445. Bibcode:1974ПхРвД..10.2445Вт. Дои:10.1103 / PhysRevD.10.2445.
2. Cardoso, M .; Cardoso, N .; Бикудо, П. (03.02.2010). «Вычисление цветных полей в статической гибридной кварк-глюон-антикварковой системе в КХД на решетке и микроскопическое исследование скейлинга Казимира». Физический обзор D. Американское физическое общество (APS). 81 (3): 034504. arXiv:0912.3181. Дои:10.1103 / Physrevd.81.034504. ISSN  1550-7998.
3. А. Базавов; и другие. (2010). «Непертурбативное моделирование КХД с 2 + 1 ароматами улучшенных разнесенных кварков». Обзоры современной физики. 82 (2): 1349–1417. arXiv:0903.3598. Bibcode:2010РвМП ... 82.1349Б. Дои:10.1103 / RevModPhys.82.1349.
4. Дэвид Дж. Э. Каллавей и Анизур Рахман (1982). "Формулировка микроканонического ансамбля решеточной калибровочной теории". Письма с физическими проверками. 49 (9): 613–616. Bibcode:1982ПхРвЛ..49..613С. Дои:10.1103 / PhysRevLett.49.613.
5. Дэвид Дж. Э. Каллавей и Анизур Рахман (1983). "Решеточная калибровочная теория в микроканоническом ансамбле" (PDF). Физический обзор. D28 (6): 1506–1514. Bibcode:1983ПхРвД..28.1506С. Дои:10.1103 / PhysRevD.28.1506.
6. Уилсон, Кеннет Г. (1975-10-01). «Ренормализационная группа: критические явления и проблема Кондо». Обзоры современной физики. Американское физическое общество (APS). 47 (4): 773–840. Дои:10.1103 / revmodphys.47.773. ISSN  0034-6861.
7. Д. Дж. Э. Каллавей (1988). «Погоня за мелочью: могут ли существовать элементарные скалярные частицы?». Отчеты по физике. 167 (5): 241–320. Bibcode:1988ФР ... 167..241С. Дои:10.1016/0370-1573(88)90008-7.
8. Ф. Вегнер, "Двойственность в обобщенных моделях Изинга и фазовые переходы без параметра локального порядка", J. Math. Phys. 12 (1971) 2259-2272. Перепечатано в Клаудио Ребби (ред.), Теории калибровочных решеток и моделирование методом Монте-Карло, World Scientific, Сингапур (1983), стр. 60-73. Абстрактные
9. Р. Окль; Х. Пфайффер (2000). «Дуальная чисто неабелевой решеточной калибровочной теории как модель спиновой пены». Ядерная физика B. 598 (1–2): 400–426. arXiv:hep-th / 0008095. Bibcode:2001НуФБ.598..400О. Дои:10.1016 / S0550-3213 (00) 00770-7.

дальнейшее чтение

• М. Кройц, Кварки, глюоны и решетки, Издательство Кембриджского университета, 1985.
• И. Монтвей и Г. Мюнстер, Квантовые поля на решетке, Издательство Кембриджского университета 1997.
• Ю. Макеенко, Методы современной калибровочной теории, Cambridge University Press, 2002 г., ISBN  0-521-80911-8.
• Дж. Смит, Введение в квантовые поля на решетке, Издательство Кембриджского университета 2002.
• Т. ДеГранд и К. ДеТар, Решеточные методы квантовой хромодинамики, World Scientific 2006.
• К. Гаттрингер и К. Б. Ланг, Квантовая хромодинамика на решетке., Springer 2010.
• Вайс Петер, Маджумдар Пушан (2012). "Калибровочные теории на решетке". Scholarpedia. 7 (4): 8615. Bibcode:2012SchpJ ... 7.8615M. Дои:10.4249 / scholarpedia.8615.

внешние ссылки

• Библиотека FermiQCD для теории поля на решетке
• Библиотеки программного обеспечения для квантовой хромодинамики на решетке США