Дискретность - Discretization

Решение дискретного уравнения в частных производных, полученное с помощью метод конечных элементов.

В Прикладная математика, дискретизация это процесс передачи непрерывный функции, модели, переменные и уравнения в дискретный аналоги. Этот процесс обычно выполняется как первый шаг к тому, чтобы сделать их пригодными для численной оценки и реализации на цифровых компьютерах. Дихотомизация является частным случаем дискретизации, в котором количество дискретных классов равно 2, что может аппроксимировать непрерывную переменную как двоичная переменная (создание дихотомия за моделирование целей, как в двоичная классификация ).

Дискретность также связана с дискретная математика, и является важным компонентом гранулярные вычисления. В контексте, дискретизация может также относиться к модификации переменной или категории детализация, например, когда несколько дискретных переменных агрегированы или несколько дискретных категорий объединены.

Когда непрерывные данные дискретизированный, всегда есть какое-то количество ошибка дискретизации. Цель состоит в том, чтобы уменьшить сумму до рассматриваемого уровня. незначительный для моделирование под рукой.

Условия дискретизация и квантование часто бывает то же самое обозначение но не всегда идентичны коннотации. (В частности, эти два термина разделяют семантическое поле.) То же самое и ошибка дискретизации и ошибка квантования.

Математические методы, относящиеся к дискретизации, включают Метод Эйлера – Маруямы и удержание нулевого порядка.

Дискретизация линейных моделей пространства состояний

Дискретизация также связана с преобразованием непрерывного дифференциальные уравнения в дискретный разностные уравнения, подходит для числовые вычисления.

Следующее непрерывное время модель пространства состояний

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)+\mathbf {w} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=\mathbf {C} \mathbf {x} (t)+\mathbf {D} \mathbf {u} (t)+\mathbf {v} (t)}$

куда v и ш являются непрерывными с нулевым средним белый шум источники с спектральные плотности мощности

${\displaystyle \mathbf {w} (t)\sim N(0,\mathbf {Q} )}$

${\displaystyle \mathbf {v} (t)\sim N(0,\mathbf {R} )}$

можно дискретизировать, предполагая удержание нулевого порядка для ввода ты и непрерывная интеграция для шума v, к

${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=\mathbf {A} _{d}\mathbf {x} [k]+\mathbf {B} _{d}\mathbf {u} [k]+\mathbf {w} [k]}$

${\displaystyle \mathbf {y} [k]=\mathbf {C} _{d}\mathbf {x} [k]+\mathbf {D} _{d}\mathbf {u} [k]+\mathbf {v} [k]}$

с ковариациями

${\displaystyle \mathbf {w} [k]\sim N(0,\mathbf {Q} _{d})}$

${\displaystyle \mathbf {v} [k]\sim N(0,\mathbf {R} _{d})}$

куда

${\displaystyle \mathbf {A} _{d}=e^{\mathbf {A} T}={\mathcal {L}}^{-1}\{(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\}_{t=T}}$

${\displaystyle \mathbf {B} _{d}=\left(\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }d\tau \right)\mathbf {B} =\mathbf {A} ^{-1}(\mathbf {A} _{d}-I)\mathbf {B} }$, если ${\displaystyle \mathbf {A} }$ является неособый

${\displaystyle \mathbf {C} _{d}=\mathbf {C} }$

${\displaystyle \mathbf {D} _{d}=\mathbf {D} }$

${\displaystyle \mathbf {Q} _{d}=\int _{\tau =0}^{T}e^{\mathbf {A} \tau }\mathbf {Q} e^{\mathbf {A} ^{\top }\tau }d\tau }$

${\displaystyle \mathbf {R} _{d}=\mathbf {R} {\frac {1}{T}}}$

и ${\displaystyle T}$ время выборки, хотя ${\displaystyle \mathbf {A} ^{\top }}$ транспонированная матрица ${\displaystyle \mathbf {A} }$. Уравнение для дискретизированного шума измерения является следствием того, что непрерывный шум измерения определяется спектральной плотностью мощности.^[1]

Умный трюк для вычисления А_d и B_d за один шаг - за счет использования следующего свойства:^{[2]:п. 215}

${\displaystyle e^{{\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {0} &\mathbf {0} \end{bmatrix}}T}={\begin{bmatrix}\mathbf {A_{d}} &\mathbf {B_{d}} \\\mathbf {0} &\mathbf {I} \end{bmatrix}}}$

Где ${\displaystyle \mathbf {A} _{d}}$и ${\displaystyle \mathbf {B} _{d}}$являются дискретизированными матрицами пространства состояний.

Дискретность технологического шума

Численная оценка ${\displaystyle \mathbf {Q} _{d}}$ немного сложнее из-за матричного экспоненциального интеграла. Однако его можно вычислить, сначала построив матрицу и вычислив ее экспоненту.^[3]

${\displaystyle \mathbf {F} ={\begin{bmatrix}-\mathbf {A} &\mathbf {Q} \\\mathbf {0} &\mathbf {A} ^{\top }\end{bmatrix}}T}$

${\displaystyle \mathbf {G} =e^{\mathbf {F} }={\begin{bmatrix}\dots &\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}\\\mathbf {0} &\mathbf {A} _{d}^{\top }\end{bmatrix}}.}$

Затем дискретизированный технологический шум оценивается путем умножения транспонирования нижнего правого раздела грамм с верхним правым разделом грамм:

${\displaystyle \mathbf {Q} _{d}=(\mathbf {A} _{d}^{\top })^{\top }(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d})=\mathbf {A} _{d}(\mathbf {A} _{d}^{-1}\mathbf {Q} _{d}).}$

Вывод

Начиная с непрерывной модели

${\displaystyle \mathbf {\dot {x}} (t)=\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

мы знаем, что матрица экспонента является

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{\mathbf {A} t}=\mathbf {A} e^{\mathbf {A} t}=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {A} }$

и путем предварительного умножения модели мы получаем

${\displaystyle e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {\dot {x}} (t)=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {A} \mathbf {x} (t)+e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

который мы признаем как

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t))=e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {B} \mathbf {u} (t)}$

и интегрируя ..

${\displaystyle e^{-\mathbf {A} t}\mathbf {x} (t)-e^{0}\mathbf {x} (0)=\int _{0}^{t}e^{-\mathbf {A} \tau }\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=e^{\mathbf {A} t}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}e^{\mathbf {A} (t-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

которое является аналитическим решением непрерывной модели.

Теперь мы хотим уточнить это выражение. Мы предполагаем, что u есть постоянный на каждом временном шаге.

${\displaystyle \mathbf {x} [k]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {x} (kT)}$

${\displaystyle \mathbf {x} [k]=e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=e^{\mathbf {A} (k+1)T}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} ((k+1)T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]=e^{\mathbf {A} T}\left[e^{\mathbf {A} kT}\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{kT}e^{\mathbf {A} (kT-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau \right]+\int _{kT}^{(k+1)T}e^{\mathbf {A} (kT+T-\tau )}\mathbf {B} \mathbf {u} (\tau )d\tau }$

Мы узнаем выражение в квадратных скобках как ${\displaystyle \mathbf {x} [k]}$, а второй член можно упростить, заменив его функцией ${\displaystyle v(\tau )=kT+T-\tau }$. Обратите внимание, что ${\displaystyle d\tau =-dv}$. Мы также предполагаем, что ${\displaystyle \mathbf {u} }$ постоянно в течение интеграл, что, в свою очередь, дает

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {x} [k+1]&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{v(kT)}^{v((k+1)T)}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]-\left(\int _{T}^{0}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\left(\int _{0}^{T}e^{\mathbf {A} v}dv\right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\\&=&e^{\mathbf {A} T}\mathbf {x} [k]+\mathbf {A} ^{-1}\left(e^{\mathbf {A} T}-\mathbf {I} \right)\mathbf {B} \mathbf {u} [k]\end{matrix}}}$

что является точным решением проблемы дискретизации.

Приближения

Иногда точную дискретизацию невозможно решить из-за использования сложных матричных экспоненциальных и интегральных операций. Намного проще рассчитать приближенную дискретную модель, основанную на модели для малых временных шагов. ${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \mathbf {I} +\mathbf {A} T}$. Приблизительное решение становится таким:

${\displaystyle \mathbf {x} [k+1]\approx (\mathbf {I} +\mathbf {A} T)\mathbf {x} [k]+T\mathbf {B} \mathbf {u} [k]}$

Это также известно как Метод Эйлера, который также известен как прямой метод Эйлера. Другие возможные приближения: ${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} -\mathbf {A} T\right)^{-1}}$, иначе известный как обратный метод Эйлера и ${\displaystyle e^{\mathbf {A} T}\approx \left(\mathbf {I} +{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)\left(\mathbf {I} -{\frac {1}{2}}\mathbf {A} T\right)^{-1}}$, который известен как билинейное преобразование, или преобразование Тастина. Каждое из этих приближений имеет разные свойства устойчивости. Билинейное преобразование сохраняет неустойчивость системы с непрерывным временем.

Дискретность непрерывных функций

Основная статья: Дискретность непрерывных функций

В статистика и машинное обучение, дискретизация относится к процессу преобразования непрерывных характеристик или переменных в дискретные или номинальные характеристики. Это может быть полезно при создании функций вероятности и массы.

Дискретизация гладких функций

Основная статья: Распределение (математика) § Convolution_versus_Multiplication

В обобщенные функции теория дискретизация возникает как частный случай Теорема свертки на умеренные распределения

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{f*\operatorname {III} \}={\mathcal {F}}\{f\}\cdot \operatorname {III} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}\{\alpha \cdot \operatorname {III} \}={\mathcal {F}}\{\alpha \}*\operatorname {III} }$

куда ${\displaystyle \operatorname {III} }$ это Гребень Дирака,${\displaystyle \cdot \operatorname {III} }$ дискретизация, ${\displaystyle *\operatorname {III} }$ является периодизация, ${\displaystyle f}$ - быстро убывающее умеренное распределение (например, Дельта-функция Дирака ${\displaystyle \delta }$ или любой другой компактно поддерживается функция), ${\displaystyle \alpha }$ это гладкий, медленно растетобычная функция (например, функция, которая постоянно ${\displaystyle 1}$или любой другой ограниченный диапазон функция) и ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ это (унитарная, обычная частота) преобразование Фурье.Функции ${\displaystyle \alpha }$ негладкие можно сделать гладкими с помощью успокаивающее средство до дискретизации.

Например, дискретизация функции, которая постоянно ${\displaystyle 1}$ дает последовательность ${\displaystyle [..,1,1,1,..]}$ которые, интерпретируемые как коэффициенты при линейная комбинация из Дельта-функции Дирака, образует Гребень Дирака. Если дополнительно усечение применяется, можно получить конечные последовательности, например ${\displaystyle [1,1,1,1]}$. Они дискретны как по времени, так и по частоте.

Смотрите также

• Дискретное моделирование событий
• Дискретное пространство
• Дискретное время и непрерывное время
• Метод конечных разностей
• Метод конечных объемов для нестационарного потока
• Сглаживание
• Стохастическое моделирование
• Расчет шкалы времени

Рекомендации

1. Корпорация аналитических наук. Технический персонал. (1974). Прикладная оптимальная оценка. Гелб, Артур, 1937-. Кембридж, Массачусетс: M.I.T. Нажмите. стр.121. ISBN  0-262-20027-9. OCLC  960061.
2. Раймонд ДеКарло: Линейные системы: подход переменных состояний с численной реализацией, Прентис-Холл, Нью-Джерси, 1989 г.
3. Чарльз Ван Лоан: Вычисление интегралов с использованием матричной экспоненты, IEEE Transactions по автоматическому контролю. 23 (3): 395–404, 1978.

дальнейшее чтение

• Роберт Гровер Браун и Патрик Ю. К. Хванг (1997). Введение в случайные сигналы и применяемую фильтрацию Калмана (3-е изд.). ISBN  978-0471128397.
• Чи-Цонг Чен (1984). Теория и дизайн линейных систем. Филадельфия, Пенсильвания, США: Издательство Saunders College. ISBN  978-0030716911.
• К. Ван Лоан (июнь 1978 г.). «Вычисление интегралов с использованием матричной экспоненты» (PDF). IEEE Transactions по автоматическому контролю. 23 (3): 395–404. Дои:10.1109 / TAC.1978.1101743. HDL:1813/7095.
• Р. Х. Миддлтон и Г. Гудвин (1990). Цифровой контроль и оценка: единый подход. п. 33f. ISBN  978-0132116657.

внешняя ссылка