Ограничение диапазона - Bandlimiting

Спектр ограниченный диапазон основная полоса сигнал как функция частоты

Ограничение диапазона ограничение сигнала частотная область представительство или спектральная плотность к нулю выше некоторого конечного частота.

А сигнал с ограниченной полосой пропускания тот, чей преобразование Фурье или спектральная плотность ограничена поддерживать.

Сигнал с ограниченной полосой частот может быть случайным (стохастический ) или неслучайно (детерминированный ).

В общем случае в непрерывном Ряд Фурье представление сигнала, но если из этого сигнала можно вычислить конечное число членов ряда Фурье, этот сигнал считается ограниченным по полосе.

Выборка сигналов с ограниченной полосой пропускания

Сигнал с ограниченной полосой пропускания может быть полностью восстановлен по его выборкам при условии, что частота выборки превышает вдвое максимальную частоту в сигнале с ограничением полосы частот. Эта минимальная частота дискретизации называется Курс Найквиста. Этот результат обычно приписывают Найквист и Шеннон, известен как Теорема выборки Найквиста – Шеннона.

Примером простого детерминированного сигнала с ограниченной полосой частот является синусоида формы ${\displaystyle x(t)=\sin(2\pi ft+\theta )\ }$. Если этот сигнал дискретизируется со скоростью ${\displaystyle f_{s}={\frac {1}{T}}>2f}$ так что у нас есть образцы ${\displaystyle x(nT)\ }$, для всех целых чисел ${\displaystyle n}$, мы можем восстановить ${\displaystyle x(t)\ }$ полностью из этих образцов. Точно так же суммы синусоид с разными частотами и фазами также ограничены полосой до самой высокой из их частот.

Сигнал, преобразование Фурье которого показано на рисунке, также имеет ограниченную полосу пропускания. Предполагать ${\displaystyle x(t)\ }$ - сигнал, преобразование Фурье которого имеет вид ${\displaystyle X(f)\ }$, величина которого указана на рисунке. Наивысшая частотная составляющая в ${\displaystyle x(t)\ }$ является ${\displaystyle B\ }$. В результате коэффициент Найквиста равен

${\displaystyle R_{N}=2B\,}$

или вдвое больше самой высокой частотной составляющей сигнала, как показано на рисунке. Согласно теореме выборки, можно восстановить ${\displaystyle x(t)\ }$ полностью и точно используя образцы

${\displaystyle x[n]\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ x(nT)=x\left({n \over f_{s}}\right)}$ для всех целых чисел ${\displaystyle n\,}$ и ${\displaystyle T\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over f_{s}}}$

так долго как

${\displaystyle f_{s}>R_{N}\,}$

Восстановление сигнала по его выборкам может быть выполнено с помощью Формула интерполяции Уиттекера – Шеннона.

Bandlimited vs timelimited

^{[требуется дальнейшее объяснение ]}

Сигнал с ограничением полосы частот также не может быть ограничен по времени. Точнее, функция и ее преобразование Фурье не могут одновременно иметь конечные поддерживать если только он не равен нулю. Этот факт можно доказать с помощью комплексного анализа и свойств преобразования Фурье.

Доказательство: Предположим, что существует сигнал f (t), который имеет конечную поддержку в обеих областях и не является тождественно нулевым. Давайте попробуем это быстрее, чем Частота Найквиста, и вычислить соответствующие преобразование Фурье ${\displaystyle FT(f)=F_{1}(w)}$ и преобразование Фурье с дискретным временем ${\displaystyle DTFT(f)=F_{2}(w)}$. Согласно свойствам DTFT, ${\displaystyle F_{2}(w)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }F_{1}(w+nf_{x})}$, куда ${\displaystyle f_{x}}$ - частота, используемая для дискретизации. Если f ограничен полосой пропускания, ${\displaystyle F_{1}}$ равен нулю за пределами определенного интервала, поэтому при достаточно большом ${\displaystyle f_{x}}$, ${\displaystyle F_{2}}$ также будет нулевым в некоторых интервалах, поскольку отдельные поддерживает из ${\displaystyle F_{1}}$ в сумме ${\displaystyle F_{2}}$ не будет перекрываться. Согласно определению DTFT, ${\displaystyle F_{2}}$ представляет собой сумму тригонометрических функций, и поскольку f (t) ограничена по времени, эта сумма будет конечной, поэтому ${\displaystyle F_{2}}$ будет фактически тригонометрический полином. Все тригонометрические полиномы являются голоморфен на всей комплексной плоскости, а в комплексном анализе есть простая теорема, которая утверждает, что все нули непостоянной голоморфной функции изолированы. Но это противоречит нашему предыдущему выводу, что ${\displaystyle F_{2}}$ имеет интервалы, полные нулей, поскольку точки в таких интервалах не изолированы. Таким образом, единственный сигнал с ограничением по времени и полосе пропускания - это постоянный ноль.

Одним из важных следствий этого результата является то, что невозможно сгенерировать действительно ограниченный по полосе сигнал в любой реальной ситуации, потому что для передачи ограниченного по полосе сигнала потребуется бесконечное время. Все сигналы реального мира по необходимости время ограничено, что означает, что они не можешь быть ограниченным. Тем не менее, концепция сигнала с ограниченной полосой частот является полезной идеализацией для теоретических и аналитических целей. Кроме того, можно аппроксимировать сигнал с ограниченной полосой частот до любого желаемого уровня точности.

Аналогичное соотношение между длительностью во времени и пропускная способность по частоте также формирует математическую основу для принцип неопределенности в квантовая механика. В этой настройке "ширина" функций временной и частотной областей оценивается с помощью отклонение -подобная мера. Количественно принцип неопределенности налагает следующее условие на любую реальную форму волны:

${\displaystyle W_{B}T_{D}\geq 1}$

куда

${\displaystyle W_{B}}$ является (соответствующим образом выбранной) мерой ширины полосы (в герцах), и

${\displaystyle T_{D}}$ - (соответственно выбранная) мера продолжительности времени (в секундах).

В частотно-временной анализ, эти пределы известны как Предел Габора, и интерпретируются как ограничение на одновременный можно достичь частотно-временного разрешения.

Рекомендации

• Уильям МакКи. Зиберт (1986). Цепи, сигналы и системы. Кембридж, Массачусетс: MIT Press.