Успокаивающий - Mollifier

Успокаивающий (вверху) в измерение один. Внизу красным цветом изображена функция с угловым (слева) и резким скачком (справа), а синим - его смягченная версия.

В математика, успокаивающие (также известен как приближения к тождеству) находятся гладкие функции со специальными свойствами, например, в теория распределения создать последовательности гладких функций, аппроксимирующих негладкую (обобщенные) функции, через свертка. Интуитивно, учитывая довольно нерегулярную функцию, сворачивая ее с помощью смягчителя, функция становится «смягченной», то есть ее резкие черты сглаживаются, оставаясь при этом близкими к исходной негладкой (обобщенной) функции.^[1]

Они также известны как Успокаивающие Фридрихса после Курт Отто Фридрихс, кто их представил.^[2]

Исторические заметки

Смягчители были введены Курт Отто Фридрихс в его статье (Фридрихс 1944 г., pp. 136–139), который считается переломным в современной теории уравнения в частных производных.^[3] Название этого математического объекта имело любопытное происхождение, и Питер Лакс рассказывает всю историю в своем комментарии к статье, опубликованной в "Фридрихсе" "Выберите".^[4] По его словам, в то время математик Дональд Александр Фландерс был коллегой Фридрихса: так как он любил консультироваться с коллегами об использовании английского языка, он попросил Фландерса совета, как назвать оператор сглаживания, который он использует.^[3] Фландрия была пуританин, которого друзья прозвали Молл в честь Moll Flanders в знак признания его моральных качеств: он предложил называть новую математическую концепцию "успокаивающее средство"как игра слов, включающая прозвище Фландрии и глагол"успокаивать ', что в переносном смысле означает «сгладить».^[5]

Ранее Сергей Соболев использовал успокаивающие средства в своей эпохе создания бумаги 1938 года,^[6] который содержит доказательство Теорема вложения Соболева: Сам Фридрихс признал работу Соболева по успокаивающим средствам, заявив, что: - "Эти успокаивающие были введены Соболевым и автором ...".^[7]

Следует отметить, что термин «успокаивающий» подвергся лингвистический дрейф со времен этих основополагающих работ: Фридрихс определил как "успокаивающее средство"the интегральный оператор чья ядро является одной из функций, которые в настоящее время называются успокаивающими средствами. Однако, поскольку свойства линейного интегрального оператора полностью определяются его ядром, имя mollfier было унаследовано самим ядром в результате обычного использования.

Определение

Функция, подвергающаяся прогрессирующему смягчению.

Современное (основанное на распределении) определение

Определение 1. Если ${\displaystyle \varphi }$ это гладкая функция на ℝ^п, п ≥ 1, удовлетворяющие следующим трем требованиям

(1)   это компактно поддерживается^[8]

(2)  ${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\varphi (x)\mathrm {d} x=1}$

(3)  ${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\varphi _{\epsilon }(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )=\delta (x)}$

где ${\displaystyle \delta (x)}$ это Дельта-функция Дирака и предел следует понимать в пространстве Шварца распределения, тогда ${\displaystyle \varphi }$ это успокаивающее средство. Функция ${\displaystyle \varphi }$ также может удовлетворять дополнительным условиям:^[9] например, если он удовлетворяет

(4)  ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (x)}$ ≥ 0 для всех Икс ∈ ℝ^п, то он называется положительный успокаивающий эффект

(5)  ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (x)}$=${\displaystyle \mu }$${\displaystyle (|x|)}$ для некоторых бесконечно дифференцируемая функция ${\displaystyle \mu }$ : ℝ⁺ → ℝ, то он называется симметричный успокаивающий

Примечания к определению Фридрихса

Примечание 1. Когда теория распределения еще не был широко известен и не использовался,^[10] свойство (3) выше было сформулировано, говоря, что свертка функции ${\displaystyle \scriptstyle \varphi _{\epsilon }}$ с заданной функцией, принадлежащей собственному Гильберта или Банахово пространство сходится так как ε → 0 к этой функции:^[11] это именно то, что Фридрихс сделал.^[12] Это также проясняет, почему успокаивающие относятся к приблизительные тождества.^[13]

Заметка 2. Как кратко указано в разделе "Исторические заметки "в этой записи, первоначально термин" успокаивающее средство "обозначал следующее оператор свертки:^[13][14]

${\displaystyle \Phi _{\epsilon }(f)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi _{\epsilon }(x-y)f(y)\mathrm {d} y}$

где ${\displaystyle \varphi _{\epsilon }(x)=\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )}$ и ${\displaystyle \varphi }$ это гладкая функция удовлетворяет первым трем условиям, указанным выше, и одному или нескольким дополнительным условиям положительности и симметрии.

Конкретный пример

Рассмотрим функция ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (x)}$ из переменная в ℝ^п определяется

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}e^{-1/(1-|x|^{2})}/I_{n}&{\text{ if }}|x|<1\\0&{\text{ if }}|x|\geq 1\end{cases}}}$

где числовая постоянная ${\displaystyle I_{n}}$ обеспечивает нормализацию. Легко видеть, что эта функция бесконечно дифференцируемый, не аналитический с исчезновением производная для |Икс| = 1. ${\displaystyle \varphi }$ поэтому может использоваться как успокаивающее средство, как описано выше: также легко увидеть, что ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (x)}$ определяет положительный и симметричный успокаивающий эффект.^[15]

Функция ${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle (x)}$ в измерение один

Свойства

Все свойства успокаивающего средства связаны с его поведением под действием свертка: перечислим следующие, доказательства которых можно найти в каждом тексте на теория распределения.^[16]

Сглаживающее свойство

Для любого распространения ${\displaystyle T}$, следующее семейство сверток, индексируемое настоящий номер ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle T_{\epsilon }=T\ast \varphi _{\epsilon }}$

где ${\displaystyle \ast }$ обозначает свертка, это семья гладкие функции.

Приближение идентичности

Для любого распространения ${\displaystyle T}$, следующее семейство сверток, индексируемое настоящий номер ${\displaystyle \epsilon }$ сходится к ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}T_{\epsilon }=\lim _{\epsilon \to 0}T\ast \varphi _{\epsilon }=T\in D^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})}$

Поддержка свертки

Для любого распространения ${\displaystyle T}$,

${\displaystyle \mathrm {supp} T_{\epsilon }=\mathrm {supp} (T\ast \varphi _{\epsilon })\subset \mathrm {supp} T+\mathrm {supp} \varphi _{\epsilon }}$

где ${\displaystyle \mathrm {supp} }$ указывает на поддержка в смысле распределений и ${\displaystyle +}$ указывает их Дополнение Минковского.

Приложения

Основное применение смягчителей - доказать, что свойства действительны для гладкие функции также в негладких ситуациях:

Продукт раздач

В некоторых теориях обобщенные функции, смягчители используются для определения умножение распределений: точно, учитывая два распределения ${\displaystyle S}$ и ${\displaystyle T}$, предел товар из гладкая функция и распространение

${\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}S_{\epsilon }\cdot T=\lim _{\epsilon \to 0}S\cdot T_{\epsilon }{\overset {\mathrm {def} }{=}}S\cdot T}$

определяет (если существует) их продукт в различных теориях обобщенные функции.

"Слабые = сильные" теоремы

Очень неформально, смягчители используются для доказательства тождества двух различных типов расширений дифференциальных операторов: сильного расширения и слабое расширение. Бумага (Фридрихс 1944 г. ) достаточно хорошо иллюстрирует эту концепцию: однако большое количество технических деталей, необходимых для того, чтобы показать, что это на самом деле означает, не позволяет их формально детализировать в этом кратком описании.

Плавные функции отсечки

Путем свертки характеристическая функция из единичный мяч ${\displaystyle B_{1}=\{x:|x|<1\}}$ с гладкая функция ${\displaystyle \varphi _{1/2}}$ (определяется как в (3) с участием ${\displaystyle \epsilon =1/2}$), получаем функцию

${\displaystyle \chi _{B_{1},1/2}(x)=\chi _{B_{1}}\ast \varphi _{1/2}(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y\ \ \ (\because \ \mathrm {supp} (\varphi _{1/2})=B_{1/2})}$

который является гладкая функция равно ${\displaystyle 1}$ на ${\displaystyle B_{1/2}=\{x:|x|<1/2\}}$, при поддержке, содержащейся в ${\displaystyle B_{3/2}=\{x:|x|<3/2\}}$. Это легко увидеть, заметив, что если ${\displaystyle |x|}$ ≤ ${\displaystyle 1/2}$ и ${\displaystyle |y|}$ ≤ ${\displaystyle 1/2}$ тогда ${\displaystyle |x-y|}$ ≤ ${\displaystyle 1}$. Следовательно, для ${\displaystyle |x|}$ ≤ ${\displaystyle 1/2}$,

${\displaystyle \int _{B_{1/2}}\!\!\!\chi _{B_{1}}(x-y)\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=\int _{B_{1/2}}\!\!\!\varphi _{1/2}(y)\mathrm {d} y=1}$.

Легко увидеть, как эту конструкцию можно обобщить для получения гладкой функции, идентичной функции на окрестности данного компактный набор, и равным нулю в каждой точке, расстояние из этого набора больше заданного ${\displaystyle \epsilon }$.^[17] Такая функция называется (гладкой) функция отсечки: те функции используются для устранения особенностей заданного (обобщенный ) функция от умножение. Они оставляют неизменным значение (обобщенный ) функция они размножаются только на данном набор, таким образом изменяя его поддержка: также функции отсечки являются основными частями гладкие перегородки единства.

Смотрите также

• Примерная личность
• Неаналитическая гладкая функция
• Функция удара
• Свертка
• Преобразование Вейерштрасса
• Распределение (математика)
• Курт Отто Фридрихс
• Обобщенная функция
• Сергей Соболев

Заметки

1. Уважение к топология данного пространства обобщенных функций.
2. Увидеть (Фридрихс 1944 г. С. 136–139).
3. См. Комментарий Питер Лакс на бумаге (Фридрихс 1944 г. ) в (Фридрихс 1986, том 1, с. 117).
4. (Фридрихс 1986, том 1, с. 117)
5. В (Фридрихс 1986, том 1, с. 117) Лакс точно пишет:Об использовании английского языка Фридрихс любил советоваться со своим другом и коллегой Дональдом Фландерсом, потомком пуритан и самим пуританином, с высочайшими стандартами своего поведения, без цензуры по отношению к другим. В знак признания его моральных качеств друзья прозвали его Молл. На вопрос Фридрихса, как назвать сглаживающего оператора, Фландер заметил, что его можно назвать успокаивающим средством; Фридрихс был рад, как и в других случаях, напечатать эту шутку."
6. Увидеть (Соболев 1938 ).
7. Фридрихс (1953 г., п. 196).
8. Такие как функция удара
9. Увидеть (Джусти 1984, п. 11).
10. Как когда бумага (Фридрихс 1944 г. ) был опубликован несколькими годами ранее Лоран Шварц широкое распространение его творчество.
11. Очевидно топология относительно сходимости является одним из Гильберта или Банахово пространство считается.
12. Увидеть (Фридрихс 1944 г., стр. 136–138), свойства ПИ, PII, PIII и их последствия PIII₀.
13. Также в этом отношении Фридрихс (1944 г., стр. 132) говорит: - "Основным инструментом доказательства является некоторый класс аппроксимирующих единицу сглаживающих операторов, «успокаивающих»..
14. Увидеть (Фридрихс 1944 г., п. 137), пункт 2, "Интегральные операторы".
15. Увидеть (Хёрмандер 1990, п. 14), лемма 1.2.3: пример сформулирован в неявной форме, сначала определив

    ${\displaystyle f(t)=\exp({-1/t})}$ для ${\displaystyle t\in \mathbb {R} _{+}}$,

    а затем учитывая

    ${\displaystyle f(x)=f{\big (}1-|x|^{2}{\big )}=\exp {\big (}1-|x|^{2}{\big )}}$ для ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$.

16. См. Например (Хёрмандер 1990 ).
17. Доказательство этого факта можно найти в (Хёрмандер 1990, п. 25), теорема 1.4.1.

использованная литература

• Фридрихс, Курт Отто (Январь 1944 г.), «Тождество слабого и сильного расширений дифференциальных операторов», Труды Американского математического общества, 55 (1): 132–151, Дои:10.1090 / S0002-9947-1944-0009701-0, JSTOR  1990143, Г-Н  0009701, Zbl  0061.26201. Первая статья, в которой были представлены смягчители.
• Фридрихс, Курт Отто (1953), «О дифференцируемости решений линейных эллиптических дифференциальных уравнений», Сообщения по чистой и прикладной математике, VI (3): 299–326, Дои:10.1002 / cpa.3160060301, Г-Н  0058828, Zbl  0051.32703, заархивировано из оригинал на 2013-01-05. Бумага, где дифференцируемость из решения эллиптических уравнений в частных производных исследуется с помощью успокаивающих средств.
• Фридрихс, Курт Отто (1986), Моравец, Кэтлин С. (ред.), Выберите, Современные математики, Бостон-Базель -Штутгарт: Birkhäuser Verlag, pp. 427 (Vol. 1), pp. 608 (Vol. 2), ISBN  0-8176-3270-0, Zbl  0613.01020. Подборка произведений Фридрихса с биографией и комментариями Дэвид Исааксон, Фриц Джон, Тосио Като, Питер Лакс, Луи Ниренберг, Вольфгаг Вазов, Гарольд Вайцнер.
• Джусти, Энрико (1984), Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации, Монографии по математике, 80, Базель -Бостон -Штутгарт: Birkhäuser Verlag, стр. Xii + 240, ISBN  0-8176-3153-4, Г-Н  0775682, Zbl  0545.49018.
• Хёрмандер, Ларс (1990), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaft, 256 (2-е изд.), Берлин -Гейдельберг -Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  0-387-52343-X, Г-Н  1065136, Zbl  0712.35001.
• Соболев, С.Л. (1938), "Sur un théorème d'analyse fonctionnelle", Recueil Mathématique (Математический сборник) (на русском и французском языках), 4 (46) (3): 471–497, Zbl  0022.14803. Статья, в которой Сергей Соболев доказал свое теорема вложения, введение и использование интегральные операторы очень похожи на успокаивающие, не называя их.