Квантовая термодинамика - Quantum thermodynamics - Wikipedia

Квантовая термодинамика ^[1][2] это исследование отношений между двумя независимыми физическими теориями: термодинамика и квантовая механика. Две независимые теории касаются физических явлений света и материи. Альберт Эйнштейн утверждал, что требование соответствия между термодинамика и электромагнетизм^[3] приводит к выводу о квантовании света с получением соотношения ${\displaystyle E=h\nu }$. Эта бумага - рассвет квант теория. Через несколько десятилетий квант теория закрепилась с независимым набором правил.^[4] В настоящее время квантовая термодинамика обращается к появлению термодинамических законов из квантовой механики. Он отличается от квантовая статистическая механика в акценте на динамические процессы, выходящие из равновесия. Кроме того, существует стремление к тому, чтобы теория соответствовала отдельной квантовой системе.

Динамический вид

Существует тесная связь квантовой термодинамики с теорией открытые квантовые системы.^[5]Квантовая механика включает динамику в термодинамику, обеспечивая прочную основу для термодинамики с конечным временем. Основное предположение состоит в том, что весь мир представляет собой большую замкнутую систему, и поэтому эволюция во времени управляется унитарным преобразованием, порожденным глобальным Гамильтониан. Для комбинированного сценария системной ванны глобальный гамильтониан можно разложить на:

${\displaystyle H=H_{S}+H_{B}+H_{SB}}$

куда ${\displaystyle H_{S}}$ гамильтониан системы, ${\displaystyle H_{B}}$ гамильтониан ванны и ${\displaystyle H_{SB}}$ - взаимодействие системы и ванны. Состояние системы получается из частичного следа по объединенной системе и ванне:${\displaystyle \rho _{S}(t)=Tr_{B}(\rho _{SB}(t))}$Приведенная динамика является эквивалентным описанием динамики системы с использованием только системных операторов. Марковская собственность для динамики основным уравнением движения открытой квантовой системы является Уравнение Линдблада (ГКЛС):^[6][7]

${\displaystyle {\dot {\rho }}_{S}=-{i \over \hbar }[H_{S},\rho _{S}]+L_{D}(\rho _{S})}$

${\displaystyle H_{S}}$ это (Эрмитский ) Гамильтониан часть и ${\displaystyle L_{D}}$:

${\displaystyle L_{D}(\rho _{S})=\sum _{n}\left(V_{n}\rho _{S}V_{n}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(\rho _{S}V_{n}^{\dagger }V_{n}+V_{n}^{\dagger }V_{n}\rho _{S}\right)\right)}$

- диссипативная часть, неявно описывающая через системные операторы ${\displaystyle V_{n}}$ влияние ванны на систему. Марковская собственность утверждает, что система и ванна не коррелируют постоянно ${\displaystyle \rho _{SB}=\rho _{s}\otimes \rho _{B}}$.Уравнение Л-ГКС однонаправлено и приводит к любому начальному состоянию ${\displaystyle \rho _{S}}$ к стационарному решению, которое является инвариантом уравнения движения ${\displaystyle {\dot {\rho }}_{S}(t\rightarrow \infty )=0}$.^[5]

В Картинка Гейзенберга обеспечивает прямую связь с квантовыми термодинамическими наблюдаемыми. Динамика наблюдаемой системы, представленной оператором, ${\displaystyle O}$, имеет вид:

${\displaystyle {\frac {dO}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[H_{S},O]+L_{D}^{*}(O)+{\frac {\partial O}{\partial t}}}$

где возможность того, что оператор, ${\displaystyle O}$ явно зависит от времени, включен.

Возникновение производной по времени первого закона термодинамики

Когда ${\displaystyle O=H_{S}}$ в первый закон термодинамики появляется:

${\displaystyle {\frac {dE}{dt}}=\left\langle {\frac {\partial H_{S}}{\partial t}}\right\rangle +\langle L_{D}^{*}(H_{S})\rangle }$

где мощность интерпретируется как ${\displaystyle P=\left\langle {\frac {\partial H_{S}}{\partial t}}\right\rangle }$и тепловой ток ${\displaystyle J=\langle L_{D}^{*}(H_{S})\rangle }$.^[8][9][10]

К диссипатору должны быть наложены дополнительные условия. ${\displaystyle L_{D}}$ чтобы соответствовать термодинамике. Во-первых, инвариант ${\displaystyle \rho _{S}(\infty )}$ должно стать равновесием Состояние Гиббса Это означает, что диссипатор ${\displaystyle L_{D}}$ должен коммутировать с унитарной частью, порожденной ${\displaystyle H_{S}}$.^[5] Кроме того, состояние равновесия является стационарным и стабильным. Это предположение используется для вывода критерия устойчивости Кубо-Мартина-Швингера для теплового равновесия, т.е. Состояние KMS.

Уникальный и последовательный подход достигается путем вывода генератора, ${\displaystyle L_{D}}$, в слабой системе предел сцепления с ванной.^[11]В этом пределе энергией взаимодействия можно пренебречь. Этот подход представляет собой термодинамическую идеализацию: он допускает передачу энергии, сохраняя при этом разделение тензорного произведения между системой и ванной, то есть квантовую версию изотермический раздел.

Марковский поведение включает в себя довольно сложное взаимодействие между системой и динамикой ванны. Это означает, что в феноменологических трактовках нельзя комбинировать гамильтонианы произвольной системы, ${\displaystyle H_{S}}$, с заданным генератором L-GKS. Это наблюдение особенно важно в контексте квантовой термодинамики, где возникает соблазн изучить марковскую динамику с произвольным управляющим гамильтонианом. Ошибочные выводы основного квантового уравнения могут легко привести к нарушению законов термодинамики.

Внешнее возмущение, изменяющее гамильтониан системы, также изменит тепловой поток. В результате необходимо перенормировать генератор L-GKS. Для медленного изменения можно принять адиабатический подход и использовать мгновенный гамильтониан системы, чтобы получить ${\displaystyle L_{D}}$. Важный класс задач квантовой термодинамики - это периодически управляемые системы. Периодический квантовые тепловые машины и механический холодильники попадают в этот класс.

Было предложено пересмотреть выражение зависящего от времени теплового тока с использованием методов квантового переноса.^[12]

Предложен вывод последовательной динамики за пределом слабой связи.^[13]

Возникновение второго закона

В второй закон термодинамики является заявлением о необратимости динамики или нарушении симметрии обращения времени (Т-симметрия ). Это должно соответствовать прямому эмпирическому определению: тепло самопроизвольно перетекает от горячего источника в холодный сток.

Со статической точки зрения, для замкнутой квантовой системы II-закон термодинамики является следствием унитарной эволюции.^[14] В этом подходе учитывается изменение энтропии до и после изменения всей системы. Динамическая точка зрения основана на локальном учете энтропия изменения в подсистемах и энтропия, генерируемая в ваннах.

Энтропия

В термодинамике энтропия относится к конкретному процессу. В квантовой механике это означает возможность измерять систему и управлять ею на основе информации, собранной путем измерения. Примером может служить случай Демон Максвелла, который был решен Лео Сцилард.^[15][16][17]

В энтропия наблюдаемого связано с полным проективным измерением наблюдаемого,${\displaystyle \langle A\rangle }$, где оператор ${\displaystyle A}$ имеет спектральное разложение: ${\displaystyle A=\sum _{j}\alpha _{i}P_{j}}$куда ${\displaystyle P_{j}}$ - операторы проектирования собственного значения ${\displaystyle \alpha _{j}}$Вероятность исхода j равна ${\displaystyle p_{j}=Tr(\rho P_{j})}$Энтропия, связанная с наблюдаемым ${\displaystyle \langle A\rangle }$ это Энтропия Шеннона в отношении возможных результатов:

${\displaystyle S_{A}=-\sum _{j}p_{j}\ln p_{j}}$

Наиболее важной наблюдаемой в термодинамике является энергия, представленная оператором Гамильтона ${\displaystyle H}$, и связанная с ней энтропия энергии, ${\displaystyle S_{E}}$.^[18]

Джон фон Нейман предложили выделить наиболее информативную наблюдаемую для характеристики энтропии системы. Этот инвариант получается минимизацией энтропии по всем возможным наблюдаемым. Самый информативный наблюдаемый оператор коммутирует с состоянием системы. Энтропия этой наблюдаемой называется Энтропия фон Неймана и равно:

${\displaystyle S_{vn}=-Tr(\rho \ln \rho )}$

Как следствие, ${\displaystyle S_{A}\geq S_{vn}}$ для всех наблюдаемых. При тепловом равновесии энергия энтропия равно энтропия фон Неймана: ${\displaystyle S_{E}=S_{vn}}$.

${\displaystyle S_{vn}}$ инвариантен к унитарному преобразованию, изменяющему состояние. В Энтропия фон Неймана ${\displaystyle S_{vn}}$ является аддитивным только для состояния системы, состоящего из тензорного произведения ее подсистем:

${\displaystyle \rho =\Pi _{j}\otimes \rho _{j}}$

Версия Клаузиуса II-закона

Невозможно ни одного процесса, единственным результатом которого является передача тепла от тела с более низкой температурой к телу с более высокой температурой.

Это утверждение для термостатов с N-связью в установившемся режиме становится следующим:

${\displaystyle \sum _{n}{\frac {J_{n}}{T_{n}}}\geq 0}$

Динамическая версия II-закона может быть доказана на основе Spohn Неравенство^[19]

${\displaystyle Tr\left(L_{D}\rho [\ln \rho (\infty )-\ln \rho ]\right)\geq 0}$

что справедливо для любого генератора L-GKS, находящегося в стационарном состоянии, ${\displaystyle \rho (\infty )}$.^[5]

Согласованность с термодинамикой может быть использована для проверки квантовых динамических моделей транспорта. Например, было показано, что локальные модели для сетей, в которых локальные уравнения L-GKS связаны через слабые звенья, нарушают второй закон термодинамики.^[20]

Квантовые и термодинамические адиабатические условия и квантовое трение

Термодинамический адиабатические процессы не имеют изменения энтропии. Обычно внешнее управление изменяет состояние. Квантовая версия адиабатический процесс может быть смоделирован гамильтонианом, зависящим от времени ${\displaystyle H(t)}$. Если система изолирована, динамика унитарна, и, следовательно, ${\displaystyle S_{vn}}$ является константой. Квантовый адиабатический процесс определяется энтропией энергии ${\displaystyle S_{E}}$ постоянна. адиабатический Таким образом, условие эквивалентно отсутствию чистого изменения населенности мгновенных уровней энергии, что означает, что гамильтониан должен коммутировать сам с собой в разное время: ${\displaystyle [H(t),H(t')]=0}$.

Когда адиабатические условия не выполняются, требуется дополнительная работа для достижения окончательного контрольного значения. Для изолированной системы эту работу можно восстановить, поскольку динамика унитарна и может быть обращена вспять. В этом случае квантовое трение можно подавить, используя кратчайшие пути к адиабатичности как продемонстрировано в лаборатории с использованием унитарного ферми-газа в зависящей от времени ловушке^[21]. согласованность Хранящиеся в недиагональных элементах оператора плотности, несут необходимую информацию для возмещения дополнительных затрат энергии и обращения динамики. Обычно эта энергия не подлежит восстановлению из-за взаимодействия с ванной, которое вызывает дефазировку энергии. В этом случае ванна действует как измеритель энергии. Эта потерянная энергия является квантовой версией трения.^[22][23]

Появление динамической версии третьего начала термодинамики.

По-видимому, существуют две независимые формулировки третий закон термодинамики оба первоначально были заявлены Вальтер Нернст. Первая формулировка известна как Теорема Нернста о тепле, и можно сформулировать так:

• Энтропия любого чистого вещества в термодинамическом равновесии приближается к нулю, когда температура приближается к нулю.

Вторая формулировка - динамическая, известная как принцип недостижимости^[24]

• Никакой процедурой, какой бы идеальной она ни была, невозможно свести любую сборку к абсолютный ноль температура за конечное число операций.

В устойчивом состоянии второй закон термодинамики означает, что общая производство энтропии неотрицательна. Когда холодная ванна приближается к температуре абсолютного нуля, необходимо исключить производство энтропии расхождение на холодной стороне, когда ${\displaystyle T_{c}\rightarrow 0}$, следовательно

${\displaystyle {\dot {S}}_{c}\propto -T_{c}^{\alpha }~~~,~~~~\alpha \geq 0~~.}$

За ${\displaystyle \alpha =0}$ выполнение второй закон зависит от производство энтропии других ванн, что должно компенсировать негативный производство энтропии холодной ванны. Первая формулировка третьего закона изменяет это ограничение. Вместо ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ третий закон предписывает ${\displaystyle \alpha >0}$, гарантируя, что при абсолютном нуле производство энтропии в холодной ванне равно нулю: ${\displaystyle {\dot {S}}_{c}=0}$. Это требование приводит к условию масштабирования теплового тока ${\displaystyle {J}_{c}\propto T_{c}^{\alpha +1}}$.

Вторую формулировку, известную как принцип недостижимости, можно перефразировать так:^[25]

• Ни один холодильник не может охладить систему до абсолютный ноль температура в конечное время.

Динамика процесса охлаждения определяется уравнением

${\displaystyle {J}_{c}(T_{c}(t))=-c_{V}(T_{c}(t)){\frac {dT_{c}(t)}{dt}}~~.}$

куда ${\displaystyle c_{V}(T_{c})}$ теплоемкость ванны. Принимая ${\displaystyle {J}_{c}\propto T_{c}^{\alpha +1}}$ и ${\displaystyle c_{V}\sim T_{c}^{\eta }}$ с ${\displaystyle {\eta }\geq 0}$, мы можем количественно оценить эту формулировку, оценив характеристический показатель ${\displaystyle \zeta }$ процесса охлаждения,

${\displaystyle {\frac {dT_{c}(t)}{dt}}\propto -T_{c}^{\zeta },~~~~~T_{c}\rightarrow 0,~~~~~{\zeta =\alpha -\eta +1}}$

Это уравнение вводит связь между характеристическими показателями ${\displaystyle \zeta }$ и ${\displaystyle \alpha }$. Когда ${\displaystyle \zeta <0}$ затем ванна охлаждается до нулевой температуры за конечное время, что подразумевает оценку третьего закона. Из последнего уравнения видно, что принцип недостижимости более строг, чем принцип недостижимости. Теорема Нернста о тепле.

Типичность как источник возникновения термодинамических явлений

Основная идея квантовой типичности состоит в том, что подавляющее большинство всех чистых состояний с общим математическим ожиданием некоторой общей наблюдаемой в данный момент времени дадут очень похожие математические ожидания той же самой наблюдаемой в любое более позднее время. Это предназначено для применения к динамике типа Шредингера в многомерных гильбертовых пространствах. Как следствие, индивидуальная динамика ожидаемых значений обычно хорошо описывается средним по ансамблю.^[26]

Квантовая эргодическая теорема принадлежит Джон фон Нейман является сильным результатом, вытекающим из простой математической структуры квантовой механики. QET - это точная формулировка так называемой нормальной типичности, то есть утверждение, что для типичных больших систем каждая начальная волновая функция ${\displaystyle \psi _{0}}$ из энергетической оболочки является «нормальным»: она развивается таким образом, что ${\displaystyle \psi _{t}}$ для большинства t макроскопически эквивалентен микроканонической матрице плотности.^[27]

Теория ресурсов

В второй закон термодинамики можно интерпретировать как количественную оценку преобразований состояния, которые статистически маловероятны, так что они становятся фактически запрещенными. Второй закон обычно применяется к системам, состоящим из множества взаимодействующих частиц; Теория ресурсов квантовой термодинамики - это формулировка термодинамики в режиме, когда она может быть применена к небольшому количеству частиц, взаимодействующих с термостатом. Для процессов, которые являются циклическими или очень близкими к циклическим, второй закон для микроскопических систем принимает совершенно иную форму, чем в макроскопическом масштабе, налагая не только одно ограничение на то, какие преобразования состояний возможны, но и целое семейство ограничений. Эти вторые законы актуальны не только для небольших систем, но также применимы к отдельным макроскопическим системам, взаимодействующим посредством дальнодействующих взаимодействий, которые в среднем удовлетворяют только обычному второму закону. Уточняя определение тепловых операций, законы термодинамики принимают форму, в которой первый закон определяет класс тепловых операций, нулевой закон становится уникальным условием, обеспечивающим нетривиальность теории, а остальные законы являются свойством монотонности. обобщенных свободных энергий.^[28][29]

Смотрите также

• Квантовая статистическая механика

Рекомендации

1. [1] Деффнер, Себастьян и Кэмпбелл, Стив. «Квантовая термодинамика: введение в термодинамику квантовой информации» Morgan & Claypool Publishers (2019), doi.org/10.1088/2053-2571/ab21c6
2. Биндер, Ф., Корреа, Л.А., Гоголин, К., Андерс, Дж. И Адессо, Г., 2019. Термодинамика в квантовом режиме. Фундаментальные теории физики (Springer, 2018).
3. Эйнштейн, А. (1905). "Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt". Annalen der Physik (на немецком). 322 (6): 132–148. Bibcode:1905AnP ... 322..132E. Дои:10.1002 / andp.19053220607. ISSN  0003-3804.
4. Джон фон Нейман. Математические основы квантовой механики. № 2. Издательство Принстонского университета, 1955 год.
5. Кослофф, Ронни (29 мая 2013 г.). «Квантовая термодинамика: динамическая точка зрения». Энтропия. 15 (12): 2100–2128. arXiv:1305.2268. Bibcode:2013Энтрп..15.2100 тыс.. Дои:10.3390 / e15062100. ISSN  1099-4300.
6. Линдблад, Г. (1976). «О генераторах квантовых динамических полугрупп». Коммуникации по математической физике. 48 (2): 119–130. Bibcode:1976CMaPh..48..119L. Дои:10.1007 / bf01608499. ISSN  0010-3616. S2CID  55220796.
7. Горини, Витторио (1976). «Вполне положительные динамические полугруппы N-уровневых систем». Журнал математической физики. 17 (5): 821–825. Bibcode:1976JMP .... 17..821G. Дои:10.1063/1.522979. ISSN  0022-2488.
8. Spohn, H .; Лебовиц Дж. Необратимая термодинамика квантовых систем, слабо связанных с термальными резервуарами. Adv. Chem. Phys. 1979, 38, 109.
9. Алики, Р. (1979). «Квантовая открытая система как модель теплового двигателя». Журнал физики A: математические и общие. 12 (5): L103 – L107. Bibcode:1979JPhA ... 12L.103A. Дои:10.1088/0305-4470/12/5/007. ISSN  0305-4470.
10. Кослофф, Ронни (1984-02-15). «Квантовая механическая открытая система как модель теплового двигателя». Журнал химической физики. 80 (4): 1625–1631. Bibcode:1984ЖЧФ..80.1625К. Дои:10.1063/1.446862. ISSN  0021-9606.
11. Дэвис, Э. Б. (1974). «Марковские основные уравнения». Коммуникации по математической физике. 39 (2): 91–110. Bibcode:1974CMaPh..39 ... 91D. Дои:10.1007 / bf01608389. ISSN  0010-3616. S2CID  122552267.
12. Людовико, Мария Флоренсия; Лим, Чон Су; Москалец Михаил; Аррахея, Лилиана; Санчес, Дэвид (21 апреля 2014 г.). «Динамическая передача энергии в квантовых системах с переменным током». Физический обзор B. 89 (16): 161306 (R). arXiv:1311.4945. Bibcode:2014ПхРвБ..89п1306Л. Дои:10.1103 / Physrevb.89.161306. ISSN  1098-0121. S2CID  119265583.
13. Эспозито, Массимилиано; Ochoa, Maicol A .; Гальперин, Михаил (25.02.2015). «Квантовая термодинамика: подход неравновесной функции Грина». Письма с физическими проверками. 114 (8): 080602. arXiv:1411.1800. Bibcode:2015ПхРвЛ.114х0602Е. Дои:10.1103 / Physrevlett.114.080602. ISSN  0031-9007. PMID  25768745. S2CID  11498686.
14. Lieb, Elliott H .; Ингвасон, Якоб (1999). «Физико-математические науки второго начала термодинамики». Отчеты по физике. 310 (1): 1–96. arXiv:cond-mat / 9708200. Bibcode:1999ФР ... 310 .... 1л. Дои:10.1016 / s0370-1573 (98) 00082-9. ISSN  0370-1573. S2CID  119620408.
15. Сцилард, Л. (1929). «Uber die Entropieverminderung in einem thermodynamischen System bei Eingriffen Intelligent Wesen» [О минимизации энтропии в термодинамической системе с вмешательством разумных существ]. Zeitschrift für Physik (на немецком). 53 (11–12): 840–856. Bibcode:1929ZPhy ... 53..840S. Дои:10.1007 / bf01341281. ISSN  1434-6001. S2CID  122038206.
16. Бриллюэн, Л. Наука и теория информации; Academic Press: Нью-Йорк, Нью-Йорк, США, 1956. 107.
17. Маруяма, Кодзи; Нори, Франко; Ведрал, Влатко (06.01.2009). «Коллоквиум: физика демона Максвелла и информация». Обзоры современной физики. 81 (1): 1–23. arXiv:0707.3400. Bibcode:2009РвМП ... 81 .... 1М. Дои:10.1103 / revmodphys.81.1. ISSN  0034-6861. S2CID  18436180.
18. Полковников, Анатолий (2011). «Микроскопическая диагональная энтропия и ее связь с основными термодинамическими соотношениями». Анналы физики. 326 (2): 486–499. arXiv:0806.2862. Bibcode:2011AnPhy.326..486P. Дои:10.1016 / j.aop.2010.08.004. ISSN  0003-4916. S2CID  118412733.
19. Spohn, H .; Лебовиц Дж. Необратимая термодинамика квантовых систем, слабо связанных с тепловыми резервуарами. Adv. Chem. Phys. 1978, 109, 38.
20. Леви, Амикам; Кослофф, Ронни (01.07.2014). «Локальный подход к квантовому переносу может нарушить второй закон термодинамики». Письма еврофизики. 107 (2): 20004. arXiv:1402.3825. Bibcode:2014EL .... 10720004L. Дои:10.1209/0295-5075/107/20004. ISSN  0295-5075. S2CID  118498868.
21. Deng, S .; Chenu, A .; Diao, P .; Li, F .; Ю., С .; Coulamy, I .; дель Кампо, А; Ву, Х. (2018). «Подавление сверхадиабатического квантового трения в термодинамике с конечным временем». Достижения науки. 4 (4): eaar5909. arXiv:1711.00650. Bibcode:2018SciA .... 4.5909D. Дои:10.1126 / sciadv.aar5909. ЧВК  5922798. PMID  29719865.
22. Кослофф, Ронни; Фельдманн, Това (16.05.2002). «Дискретный четырехтактный квантовый тепловой двигатель, исследующий происхождение трения». Физический обзор E. 65 (5): 055102 (R). arXiv:физика / 0111098. Bibcode:2002PhRvE..65e5102K. Дои:10.1103 / Physreve.65.055102. ISSN  1063-651X. PMID  12059626. S2CID  9292108.
23. Plastina, F .; Alecce, A .; Apollaro, T. J. G .; Falcone, G .; Francica, G .; и другие. (2014-12-31). «Необратимая работа и внутреннее трение в квантовых термодинамических процессах». Письма с физическими проверками. 113 (26): 260601. arXiv:1407.3441. Bibcode:2014PhRvL.113z0601P. Дои:10.1103 / Physrevlett.113.260601. ISSN  0031-9007. PMID  25615295. S2CID  9353450.
24. Ландсберг, П. Т. (1956-10-01). «Основы термодинамики». Обзоры современной физики. 28 (4): 363–392. Bibcode:1956РвМП ... 28..363Л. Дои:10.1103 / revmodphys.28.363. ISSN  0034-6861.
25. Леви, Амикам; Алики, Роберт; Кослофф, Ронни (26.06.2012). «Квантовые холодильники и третий закон термодинамики». Физический обзор E. 85 (6): 061126. arXiv:1205.1347. Bibcode:2012PhRvE..85f1126L. Дои:10.1103 / Physreve.85.061126. ISSN  1539-3755. PMID  23005070. S2CID  24251763.
26. Барч, Кристиан; Геммер, Йохен (19 марта 2009 г.). «Динамическая типичность значений квантового ожидания». Письма с физическими проверками. 102 (11): 110403. arXiv:0902.0927. Bibcode:2009ПхРвЛ.102к0403Б. Дои:10.1103 / Physrevlett.102.110403. ISSN  0031-9007. PMID  19392176. S2CID  34603425.
27. Гольдштейн, Шелдон; Lebowitz, Joel L .; Мастродонато, Кристиан; Тумулка, Родерич; Занхи, Нино (20 мая 2010 г.). «Нормальная типичность и квантовая эргодическая теорема фон Неймана». Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки. 466 (2123): 3203–3224. arXiv:0907.0108. Bibcode:2010RSPSA.466.3203G. Дои:10.1098 / rspa.2009.0635. ISSN  1364-5021. S2CID  816619.
28. Брандао, Фернандо; Городецкий, Михал; Нг, Нелли; Оппенгейм, Джонатан; Венер, Стефани (09.02.2015). «Вторые законы квантовой термодинамики». Труды Национальной академии наук. 112 (11): 3275–3279. arXiv:1305.5278. Bibcode:2015ПНАС..112.3275Б. Дои:10.1073 / pnas.1411728112. ISSN  0027-8424. ЧВК  4372001. PMID  25675476.
29. Гулд, Джон; Хубер, Маркус; Риера, Арнау; Рио, Лидия дель; Скшипчик, Пол (23 февраля 2016 г.). «Роль квантовой информации в термодинамике - актуальный обзор». Журнал физики A: математический и теоретический. 49 (14): 143001. arXiv:1505.07835. Bibcode:2016JPhA ... 49n3001G. Дои:10.1088/1751-8113/49/14/143001. ISSN  1751-8113.

дальнейшее чтение

Деффнер, Себастьян и Кэмпбелл, Стив. «Квантовая термодинамика: введение в термодинамику квантовой информации», (Morgan & Claypool Publishers, 2019).^[1]

Ф. Биндер, Л. А. Корреа, К. Гоголин, Дж. Андерс, Г. Адессо (ред.) "Термодинамика в квантовом режиме. Фундаментальные аспекты и новые направления". (Springer 2018)

Йохен Геммер, М. Мишель и Гюнтер Малер. «Квантовая термодинамика. Возникновение термодинамического поведения в сложных квантовых системах. 2.» (2009).

Петруччоне, Франческо и Хайнц-Петер Брейер. Теория открытых квантовых систем. Издательство Оксфордского университета, 2002.

внешняя ссылка

• Идти к "Об эвристической точке зрения на излучение и преобразование света ", чтобы прочитать английский перевод статьи Эйнштейна 1905 г. (дата обращения: 11 апреля 2014 г.)

1. https://iopscience.iop.org/book/978-1-64327-658-8