Состояние KMS - KMS state

Состояние Кубо – Мартина – Швингера, изображенное на памятнике перед Варшавского университета Центр Новых Технологий

в статистическая механика из квантово-механический системы и квантовая теория поля, свойства системы в тепловом равновесии могут быть описаны математическим объектом, называемым Кубо -Мартин-Швингер штат или, чаще, Состояние KMS: состояние, удовлетворяющее Состояние KMS. Кубо (1957) ввел условие, Мартин и Швингер (1959) использовал это для определения термодинамический Функции Грина, и Рудольф Хааг, М. Виннинк и Н. М. Гугенгольц  (1967 ) использовал это условие для определения состояний равновесия и назвал его условием KMS.

Обзор

Самый простой случай для изучения - случай конечномерного Гильбертово пространство, при котором не встречаются осложнения типа фазовые переходы или спонтанное нарушение симметрии. В матрица плотности из тепловое состояние дан кем-то

${\displaystyle \rho _{\beta ,\mu }={\frac {e^{-\beta \left(H-\mu N\right)}}{\mathrm {Tr} \left[e^{-\beta \left(H-\mu N\right)}\right]}}={\frac {e^{-\beta \left(H-\mu N\right)}}{Z(\beta ,\mu )}}}$

где ЧАС это Гамильтониан оператор и N это оператор числа частиц (или плата оператор, если мы хотим быть более общими) и

${\displaystyle Z(\beta ,\mu )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathrm {Tr} \left[e^{-\beta \left(H-\mu N\right)}\right]}$

это функция распределения. Мы предполагаем, что N ездит с ЧАС, или другими словами, это число частиц консервированный.

в Картинка Гейзенберга, матрица плотности не меняется со временем, но операторы зависят от времени. В частности, перевод оператора А на τ в будущее дает оператор

${\displaystyle \alpha _{\tau }(A)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{iH\tau }Ae^{-iH\tau }}$.

Сочетание перевод времени с внутренняя симметрия "вращение" дает более общий

${\displaystyle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ e^{i\left(H-\mu N\right)\tau }Ae^{-i\left(H-\mu N\right)\tau }}$

Немного алгебраических манипуляций показывает, что ожидаемые значения

${\displaystyle \left\langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right\rangle _{\beta ,\mu }=\mathrm {Tr} \left[\rho \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right]=\mathrm {Tr} \left[\rho B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right]=\left\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right\rangle _{\beta ,\mu }}$

для любых двух операторов А и B и любое вещественное τ (в конце концов, мы работаем с конечномерными гильбертовыми пространствами). Мы использовали тот факт, что матрица плотности коммутирует с любой функцией от (ЧАС - μN) и что след циклический.

Как указывалось ранее, с бесконечномерными гильбертовыми пространствами мы сталкиваемся с множеством проблем, таких как фазовые переходы, спонтанное нарушение симметрии, операторы, которые не являются класс трассировки, расходящиеся статистические суммы и т. д.

В сложные функции из z, ${\displaystyle \left\langle \alpha _{z}^{\mu }(A)B\right\rangle }$ сходится в комплексной полосе ${\displaystyle -\beta <\Im {z}<0}$ в то время как ${\displaystyle \left\langle B\alpha _{z}^{\mu }(A)\right\rangle }$ сходится в комплексной полосе ${\displaystyle 0<\Im {z}<\beta }$ если мы сделаем определенные технические предположения, такие как спектр из ЧАС - μN ограничен снизу и его плотность не увеличивается экспоненциально (см. Температура Хагедорна ). Если функции сходятся, то они должны быть аналитический внутри полосы они определены как их производные,

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left\langle \alpha _{z}^{\mu }(A)B\right\rangle =i\left\langle \alpha _{z}^{\mu }\left(\left[H-\mu N,A\right]\right)B\right\rangle }$

и

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\left\langle B\alpha _{z}^{\mu }(A)\right\rangle =i\left\langle B\alpha _{z}^{\mu }\left(\left[H-\mu N,A\right]\right)\right\rangle }$

существует.

Однако мы все еще можем определить Состояние KMS как любое состояние, удовлетворяющее

${\displaystyle \left\langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right\rangle =\left\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right\rangle }$

с участием ${\displaystyle \left\langle \alpha _{z}^{\mu }(A)B\right\rangle }$ и ${\displaystyle \left\langle B\alpha _{z}^{\mu }(A)\right\rangle }$ будучи аналитическими функциями z внутри их доменных полос.

${\displaystyle \left\langle \alpha _{\tau }^{\mu }(A)B\right\rangle }$ и ${\displaystyle \left\langle B\alpha _{\tau +i\beta }^{\mu }(A)\right\rangle }$ граница распространение значения рассматриваемых аналитических функций.

Это дает правильный термодинамический предел большого объема и большого числа частиц. Если есть фазовый переход или спонтанное нарушение симметрии, состояние KMS не является уникальным.

Матрица плотности состояния KMS связана с унитарные преобразования включая перевод времени (или перевод времени и внутренняя симметрия преобразование для ненулевых химических потенциалов) через Теория Томиты – Такесаки.

использованная литература

• Хааг, Рудольф; Виннинк, М .; Гугенгольц, Н. (1967), «О состояниях равновесия в квантовой статистической механике», Коммуникации по математической физике, 5 (3): 215–236, Bibcode:1967CMaPh ... 5..215H, CiteSeerX  10.1.1.460.6413, Дои:10.1007 / BF01646342, ISSN  0010-3616, Г-Н  0219283, S2CID  120899390
• Кубо, Р. (1957), "Статистико-механическая теория необратимых процессов. I. Общая теория и простые приложения к проблемам магнитного поля и проводимости", Журнал Физического общества Японии, 12 (6): 570–586, Bibcode:1957JPSJ ... 12..570K, Дои:10.1143 / JPSJ.12.570
• Мартин, Пол С .; Швингер, Джулиан (1959), "Теория систем многих частиц. I", Физический обзор, 115 (6): 1342–1373, Bibcode:1959ПхРв..115.1342М, Дои:10.1103 / PhysRev.115.1342