Число Грассмана - Grassmann number

В математическая физика, а Число Грассмана, названный в честь Герман Грассманн (также называемый антикоммутирующий номер или же сверхчисло), является элементом внешняя алгебра над комплексными числами.^[1] Частный случай одномерной алгебры известен как двойной номер. Числа Грассмана в физике впервые стали использоваться для выражения представление интеграла по путям за фермионные поля, хотя сейчас они широко используются в качестве основы для суперпространство, на котором суперсимметрия построен.

Неформальное обсуждение

Числа Грассмана порождаются антикоммутирующими элементами или объектами. Идея объектов, препятствующих перемещению на работу, возникает во многих областях математики: обычно они встречаются в дифференциальная геометрия, где дифференциальные формы антикоммутируют. Дифференциальные формы обычно определяются в терминах производных на многообразии; тем не менее, можно представить себе ситуацию, когда кто-то «забывает» или «игнорирует» существование любого лежащего в основе многообразия, и «забывает» или «игнорирует», что формы были определены как производные, и вместо этого просто размышляет о ситуации, когда у человека есть объекты которые препятствуют коммутации и не имеют других заранее определенных или предполагаемых свойств. Такие объекты образуют алгебра, и в частности Алгебра грассмана или внешняя алгебра.

Числа Грассмана являются элементами этой алгебры. Название «числа» оправдано тем фактом, что они ведут себя не так, как «обычные» числа: их можно складывать, умножать и делить: они ведут себя почти как поле. Можно сделать больше: можно рассматривать многочлены от чисел Грассмана, что приводит к идее голоморфные функции. Можно взять производные от таких функций, а затем также рассмотреть антипроизводные. Каждая из этих идей может быть тщательно определена и достаточно хорошо соответствует эквивалентным концепциям из обычной математики. На этом аналогия не заканчивается: у человека есть целая ветвь суперматематика, где аналог евклидова пространства суперпространство аналогом многообразия является супермногообразие, аналог Алгебра Ли это Супералгебра Ли и так далее. Числа Грассмана - это основная конструкция, которая делает все это возможным.

Конечно, можно было бы реализовать аналогичную программу для любой другой области или даже звенеть, и это действительно широко и обычно делается в математике. Однако суперматематика приобретает особое значение в физике, потому что антикоммутирующее поведение можно четко отождествить с квантово-механическим поведением фермионов: антикоммутация - это антикоммутация Принцип исключения Паули. Таким образом, изучение чисел Грассмана и суперматематики в целом во многом определяется их полезностью в физике.

В частности, в квантовая теория поля, или более узко, второе квантование, один работает с лестничные операторы которые создают многочастичные квантовые состояния. Лестничные операторы для фермионов создают кванты поля, которые обязательно должны иметь антисимметричный волновые функции, поскольку это вызвано принципом исключения Паули. В этой ситуации число Грассмана сразу и непосредственно соответствует волновой функции, содержащей некоторое (обычно неопределенное) количество фермионов.

Когда число фермионов фиксировано и конечно, явная связь между антикоммутационными соотношениями и спинорами задается с помощью вращательная группа. Эту группу можно определить как подмножество векторов единичной длины в Алгебра Клиффорда, и, естественно, учитывается в антикоммутирующих Спиноры Вейля. И антикоммутация, и выражение в виде спиноров естественным образом возникают для спиновой группы. По сути, числа Грассмана можно рассматривать как отбрасывание отношений, возникающих из-за спина, и сохранение только отношений, обусловленных антикоммутацией.

Общее описание и свойства

Числа Грассмана - это отдельные элементы или точки внешняя алгебра генерируется набором из п Переменные Грассмана или же Направления Грассмана или же наддув ${\displaystyle \{\theta _{i}\}}$, с п возможно быть бесконечным. Использование термина «переменные Грассмана» исторически; они не переменные, как таковой; их лучше понимать как базовые элементы унитальная алгебра. Терминология исходит из того факта, что основное использование состоит в том, чтобы определять интегралы, и что переменная интегрирования является грассмановозначной и, таким образом, из-за злоупотребления языком называется грассмановой переменной. Точно так же понятие направление происходит от понятия суперпространство, где обычное евклидово пространство расширено дополнительными грассмановозначными «направлениями». Название обвинять происходит от понятия заряды в физике, которые соответствуют генераторам физических симметрий (через Теорема Нётер ). Воспринимаемая симметрия заключается в том, что умножение на одну переменную Грассмана меняет местами ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ градуировка между фермионами и бозонами; это обсуждается более подробно ниже.

Переменные Грассмана - это базисные векторы из векторное пространство (размерности п). Они образуют алгебра над полем, при этом поле обычно принимается за сложные числа, хотя можно было рассматривать и другие поля, например, реалы. Алгебра - это унитальная алгебра, а генераторы - антикоммутирующие:

${\displaystyle \theta _{i}\theta _{j}=-\theta _{j}\theta _{i}}$

Поскольку ${\displaystyle \theta _{i}}$ являются элементами векторного пространства над комплексными числами, они по определению коммутируют с комплексными числами. То есть для сложных Икс, надо

${\displaystyle \theta _{i}x=x\theta _{i}.}$

Квадраты генераторов исчезают:

${\displaystyle (\theta _{i})^{2}=0,}$ поскольку ${\displaystyle \theta _{i}\theta _{i}=-\theta _{i}\theta _{i}.}$

Другими словами, переменная Грассмана не равна нулю. квадратный корень нуля.

Формальное определение

Формально пусть V быть п-мерное комплексное векторное пространство с базисом ${\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n}$. Алгебра Грассмана, переменные Грассмана которой равны ${\displaystyle \theta _{i},i=1,\ldots ,n}$ определяется как внешняя алгебра V, а именно

${\displaystyle \Lambda (V)=\mathbb {C} \oplus V\oplus \left(V\wedge V\right)\oplus \left(V\wedge V\wedge V\right)\oplus \cdots \oplus \underbrace {\left(V\wedge V\wedge \cdots \wedge V\right)} _{n}\equiv \mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots \oplus \Lambda ^{n}V,}$

куда ${\displaystyle \wedge }$ это внешний продукт и ${\displaystyle \oplus }$ это прямая сумма. Затем отдельные элементы этой алгебры называются Числа Грассмана. Стандартно не использовать символ клина. ${\displaystyle \wedge }$ при записи числа Грассмана после того, как определение установлено. Общее число Грассмана можно записать как

${\displaystyle z=c_{0}+\sum _{k=1}^{n}\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}$

куда ${\displaystyle (i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k})}$ строго растут k- пары с ${\displaystyle 1\leq i_{j}\leq n,1\leq j\leq k}$, а ${\displaystyle c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}}$ сложные, полностью антисимметричные тензоры ранга k. Опять же, ${\displaystyle \theta _{i}}$, а ${\displaystyle \theta _{i}\wedge \theta _{j}=\theta _{i}\theta _{j}}$ (при условии ${\displaystyle i<j}$), и более крупные конечные произведения, можно увидеть, что они играют роль базисных векторов подпространств ${\displaystyle \Lambda }$.

Алгебра Грассмана, порожденная п линейно независимые грассмановы переменные имеют размерность 2^п; это следует из биномиальная теорема применительно к вышеуказанной сумме, и тот факт, что (п + 1)-кратное произведение переменных должно обращаться в нуль по антикоммутационным соотношениям, описанным выше. Размер ${\displaystyle \Lambda ^{k}V}$ дан кем-то п выберите k, то биномиальный коэффициент. Частный случай п = 1 называется двойной номер, и был представлен Уильям Клиффорд в 1873 г.

В случае V бесконечномерна, указанная серия не обрывается и определяется

${\displaystyle \Lambda _{\infty }(V)=\mathbb {C} \oplus \Lambda ^{1}V\oplus \Lambda ^{2}V\oplus \cdots .}$

Общий элемент теперь

${\displaystyle z=\sum _{k=0}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}}\equiv z_{B}+z_{S}=z_{B}+\sum _{k=1}^{\infty }\sum _{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{k}}{\frac {1}{k!}}c_{i_{1}i_{2}\cdots i_{k}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{k}},}$

куда ${\displaystyle z_{B}}$ иногда называют тело и ${\displaystyle z_{S}}$ как душа из сверхчисло ${\displaystyle z}$.

Характеристики

В конечномерном случае (используя ту же терминологию) душа есть нильпотентный, т.е.

${\displaystyle z_{S}^{n+1}=0,}$

но это не обязательно так в бесконечномерном случае.^[2]

Если V конечномерно, то

${\displaystyle \theta _{i}z=0,\quad 1\leq i\leq n\Rightarrow z=c\theta _{1}\theta _{2}\cdots \theta _{n},\quad c\in \mathbb {C} ,}$

и если V бесконечномерно^[3]

${\displaystyle \theta _{a}z=0\quad \forall a\Rightarrow z=0.}$

Конечные и счетные наборы генераторов

В литературе обычно встречаются два различных типа сверхчислов: с конечным числом образующих, обычно п = 1, 2, 3 или 4, и со счетно-бесконечным числом образующих. Эти две ситуации не так разрознены, как может показаться на первый взгляд. Во-первых, в определении супермногообразие, в одном варианте используется счетное бесконечное число генераторов, но затем применяется топология, которая эффективно уменьшает размерность до небольшого конечного числа.^[4][5]

В другом случае можно начать с конечного числа образующих, но в процессе второе квантование возникает необходимость в бесконечном количестве генераторов: по одному на каждый возможный импульс, который может нести фермион.

Инволюция, выбор поля

Комплексные числа обычно выбираются в качестве поля для определения чисел Грассмана, в отличие от действительных чисел, поскольку это позволяет избежать некоторых странных действий при сопряжении или инволюция вводится. Обычно для чисел Грассмана вводят оператор * такой, что:

${\displaystyle \theta =\theta ^{*}}$

когда ${\displaystyle \theta }$ генератор, и такой, что

${\displaystyle (\theta _{i}\theta _{j}\cdots \theta _{k})^{*}=\theta _{k}\cdots \theta _{j}\theta _{i}}$

Затем можно рассматривать числа Грассмана z для которого ${\displaystyle z=z^{*}}$, и назовем эти (супер) настоящий, а те, кто подчиняются ${\displaystyle z^{*}=-z}$ называются (супер) воображаемый. Эти определения выполняются очень хорошо, даже если числа Грассмана используют действительные числа в качестве основного поля; однако в таком случае многие коэффициенты принудительно обращаются в нуль, если количество образующих меньше 4. Таким образом, по соглашению, числа Грассмана обычно определяются над комплексными числами.

Возможны другие соглашения; вышеизложенное иногда называют соглашением ДеВитта; Роджерс нанимает ${\displaystyle \theta ^{*}=i\theta }$ для инволюции. Согласно этому соглашению, у реальных сверхчислов всегда есть действительные коэффициенты; тогда как в соглашении ДеВитта реальные сверхчисла могут иметь как действительные, так и мнимые коэффициенты. Несмотря на это, обычно проще всего работать с соглашением ДеВитта.

Анализ

Произведения нечетного числа грассмановых переменных антикоммутируют друг с другом; такой продукт часто называют число. Произведения четного числа грассмановых переменных коммутируют (со всеми числами Грассмана); их часто называют c-числос. Из-за злоупотребления терминологией число иногда называют антикоммутирующий c-номер. Это разложение на четные и нечетные подпространства дает ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ оценка по алгебре; таким образом, алгебры Грассмана являются прототипами суперкоммутативные алгебры. Обратите внимание, что c-числа образуют подалгебру в ${\displaystyle \Lambda }$, но а-числа нет (они подпространство, а не подалгебра).

Определение чисел Грассмана позволяет математический анализ будет выполняться по аналогии с анализом комплексных чисел. То есть можно определить суперголоморфные функции, определить производные, а также определить интегралы. Некоторые из основных понятий более подробно разработаны в статье о двойные числа.

Как правило, обычно проще определить суперсимметричные аналоги обычных математических объектов, работая с числами Грассмана с бесконечным числом генераторов: большинство определений становятся простыми и могут быть взяты из соответствующих бозонных определений. Например, одно число Грассмана можно рассматривать как порождающее одномерное пространство. Векторное пространство, м-размерный суперпространство, затем отображается как м-кратное декартово произведение этих одномерных ${\displaystyle \Lambda .}$^{[требуется разъяснение ]} Можно показать, что это по существу эквивалентно алгебре с м генераторы, но это требует работы.^{[6][требуется разъяснение ]}

Спинорное пространство

В спинорное пространство определяется как Грассмана или внешняя алгебра ${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }W}$ пространства Спиноры Вейля ${\displaystyle W}$ (и антиспиноры ${\displaystyle {\overline {W}}}$), так что волновые функции п фермионы принадлежат ${\displaystyle \textstyle {\bigwedge }^{n}W}$.

Интеграция

Основная статья: Березин интеграл

Интегралы по числам Грассмана известны как Интегралы Березина (иногда называемые интегралами Грассмана). Чтобы воспроизвести интеграл по путям для поля Ферми, определение интегрирования Грассмана должно иметь следующие свойства:

• линейность

${\displaystyle \int \,[af(\theta )+bg(\theta )]\,d\theta =a\int \,f(\theta )\,d\theta +b\int \,g(\theta )\,d\theta }$

• формула частичного интегрирования

${\displaystyle \int \left[{\frac {\partial }{\partial \theta }}f(\theta )\right]\,d\theta =0.}$

Более того, разложение Тейлора любой функции ${\displaystyle f(\theta )=A+B\theta }$ прекращается через два срока, потому что ${\displaystyle \theta ^{2}=0}$, а квантовая теория поля дополнительно требует инвариантности относительно сдвига переменных интегрирования ${\displaystyle \theta \to \theta +\eta }$ такой, что

${\displaystyle \int d\theta f(\theta )=\int d\theta (A+B\theta )\equiv \int d\theta ((A+B\eta )+B\theta ).}$

Единственная линейная функция, удовлетворяющая этому условию, - это постоянная (обычно 1) умноженная на B, так Березин определил^[7]

${\displaystyle \int d\theta (A+B\theta )\equiv B.}$

Это приводит к следующим правилам интегрирования грассманова величины:

• ${\displaystyle \int \,1\,d\theta =0}$
• ${\displaystyle \int \,\theta \,d\theta =1.}$

Таким образом, мы заключаем, что операции интегрирования и дифференцирования числа Грассмана идентичны.

в формулировка интеграла по путям из квантовая теория поля следующее Гауссов интеграл грассмановых величин требуется для фермионных антикоммутирующих полей, с А будучи N × N матрица:

${\displaystyle \int \exp \left[-\theta ^{\rm {T}}A\eta \right]\,d\theta \,d\eta =\det A}$.

Условности и комплексная интеграция

Неоднозначность возникает при интегрировании по нескольким числам Грассмана. Соглашение, которое сначала выполняет самый внутренний интеграл, дает

${\displaystyle \int d\theta \int d\eta \;\eta \theta =+1.}$

Некоторые авторы также определяют комплексное сопряжение, подобное эрмитову сопряжению операторов,^[8]

${\displaystyle (\theta \eta )^{*}\equiv \eta ^{*}\theta ^{*}=-\theta ^{*}\eta ^{*}.}$

С дополнительным условием

${\displaystyle \theta ={\frac {\theta _{1}+i\theta _{2}}{\sqrt {2}}},\quad \theta ^{*}={\frac {\theta _{1}-i\theta _{2}}{\sqrt {2}}},}$

мы можем лечить θ и θ * как независимые числа Грассмана и примем

${\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,(\theta \theta ^{*})=1.}$

Таким образом, гауссовский интеграл оценивается как

${\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,e^{-\theta ^{*}b\theta }=\int d\theta ^{*}d\theta \,(1-\theta ^{*}b\theta )=\int d\theta ^{*}d\theta \,(1+\theta \theta ^{*}b)=b}$

и дополнительный фактор θθ * эффективно вводит фактор (1 / б), как обычный гауссиан,

${\displaystyle \int d\theta ^{*}d\theta \,\theta \theta ^{*}\,e^{-\theta ^{*}b\theta }=1.}$

После доказательства унитарности мы можем вычислить общий гауссовский интеграл, содержащий эрмитову матрицу B с собственными значениями б_я,^[8][9]

${\displaystyle \left(\prod _{i}\int d\theta _{i}^{*}d\theta _{i}\right)e^{-\theta _{i}^{*}B_{ij}\theta _{j}}=\left(\prod _{i}\int d\theta _{i}^{*}d\theta _{i}\right)e^{-\theta _{i}^{*}b_{i}\theta _{i}}=\prod _{i}b_{i}=\det B.}$

Матричные представления

Числа Грассмана могут быть представлены как матрицы. Рассмотрим, например, алгебру Грассмана, порожденную двумя числами Грассмана ${\displaystyle \theta _{1}}$ и ${\displaystyle \theta _{2}}$. Эти числа Грассмана могут быть представлены матрицами 4 × 4:

${\displaystyle \theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\qquad \theta _{1}\theta _{2}=-\theta _{2}\theta _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Вообще говоря, алгебра Грассмана на п генераторы могут быть представлены 2^п × 2^п квадратные матрицы. Физически эти матрицы можно представить как повышающие операторы действуя на Гильбертово пространство из п идентичный фермионы в основе номера занятий. Поскольку число заполнения для каждого фермиона равно 0 или 1, имеется 2^п возможные базовые состояния. Математически эти матрицы можно интерпретировать как линейные операторы, соответствующие левому внешнему умножению на самой алгебре Грассмана.

Обобщения

Есть некоторые обобщения чисел Грассмана. Это требует правил с точки зрения N такие переменные, что:

${\displaystyle \theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots \theta _{i_{N}}+\theta _{i_{N}}\theta _{i_{1}}\theta _{i_{2}}\cdots +\cdots =0}$

где индексы суммируются по всем перестановкам, так что, как следствие:

${\displaystyle (\theta _{i})^{N}=0\,}$

для некоторых N > 2. Это полезно для расчета гипердетерминанты из N-тензоры где N > 2, а также для расчета дискриминанты многочленов для степеней больше 2. Существует также предельный случай, когда N стремится к бесконечности, и в этом случае можно определить аналитические функции на числах. Например, в случае с N = 3 одно число Грассмана может быть представлено матрицей:

${\displaystyle \theta ={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{bmatrix}}\qquad }$

так что ${\displaystyle \theta ^{3}=0}$. Для двух чисел Грассмана матрица будет иметь размер 10 × 10.

Например, правила для N = 3 с двумя переменными Грассмана следует:

${\displaystyle \theta _{1}(\theta _{2})^{2}+\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}+(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=0}$

так что можно показать, что

${\displaystyle \theta _{1}(\theta _{2})^{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=(\theta _{2})^{2}\theta _{1}}$

и так

${\displaystyle (\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}=(\theta _{2})^{2}(\theta _{1})^{2}=\theta _{1}(\theta _{2})^{2}\theta _{1}=\theta _{2}(\theta _{1})^{2}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}=-{\frac {1}{2}}\theta _{2}\theta _{1}\theta _{2}\theta _{1},}$

что дает определение гипердетерминант тензора 2 × 2 × 2 как

${\displaystyle (A^{abc}\theta _{a}\eta _{b}\psi _{c})^{4}=\det(A)(\theta _{1})^{2}(\theta _{2})^{2}(\eta _{1})^{2}(\eta _{2})^{2}(\psi _{1})^{2}(\psi _{2})^{2}.}$

Смотрите также

• Грассманиан
• Герман Грассманн (лингвист и математик)
• Суперпространство
• Внешняя алгебра

Примечания

1. ДеВитт 1984, Глава 1, стр. 1.
2. ДеВитт 1984, стр. 1-2.
3. ДеВитт 1984, п. 2.
4. Роджерс 2007a, Глава 1 (доступно онлайн)
5. Роджерс 2007, Глава 1 и Глава 8.
6. Роджерс 2007
7. Березин, Ф. А. (1966). Метод вторичного квантования. Чистая и прикладная физика. 24. Нью-Йорк. ISSN  0079-8193.
8. Пескин, Майкл Э .; Шредер, Дэниел В. (1995). Введение в квантовую теорию поля (5. (исправленная) полиграфия. Ред.). Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN  9780201503975.
9. В источнике присутствует опечатка индексов.

Рекомендации

• ДеВитт, Б. (1984). Супермногообразия. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-42377-5.

• Пескин, Майкл Э .; Шредер, Дэниел В. (1995). Введение в квантовую теорию поля (5. (исправленная) полиграфия. Ред.). Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли. ISBN  9780201503975.

• Роджерс, Алиса (2007a). Супермногообразия: теория и приложения. (PDF). World Scientific. Глава 1. Дои:10.1142/1878. ISBN  978-981-3203-21-1.

• Роджерс, Алиса (2007). Супермногообразия: теория и приложения.. World Scientific. ISBN  978-981-3203-21-1.