Второе квантование - Second quantization

Второе квантование, также называемый представление номера занятия, формализм, используемый для описания и анализа квант многотельный системы. В квантовая теория поля, он известен как каноническое квантование, в котором поля (обычно как волновые функции вещества) рассматриваются как полевые операторы, аналогично тому, как физические величины (положение, импульс и т. д.) рассматриваются как операторы в первое квантование. Ключевые идеи этого метода были внесены в 1927 г. Поль Дирак,^[1] и были разработаны, прежде всего, Владимир Фок и Паскуаль Джордан потом.^[2][3]

В этом подходе квантовые многочастичные состояния представлены в виде Состояние Фока базис, которые строятся путем заполнения каждого одночастичного состояния определенным количеством идентичных частиц. Формализм второго квантования вводит операторы создания и уничтожения для построения и обработки состояний Фока, предоставляя полезные инструменты для изучения квантовой теории многих тел.

Квантовые многочастичные состояния

Отправной точкой формализма вторичного квантования является понятие неразличимость частиц в квантовой механике. В отличие от классической механики, где каждая частица помечена отдельным вектором положения. ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$ и различные конфигурации набора ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$s соответствуют разным многочастичным состояниям, в квантовой механике частицы идентичны, так что обмениваются двумя частицами, т.е. ${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\leftrightarrow \mathbf {r} _{j}}$, не приводит к другому квантовому состоянию многих тел. Это означает, что квантовая многочастичная волновая функция должна быть инвариантной (с точностью до фазового множителя) при обмене двумя частицами. Согласно статистика частиц многочастичная волновая функция может быть либо симметричной, либо антисимметричной по отношению к обмену частицами:

${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}(\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots )=+\Psi _{\rm {B}}(\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )}$ если частицы бозоны,

${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}(\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots )=-\Psi _{\rm {F}}(\cdots ,\mathbf {r} _{j},\cdots ,\mathbf {r} _{i},\cdots )}$ если частицы фермионы.

Это свойство обменной симметрии накладывает ограничение на многочастичную волновую функцию. Каждый раз, когда частица добавляется или удаляется из системы многих тел, волновая функция должна быть правильно симметризована или антисимметризована, чтобы удовлетворить ограничению симметрии. В первом формализме квантования это ограничение гарантируется представлением волновой функции как линейной комбинации перманенты (для бозонов) или детерминанты (для фермионов) одночастичных состояний. В формализме второго квантования проблема симметризации автоматически решается операторами создания и уничтожения, так что ее обозначение может быть намного проще.

Первоначально квантованная многочастичная волновая функция

Рассмотрим полный набор одночастичных волновых функций ${\displaystyle \psi _{\alpha }(\mathbf {r} )}$ помеченный ${\displaystyle \alpha }$ (который может быть комбинированным индексом ряда квантовых чисел). Следующая волновая функция

${\displaystyle \Psi [\mathbf {r} _{i}]=\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{i}}(\mathbf {r} _{i})\equiv \psi _{\alpha _{1}}\otimes \psi _{\alpha _{2}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{N}}}$

представляет собой N-частичное состояние с я-я частица, занимающая одночастичное состояние ${\displaystyle |{\alpha _{i}}\rangle }$. В сокращенной записи аргумент положения волновой функции может быть опущен, и предполагается, что я-я одночастичная волновая функция описывает состояние я-я частица. Волновая функция ${\displaystyle \Psi }$ не был симметризован или антисимметризован, поэтому в целом не квалифицируется как многочастичная волновая функция для идентичных частиц. Однако его можно привести к симметризованному (антисимметризованному) виду операторами ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ для симметризатора и ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ за антисимметризатор.

Для бозонов необходимо симметризовать многочастичную волновую функцию:

${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}[\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}{\mathcal {S}}\Psi [\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{\pi (i)}}(\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}\psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N)}};}$

в то время как для фермионов многочастичная волновая функция должна быть антисимметризована,

${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}[\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}{\mathcal {A}}\Psi [\mathbf {r} _{i}]={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\prod _{i=1}^{N}\psi _{\alpha _{\pi (i)}}(\mathbf {r} _{i})={\mathcal {N}}\sum _{\pi \in S_{N}}(-1)^{\pi }\psi _{\alpha _{\pi (1)}}\otimes \psi _{\alpha _{\pi (2)}}\otimes \cdots \otimes \psi _{\alpha _{\pi (N)}}.}$

Здесь ${\displaystyle \pi }$ это элемент в Nгруппа перестановок тел (или симметричная группа ) ${\displaystyle S_{N}}$, который выполняет перестановка среди государственных лейблов ${\displaystyle \alpha _{i}}$, и ${\displaystyle (-1)^{\pi }}$ обозначает соответствующий знак перестановки. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ - оператор нормализации, который нормализует волновую функцию. (Это оператор, который применяет подходящий числовой нормировочный коэффициент к симметризованным тензорам степени п; его значение см. в следующем разделе.)

Если расположить одночастичные волновые функции в матрице ${\displaystyle U}$, так что строка-я столбец-j матричный элемент ${\displaystyle U_{ij}=\psi _{\alpha _{j}}(\mathbf {r} _{i})\equiv \langle \mathbf {r} _{i}|\alpha _{j}\rangle }$, то бозонную многочастичную волновую функцию можно просто записать в виде постоянный ${\displaystyle \Psi _{\rm {B}}={\mathcal {N}}\operatorname {perm} U}$, а многочастичная волновая функция фермионов как детерминант ${\displaystyle \Psi _{\rm {F}}={\mathcal {N}}\operatorname {det} U}$ (также известный как Определитель Слейтера ).

Вторично квантованные фоковские состояния

Первоначально квантованные волновые функции включают сложные процедуры симметризации для описания физически реализуемых состояний многих тел, поскольку язык первого квантования является избыточным для неразличимых частиц. На первом языке квантования состояние многих тел описывается ответами на ряд вопросов вроде "Какая частица в каком состоянии?". Однако это не физические вопросы, потому что частицы идентичны, и в первую очередь невозможно сказать, какая частица какая. На первый взгляд разные состояния ${\displaystyle \psi _{1}\otimes \psi _{2}}$ и ${\displaystyle \psi _{2}\otimes \psi _{1}}$ на самом деле являются избыточными названиями одного и того же квантового состояния многих тел. Таким образом, симметризация (или антисимметризация) должна быть введена, чтобы устранить эту избыточность в первом описании квантования.

Во втором языке квантования вместо того, чтобы спрашивать «каждая частица, в каком состоянии», спрашивают: «Сколько частиц находится в каждом состоянии?». Поскольку это описание не относится к маркировке частиц, оно не содержит избыточной информации и, следовательно, приводит к точному и более простому описанию квантового состояния многих тел. В этом подходе состояние многих тел представлено в базисе числа занятий, а базовое состояние помечено набором чисел занятия, обозначенных

${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle \equiv |n_{1},n_{2},\cdots ,n_{\alpha },\cdots \rangle ,}$

это означает, что есть ${\displaystyle n_{\alpha }}$ частицы в одночастичном состоянии ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ (или как ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$). Сумма чисел заполнения равна общему количеству частиц, т.е. ${\displaystyle \sum _{\alpha }n_{\alpha }=N}$. За фермионы, номер занятия ${\displaystyle n_{\alpha }}$ может быть только 0 или 1 из-за Принцип исключения Паули; в то время как для бозоны это может быть любое неотрицательное целое число

${\displaystyle n_{\alpha }={\begin{cases}0,1&{\text{fermions,}}\\0,1,2,3,...&{\text{bosons.}}\end{cases}}}$

Номер занятия указывает ${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle }$ также известны как состояния Фока. Все фоковские состояния образуют полный базис многочастичного гильбертова пространства, или Пространство фока. Любое типичное квантовое состояние многих тел можно выразить как линейную комбинацию состояний Фока.

Обратите внимание, что помимо обеспечения более эффективного языка пространство Фока позволяет использовать переменное количество частиц. Как Гильбертово пространство, она изоморфна сумме п-частичные бозонные или фермионные тензорные пространства, описанные в предыдущем разделе, включая одномерное нулевое пространство ℂ.

Состояние Фока, в котором все числа заполнения равны нулю, называется состояние вакуума, обозначенный ${\displaystyle |0\rangle \equiv |\cdots ,0_{\alpha },\cdots \rangle }$. Состояние Фока только с одним ненулевым числом заполнения является одномодовым состоянием Фока, обозначенным ${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle \equiv |\cdots ,0,n_{\alpha },0,\cdots \rangle }$. В терминах первой квантованной волновой функции состояние вакуума является единичным тензорным произведением и может быть обозначено ${\displaystyle |0\rangle =1}$. Одночастичное состояние сводится к его волновой функции ${\displaystyle |1_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }}$. Другие одномодовые многочастичные (бозонные) состояния - это просто тензорное произведение волновой функции этой моды, например ${\displaystyle |2_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes \psi _{\alpha }}$ и${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }^{\otimes n}}$. Для многомодовых состояний Фока (имеется в виду более одного одночастичного состояния ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ участвует), соответствующая квантованная вначале волновая функция потребует надлежащей симметризации в соответствии со статистикой частиц, например ${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$ для бозонного состояния и ${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$ для фермионного состояния (символ ${\displaystyle \otimes }$ между ${\displaystyle \psi _{1}}$ и ${\displaystyle \psi _{2}}$ опущено для простоты). В общем, нормализация оказывается ${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {\prod _{\alpha }n_{\alpha }!}{N!}}}}$, куда N - общее количество частиц. Для фермиона это выражение сводится к ${\displaystyle {\tfrac {1}{\sqrt {N!}}}}$ в качестве ${\displaystyle n_{\alpha }}$ может быть только нулем или единицей. Таким образом, квантованная вначале волновая функция, соответствующая состоянию Фока, имеет вид

${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle _{\rm {B}}=\left({\frac {\prod _{\alpha }n_{\alpha }!}{N!}}\right)^{1/2}{\mathcal {S}}\bigotimes \limits _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}}$

для бозонов и

${\displaystyle |[n_{\alpha }]\rangle _{\rm {F}}={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\mathcal {A}}\bigotimes \limits _{\alpha }\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}}$

для фермионов. Отметим, что для фермионов ${\displaystyle n_{\alpha }=0,1}$ только, поэтому приведенное выше тензорное произведение фактически является просто произведением всех занятых одночастичных состояний.

Операторы создания и уничтожения

В операторы создания и уничтожения вводятся для добавления или удаления частицы из системы многих тел. Эти операторы лежат в основе формализма второго квантования, преодолевая разрыв между состояниями первого и второго квантования. Применение оператора создания (уничтожения) к квантованной вначале многочастичной волновой функции будет вставлять (удалять) одночастичное состояние из волновой функции симметризованным образом в зависимости от статистики частицы. С другой стороны, все вторично квантованные состояния Фока могут быть построены путем многократного применения операторов создания к вакуумному состоянию.

Операторы рождения и уничтожения (для бозонов) изначально построены в контексте квантовый гармонический осциллятор как повышающие и понижающие операторы, которые затем обобщаются на операторы поля в квантовой теории поля.^[4] Они являются фундаментальными для квантовой теории многих тел в том смысле, что любой оператор многих тел (включая гамильтониан системы многих тел и все физические наблюдаемые) может быть выражен через них.

Операция вставки и удаления

Создание и уничтожение частицы реализуется путем вставки и удаления одночастичного состояния из первой квантованной волновой функции симметричным или антисимметричным образом. Позволять ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ - одночастичное состояние, пусть 1 - тензорное тождество (оно является генератором пространства нулевых частиц и удовлетворяет ${\displaystyle \psi _{\alpha }\equiv 1\otimes \psi _{\alpha }\equiv \psi _{\alpha }\otimes 1}$ в тензорная алгебра над фундаментальным гильбертовым пространством), и пусть ${\displaystyle \Psi =\psi _{\alpha _{1}}\otimes \psi _{\alpha _{2}}\otimes \cdots }$ - общее состояние тензорного произведения. Вставка ${\displaystyle \otimes _{\pm }}$ и удаление ${\displaystyle \oslash _{\pm }}$ операторы - это линейные операторы, определяемые следующими рекурсивными уравнениями

${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{\pm }1=\psi _{\alpha },\quad \psi _{\alpha }\otimes _{\pm }(\psi _{\beta }\otimes \Psi )=\psi _{\alpha }\otimes \psi _{\beta }\otimes \Psi \pm \psi _{\beta }\otimes (\psi _{\alpha }\otimes _{\pm }\Psi );}$

${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{\pm }1=0,\quad \psi _{\alpha }\oslash _{\pm }(\psi _{\beta }\otimes \Psi )=\delta _{\alpha \beta }\Psi \pm \psi _{\beta }\otimes (\psi _{\alpha }\oslash _{\pm }\Psi ).}$

Здесь ${\displaystyle \delta _{\alpha \beta }}$ это Дельта Кронекера символ, который дает 1, если ${\displaystyle \alpha =\beta }$, и 0 в противном случае. Нижний индекс ${\displaystyle \pm }$ операторов вставки или удаления указывает, реализуется ли симметризация (для бозонов) или антисимметризация (для фермионов).

Операторы рождения и аннигиляции бозонов

Оператор рождения (или уничтожения) бозона обычно обозначается как ${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}$ (соотв. ${\displaystyle b_{\alpha }}$). Оператор создания ${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}$ добавляет бозон в одночастичное состояние ${\displaystyle |\alpha \rangle }$, а оператор аннигиляции ${\displaystyle b_{\alpha }}$ выводит бозон из одночастичного состояния ${\displaystyle |\alpha \rangle }$. Операторы рождения и уничтожения эрмитово сопряжены друг другу, но ни один из них не является эрмитовым оператором (${\displaystyle b_{\alpha }\neq b_{\alpha }^{\dagger }}$).

Определение

Оператор рождения (уничтожения) бозона - это линейный оператор, действие которого на N-частичная волновая функция, квантованная первым образом ${\displaystyle \Psi }$ определяется как

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{+}\Psi ,}$

${\displaystyle b_{\alpha }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\psi _{\alpha }\oslash _{+}\Psi ,}$

куда ${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{+}}$ вставляет одночастичное состояние ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ в ${\displaystyle N+1}$ возможные положения вставки симметрично, и ${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{+}}$ удаляет одночастичное состояние ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ из ${\displaystyle N}$ возможные позиции удаления симметрично.

Примеры (нажмите Показать смотреть)

Здесь и далее символ тензора ${\displaystyle \otimes }$ между одночастичными состояниями опущен для простоты. Возьмите государство ${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$, создадим еще один бозон в состоянии ${\displaystyle \psi _{1}}$,

${\displaystyle {\begin{array}{rl}b_{1}^{\dagger }|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(b_{1}^{\dagger }\psi _{1}\psi _{2}+b_{1}^{\dagger }\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{+}\psi _{1}\psi _{2}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{+}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1})+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\right)\\=&{\frac {\sqrt {2}}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\\=&{\sqrt {2}}|2_{1},1_{2}\rangle .\end{array}}}$

Затем аннигилируют один бозон из состояния ${\displaystyle \psi _{1}}$,

${\displaystyle {\begin{array}{rl}b_{1}|2_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {3}}}(b_{1}\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+b_{1}\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+b_{1}\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}+{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\oslash _{+}\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {3}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}+0)+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{2}\psi _{1}+0+\psi _{1}\psi _{2})+{\frac {1}{\sqrt {3}}}(0+\psi _{2}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1})\right)\\=&\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{2}\psi _{1}\\=&{\sqrt {2}}|1_{1},1_{2}\rangle .\end{array}}}$

Действия по состояниям Фока

Начиная с одномодового вакуумного состояния ${\displaystyle |0_{\alpha }\rangle =1}$, применяя оператор создания ${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }}$ неоднократно, можно найти

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }|0_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes _{+}1=\psi _{\alpha }=|1_{\alpha }\rangle ,}$

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }|n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{+}\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}={\sqrt {n_{\alpha }+1}}\psi _{\alpha }^{\otimes (n_{\alpha }+1)}={\sqrt {n_{\alpha }+1}}|n_{\alpha }+1\rangle .}$

Оператор создания увеличивает число заполнения бозона на 1. Следовательно, все состояния с числом заполнения могут быть построены с помощью оператора рождения бозона из вакуумного состояния

${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }!}}}(b_{\alpha }^{\dagger })^{n_{\alpha }}|0_{\alpha }\rangle .}$

С другой стороны, оператор аннигиляции ${\displaystyle b_{\alpha }}$ снижает число заполнения бозона на 1

${\displaystyle b_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {n_{\alpha }}}}\psi _{\alpha }\oslash _{+}\psi _{\alpha }^{\otimes n_{\alpha }}={\sqrt {n_{\alpha }}}\psi _{\alpha }^{\otimes (n_{\alpha }-1)}={\sqrt {n_{\alpha }}}|n_{\alpha }-1\rangle .}$

Это также погасит вакуумное состояние ${\displaystyle b_{\alpha }|0_{\alpha }\rangle =0}$ поскольку в вакуумном состоянии не осталось бозонов, которые можно было бы аннигилировать. Используя приведенные выше формулы, можно показать, что

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }b_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle =n_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ,}$

означающий, что ${\displaystyle {\hat {n}}_{\alpha }=b_{\alpha }^{\dagger }b_{\alpha }}$ определяет оператор числа бозонов.

Приведенный выше результат можно обобщить на любое фоковское состояние бозонов.

${\displaystyle b_{\alpha }^{\dagger }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle ={\sqrt {n_{\alpha }+1}}|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha }+1,n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

${\displaystyle b_{\alpha }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle ={\sqrt {n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha }-1,n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

Эти два уравнения можно рассматривать как определяющие свойства операторов рождения и уничтожения бозонов в формализме вторичного квантования. О сложной симметризации базовой квантованной волновой функции автоматически позаботятся операторы рождения и уничтожения (при воздействии на квантованную первым волновую функцию), так что сложность не проявляется на уровне вторичного квантования, и Формулы вторичного квантования просты и понятны.

Идентификационные данные оператора

Следующие операторные тождества следуют из действия операторов рождения и уничтожения бозонов на фоковское состояние:

${\displaystyle [b_{\alpha }^{\dagger },b_{\beta }^{\dagger }]=[b_{\alpha },b_{\beta }]=0,\quad [b_{\alpha },b_{\beta }^{\dagger }]=\delta _{\alpha \beta }.}$

Эти коммутационные соотношения можно рассматривать как алгебраическое определение операторов рождения и уничтожения бозонов. Симметричность бозонной многочастичной волновой функции относительно обмена частицами также проявляется в коммутации бозонных операторов.

Операторы подъема и опускания квантовый гармонический осциллятор также удовлетворяет тому же набору коммутационных соотношений, из чего следует, что бозоны можно интерпретировать как кванты энергии (фононы) осциллятора. Это действительно идея квантовой теории поля, которая рассматривает каждую моду поля материи как осциллятор, подверженный квантовым флуктуациям, а бозоны рассматриваются как возбуждения (или кванты энергии) поля.

Операторы рождения и уничтожения фермионов

Оператор рождения (уничтожения) фермионов обычно обозначается как ${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}$ (${\displaystyle c_{\alpha }}$). Оператор создания ${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}$ добавляет фермион в одночастичное состояние ${\displaystyle |\alpha \rangle }$, а оператор аннигиляции ${\displaystyle c_{\alpha }}$ выводит фермион из одночастичного состояния ${\displaystyle |\alpha \rangle }$. Операторы рождения и уничтожения эрмитово сопряжены друг другу, но ни один из них не является эрмитовым оператором (${\displaystyle c_{\alpha }\neq c_{\alpha }^{\dagger }}$). Эрмитова комбинация операторов рождения и уничтожения фермионов

${\displaystyle \chi _{\alpha ,{\text{Re}}}=(c_{\alpha }+c_{\alpha }^{\dagger })/2,\quad \chi _{\alpha ,{\text{Im}}}=(c_{\alpha }-c_{\alpha }^{\dagger })/(2\mathrm {i} ),}$

называются Майорана фермион операторы.

Определение

Оператор рождения (уничтожения) фермионов - это линейный оператор, действие которого на N-частичная волновая функция, квантованная первым образом ${\displaystyle \Psi }$ определяется как

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N+1}}}\psi _{\alpha }\otimes _{-}\Psi ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }\Psi ={\frac {1}{\sqrt {N}}}\psi _{\alpha }\oslash _{-}\Psi ,}$

куда ${\displaystyle \psi _{\alpha }\otimes _{-}}$ вставляет одночастичное состояние ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ в ${\displaystyle N+1}$ возможные положения вставки антисимметрично, и ${\displaystyle \psi _{\alpha }\oslash _{-}}$ удаляет одночастичное состояние ${\displaystyle \psi _{\alpha }}$ из ${\displaystyle N}$ возможные позиции делеции антисимметрично.

Примеры (нажмите Показать смотреть)

Здесь и далее символ тензора ${\displaystyle \otimes }$ между одночастичными состояниями опущен для простоты. Возьмите государство ${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$, попытаться создать еще один фермион на занятом ${\displaystyle \psi _{1}}$ состояние погасит всю многочастичную волновую функцию,

${\displaystyle {\begin{array}{rl}c_{1}^{\dagger }|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(c_{1}^{\dagger }\psi _{1}\psi _{2}-c_{1}^{\dagger }\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{-}\psi _{1}\psi _{2}-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\psi _{1}\otimes _{-}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{1}\psi _{1}\psi _{2}+\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1})-{\frac {1}{\sqrt {3}}}(\psi _{1}\psi _{2}\psi _{1}-\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1}+\psi _{2}\psi _{1}\psi _{1})\right)\\=&0.\end{array}}}$

Уничтожить фермион на ${\displaystyle \psi _{2}}$ состояние, возьмите состояние ${\displaystyle |1_{1},1_{2}\rangle =(\psi _{1}\psi _{2}-\psi _{2}\psi _{1})/{\sqrt {2}}}$,

${\displaystyle {\begin{array}{rl}c_{2}|1_{1},1_{2}\rangle =&{\frac {1}{\sqrt {2}}}(c_{2}\psi _{1}\psi _{2}-c_{2}\psi _{2}\psi _{1})\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{2}\oslash _{-}\psi _{1}\psi _{2}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{2}\oslash _{-}\psi _{2}\psi _{1}\right)\\=&{\frac {1}{\sqrt {2}}}\left({\frac {1}{\sqrt {2}}}(0-\psi _{1})-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(\psi _{1}-0)\right)\\=&-\psi _{1}\\=&-|1_{1},0_{2}\rangle .\end{array}}}$

Знак минус (известный как знак фермиона) появляется из-за антисимметричного свойства волновой функции фермиона.

Действия по состояниям Фока

Начиная с одномодового вакуумного состояния ${\displaystyle |0_{\alpha }\rangle =1}$, применяя оператор рождения фермиона ${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }}$,

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }|0_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\otimes _{-}1=\psi _{\alpha }=|1_{\alpha }\rangle ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }|1_{\alpha }\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\psi _{\alpha }\otimes _{-}\psi _{\alpha }=0.}$

Если одночастичное состояние ${\displaystyle |\alpha \rangle }$ пусто, оператор создания заполнит состояние фермионом. Однако, если состояние уже занято фермионом, дальнейшее применение оператора создания погасит состояние, демонстрируя Принцип исключения Паули что два одинаковых фермиона не могут одновременно находиться в одном и том же состоянии. Тем не менее, фермион может быть выведен из занятого состояния оператором аннигиляции фермионов ${\displaystyle c_{\alpha }}$,

${\displaystyle c_{\alpha }|1_{\alpha }\rangle =\psi _{\alpha }\oslash _{-}\psi _{\alpha }=1=|0_{\alpha }\rangle ,}$

${\displaystyle c_{\alpha }|0_{\alpha }\rangle =0.}$

Состояние вакуума гасится действием оператора аннигиляции.

Как и в случае с бозонами, фермионное фоковское состояние может быть построено из вакуумного состояния с помощью оператора рождения фермионов

${\displaystyle |n_{\alpha }\rangle =(c_{\alpha }^{\dagger })^{n_{\alpha }}|0_{\alpha }\rangle .}$

Легко проверить (перечислением), что

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }c_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle =n_{\alpha }|n_{\alpha }\rangle ,}$

означающий, что ${\displaystyle {\hat {n}}_{\alpha }=c_{\alpha }^{\dagger }c_{\alpha }}$ определяет оператор числа фермионов.

Приведенный выше результат можно обобщить на любое фоковское состояние фермионов.

${\displaystyle c_{\alpha }^{\dagger }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}{\sqrt {1-n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },1-n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

${\displaystyle c_{\alpha }|\cdots ,n_{\beta },n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}{\sqrt {n_{\alpha }}}|\cdots ,n_{\beta },1-n_{\alpha },n_{\gamma },\cdots \rangle .}$

Напомним, что номер занятия ${\displaystyle n_{\alpha }}$ может принимать только 0 или 1 для фермионов. Эти два уравнения можно рассматривать как определяющие свойства операторов рождения и уничтожения фермионов в формализме вторичного квантования. Отметим, что знаковая структура фермионов ${\displaystyle (-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}}$, также известный как Струна Джордана-Вигнера, требует наличия заранее определенного порядка одночастичных состояний ( спиновая структура )^{[требуется разъяснение ]} и включает подсчет чисел заполнения фермионов всех предыдущих состояний; поэтому операторы рождения и уничтожения фермионов в некотором смысле считаются нелокальными. Это наблюдение приводит к идее, что фермионы являются эмерджентными частицами в дальнодействующей запутанной локальной кубит система.^[5]

Идентификационные данные оператора

Следующие операторные тождества следуют из действия операторов рождения и уничтожения фермионов на фоковское состояние:

${\displaystyle \{c_{\alpha }^{\dagger },c_{\beta }^{\dagger }\}=\{c_{\alpha },c_{\beta }\}=0,\quad \{c_{\alpha },c_{\beta }^{\dagger }\}=\delta _{\alpha \beta }.}$

Эти антикоммутационные соотношения можно рассматривать как алгебраическое определение операторов рождения и уничтожения фермионов. Тот факт, что многочастичная волновая функция фермионов является антисимметричной по отношению к обмену частицами, также проявляется в антикоммутации фермионных операторов.

Квантовые полевые операторы

Определение ${\displaystyle a_{\nu }^{\dagger }}$ как общий оператор аннигиляции (рождения) одночастичного состояния ${\displaystyle \nu }$ это может быть фермионный ${\displaystyle (c_{\nu }^{\dagger })}$ или бозонный ${\displaystyle (b_{\nu }^{\dagger })}$, то представление реального пространства операторов определяет квант поле операторы ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )}$ и ${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}$ к

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=\sum _{\nu }\psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)a_{\nu }}$

${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )=\sum _{\nu }\psi _{\nu }^{*}\left(\mathbf {r} \right)a_{\nu }^{\dagger }}$

Это операторы вторичного квантования с коэффициентами ${\displaystyle \psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)}$ и ${\displaystyle \psi _{\nu }^{*}\left(\mathbf {r} \right)}$ это обычные первое квантование волновые функции. Таким образом, например, любые ожидаемые значения будут обычными волновыми функциями первого квантования. Грубо говоря, ${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}$ представляет собой сумму всех возможных способов добавить частицу в систему в позиции р через любое из базовых состояний ${\displaystyle \psi _{\nu }\left(\mathbf {r} \right)}$, не обязательно плоские волны, как показано ниже.

С ${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )}$ и ${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )}$ - операторы второго квантования, определенные в каждой точке пространства, они называются квантовое поле операторы. Они подчиняются следующим фундаментальным коммутаторным и антикоммутаторным соотношениям:

${\displaystyle \left[\Psi (\mathbf {r} _{1}),\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} _{2})\right]=\delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}$ бозонные поля,

${\displaystyle \{\Psi (\mathbf {r} _{1}),\Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} _{2})\}=\delta (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})}$ фермионные поля.

Для однородных систем часто желательно преобразование между реальным пространством и импульсным представлением, следовательно, квантовые операторы поля в Базис Фурье дает:

${\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )={1 \over {\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{i\mathbf {k\cdot r} }a_{\mathbf {k} }}$

${\displaystyle \Psi ^{\dagger }(\mathbf {r} )={1 \over {\sqrt {V}}}\sum _{\mathbf {k} }e^{-i\mathbf {k\cdot r} }{a^{\dagger }}_{\mathbf {k} }}$

Комментарий к номенклатуре

Термин «вторичное квантование», введенный Джорданом,^[6] это неправильное название, сохранившееся по историческим причинам. У истоков квантовой теории поля ошибочно считалось, что Уравнение Дирака описал релятивистскую волновую функцию (отсюда и устаревшую интерпретацию «моря Дирака»), а не классическое спинорное поле, которое при квантовании (как скалярное поле) давало фермионное квантовое поле (в отличие от бозонного квантового поля).

Один не квантует «снова», как можно было бы предположить из термина «второй»; квантованное поле не является Волновая функция Шредингера который был создан в результате квантования частицы, но является классическим полем (таким как электромагнитное поле или Спинор Дирака field), по сути, представляет собой набор связанных осцилляторов, который ранее не квантовался. Один просто квантует каждый осциллятор в этой сборке, сдвигая от полуклассический преобразование системы в полностью квантово-механическую.

Смотрите также

• Функционал Шредингера

Рекомендации

1. Дирак, П.А.М. (1927). «Квантовая теория излучения и поглощения излучения». Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки. 114 (767): 243. Bibcode:1927RSPSA.114..243D. Дои:10.1098 / RSPA.1927.0039.
2. Фок, В. (1932). "Konfigurationsraum und zweite Quantelung". Zeitschrift für Physik (на немецком). ООО "Спрингер Сайенс энд Бизнес Медиа". 75 (9–10): 622–647. Дои:10.1007 / bf01344458. ISSN  1434-6001.
3. M.C. Рид, Б. Саймон, "Методы современной математической физики, том II", Academic Press, 1975. стр. 328.
4. Махан, GD (1981). Физика многих элементарных частиц. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  0306463385.
5. Левин, М .; Вэнь, X. Г. (2003). «Фермионы, струны и калибровочные поля в моделях спина решетки». Физический обзор B. 67 (24). arXiv:cond-mat / 0302460. Bibcode:2003ПхРвБ..67х5316Л. Дои:10.1103 / PhysRevB.67.245316.
6. Тодоров, Иван (2012). «Квантование - это загадка», Bulg. J. Phys. 39 (2012) 107-149, arXiv: 1206.3116 [math-ph]

дальнейшее чтение

• Второе квантование Карло Мария Бекки, Scholarpedia, 5(6):7902. DOI: 10.4249 / scholarpedia.7902

внешняя ссылка

• Многоэлектронные состояния в Э. Паварини, Э. Кох и У. Шолльвёк: Новые явления в коррелированной материи, Юлих 2013, ISBN  978-3-89336-884-6