Состояние Фока - Fock state

В квантовая механика, а Состояние Фока или же состояние номера это квантовое состояние это элемент Пространство фока с четко определенным количеством частицы (или же кванты ). Эти государства названы в честь Советский физик Владимир Фок. Состояния Фока играют важную роль в второе квантование формулировка квантовой механики.

Представление частиц было впервые подробно рассмотрено Поль Дирак за бозоны и по Паскуаль Джордан и Юджин Вигнер за фермионы.^[1]:35 Состояния Фока бозонов и фермионов подчиняются полезным соотношениям относительно пространства Фока операторы создания и уничтожения.

Определение

Один определяет многочастичное состояние N невзаимодействующих идентичных частиц, записывая состояние как сумму тензорные произведения N одночастичных состояний. Кроме того, в зависимости от целостности частиц ' вращение, тензорные произведения должны быть чередование (антисимметричный) или симметричные произведения лежащей в основе одночастичной Гильбертово пространство. Конкретно:

• Фермионы, имеющий полуцелое вращение и подчиняющийся Принцип исключения Паули, соответствуют антисимметричным тензорным произведениям.
• Бозоны, имеющие целочисленный спин (и не подчиняющиеся принципу исключения), соответствуют симметричным тензорным произведениям.

Если количество частиц варьируется, строится Пространство фока как прямая сумма тензорного произведения гильбертовых пространств для каждого число частиц. В пространстве Фока можно указать одно и то же состояние в новой нотации, в обозначении числа занятости, указав количество частиц в каждом возможном одночастичном состоянии.

Позволять ${\textstyle {\boldsymbol {B}}=\left\{\mathbf {k} _{i}\right\}_{i\in I}}$ быть ортонормированный базис состояний в лежащем в основе одночастичном гильбертовом пространстве. Это индуцирует соответствующий базис пространства Фока, называемый «базисом числа занятых». Квантовое состояние в пространстве Фока называется Состояние Фока если это элемент базы количества заполненных номеров.

Состояние Фока удовлетворяет важному критерию: для каждого я, состояние является собственным состоянием оператор числа частиц ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}}$ соответствующий я-е элементарное состояние k_я. Соответствующее собственное значение дает количество частиц в состоянии. Этот критерий почти определяет фоковские состояния (необходимо дополнительно выбрать фазовый множитель).

Данное состояние Фока обозначается ${\displaystyle |n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle }$. В этом выражении ${\displaystyle n_{{\mathbf {k} }_{i}}}$ обозначает количество частиц в i-м состоянии k_я, и оператор числа частиц для i-го состояния, ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}}$, действует на состояние Фока следующим образом:

${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{i}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},..n_{{\mathbf {k} }_{i}}...\rangle }$

Следовательно, состояние Фока является собственным состоянием числового оператора с собственным значением ${\displaystyle n_{{\mathbf {k} }_{i}}}$.^[2]:478

Состояния Фока - наиболее удобные основа пространства Фока. Элементы фоковского пространства, которые суперпозиции состояний разных число частиц (и, следовательно, не собственные состояния числового оператора) не являются фоковскими состояниями. По этой причине не все элементы фоковского пространства называют «состояниями Фока».

Если мы определим оператор совокупного числа частиц ${\textstyle {\widehat {N}}}$ в качестве

${\displaystyle {\widehat {N}}=\sum _{i}{\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{i}}}},}$

определение состояния Фока гарантирует, что отклонение измерения ${\displaystyle \operatorname {Var} \left({\widehat {N}}\right)=0}$, т.е. измерение числа частиц в состоянии Фока всегда возвращает определенное значение без флуктуации.

Пример использования двух частиц

Для любого конечного состояния ${\displaystyle |f\rangle }$, любое фоковское состояние двух идентичных частиц, заданное формулой ${\displaystyle |1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\rangle }$, и любые оператор ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {O} }}}$, имеем следующее условие для неразличимость:^[3]:191

${\displaystyle \left|\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle \right|^{2}=\left|\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle \right|^{2}}$.

Итак, мы должны иметь ${\displaystyle \left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =e^{i\delta }\left\langle f\left|{\widehat {\mathbb {O} }}\right|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$

куда ${\displaystyle e^{i\delta }=+1}$ за бозоны и ${\displaystyle -1}$ за фермионы. С ${\displaystyle \langle f|}$ и ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {O} }}}$ произвольны, можно сказать,

${\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =+\left|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$ для бозонов и

${\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} _{1}},1_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle =-\left|1_{\mathbf {k} _{2}},1_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle }$ для фермионов.^[3]:191

Обратите внимание, что числовой оператор не отличает бозоны от фермионов; действительно, он просто считает частицы независимо от их типа симметрии. Чтобы почувствовать разницу между ними, нам нужны другие операторы, а именно операторы создания и уничтожения.

Бозонное состояние Фока

Бозоны, которые являются частицами с целым спином, следуют простому правилу: их составное собственное состояние симметрично^[4] под управлением биржевой оператор. Например, в системе двух частиц в представлении тензорного произведения мы имеем ${\displaystyle {\hat {P}}\left|x_{1},x_{2}\right\rangle =\left|x_{2},x_{1}\right\rangle }$ .

Операторы рождения и аннигиляции бозонов

Мы должны иметь возможность выразить то же свойство симметрии в этом новом представлении пространства Фока. Для этого введем неэрмитов бозонный операторы создания и уничтожения,^[4] обозначается ${\displaystyle b^{\dagger }}$ и ${\displaystyle b}$ соответственно. Действие этих операторов на фоковское состояние задается следующими двумя уравнениями:

• Оператор создания ${\textstyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }}$:

  ${\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle }$^[4]

• Оператор аннигиляции ${\textstyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}}$:

  ${\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle }$^[4]

Неэрмитовость операторов рождения и уничтожения

Операторы создания и уничтожения бозонных состояний Фока не являются Эрмитовы операторы.^[4]

Доказательство того, что операторы рождения и уничтожения не эрмитовы.

Для состояния Фока ${\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}},...\rangle }$, ${\displaystyle {\begin{aligned}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}-1,...\left|b_{\mathbf {k} _{l}}\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}},...\right\rangle &={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}-1,...|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}-1,...\right\rangle \\[6pt]\left(\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}},...\left|b_{\mathbf {k} _{l}}\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}-1,...\right\rangle \right)^{*}&=\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}-1...\left|b_{\mathbf {k} _{l}}^{\dagger }\right|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}},...\right\rangle \\&={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}+1}}\left\langle n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}-1...|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}+1...\right\rangle \end{aligned}}}$ Таким образом, очевидно, что сопряженный оператор создания (уничтожения) в себя не входит. Следовательно, они не эрмитовы операторы. Но к оператору создания (уничтожения) присоединяется оператор уничтожения (создания).[5]:45

Идентификационные данные оператора

Коммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения в бозонная система находятся

${\displaystyle \left[b_{i}^{\,},b_{j}^{\dagger }\right]\equiv b_{i}^{\,}b_{j}^{\dagger }-b_{j}^{\dagger }b_{i}^{\,}=\delta _{ij},}$^[4]

${\displaystyle \left[b_{i}^{\dagger },b_{j}^{\dagger }\right]=\left[b_{i}^{\,},b_{j}^{\,}\right]=0,}$^[4]

куда ${\displaystyle [\ \ ,\ \ ]}$ это коммутатор и ${\displaystyle \delta _{ij}}$ это Дельта Кронекера.

N бозонных базисных состояний ${\displaystyle |n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }$

Количество частиц (N)	Бозонные базисные состояния[6]:11
0	${\displaystyle |0,0,0...\rangle }$
1	${\displaystyle |1,0,0...\rangle }$, ${\displaystyle |0,1,0...\rangle }$, ${\displaystyle |0,0,1...\rangle }$,...
2	${\displaystyle |2,0,0...\rangle }$, ${\displaystyle |1,1,0...\rangle }$, ${\displaystyle |0,2,0...\rangle }$,...
...	...

Действия в отношении некоторых конкретных состояний Фока

• Для вакуумного состояния - ни одна частица не находится ни в каком состоянии - выражается как ${\displaystyle |0_{{\mathbf {k} }_{1}},0_{{\mathbf {k} }_{2}},0_{{\mathbf {k} }_{3}}...0_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }$, у нас есть:

  ${\displaystyle b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|0_{{\mathbf {k} }_{1}},0_{{\mathbf {k} }_{2}},0_{{\mathbf {k} }_{3}}...0_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle =|0_{{\mathbf {k} }_{1}},0_{{\mathbf {k} }_{2}},0_{{\mathbf {k} }_{3}}...1_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }$

  и, ${\displaystyle b_{\mathbf {k} _{l}}|0_{\mathbf {k} _{1}},0_{\mathbf {k} _{2}},0_{\mathbf {k} _{3}}...0_{\mathbf {k} _{l}},...\rangle =0}$.^[4] Это л-й оператор создания создает частицу в л-е состояние k_л, а вакуумное состояние является фиксированной точкой операторов уничтожения, поскольку нет частиц, которые можно было бы уничтожить.
• Мы можем сгенерировать любое состояние Фока, работая с состоянием вакуума с соответствующим числом операторы создания:

  ${\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}}...\rangle ={\frac {\left(b_{\mathbf {k} _{1}}^{\dagger }\right)^{n_{\mathbf {k} _{1}}}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{1}}!}}}{\frac {\left(b_{\mathbf {k} _{2}}^{\dagger }\right)^{n_{\mathbf {k} _{2}}}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{2}}!}}}...|0_{\mathbf {k} _{1}},0_{\mathbf {k} _{2}},...\rangle }$

• Для одномодового состояния Фока, выраженного как, ${\displaystyle |n_{\mathbf {k} }\rangle }$,
  ${\displaystyle b_{\mathbf {k} }^{\dagger }|n_{\mathbf {k} }\rangle ={\sqrt {n_{\mathbf {k} }+1}}|n_{\mathbf {k} }+1\rangle }$ и,
  ${\displaystyle b_{\mathbf {k} }|n_{\mathbf {k} }\rangle ={\sqrt {n_{\mathbf {k} }}}|n_{\mathbf {k} }-1\rangle }$

Действие числовых операторов

Числовые операторы ${\textstyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}$ для бозонной системы даются ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}=b_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }b_{{\mathbf {k} }_{l}}}$, куда ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle }$^[4]

Числовые операторы - это эрмитовы операторы.

Симметричное поведение бозонных фоковских состояний

Коммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения гарантируют, что бозонные фоковские состояния имеют соответствующее симметричное поведение при обмене частицами. Здесь обмен частицами между двумя состояниями (скажем, л и м) осуществляется путем уничтожения частицы в состоянии л и создание одного в состоянии м. Если мы начнем с состояния Фока ${\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }$, и хотите вывести частицу из состояния ${\displaystyle k_{l}}$ заявить ${\displaystyle k_{m}}$, то оперируем состоянием Фока ${\displaystyle b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }b_{\mathbf {k} _{l}}}$ следующим образом:

Используя коммутационное соотношение, мы имеем ${\displaystyle b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.b_{\mathbf {k} _{l}}=b_{\mathbf {k} _{l}}.b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }}$

${\displaystyle {\begin{aligned}b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.b_{\mathbf {k} _{l}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle &=b_{\mathbf {k} _{l}}.b_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle \\&={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{m}}+1}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}+1...n_{\mathbf {k} _{l}}-1...\right\rangle \end{aligned}}}$

Таким образом, состояние Бозонного Фока ведет себя симметрично при работе оператора Exchange.

• 

  Функция Вигнера ${\displaystyle |0\rangle }$

• 

  Функция Вигнера ${\displaystyle |1\rangle }$

• 

  Функция Вигнера ${\displaystyle |2\rangle }$

• 

  Функция Вигнера ${\displaystyle |3\rangle }$

• 

  Функция Вигнера ${\displaystyle |4\rangle }$

Фермионное состояние Фока

Операторы рождения и уничтожения фермионов

Чтобы иметь возможность сохранять антисимметричное поведение фермионы, для фермионных фоковских состояний вводятся неэрмитовы операторы рождения и уничтожения фермионов:^[4] определенная для фермионного фоковского состояния ${\displaystyle |\psi \rangle =|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle }$ в качестве:^[4]

• В оператор создания ${\displaystyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }}$ выступает в качестве:

  ${\displaystyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle }$^[4]

• В оператор аннигиляции ${\textstyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}}$ выступает в качестве:

  ${\displaystyle c_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle ={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle }$

Эти два действия выполняются антисимметрично, о чем мы поговорим позже.

Идентификационные данные оператора

Антикоммутационные соотношения операторов рождения и уничтожения в фермионная система находятся,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\{c_{i}^{\,},c_{j}^{\dagger }\right\}\equiv c_{i}^{\,}c_{j}^{\dagger }+c_{j}^{\dagger }c_{i}^{\,}&=\delta _{ij},\\\left\{c_{i}^{\dagger },c_{j}^{\dagger }\right\}=\left\{c_{i}^{\,},c_{j}^{\,}\right\}&=0,\end{aligned}}}$ ^[4]

куда ${\displaystyle {\{\ ,\ \}}}$ это антикоммутатор и ${\displaystyle \delta _{ij}}$ это Дельта Кронекера. Эти антикоммутационные соотношения можно использовать, чтобы показать антисимметричное поведение Фермионные фоковские состояния.

Действие числовых операторов

Числовые операторы ${\textstyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}$ за Фермионы даны ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}=c_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }.c_{{\mathbf {k} }_{l}}}$.

${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle =n_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle }$^[4]

Максимальное количество занятий

Действие числового оператора, а также операторов рождения и уничтожения может показаться таким же, как у бозонных, но реальный поворот связан с максимальным числом заполнения каждого состояния в фермионном фоковском состоянии. Расширяя приведенный выше пример с двухчастичной фермионной системой, мы сначала должны убедиться, что фермионное фоковское состояние ${\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }$ получается применением некоторой суммы операторов перестановки к тензорному произведению собственных наборов следующим образом:

${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle =S_{-}\left|i_{1},i_{2},i_{3}...i_{l}...\right\rangle ={\frac {1}{\sqrt {N!}}}{\begin{vmatrix}\left|i_{1}\right\rangle _{1}&\cdots &\left|i_{1}\right\rangle _{N}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\left|i_{N}\right\rangle _{1}&\cdots &\left|i_{N}\right\rangle _{N}\end{vmatrix}}}$^[7]:16

Этот определитель называется Определитель Слейтера.^{[нужна цитата ]} Если любое из состояний одной частицы одинаково, две строки определителя Слейтера будут одинаковыми, и, следовательно, определитель будет равен нулю. Следовательно, два одинаковых фермионы не должны занимать одно и то же состояние (заявление Принцип исключения Паули ). Следовательно, число заполнения любого отдельного состояния равно 0 или 1. Собственное значение, связанное с фермионным фоковским состоянием ${\displaystyle {\widehat {N_{{\mathbf {k} }_{l}}}}}$ должно быть либо 0, либо 1.

N фермионные базисные состояния ${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}},...\right\rangle }$

Количество частиц (N)	Фермионные базисные состояния[6]:11
0	${\displaystyle |0,0,0...\rangle }$
1	${\displaystyle |1,0,0...\rangle }$, ${\displaystyle |0,1,0...\rangle }$, ${\displaystyle |0,0,1...\rangle }$,...
2	${\displaystyle |1,1,0...\rangle }$, ${\displaystyle |0,1,1...\rangle }$, ${\displaystyle |0,1,0,1...\rangle }$, ${\displaystyle |1,0,1,0...\rangle }$...
...	...

Действия в отношении некоторых конкретных состояний Фока

• Для одномодового фермионного фоковского состояния, выраженного как ${\displaystyle \left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle }$,

  ${\displaystyle c_{\mathbf {k} }^{\dagger }\left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle =\left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle }$

  и ${\displaystyle c_{\mathbf {k} }^{\dagger }\left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle =0}$, поскольку максимальное число заполнения любого состояния равно 1. Не более 1 фермиона может занимать одно и то же состояние, как указано в Принцип исключения Паули.
• Для одномодового фермионного фоковского состояния, выраженного как ${\displaystyle \left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle }$,

  ${\displaystyle c_{\mathbf {k} }\left|1_{\mathbf {k} }\right\rangle =\left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle }$

  и ${\displaystyle c_{\mathbf {k} }\left|0_{\mathbf {k} }\right\rangle =0}$, так как число частиц не может быть меньше нуля.
• Для многомодового фермионного фоковского состояния, выраженного как ${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{\beta }},n_{\mathbf {k} _{\alpha }},...\right\rangle }$

  ${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{\alpha }}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{\beta }},n_{\mathbf {k} _{\alpha }},...\right\rangle =(-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{\beta }},1-n_{\mathbf {k} _{\alpha }},...\right\rangle }$,

  куда ${\displaystyle (-1)^{\sum _{\beta <\alpha }n_{\beta }}}$ называется Струна Джордана-Вигнера, который зависит от упорядочения участвующих одночастичных состояний и добавления чисел заполнения фермионов всех предыдущих состояний.^[5]:88

Антисимметричное поведение фермионного фоковского состояния.

Антисимметричное поведение фермионных состояний под действием оператора Exchange учитывается антикоммутационными соотношениями. Здесь обмен частицами между двумя состояниями осуществляется путем уничтожения одной частицы в одном состоянии и создания одной в другом. Если мы начнем с состояния Фока ${\displaystyle |\psi \rangle =\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},...n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle }$ и хотите вывести частицу из состояния ${\displaystyle k_{l}}$ заявить ${\displaystyle k_{m}}$, то оперируем состоянием Фока ${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}}$ следующим образом:

Используя антикоммутационное соотношение, имеем

${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}=-c_{\mathbf {k} _{l}}.c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }}$

${\displaystyle c_{\mathbf {k} _{m}}^{\dagger }.c_{\mathbf {k} _{l}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle ={\sqrt {n_{\mathbf {k} _{m}}+1}}{\sqrt {n_{\mathbf {k} _{l}}}}\left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},....n_{\mathbf {k} _{m}}+1...n_{\mathbf {k} _{l}}-1...\right\rangle }$

но,

$${\displaystyle {\begin{aligned}&c_{{\mathbf {k} }_{l}}.c_{{\mathbf {k} }_{m}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle \\={}-&c_{{\mathbf {k} }_{m}}^{\dagger }.c_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}...\rangle \\={}-&{\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{m}}+1}}{\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},....n_{{\mathbf {k} }_{m}}+1...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1...\rangle \end{aligned}}}$$

Таким образом, фермионные фоковские состояния антисимметричны по отношению к операторам обмена частицами.

Состояния Фока в общем случае не являются собственными состояниями энергии

В второе квантование теория, Гамильтониан плотность функция задается

${\displaystyle {\mathfrak {H}}={\frac {1}{2m}}\nabla _{i}\psi ^{*}(x)\,\nabla _{i}\psi (x)}$^[3]:189

Общая Гамильтониан дан кем-то

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}&=\int d^{3}x\,{\mathfrak {H}}=\int d^{3}x\psi ^{*}(x)\left(-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\right)\psi (x)\\\therefore {\mathfrak {H}}&=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\end{aligned}}}$

В свободной теории Шредингера^[3]:189

${\displaystyle {\mathfrak {H}}\psi _{n}^{(+)}(x)=-{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}\psi _{n}^{(+)}(x)=E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)}$

и

${\displaystyle \int d^{3}x\,\psi _{n}^{(+)^{*}}(x)\,\psi _{n'}^{(+)}(x)=\delta _{nn'}}$

и

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}$,

куда ${\displaystyle a_{n}}$ - оператор уничтожения.

${\displaystyle \therefore {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,{\mathfrak {H}}a_{n}\psi _{n}^{(+)}(x)}$

Только для невзаимодействующих частиц ${\displaystyle {\mathfrak {H}}}$ и ${\displaystyle a_{n}}$ ездить; в общем они не ездят на работу. Для невзаимодействующих частиц

${\displaystyle {\mathcal {H}}=\sum _{n,n'}\int d^{3}x\,a_{n'}^{\dagger }\psi _{n'}^{(+)^{*}}(x)\,E_{n}^{0}\psi _{n}^{(+)}(x)a_{n}=\sum _{n,n'}E_{n}^{0}a_{n'}^{\dagger }a_{n}\delta _{nn'}=\sum _{n}E_{n}^{0}a_{n}^{\dagger }a_{n}=\sum _{n}E_{n}^{0}{\widehat {N}}}$

Если они не коммутируют, гамильтониан не будет иметь вышеуказанного выражения. Следовательно, в общем случае фоковские состояния не являются энергетическими состояниями системы.

Колебания вакуума

Состояние вакуума или ${\displaystyle |0\rangle }$ - состояние с наименьшей энергией, а математические ожидания ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle a^{\dagger }}$ исчезают в этом состоянии:

${\displaystyle a|0\rangle =0=\langle 0|a^{\dagger }}$

Электрическое и магнитное поля и векторный потенциал имеют разложение мод одного и того же общего вида:

${\displaystyle F\left({\vec {r}},t\right)=\varepsilon ae^{i{\vec {k}}x-\omega t}+h\cdot c}$

Таким образом, легко увидеть, что математические ожидания этих операторов поля равны нулю в вакуумном состоянии:

${\displaystyle \langle 0|F|0\rangle =0}$

Однако можно показать, что математические ожидания квадрата этих операторов поля не равны нулю. Таким образом, поле имеет флуктуации около нулевого среднего по ансамблю. Эти колебания вакуума являются причиной многих интересных явлений, включая Баранина сдвиг в квантовой оптике.

Многорежимные состояния Фока

В многомодовом поле каждый оператор создания и уничтожения работает в своем собственном режиме. Так ${\displaystyle a_{\mathbf {k} _{l}}}$ и ${\displaystyle a_{\mathbf {k} _{l}}^{\dagger }}$ будет работать только на ${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{l}}\right\rangle }$. Поскольку операторы, соответствующие различным режимам, действуют в разных подпространствах гильбертова пространства, все поле является прямым произведением ${\displaystyle |n_{\mathbf {k} _{l}}\rangle }$ по всем режимам:

${\displaystyle \left|n_{\mathbf {k} _{1}}\right\rangle \left|n_{\mathbf {k} _{2}}\right\rangle \left|n_{\mathbf {k} _{3}}\right\rangle \ldots \equiv \left|n_{\mathbf {k} _{1}},n_{\mathbf {k} _{2}},n_{\mathbf {k} _{3}}...n_{\mathbf {k} _{l}}...\right\rangle \equiv \left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle }$

Операторы создания и уничтожения работают с многомодовым состоянием, только повышая или понижая числовое состояние своего собственного режима:

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{{\mathbf {k} }_{l}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle &={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}-1,...\rangle \\a_{{\mathbf {k} }_{l}}^{\dagger }|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}},...\rangle &={\sqrt {n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1}}|n_{{\mathbf {k} }_{1}},n_{{\mathbf {k} }_{2}},n_{{\mathbf {k} }_{3}}...n_{{\mathbf {k} }_{l}}+1,...\rangle \end{aligned}}}$

Мы также определяем общую оператор числа для поля, которое представляет собой сумму числовых операторов каждого режима:

${\displaystyle {\hat {n}}_{\mathbf {k} }=\sum {\hat {n}}_{\mathbf {k} _{l}}}$

Многомодовое состояние Фока является собственным вектором оператора полного числа, собственное значение которого является полным числом заполнения всех мод.

${\displaystyle {\hat {n}}_{\mathbf {k} }|\{n_{\mathbf {k} }\}\rangle =\left(\sum n_{\mathbf {k} _{l}}\right)|\{n_{\mathbf {k} }\}\rangle }$

В случае невзаимодействующих частиц числовой оператор и гамильтониан коммутируют друг с другом, и, следовательно, многомодовые фоковские состояния становятся собственными состояниями многомодового гамильтониана

${\displaystyle {\hat {H}}\left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle =\left(\sum \hbar \omega \left(n_{\mathbf {k} _{l}}+{\frac {1}{2}}\right)\right)\left|\{n_{\mathbf {k} }\}\right\rangle }$

Источник однофотонного состояния

Одиночные фотоны обычно генерируются с использованием одиночных излучателей (атомов, Азотно-вакансионный центр,^[8] Квантовая точка ^[9]). Однако эти источники не всегда очень эффективны, часто с низкой вероятностью получить один фотон по запросу; и часто сложные и неподходящие для лабораторных условий.

Обычно используются другие источники, которые преодолевают эти проблемы за счет недетерминированного поведения. Объявленные источники одиночных фотонов - это вероятностные двухфотонные источники, от которых отделяется пара, и обнаружение одного фотона предвещает присутствие оставшегося. Эти источники обычно полагаются на оптическую нелинейность некоторых материалов, таких как периодически поляризованные Литий ниобат (Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты ) или кремний (самопроизвольный Четырехволновое смешение ) Например.

Неклассическое поведение

В Глаубер-Сударшанское П-представительство состояний Фока показывает, что эти состояния являются чисто квантово-механическими и не имеют классических аналогов. В ${\displaystyle \scriptstyle \varphi (\alpha )\,}$^{[требуется разъяснение ]} этих состояний в представлении является ${\displaystyle 2n}$производная от Дельта-функция Дирака и, следовательно, не классическое распределение вероятностей.

Смотрите также

• Когерентные состояния
• Предел Гейзенберга
• Неклассический свет

Рекомендации

1. Фридрихс, К. О. (1953). Математические аспекты квантовой теории поля. Издатели Interscience. КАК В  B0006ATGK4.
2. Мандель, Вольф (1995). Оптическая когерентность и квантовая оптика. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0521417112.
3. Гросс, Франц (1999). Релятивистская квантовая механика и теория поля. Wiley-VCH. ISBN  0471353868.
4. "Квантовая механика 1 Конспект лекций об идентичных частицах, TIFR, Мумбаи" (PDF).
5. Альтланд, Александр, Саймонс, Бен (2006). Теория поля конденсированного состояния. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0521769752.
6. Брус, Фленсберг (2003). Квантовая теория многих тел в физике конденсированного состояния: введение. ОУП Оксфорд. ISBN  0198566336.
7. Швабл, Хилтон, Лахи (2008). Продвинутая квантовая механика. Springer. ISBN  978-3540850618.
8. К. Курцифер, С. Майер, П. Зарда, Патрик и Х. Вайнфуртер, (2000), "Стабильный твердотельный источник одиночных фотонов", Phys. Rev. Lett. 85 (2) 290--293, doi 10.1103 / PhysRevLett.85.290
9. К. Сантори, М. Пелтон, Г. Соломон, Й. Дейл и Ю. Ямамото (2001), "Триггерные одиночные фотоны из квантовой точки", Phys. Rev. Lett. 86 (8):1502--1505 DOI 10.1103 / PhysRevLett.86.1502

внешняя ссылка

• Владан Вулетич из Массачусетский технологический институт имеет использовал ансамбль атомов для создания источника в состоянии Фока (он же однофотонный) (PDF)
• Создание и измерение состояния одиночного фотона (состояние Фока) с помощью интерактивного эксперимента QuantumLab