Коммутатор - Commutator

Эта статья о математической концепции. Относительно электрического компонента см. Коммутатор (электрический). Для связи между канонические сопряженные объекты, видеть Каноническое коммутационное отношение. Для использования в других целях см. Коммутация.

В математика, то коммутатор указывает на степень, в которой определенные бинарная операция не может быть коммутативный. Существуют разные определения, используемые в теория групп и теория колец.

Теория групп

В коммутатор из двух элементов, грамм и час, из группа грамм, это элемент

[грамм, час] = грамм⁻¹час⁻¹gh

и равен тождеству группы тогда и только тогда, когда грамм и час коммутировать (то есть тогда и только тогда, когда gh = hg). Множество всех коммутаторов группы, вообще говоря, не замкнуто относительно групповой операции, но подгруппа из грамм генерируется всеми коммутаторами замкнут и называется производная группа или коммутаторная подгруппа из грамм. Коммутаторы используются для определения нильпотентный и разрешимый группы и крупнейшие абелевский факторгруппа.

Определение коммутатора, приведенное выше, используется в этой статье, но многие другие теоретики групп определяют коммутатор как

[грамм, час] = ghg⁻¹час⁻¹.^[1][2]

Тождества (теория групп)

Идентификаторы коммутатора - важный инструмент в теория групп.^[3] Выражение а^Икс обозначает сопрягать из а к Икс, определяется как Икс⁻¹топор.

1. ${displaystyle x^{y}=x[x,y].}$
2. ${displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}.}$
3. ${displaystyle [x,zy]=[x,y]cdot [x,z]^{y}}$ и ${displaystyle [xz,y]=[x,y]^{z}cdot [z,y].}$
4. ${displaystyle left[x,y^{-1}ight]=[y,x]^{y^{-1}}}$ и ${displaystyle left[x^{-1},yight]=[y,x]^{x^{-1}}.}$
5. ${displaystyle left[left[x,y^{-1}ight],zight]^{y}cdot left[left[y,z^{-1}ight],xight]^{z}cdot left[left[z,x^{-1}ight],yight]^{x}=1}$ и ${displaystyle left[left[x,yight],z^{x}ight]cdot left[[z,x],y^{z}ight]cdot left[[y,z],x^{y}ight]=1.}$

Идентификатор (5) также известен как Тождество Холла-Витта, после Филип Холл и Эрнст Витт. Это теоретико-групповой аналог Личность Якоби для теоретико-кольцевого коммутатора (см. следующий раздел).

N.B., приведенное выше определение конъюгата а к Икс используется некоторыми теоретиками групп.^[4] Многие другие теоретики групп определяют сопряжение а к Икс в качестве xax⁻¹.^[5] Это часто пишут ${displaystyle {}^{x}a}$. Подобные тождества имеют место и для этих соглашений.

Используются многие тождества, истинные по модулю определенных подгрупп. Они могут быть особенно полезны при изучении разрешимые группы и нильпотентные группы. Например, в любой группе хорошо себя ведут вторые силы:

${displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y].}$

Если производная подгруппа центральный, то

${displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{inom {n}{2}}.}$

Теория колец

В коммутатор из двух элементов а и б из звенеть (включая любые ассоциативная алгебра ) определяется

${displaystyle [a,b]=ab-ba.}$

Он равен нулю тогда и только тогда, когда а и б ездить. В линейная алгебра, если два эндоморфизмы пространства представлены коммутирующими матрицами в терминах одного базиса, то они так представлены в терминах каждого базиса. Используя коммутатор как Кронштейн лжи, любую ассоциативную алгебру можно превратить в Алгебра Ли.

В антикоммутатор из двух элементов а и б кольца или ассоциативной алгебры определяется формулой

${displaystyle {a,b}=ab+ba.}$

Иногда ${displaystyle [a,b]_{+}}$ используется для обозначения антикоммутатора, а ${displaystyle [a,b]_{-}}$ затем используется для коммутатора.^[6] Антикоммутатор используется реже, но может использоваться для определения Алгебры Клиффорда и Йордановы алгебры, а при выводе Уравнение Дирака в физике элементарных частиц.

Коммутатор двух операторов, действующих на Гильбертово пространство центральная концепция в квантовая механика, поскольку он определяет, насколько хорошо наблюдаемые описываемые этими операторами могут быть измерены одновременно. В принцип неопределенности в конечном итоге является теоремой о таких коммутаторах в силу Соотношение Робертсона – Шредингера.^[7] В фазовое пространство, эквивалентные коммутаторы функции звездные продукты называются Брекеты Мойял, и полностью изоморфны упомянутым коммутаторным структурам гильбертова пространства.

Тождества (теория колец)

Коммутатор обладает следующими свойствами:

Тождества алгебры Ли

1. ${displaystyle [A+B,C]=[A,C]+[B,C]}$
2. ${displaystyle [A,A]=0}$
3. ${displaystyle [A,B]=-[B,A]}$
4. ${displaystyle [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0}$

Соотношение (3) называется антикоммутативность, а (4) - Личность Якоби.

Дополнительные удостоверения

1. ${displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]}$
2. ${displaystyle [A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]}$
3. ${displaystyle [A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]}$
4. ${displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}$
5. ${displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC}$
6. ${displaystyle [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD}$
7. ${displaystyle [A,B+C]=[A,B]+[A,C]}$
8. ${displaystyle [A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]}$
9. ${displaystyle [AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B}$
10. ${displaystyle [[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]}$

Если А фиксированный элемент кольца р, тождество (1) можно интерпретировать как Правило Лейбница для карты ${displaystyle operatorname {ad} _{A}:Rightarrow R}$ данный ${displaystyle operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]}$. Другими словами, объявление на карте_А определяет происхождение на кольце р. Тождества (2), (3) представляют правила Лейбница для более чем двух факторов и действительны для любого вывода. Тождества (4) - (6) также можно интерпретировать как правила Лейбница. Тождества (7), (8) выражают Z-билинейность.

Некоторые из приведенных выше тождеств можно распространить на антикоммутатор, используя указанное выше обозначение ±.^[8]Например:

1. ${displaystyle [AB,C]_{pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{pm }B}$
2. ${displaystyle [AB,CD]_{pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[A,D]_{pm }B}$
3. ${displaystyle left[A,[B,C]_{pm }ight]+left[B,[C,A]_{pm }ight]+left[C,[A,B]_{pm }ight]=0}$
4. ${displaystyle [A,BC]_{pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{pm }}$

Экспоненциальные тождества

Рассмотрим кольцо или алгебру, в которых экспоненциальный ${displaystyle e^{A}=exp(A)=1+A+{ frac {1}{2!}}A^{2}+cdots }$ можно значимо определить, например, Банахова алгебра, кольцо формальный степенной ряд, или универсальная обертывающая алгебра из Алгебра Ли.

В таком кольце Лемма Адамара применительно к вложенным коммутаторам дает:${displaystyle e^{A}Be^{-A} = B+[A,B]+{frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+cdots = e^{operatorname {ad} _{A}}(B).}$(Последнее выражение см. Присоединенный вывод ниже.) Эта формула лежит в основе Разложение Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа журнала (exp (А) ехр (B)).

Аналогичное разложение выражает групповой коммутатор выражений ${displaystyle e^{A}}$ (аналогично элементам группы Ли) в терминах ряда вложенных коммутаторов (скобок Ли),

${displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}}$

${displaystyle =exp !left([A,B]+{frac {1}{2!}}[A{+}B,[A,B]]+{frac {1}{3!}}left({frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]ight)+cdots ight).}$

Градуированные кольца и алгебры

При работе с градуированные алгебры коммутатор обычно заменяют на градуированный коммутатор, определенный в однородных компонентах как

${displaystyle [omega ,eta ]_{gr}:=omega eta -(-1)^{deg omega deg eta }eta omega .}$

Присоединенный вывод

Особенно, если иметь дело с несколькими коммутаторами в кольце р, оказывается полезным другое обозначение. Для элемента ${displaystyle xin R}$, мы определяем прилегающий отображение ${displaystyle mathrm {ad} _{x}:R o R}$ к:

${displaystyle operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.}$

Это отображение является происхождение на кольце р:

${displaystyle mathrm {ad} _{x}!(yz) = mathrm {ad} _{x}!(y),z,+,y,mathrm {ad} _{x}!(z)}$.

Посредством Личность Якоби, это также вывод операции коммутации:

${displaystyle mathrm {ad} _{x}[y,z] = [mathrm {ad} _{x}!(y),z],+,[y,mathrm {ad} _{x}!(z)]}$.

Составив такие отображения, мы получаем, например, ${displaystyle operatorname {ad} _{x}operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z],]}$ и

${displaystyle operatorname {ad} _{x}^{2}!(z) = operatorname {ad} _{x}!(operatorname {ad} _{x}!(z)) = [x,[x,z],].}$

Мы можем рассмотреть ${displaystyle mathrm {ad} }$ себя как отображение, ${displaystyle mathrm {ad} :R o mathrm {End} (R)}$, куда ${displaystyle mathrm {End} (R)}$ кольцо отображений из р самому себе с композицией в качестве операции умножения. потом ${displaystyle mathrm {ad} }$ это Алгебра Ли гомоморфизм, сохраняющий коммутатор:

${displaystyle operatorname {ad} _{[x,y]}=[operatorname {ad} _{x},operatorname {ad} _{y}]~.}$

Напротив, это нет всегда гомоморфизм колец: обычно ${displaystyle operatorname {ad} _{xy},eq ,operatorname {ad} _{x}operatorname {ad} _{y}}$.

Общее правило Лейбница

В общее правило Лейбница, расширяя повторяющиеся производные продукта, можно записать абстрактно, используя присоединенное представление:

${displaystyle x^{n}y=sum _{k=0}^{n}{inom {n}{k}}operatorname {ad} _{x}^{k}!(y),x^{n-k}.}$

Замена Икс оператором дифференцирования ${displaystyle partial }$, и у оператором умножения ${displaystyle m_{f}:gmapsto fg}$, мы получили ${displaystyle operatorname {ad} (partial )(m_{f})=m_{partial (f)}}$, и применяя обе части к функции грамм, тождество становится обычным правилом Лейбница для п^th производная ${displaystyle partial ^{n}!(fg)}$.

Смотрите также

• Антикоммутативность
• Ассоциатор
• Формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа
• Каноническое коммутационное отношение
• Централизатор a.k.a. коммутант
• Вывод (абстрактная алгебра)
• Кронштейн Мойял
• Производная Пинчерле
• Скобка Пуассона
• Тройной коммутатор
• Лемма о трех подгруппах

Примечания

1. Фрали (1976), п. 108)
2. Герштейн (1975, п. 65)
3. Маккей (2000), п. 4)
4. Герштейн (1975, п. 83)
5. Фрали (1976), п. 128)
6. МакМахон (2008)
7. Либофф (2003), с. 140–142).
8. Лавров, П. (2014). «Тождества типа Якоби в алгебрах и супералгебрах». Теоретическая и математическая физика. 179 (2): 550–558. arXiv:1304.5050. Bibcode:2014ТМП ... 179..550л. Дои:10.1007 / s11232-014-0161-2. S2CID  119175276.

Рекомендации

• Фрали, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Литература: Эддисон-Уэсли, ISBN  0-201-01984-1
• Гриффитс, Дэвид Дж. (2004), Введение в квантовую механику (2-е изд.), Prentice Hall, ISBN  0-13-805326-X
• Герштейн, И. (1975), Темы по алгебре (2-е изд.), Джон Уайли и сыновья
• Либофф, Ричард Л. (2003), Введение в квантовую механику (4-е изд.), Эддисон-Уэсли, ISBN  0-8053-8714-5
• Маккей, Сьюзан (2000), Конечные p-группы, Математические заметки королевы Марии, 18, Лондонский университет, ISBN  978-0-902480-17-9, МИСТЕР  1802994
• МакМахон, Д. (2008), Квантовая теория поля, СОЕДИНЕННЫЕ ШТАТЫ АМЕРИКИ: Макгроу Хилл, ISBN  978-0-07-154382-8

дальнейшее чтение

• Маккензи, Р.; Сноу, Дж. (2005), "Конгруэнтные модулярные многообразия: теория коммутатора", Кудрявцев В.Б .; Розенберг, И. Г. (ред.), Структурная теория автоматов, полугрупп и универсальной алгебры, Springer, стр. 273–329.

внешняя ссылка

• «Коммутатор», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]