Банахова алгебра - Banach algebra

В математика, особенно функциональный анализ, а Банахова алгебра, названный в честь Стефан Банах, является ассоциативная алгебра А над настоящий или же сложный числа (или более неархимедов полный нормированное поле ), который в то же время является Банахово пространство, это нормированное пространство то есть полный в метрика индуцированный нормой. Норма требуется для удовлетворения

${displaystyle forall x,yin A:|x,y| leq |x|,|y|.}$

Это гарантирует, что операция умножения будет непрерывный.

Банахова алгебра называется единый если у него есть элемент идентичности для умножения, норма которого равна 1, и коммутативный если его умножение коммутативный.Любая банахова алгебра ${displaystyle A}$ (есть ли у него элемент идентичности или нет) изометрически вкладывается в унитальную банахову алгебру ${displaystyle A_{e}}$ чтобы сформировать замкнутый идеал ${displaystyle A_{e}}$. Часто предполагается априори что рассматриваемая алгебра единственна: поскольку можно развить большую часть теории, рассматривая ${displaystyle A_{e}}$ а затем применить результат в исходной алгебре. Однако это не всегда так. Например, нельзя определить все тригонометрические функции в банаховой алгебре без тождества.

Теория реальных банаховых алгебр может сильно отличаться от теории комплексных банаховых алгебр. Например, спектр элемента нетривиальной комплексной банаховой алгебры никогда не может быть пустым, тогда как в реальной банаховой алгебре он может быть пустым для некоторых элементов.

Банаховы алгебры также могут быть определены над полями п-адические числа. Это часть п-адический анализ.

Примеры

Прототипный пример банаховой алгебры: ${displaystyle C_{0}(X)}$, пространство (комплекснозначных) непрерывных функций на локально компактном (хаусдорфовом) пространстве, обращающихся в нуль на бесконечности. ${displaystyle C_{0}(X)}$ унитален тогда и только тогда, когда Икс компактный. Комплексное сопряжение является инволюцией, ${displaystyle C_{0}(X)}$ на самом деле C * -алгебра. В более общем смысле любая C * -алгебра является банаховой алгеброй.

• Множество действительных (или комплексных) чисел - это банахова алгебра с нормой, заданной абсолютная величина.
• Набор всего реального или сложного п-к-п матрицы становится единый Банахова алгебра, если снабдить ее субмультипликативной матричная норма.
• Возьмите пространство Банаха р^п (или же C^п) с нормой ||Икс|| = макс |Икс_я| и определим умножение покомпонентно: (Икс₁,...,Икс_п)(у₁,...,у_п) = (Икс₁у₁,...,Икс_пу_п).
• В кватернионы образуют 4-мерную действительную банахову алгебру с нормой, задаваемой абсолютным значением кватернионов.
• Алгебра всех ограниченных вещественно- или комплекснозначных функций, определенных на некотором множестве (с поточечным умножением и супремум norm) - банахова алгебра с единицей.
• Алгебра всех ограниченных непрерывный действительные или комплексные функции на некоторых локально компактное пространство (опять же с поточечными операциями и нормой супремума) является банаховой алгеброй.
• Алгебра всего непрерывный линейный операторы в банаховом пространстве E (с функциональной композицией как умножение и норма оператора как норма) является банаховой алгеброй с единицей. Набор всех компактные операторы на E является банаховой алгеброй и замкнутым идеалом. Без личности, если тусклый E = ∞.^[1]
• Если грамм это локально компактный Хаусдорф топологическая группа и μ это его Мера Хаара, то банахово пространство L¹(грамм) из всех μ-интегрируемые функции на грамм становится банаховой алгеброй при свертка ху(грамм) = ∫ Икс(час) у(час⁻¹грамм) dμ(час) за Икс, у в L¹(грамм).^[2]
• Равномерная алгебра: Банахова алгебра, которая является подалгеброй комплексной алгебры C (X) с нормой супремума, содержит константы и разделяет точки Икс (которое должно быть компактным хаусдорфовым пространством).
• Естественная банахова функциональная алгебра: Равномерная алгебра, все характеры которой являются оценками в точках Икс.
• C * -алгебра: Банахова алгебра, являющаяся замкнутой * -подалгеброй алгебры ограниченных операторов на некоторой Гильбертово пространство.
• Алгебра мер: Банахова алгебра, состоящая из всех Радоновые меры на некоторых локально компактная группа, где произведение двух мер равно свертка мер.^[2]

Контрпримеры

Алгебра кватернионы ${displaystyle mathbb {H} }$ является реальной банаховой алгеброй, но это не комплексная алгебра (и, следовательно, не комплексная банахова алгебра) по той простой причине, что центр кватернионов - это действительные числа, которые не могут содержать копию комплексных чисел.

Характеристики

Несколько элементарные функции которые определены через степенной ряд может быть определен в любой банаховой алгебре с единицей; примеры включают экспоненциальная функция и тригонометрические функции и вообще любые вся функция. (В частности, экспоненциальное отображение можно использовать для определения группы абстрактных индексов.) Формула для геометрическая серия остается верным в общих банаховых алгебрах с единицей. В биномиальная теорема также верно для двух коммутирующих элементов банаховой алгебры.

Набор обратимые элементы в любой банаховой алгебре с единицей является открытый набор, и операция обращения на этом множестве непрерывна (и, следовательно, является гомеоморфизмом), так что она образует топологическая группа при умножении.^[3]

Если в банаховой алгебре есть единица 1, тогда 1 не может быть коммутатор; т.е. ${displaystyle xy-yxeq mathbf {1} }$ для любого Икс, у ∈ А. Это потому что ху и yx имеют то же самое спектр кроме, возможно, 0.

Различные алгебры функций, приведенные в приведенных выше примерах, обладают очень разными свойствами от стандартных примеров алгебр, таких как вещественные числа. Например:

• Каждая реальная банахова алгебра, являющаяся алгебра с делением изоморфен вещественным числам, комплексам или кватернионам. Следовательно, единственная комплексная банахова алгебра, которая является алгеброй с делением, - это комплексы. (Это известно как Теорема Гельфанда – Мазура..)
• Всякая вещественная банахова алгебра с единицей без делители нуля, и в котором каждый главный идеал является закрыто, изоморфен вещественным числам, комплексам или кватернионам.^[4]
• Каждая коммутативная действительная единица Нётерян Банахова алгебра без делителей нуля изоморфна действительным или комплексным числам.
• Любая коммутативная вещественная нётерова банахова алгебра с единицей (возможно, имеющая делители нуля) конечномерна.
• Постоянно особые элементы в банаховых алгебрах - это топологические делители нуля, т.е.с учетом расширений B банаховых алгебр А некоторые элементы, которые являются сингулярными в данной алгебре А имеют мультипликативный обратный элемент в расширении банаховой алгебры B. Топологические делители нуля в А постоянно сингулярны в любом банаховом расширении B изА.

Спектральная теория

Основная статья: Спектральная теория

Унитальные банаховы алгебры над комплексным полем обеспечивают общую основу для развития спектральной теории. В спектр элемента Икс ∈ А, обозначаемый ${displaystyle sigma (x)}$, состоит из всех этих сложных скаляры λ такой, что Икс − λ1 не обратима в А. Спектр любого элемента Икс замкнутое подмножество замкнутого диска в C с радиусом ||Икс|| и центр 0, и, таким образом, компактный. Кроме того, спектр ${displaystyle sigma (x)}$ элемента Икс является непустой и удовлетворяет спектральный радиус формула:

${displaystyle sup{|lambda |:lambda in sigma (x)}=lim _{n o infty }|x^{n}|^{1/n}.}$

Данный Икс ∈ А, то голоморфное функциональное исчисление позволяет определить ƒ(Икс) ∈ А для любой функции ƒ голоморфный в районе ${displaystyle sigma (x).}$ Кроме того, верна теорема о спектральном отображении:

${displaystyle sigma (f(x))=f(sigma (x)).}$^[5]

Когда банахова алгебра А - алгебра L (Икс) линейных ограниченных операторов в комплексном банаховом пространстве Икс (например, алгебра квадратных матриц), понятие спектра в А совпадает с обычным в теория операторов. За ƒ ∈ C(Икс) (с компактным хаусдорфовым пространствомИкс), видно, что:

${displaystyle sigma (f)={f(t):tin X}.}$

Норма нормального элемента Икс C * -алгебры совпадает с ее спектральным радиусом. Это обобщает аналогичный факт для нормальных операторов.

Позволять А - комплексная банахова алгебра с единицей, в которой каждый ненулевой элемент Икс обратима (алгебра с делением). Для каждого а ∈ А, есть λ ∈ C такой, чтоа − λ1 не обратима (поскольку спектр а не пусто) следовательно а = λ1 : эта алгебра А естественно изоморфен C (комплексный случай теоремы Гельфанда – Мазура).

Идеалы и персонажи

Позволять А быть единым коммутативный Банахова алгебра над C. С А тогда коммутативное кольцо с единицей, каждый необратимый элемент А принадлежит некоторым максимальный идеал из А. Поскольку максимальный идеал ${displaystyle {mathfrak {m}}}$ в А закрыто, ${displaystyle A/{mathfrak {m}}}$ является банаховой алгеброй, которая является полем, и из теоремы Гельфанда – Мазура следует, что существует биекция между множеством всех максимальных идеалов А и множество Δ (А) всех ненулевых гомоморфизмов из А к C. Множество Δ (А) называется "структурное пространство "или" пространство символов " А, и его члены "персонажи".

Характер χ является линейным функционалом на А что в то же время мультипликативно, χ(ab) = χ(а) χ(б) и удовлетворяет χ(1) = 1. Каждый символ автоматически продолжается от А к C, так как ядро ​​характера является максимальным идеалом, который замкнут. Более того, норма (т.е., операторная норма) символа равна единице. Обладает топологией поточечной сходимости на А (т.е., топология, индуцированная слабой топологиейА^∗), пространство характеров Δ (А), является хаусдорфовым компактным пространством.

Для любого Икс ∈ А,

${displaystyle sigma (x)=sigma ({hat {x}})}$

куда ${displaystyle {hat {x}}}$ это Представительство Гельфанда из Икс определяется следующим образом: ${displaystyle {hat {x}}}$ - непрерывная функция из ∆ (А) к C данный ${displaystyle {hat {x}}(chi )=chi (x).}$ Спектр ${displaystyle {hat {x}},}$ в приведенной выше формуле - спектр как элемент алгебры C(Δ (А)) комплексных непрерывных функций на компакте ∆ (А). Ясно,

${displaystyle sigma ({hat {x}})={chi (x):chi in Delta (A)}}$.

В качестве алгебры унитальная коммутативная банахова алгебра полупростой (т.е. его Радикал Якобсона равен нулю) тогда и только тогда, когда его представление Гельфанда имеет тривиальное ядро. Важным примером такой алгебры является коммутативная C * -алгебра. Фактически, когда А является коммутативной унитальной C * -алгеброй, тогда представление Гельфанда является изометрическим * -изоморфизмом между А и C(Δ (А)) .^[а]

Банаховы * -алгебры

Банахова * -алгебра А является банаховой алгеброй над полем сложные числа вместе с картой *: А → А обладающий следующими свойствами:

1. (Икс*)* = Икс для всех Икс в А (так что карта инволюция ).
2. (Икс + у)* = Икс* + у* для всех Икс, у в А.
3. ${displaystyle (lambda x)^{*}={ar {lambda }}x^{*}}$ для любого λ из C и каждый Икс в А; здесь, ${displaystyle {ar {lambda }}}$ обозначает комплексно сопряженное к λ.
4. (ху)* = у* Икс* для всех Икс, у в А.

Другими словами, банахова * -алгебра - это банахова алгебра над ${displaystyle mathbb {C} }$ который также является *-алгебра.

В наиболее естественных примерах также считается, что инволюция изометрический, то есть,

||Икс*|| = ||Икс|| для всех Икс в А.

Некоторые авторы включают это изометрическое свойство в определение банаховой * -алгебры.

Смотрите также

• Примерная личность
• Гипотеза Капланского
• Операторная алгебра
• Шиловский рубеж

Примечания

1. Доказательство. Поскольку каждый элемент коммутативной C * -алгебры нормален, представление Гельфанда изометрично; в частности, он инъективен и его образ замкнут. Но образ представления Гельфанда плотен Теорема Стоуна – Вейерштрасса.

Рекомендации

1. Конвей 1990, Пример VII.1.8.
2. Конвей 1990, Пример VII.1.9.
3. Конвей 1990, Теорема VII.2.2.
4. Гарсия, Мигель Кабрера; Паласиос, Анхель Родригес (1995). "Новое простое доказательство теоремы Гельфанда-Мазура-Капланского". Труды Американского математического общества. 123 (9): 2663–2666. Дои:10.2307/2160559. ISSN  0002-9939.
5. Такэсаки 1979, Предложение 2.8.

• Боллобаш, B (1990). Линейный анализ. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-38729-9.
• Бонсалл, Ф.; Дункан, Дж. (1973). Полные нормированные алгебры. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  0-387-06386-2.
• Конвей, Дж. Б. (1990). Курс функционального анализа. Тексты для выпускников по математике. 96. Springer Verlag. ISBN  0-387-97245-5.
• Dales, H.G .; Aeina, P .; Eschmeier, J; Laursen, K .; Уиллис, Г. А. (2003). Введение в банаховы алгебры, операторы и гармонический анализ. Издательство Кембриджского университета. ISBN  0-521-53584-0.
• Мосак, Р. Д. (1975). Банаховы алгебры. Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета). ISBN  0-226-54203-3.
• Такесаки, М. (1979). Теория операторных алгебр I. Энциклопедия математических наук. 124 (1-е изд.). Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN  978-3-540-42248-8. ISSN  0938-0396.