Теорема Крейна – Рутмана. - Krein–Rutman theorem - Wikipedia

В функциональный анализ, то Теорема Крейна – Рутмана. является обобщением Теорема Перрона – Фробениуса к бесконечномерному Банаховы пространства.^[1] Это было доказано Крейн и Рутман в 1948 г.^[2]

Заявление

Позволять ${\displaystyle X}$ быть Банахово пространство, и разреши ${\displaystyle K\subset X}$ быть выпуклый конус такой, что ${\displaystyle K-K}$ является плотный в ${\displaystyle X}$, т.е. замыкание множества ${\displaystyle \{u-v:u,\,v\in K\}=X}$. ${\displaystyle K}$ также известен как общий конус. Позволять ${\displaystyle T:X\to X}$ быть ненулевым компактный оператор который положительный, означающий, что ${\displaystyle T(K)\subset K}$, и предположим, что его спектральный радиус ${\displaystyle r(T)}$ строго положительный.

потом ${\displaystyle r(T)}$ является собственное значение из ${\displaystyle T}$ с положительным собственный вектор, что означает, что существует ${\displaystyle u\in K\setminus {0}}$ такой, что ${\displaystyle T(u)=r(T)u}$.

Теорема де Пагтера

Если положительный оператор ${\displaystyle T}$ считается идеальным несводимый, а именно идеального ${\displaystyle J\neq 0}$,${\displaystyle X}$ такой, что ${\displaystyle TJ\subset J}$, то теорема де Пагтера^[3] утверждает, что ${\displaystyle r(T)>0}$.

Следовательно, для идеальных неприводимых операторов предположение ${\displaystyle r(T)>0}$ не нужен.

Рекомендации

1. Ду, Ю. (2006). «1. Теорема Крейна – Рутмана и главное собственное значение». Порядковая структура и топологические методы в нелинейных уравнениях с частными производными. Vol. 1. Максимальные принципы и приложения. Ряды по дифференциальным уравнениям с частными производными и приложениям. Hackensack, NJ: World Scientific Publishing Co. Pte. ООО ISBN  981-256-624-4. МИСТЕР  2205529.
2. Kreĭn, M.G .; Рутман, М.А. (1948). «Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в банаховом пространстве». Успехи Матем. Наук (Н.С.) (на русском). 3 (1(23)): 1–95. МИСТЕР  0027128.. Английский перевод: Kreĭn, M.G .; Рутман, М.А. (1950). «Линейные операторы, оставляющие инвариантным конус в банаховом пространстве». Амер. Математика. Soc. Перевод. 1950 (26). МИСТЕР  0038008.
3. де Пагтер, Б. (1986). «Неприводимые компактные операторы». Математика. Z. 192 (1): 149–153. Дои:10.1007 / bf01162028. МИСТЕР  0835399.