Слабая пара - Lax pair

В математика, в теории интегрируемые системы, а Слабая пара пара матриц, зависящих от времени, или операторы которые удовлетворяют соответствующему дифференциальное уравнение, называется Уравнение Лакса. Слабые пары были введены Питер Лакс обсуждать солитоны в непрерывные СМИ. В обратное преобразование рассеяния использует уравнения Лакса для решения таких систем.

Определение

Пара Лакса - это пара матриц или операторов ${displaystyle L(t),P(t)}$ зависит от времени и действует на фиксированном Гильбертово пространство, и удовлетворение Уравнение Лакса:

${displaystyle {frac {dL}{dt}}=[P,L]}$

куда ${displaystyle [P,L]=PL-LP}$ это коммутатор.Часто, как в примере ниже, ${displaystyle P}$ зависит от ${displaystyle L}$ заданным образом, так что это нелинейное уравнение для ${displaystyle L}$ как функция ${displaystyle t}$.

Изоспектральное свойство

Затем можно показать, что собственные значения и в более общем плане спектр из L не зависят от т. Матрицы / операторы L как говорят изоспектральный в качестве ${displaystyle t}$ меняется.

Основное наблюдение состоит в том, что матрицы ${displaystyle L(t)}$ все похожи в силу

${displaystyle L(t)=U(t,s)L(s)U(t,s)^{-1}}$

куда ${displaystyle U(t,s)}$ это решение Задача Коши

${displaystyle {frac {d}{dt}}U(t,s)=P(t)U(t,s),qquad U(s,s)=I,}$

куда я обозначает единичную матрицу. Обратите внимание, что если P (t) является косо-сопряженный, U (t, с) будет унитарный.

Другими словами, для решения проблемы собственных значений Lψ = λψ вовремя т, можно решить ту же проблему в момент времени 0, когда L, как правило, известно лучше, и распространить решение по следующим формулам:

${displaystyle lambda (t)=lambda (0)}$ (без изменений в спектре)

${displaystyle {frac {partial psi }{partial t}}=Ppsi .}$

Связь с методом обратной задачи рассеяния

Вышеуказанное свойство является основой метода обратной задачи. В этом методе L и п действовать на функциональное пространство (таким образом ψ = ψ (t, х)) и зависят от неизвестной функции и (т, х) который подлежит определению. Обычно предполагается, что и (0, х) известно, и что п не зависит от ты в области рассеяния, где ${displaystyle Vert xVert o infty }$Затем метод принимает следующую форму:

1. Вычислить спектр ${displaystyle L(0)}$, давая ${displaystyle lambda }$ и ${displaystyle psi (0,x)}$,
2. В области рассеяния, где ${displaystyle P}$ известно, размножаются ${displaystyle psi }$ вовремя, используя ${displaystyle {frac {partial psi }{partial t}}(t,x)=Ppsi (t,x)}$ с начальным условием ${displaystyle psi (0,x)}$,
3. Зная ${displaystyle psi }$ в области рассеяния вычислить ${displaystyle L(t)}$ и / или ${displaystyle u(t,x)}$.

Примеры

Уравнение Кортевега – де Фриза

В Уравнение Кортевега – де Фриза

${displaystyle u_{t}=6uu_{x}-u_{xxx}.,}$

можно переформулировать как уравнение Лакса

${displaystyle L_{t}=[P,L],}$

с

${displaystyle L=-partial _{x}^{2}+u,}$ (а Оператор Штурма – Лиувилля )

${displaystyle P=-4partial _{x}^{3}+6upartial _{x}+3u_{x},}$

где все производные действуют на все объекты справа. Этим объясняется бесконечное число первых интегралов уравнения КдФ.

Ковалевская наверху

В предыдущем примере использовалось бесконечномерное гильбертово пространство. Примеры также возможны с конечномерными гильбертовыми пространствами. К ним относятся Ковалевская наверху и обобщение, включающее электрическое поле ${displaystyle {vec {h}}}$.^[1]

${displaystyle {egin{aligned}L&={egin{pmatrix}g_{1}+h_{2}&g_{2}+h_{1}&g_{3}&h_{3}g_{2}+h_{1}&-g_{1}+h_{2}&h_{3}&-g_{3}g_{3}&h_{3}&-g_{1}-h_{2}&g_{2}-h_{1}h_{3}&-g_{3}&g_{2}-h_{1}&g_{1}+h_{2}end{pmatrix}}lambda ^{-1}&+{egin{pmatrix}0&0&-l_{2}&-l_{1}�&0&l_{1}&-l_{2}l_{2}&-l_{1}&-2lambda &-2l_{3}l_{1}&l_{2}&2l_{3}&2lambda end{pmatrix}}P&={frac {-1}{2}}{egin{pmatrix}0&-2l_{3}&l_{2}&l_{1}2l_{3}&0&-l_{1}&l_{2}-l_{2}&l_{1}&2lambda &2l_{3}+gamma -l_{1}&-l_{2}&-2l_{3}&-2lambda end{pmatrix}}end{aligned}}}$

Картинка Гейзенберга

в Картинка Гейзенберга из квантовая механика, наблюдаемый А без явного времени т зависимость удовлетворяет

${displaystyle {frac {d}{dt}}A(t)={frac {i}{hbar }}[H,A(t)],}$

с ЧАС то Гамильтониан и час сокращенный Постоянная Планка. Таким образом, помимо фактора, можно увидеть, что наблюдаемые (без явной зависимости от времени) на этой картине образуют пары Лакса вместе с гамильтонианом. В Картина Шредингера затем интерпретируется как альтернативное выражение в терминах изоспектральной эволюции этих наблюдаемых.

Дальнейшие примеры

Другие примеры систем уравнений, которые можно сформулировать как пару Лакса, включают:

• Уравнение Бенджамина – Оно
• Одномерная кубическая нелинейное уравнение Шредингера
• Система Дэйви – Стюартсона
• Интегрируемые системы с контактными парами Лакса^[2]
• Уравнение Кадомцева – Петвиашвили.
• Уравнение Кортевега – де Фриза
• KdV иерархия
• Модифицированное уравнение Кортевега – де Фриза
• Уравнение синус-Гордона
• Решетка Тоды
• Вершины Лагранжа, Эйлера и Ковалевской
• Преобразование Белинского – Захарова, в общей теории относительности.

Последнее примечательно, поскольку подразумевает, что оба Метрика Шварцшильда и Метрика Керра можно понимать как солитоны.

Рекомендации

1. Бобенко, А. И .; Reyman, A. G .; Семенов-Тян-Шанский, М.А. (1989). «Топ Ковалевского 99 лет спустя: пара Лакса, обобщения и явные решения». Коммуникации по математической физике. 122 (2): 321–354. Bibcode:1989CMaPh.122..321B. Дои:10.1007 / BF01257419. ISSN  0010-3616.
2. Сергеев А. Новые интегрируемые (3 + 1) -мерные системы и контактная геометрия. Математика. Phys. 108 (2018), нет. 2, 359-376, arXiv:1401.2122 Дои:10.1007 / s11005-017-1013-4

• Лакс, П. (1968), "Интегралы нелинейных уравнений эволюции и уединенных волн", Сообщения по чистой и прикладной математике, 21 (5): 467–490, Дои:10.1002 / cpa.3160210503 архив
• П. Лакс и Р.С. Филлипс, Теория рассеяния для автоморфных функций.[1] (1976) Princeton University Press.