Неограниченный оператор - Unbounded operator

В математика, более конкретно функциональный анализ и теория операторов, понятие неограниченный оператор предоставляет абстрактную основу для работы с дифференциальные операторы, неограниченный наблюдаемые в квантовой механике и других случаях.

Термин «неограниченный оператор» может вводить в заблуждение, поскольку

• «неограниченный» иногда следует понимать как «необязательно ограниченный»;
• "оператор" следует понимать как "линейный оператор "(как в случае" ограниченного оператора ");
• область определения оператора - линейное подпространство, не обязательно все пространство;
• это линейное подпространство не обязательно замкнуто; часто (но не всегда) он считается плотным;
• в частном случае ограниченного оператора, тем не менее, обычно предполагается, что область определения - это все пространство.

В отличие от ограниченные операторы, неограниченные операторы в данном пространстве не образуют ни алгебру, ни даже линейное пространство, потому что каждый из них определен в своей собственной области.

Термин «оператор» часто означает «ограниченный линейный оператор», но в контексте данной статьи он означает «неограниченный оператор» с оговорками, сделанными выше. Предполагается, что данное пространство является Гильбертово пространство.^{[требуется разъяснение ]} Некоторые обобщения Банаховы пространства и более общие топологические векторные пространства возможны.

Краткая история

Теория неограниченных операторов развивалась в конце 1920-х - начале 1930-х годов как часть разработки строгой математической основы для квантовая механика.^[1] Развитие теории связано с Джон фон Нейман^[2] и Маршалл Стоун.^[3] Фон Нейман представил использование графики для анализа неограниченных операторов в 1936 г.^[4]

Определения и основные свойства

Позволять Икс, Y быть Банаховы пространства. An неограниченный оператор (или просто оператор) Т : Икс → Y это линейная карта Т из линейного подпространства D(Т) ⊆ Икс - домен Т - в космос Y.^[5] Вопреки обычному соглашению, Т не может быть определен на всем пространстве Икс. Два оператора равны, если они имеют общий домен и совпадают в этом общем домене.^[5]

Оператор Т как говорят закрыто если это график Γ (Т) это закрытый набор.^[6] (Здесь график Γ (Т) является линейным подпространством прямая сумма Икс ⊕ Y, определяемый как множество всех пар (Икс, Tx), куда Икс проходит через область Т .) В явном виде это означает, что для каждой последовательности {Икс_п} точек из области Т такой, что Икс_п → Икс и Tx_п → у, считается, что Икс принадлежит домену Т и Tx = у.^[6] Замкнутость также можно сформулировать в терминах норма графика: оператор Т закрыто тогда и только тогда, когда его домен D(Т) это полное пространство относительно нормы:^[7]

${\displaystyle \|x\|_{T}={\sqrt {\|x\|^{2}+\|Tx\|^{2}}}.}$

Оператор Т как говорят плотно определенный если его домен плотный в Икс.^[5] Сюда также входят операторы, определенные для всего пространства Икс, поскольку все пространство плотно само по себе. Плотность области необходима и достаточна для существования сопряженного (если Икс и Y - гильбертовы пространства) и транспонированный; см. разделы ниже.

Если Т : Икс → Y замкнуто, плотно определено и непрерывный в его домене, то его домен Икс.^[8]

Плотно определенный оператор Т на Гильбертово пространство ЧАС называется ограниченный снизу если Т + а является положительным оператором для некоторого действительного числа а. Это, ⟨Tx|Икс⟩ ≥ −а ||Икс||² для всех Икс в области Т (или альтернативно ⟨Tx|Икс⟩ ≥ а ||Икс||² поскольку а произвольно).^[9] Если оба Т и −Т ограничены снизу, то Т ограничено.^[9]

Пример

Позволять C([0, 1]) обозначим пространство непрерывных функций на единичном интервале, и пусть C¹([0, 1]) обозначим пространство непрерывно дифференцируемых функций. Обустраиваем ${\displaystyle C([0,1])}$ с супремум-нормой, ${\displaystyle \|\cdot \|_{\infty }}$, что делает его банаховым пространством. Определим классический оператор дифференцирования d/dx : C¹([0, 1]) → C([0, 1]) по обычной формуле:

${\displaystyle \left({\frac {d}{dx}}f\right)(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}},\qquad \forall x\in [0,1].}$

Каждая дифференцируемая функция непрерывна, поэтому C¹([0, 1]) ⊆ C([0, 1]). Мы утверждаем, что d/dx : C([0, 1]) → C([0, 1]) - корректно определенный неограниченный оператор с областью определения C¹([0, 1]). Для этого нам нужно показать, что ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$ линейно, а затем, например, демонстрируют некоторые ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n}\subset C^{1}([0,1])}$ такой, что ${\displaystyle \|f_{n}\|_{\infty }=1}$ и ${\displaystyle \sup _{n}\|{\frac {d}{dx}}f_{n}\|_{\infty }=+\infty }$.

Это линейный оператор, поскольку линейная комбинация а ф + bg двух непрерывно дифференцируемых функций  ж , грамм также непрерывно дифференцируема, и

${\displaystyle \left({\tfrac {d}{dx}}\right)(af+bg)=a\left({\tfrac {d}{dx}}f\right)+b\left({\tfrac {d}{dx}}g\right).}$

Оператор не ограничен. Например,

${\displaystyle {\begin{cases}f_{n}:[0,1]\to [-1,1]\\f_{n}(x)=\sin(2\pi nx)\end{cases}}}$

удовлетворить

${\displaystyle \left\|f_{n}\right\|_{\infty }=1,}$

но

${\displaystyle \left\|\left({\tfrac {d}{dx}}f_{n}\right)\right\|_{\infty }=2\pi n\to \infty }$

так как ${\displaystyle n\to \infty }$.

Оператор плотно определен и замкнут.

Тот же оператор можно рассматривать как оператор Z → Z для многих вариантов банахового пространства Z и не быть ограниченным ни одним из них. В то же время его можно ограничить как оператор Икс → Y для других пар банаховых пространств Икс, Y, а также как оператор Z → Z для некоторых топологических векторных пространств Z.^{[требуется разъяснение ]} В качестве примера позвольте я ⊂ р быть открытым интервалом и рассмотреть

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}:\left(C^{1}(I),\|\cdot \|_{C^{1}}\right)\to \left(C(I),\|\cdot \|_{\infty }\right),}$

куда:

${\displaystyle \|f\|_{C^{1}}=\|f\|_{\infty }+\|f'\|_{\infty }.}$

Примыкающий

Сопряженный к неограниченному оператору можно определить двумя эквивалентными способами. Позволять Т : D(Т) ⊆ ЧАС₁ → ЧАС₂ - неограниченный оператор между гильбертовыми пространствами.

Во-первых, его можно определить аналогично тому, как определяют сопряженный к ограниченному оператору. А именно, сопряженная Т ^∗ : D(Т ^*) ⊆ ЧАС₂ → ЧАС₁ из Т определяется как оператор со свойством:

${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\left\langle x\mid T^{*}y\right\rangle _{1},\qquad x\in D(T).}$

Точнее, Т ^∗ определяется следующим образом. Если y ∈ ЧАС₂ таково, что ${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$ - линейный непрерывный функционал на области определения Т, тогда у объявлен элементом D(Т ^*) , а после распространения линейного функционала на все пространство через Теорема Хана – Банаха, можно найти z в ЧАС₁ такой, что

${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid z\rangle _{1},\qquad x\in D(T),}$

поскольку двойственный к гильбертову пространству можно отождествить с набором линейных функционалов, заданных внутренним произведением. Для каждого у, z определяется однозначно тогда и только тогда, когда расширенный линейный функционал был плотно определен; т.е. если Т плотно определен. Наконец, позволяя Т ^∗у = z завершает строительство Т ^∗.^[10] Обратите внимание, что Т ^∗ существует тогда и только тогда, когда Т плотно определен.

По определению, область Т ^∗ состоит из элементов у в ЧАС₂ такой, что ${\displaystyle x\mapsto \langle Tx\mid y\rangle }$ непрерывна в области определения Т. Следовательно, область Т ^∗ может быть что угодно; он может быть тривиальным (т.е. содержать только ноль).^[11] Может случиться так, что домен Т^∗ закрытый гиперплоскость и Т ^∗ исчезает везде в домене.^[12][13] Таким образом, ограниченность Т ^∗ на его области определения не влечет ограниченности Т. С другой стороны, если Т ^∗ определено на всем пространстве, то Т ограничен в области определения и поэтому может быть продолжен по непрерывности до ограниченного оператора на всем пространстве.^[14] Если домен Т ^∗ плотно, то к нему присоединяется Т ^∗∗.^[15] Замкнутый плотно определенный оператор Т ограничен тогда и только тогда, когда Т ^∗ ограничено.^[16]

Другое эквивалентное определение сопряженного можно получить, обратив внимание на общий факт. Определите линейный оператор J следующим образом:^[15]

${\displaystyle {\begin{cases}J:H_{1}\oplus H_{2}\to H_{2}\oplus H_{1}\\J(x\oplus y)=-y\oplus x\end{cases}}}$

С J - изометрическая сюръекция, она унитарна. Следовательно: J(Γ (Т))^⊥ график некоторого оператора S если и только если Т плотно определен.^[17] Несложный расчет показывает, что это «некоторые» S удовлетворяет:

${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle _{2}=\langle x\mid Sy\rangle _{1},}$

для каждого Икс в области Т. Таким образом, S примыкает к Т.

Из приведенного выше определения немедленно следует, что сопряженный Т ^∗ закрыто.^[15] В частности, самосопряженный оператор (т. Е. Т = Т ^∗) закрыто. Оператор Т замкнуто и плотно определено тогда и только тогда, когда Т ^∗∗ = Т.^[18]

Некоторые известные свойства ограниченных операторов обобщаются на замкнутые плотно определенные операторы. Ядро замкнутого оператора замкнуто. Более того, ядро ​​замкнутого плотно определенного оператора Т : ЧАС₁ → ЧАС₂ совпадает с ортогональным дополнением к образу присоединенного. Это,^[19]

${\displaystyle \operatorname {ker} (T)=\operatorname {ran} (T^{*})^{\bot }.}$

Теорема фон Неймана утверждает, что Т ^∗Т и TT ^∗ самосопряжены, и что я + Т ^∗Т и я + TT ^∗ оба имеют ограниченные обратные.^[20] Если Т ^∗ имеет тривиальное ядро, Т имеет плотный диапазон (по указанному выше тождеству). Более того:

Т сюръективен тогда и только тогда, когда существует K > 0 такой, что || ж ||₂ ≤ K ||Т ^∗ж ||₁ для всех  ж  в D(Т ^∗).^[21] (По сути, это вариант так называемого теорема о замкнутом диапазоне.) Особенно, Т имеет закрытый диапазон тогда и только тогда, когда Т ^∗ имеет закрытый диапазон.

В отличие от ограниченного случая, необязательно, чтобы (TS)^∗ = S ^∗Т ^∗, поскольку, например, возможно даже, что (TS)^∗ не существует.^{[нужна цитата ]} Однако это так, если, например, Т ограничено.^[22]

Плотно определенный замкнутый оператор Т называется нормальный если он удовлетворяет следующим эквивалентным условиям:^[23]

• Т ^∗Т = TT ^∗;
• область Т совпадает с областью Т ^∗, и ||Tx|| = ||Т ^∗Икс|| для каждого Икс в этом домене;
• существуют самосопряженные операторы А, B такой, что Т = А + iB, Т^∗ = А – iB, и ||Tx||²= ||Топор||² + ||Bx||² для каждого Икс в области Т.

Каждый самосопряженный оператор нормален.

Транспонировать

Позволять Т : B₁ → B₂ - оператор между банаховыми пространствами. Тогда транспонировать (или же двойной) ${\displaystyle T':{B_{2}}^{*}\to {B_{1}}^{*}}$ из Т оператор, удовлетворяющий:

${\displaystyle \langle Tx,y'\rangle =\langle x,T'y'\rangle }$

для всех Икс в B₁ и у в B₂^*. Здесь мы использовали обозначения: ${\displaystyle \langle x,x'\rangle =x'(x)}$.^[24]

Необходимое и достаточное условие для транспонирования Т существовать - это то, что Т плотно определено (по существу по той же причине, что и для сопряженных, как обсуждалось выше).

Для любого гильбертова пространства ЧАС, существует антилинейный изоморфизм:

${\displaystyle J:H^{*}\to H}$

данный Jf = у куда ${\displaystyle f(x)=\langle x\mid y\rangle _{H},(x\in H)}$. Благодаря этому изоморфизму транспонированная Т^' относится к сопряженным Т^∗ следующим образом:

${\displaystyle T^{*}=J_{1}T'J_{2}^{-1}}$,^[25]

куда ${\displaystyle J_{j}:H_{j}^{*}\to H_{j}}$. (Для конечномерного случая это соответствует тому факту, что сопряженная матрица является сопряженным транспонированием.) Обратите внимание, что это дает определение сопряженного в терминах транспонирования.

Замкнутые линейные операторы

Основная статья: Замкнутый линейный оператор

Замкнутые линейные операторы представляют собой класс линейные операторы на Банаховы пространства. Они более общие, чем ограниченные операторы, и поэтому не обязательно непрерывный, но они по-прежнему сохраняют достаточно хорошие свойства, чтобы можно было определить спектр и (при определенных предположениях) функциональное исчисление для таких операторов. Многие важные линейные операторы, которые не могут быть ограничены, оказываются замкнутыми, например производная и большой класс дифференциальные операторы.

Позволять Икс, Y быть двумя Банаховы пространства. А линейный оператор А : D(А) ⊆ Икс → Y является закрыто если для каждого последовательность {Икс_п} в D(А) сходящийся к Икс в Икс такой, что Топор_п → у ∈ Y так как п → ∞ надо Икс ∈ D(А) и Топор = у. Эквивалентно, А закрывается, если его график является закрыто в прямая сумма Икс ⊕ Y.

Учитывая линейный оператор А, не обязательно замкнутый, если замыкание его графика в Икс ⊕ Y оказывается графиком некоторого оператора, этот оператор называется закрытие из А, и мы говорим, что А является закрываемый. Обозначим закрытие А к А. Следует, что А это ограничение из А к D(А).

А основной (или же основной домен) закрываемого оператора является подмножество C из D(А) таким образом, что закрытие ограничения А к C является А.

Пример

Рассмотрим производная оператор А = d/dx куда Икс = Y = C([а, б]) банахово пространство всех непрерывные функции на интервал [а, б]. Если взять его домен D(А) быть C¹([а, б]), тогда А - замкнутый оператор, который не ограничен.^[26] С другой стороны, если D(А) = C^∞([а, б]), тогда А больше не будет закрыто, но будет закрытым, причем закрытие будет его расширением, определенным на C¹([а, б]).

Симметричные операторы и самосопряженные операторы

Основная статья: Самосопряженный оператор

Оператор Т в гильбертовом пространстве есть симметричный если и только если для каждого Икс и у в области Т у нас есть ${\displaystyle \langle Tx\mid y\rangle =\langle x\mid Ty\rangle }$. Плотно определенный оператор Т симметричен тогда и только тогда, когда он согласуется со своим сопряженным Т^∗ ограничено областью Т, другими словами, когда Т^∗ является продолжением Т.^[27]

В общем, если Т плотно определен и симметричен, область сопряженного Т^∗ не обязательно равняться области Т. Если Т симметрична и область определения Т и области сопряженного совпадают, то говорят, что Т является самосопряженный.^[28] Обратите внимание, что когда Т самосопряженный, из существования сопряженного следует, что Т плотно определено и поскольку Т^∗ обязательно закрыто, Т закрыто.

Плотно определенный оператор Т является симметричный, если подпространство Γ (Т) (определенный в предыдущем разделе) ортогонален своему изображению J(Γ (Т)) под J (куда J(Икс,у):=(у,-Икс)).^[29]

Эквивалентно оператор Т является самосопряженный если он плотно определен, замкнут, симметричен и удовлетворяет четвертому условию: оба оператора Т – я, Т + я сюръективны, то есть отображать область определения Т на все пространство ЧАС. Другими словами: для каждого Икс в ЧАС существуют у и z в области Т такой, что Ty – иу = Икс и Tz + iz = Икс.^[30]

Оператор Т является самосопряженный, если два подпространства Γ (Т), J(Γ (Т)) ортогональны и их сумма равна всему пространству ${\displaystyle H\oplus H.}$^[15]

Этот подход не распространяется на неплотно определенные замкнутые операторы. Неплотно определенные симметрические операторы могут быть определены напрямую или через графы, но не через сопряженные операторы.

Симметричный оператор часто изучается через его Преобразование Кэли.

Оператор Т на комплексном гильбертовом пространстве симметрично тогда и только тогда, когда его квадратичная форма действительна, то есть число ${\displaystyle \langle Tx\mid x\rangle }$ реально для всех Икс в области Т.^[27]

Плотно определенный замкнутый симметричный оператор Т самосопряжен тогда и только тогда, когда Т^∗ симметрично.^[31] Может случиться так, что это не так.^[32][33]

Плотно определенный оператор Т называется положительный^[9] (или же неотрицательный^[34]), если его квадратичная форма неотрицательна, т. е. ${\displaystyle \langle Tx\mid x\rangle \geq 0}$ для всех Икс в области Т. Такой оператор обязательно симметричен.

Оператор Т^∗Т самосопряжен^[35] и положительный^[9] для каждого плотно определенного, замкнутого Т.

В спектральная теорема применяется к самосопряженным операторам ^[36] и более того, нормальным операторам^[37][38] но не к плотно определенным замкнутым операторам вообще, поскольку в этом случае спектр может быть пустым.^[39][40]

Симметричный оператор, определенный всюду, замкнут, поэтому ограничен,^[6] какой Теорема Хеллингера – Теплица.^[41]

Связанные с расширением

Смотрите также: Расширения симметричных операторов

По определению оператор Т является расширение оператора S если Γ (S) ⊆ Γ (Т).^[42] Эквивалентное прямое определение: для каждого Икс в области S, Икс принадлежит домену Т и Sx = Tx.^[5][42]

Обратите внимание, что для каждого оператора существует всюду определенное расширение, что является чисто алгебраическим фактом, объясненным в Разрывное линейное отображение # Общая теорема существования и на основе аксиома выбора. Если данный оператор не ограничен, то расширение является разрывная линейная карта. От него мало пользы, так как он не может сохранить важные свойства данного оператора (см. Ниже) и обычно не уникален.

Оператор Т называется закрываемый если он удовлетворяет следующим эквивалентным условиям:^[6][42][43]

• Т имеет закрытую пристройку;
• замыкание графика Т - график некоторого оператора;
• для каждой последовательности (Икс_п) точек из области определения Т такой, что Икс_п → 0, а также Tx_п → у он считает, что у = 0.

Не все операторы закрываются.^[44]

Закрытый оператор Т имеет наименее закрытое расширение ${\displaystyle {\overline {T}}}$ называется закрытие из Т. Замыкание графика Т равен графику ${\displaystyle {\overline {T}}.}$^[6][42]

Могут существовать другие, неминимальные замкнутые расширения.^[32][33]

Плотно определенный оператор Т закрывается тогда и только тогда, когда Т^∗ плотно определен. В таком случае ${\displaystyle {\overline {T}}=T^{**}}$ и ${\displaystyle ({\overline {T}})^{*}=T^{*}.}$^[15][45]

Если S плотно определен и Т является продолжением S тогда S^∗ является продолжением Т^∗.^[46]

Каждый симметричный оператор замыкаем.^[47]

Симметричный оператор называется максимальная симметричная если он не имеет симметричных расширений, кроме самого себя.^[27]

Каждый самосопряженный оператор максимально симметричен.^[27] Обратное неверно.^[48]

Оператор называется по существу самосопряженный если его замыкание самосопряженное.^[47]

Оператор по существу самосопряженный тогда и только тогда, когда он имеет одно и только одно самосопряженное расширение.^[31]

Симметричный оператор может иметь более одного самосопряженного расширения и даже континуум из них.^[33]

Плотно определенный симметричный оператор Т по существу самосопряжен тогда и только тогда, когда оба оператора Т – я, Т + я имеют плотный ассортимент.^[49]

Позволять Т - плотно определенный оператор. Обозначая отношение "Т является продолжением S" к S ⊂ Т (обычное сокращение для Γ (S) ⊆ Γ (Т)) имеем следующее.^[50]

• Если Т симметрично, то Т ⊂ Т^∗∗ ⊂ Т^∗.
• Если Т замкнуто и симметрично, то Т = Т^∗∗ ⊂ Т^∗.
• Если Т самосопряжен, то Т = Т^∗∗ = Т^∗.
• Если Т существенно самосопряжен, то Т ⊂ Т^∗∗ = Т^∗.

Важность самосопряженных операторов

Класс самосопряженные операторы особенно важен в математической физике. Каждый самосопряженный оператор плотно определен, замкнут и симметричен. Обратное верно для ограниченных операторов, но в общем случае неверно. Самосопряженность существенно более ограничивает, чем эти три свойства. Известный спектральная теорема для самосопряженных операторов. В комбинации с Теорема Стоуна об однопараметрических унитарных группах он показывает, что самосопряженные операторы являются в точности инфинитезимальными генераторами сильно непрерывных однопараметрических унитарных групп, см. Самосопряженный оператор # Самосопряженные расширения в квантовой механике. Такие унитарные группы особенно важны для описания эволюция во времени в классической и квантовой механике.

Смотрите также

• Гильбертово пространство # Неограниченные операторы
• Теорема Стоуна – фон Неймана
• Ограниченный оператор

Примечания

1. Рид и Саймон 1980, Примечания к главе VIII, стр. 305
2. фон Нейман, Дж. (1930), "Allgemeine Eigenwerttheorie Hermitescher Functionaloperatoren (Общая теория собственных значений эрмитовых функциональных операторов)", Mathematische Annalen, 102 (1): 49–131, Дои:10.1007 / BF01782338
3. Стоун, Маршалл Харви (1932). Линейные преобразования в гильбертовом пространстве и их приложения к анализу. Перепечатка издания 1932 г.. Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-7452-3.
4. фон Нейман, Дж. (1936), "Über Adjungierte Funktionaloperatore (О сопряженных функциональных операторах)", Анналы математики, Вторая серия, 33 (2): 294–310, Дои:10.2307/1968331, JSTOR  1968331
5. Педерсен 1989, 5.1.1
6. Педерсен 1989, 5.1.4
7. Березанский, Sheftel & Us 1996, стр. 5
8. Предполагать ж_j последовательность в области определения Т что сходится к грамм ∈ Икс. С Т равномерно непрерывна на своей области определения, Tf_j является Коши в Y. Таким образом, ( ж_j , Т ф_j ) является Коши и поэтому сходится к некоторому ( ж , Т ф ) поскольку график Т закрыто. Следовательно,  ж  = грамм, а область Т закрыто.
9. Педерсен 1989, 5.1.12
10. Проверяя, что Т ^∗ линейно тривиально.
11. Березанский, Sheftel & Us 1996, Пример 3.2 на стр. 16
12. Рид и Саймон 1980, стр. 252
13. Березанский, Sheftel & Us 1996, Пример 3.1 на стр. 15
14. Доказательство: будучи закрытым, везде определенное Т ^∗ ограничен, что влечет ограниченность Т ^∗∗, последнее является закрытием Т. Смотрите также (Педерсен 1989, 2.3.11) для случая всюду определенных Т.
15. Педерсен 1989, 5.1.5
16. Доказательство: Т ^∗∗ = Т. Так что если Т ^∗ ограничен, то присоединенный к нему Т ограничено.
17. Березанский, Sheftel & Us 1996, стр. 12
18. Доказательство: если Т замкнуто плотно определено, то Т ^∗ существует и плотно определен. Таким образом, Т ^∗∗ существуют. График Т плотно в графе Т ^∗∗; следовательно, Т = Т ^∗∗. И наоборот, поскольку существование Т ^∗∗ означает, что Т ^∗, что, в свою очередь, означает Т плотно определен. С Т ^∗∗ закрыто, Т плотно определен и замкнут.
19. Брезис, стр.28.
20. Йошида, с. 200.
21. Если Т сюръективно, то Т : (кер Т)^⊥ → ЧАС₂ имеет ограниченный обратный, обозначаемый S. Тогда оценка следует, поскольку

    ${\displaystyle \|f\|_{2}^{2}=\left|\langle TSf\mid f\rangle _{2}\right|\leq \|S\|\|f\|_{2}\left\|T^{*}f\right\|_{1}}$

    Наоборот, предположим, что оценка верна. С Т ^∗ имеет закрытый диапазон, это тот случай, когда побежал (Т) = побежал (TT ^*). С побежал (Т) плотно, достаточно показать, что TT ^∗ имеет закрытый диапазон. Если TT ^∗ ж_j  сходится, то  ж_j  сходится по оценке, поскольку

    ${\displaystyle \|T^{*}f_{j}\|_{1}^{2}=|\langle T^{*}f_{j}\mid T^{*}f_{j}\rangle _{1}|\leq \|TT^{*}f_{j}\|_{2}\|f_{j}\|_{2}.}$

    Сказать,  ж_j  → грамм. С TT ^∗ самосопряженный; таким образом, замкнутый (теорема фон Неймана), TT ^∗ ж_j  → TT ^∗ грамм. QED
22. Ёсида, стр.195.
23. Педерсен 1989, 5.1.11
24. Ёсида, стр.193.
25. Ёсида, стр. 196.
26. Крейсциг, Эрвин (1978). Вводный функциональный анализ с приложениями. США: John Wiley & Sons. Inc. стр. 294. ISBN  0-471-50731-8.
27. Педерсен 1989, 5.1.3
28. Като 1995, 5.3.3
29. Следует из (Педерсен 1989, 5.1.5) и определение через сопряженные операторы.
30. Педерсен 1989, 5.2.5
31. Рид и Саймон 1980, стр. 256
32. Педерсен 1989, 5.1.16
33. Рид и Саймон 1980, Пример на страницах 257-259
34. Березанский, Sheftel & Us 1996, стр.25
35. Педерсен 1989, 5.1.9
36. Педерсен 1989, 5.3.8
37. Березанский, Sheftel & Us 1996, стр.89
38. Педерсен 1989, 5.3.19
39. Рид и Саймон 1980, Пример 5 на странице 254
40. Педерсен 1989, 5.2.12
41. Рид и Саймон 1980, стр. 84
42. Рид и Саймон 1980, стр. 250
43. Березанский, Sheftel & Us 1996, стр. 6,7
44. Березанский, Sheftel & Us 1996, стр. 7
45. Рид и Саймон 1980, стр. 253
46. Педерсен 1989, 5.1.2
47. Педерсен 1989, 5.1.6
48. Педерсен 1989, 5.2.6
49. Рид и Саймон 1980, стр. 257
50. Рид и Саймон 1980, страницы 255, 256

Рекомендации

• Березанский, Ю.М. Шефтель, З.Г .; Ус, Г.Ф. (1996), Функциональный анализ, II, Биркхойзер (см. главу 12 «Общая теория неограниченных операторов в гильбертовых пространствах»).
• Брезис, Хаим (1983), Анализируйте fonctionnelle - Théorie et applications (на французском), Париж: Мейсон
• «Неограниченный оператор», Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Холл, B.C. (2013), "Глава 9. Неограниченные самосопряженные операторы", Квантовая теория для математиков, Тексты для выпускников по математике, 267, Спрингер, ISBN  978-1461471158
• Като, Тосио (1995), "Глава 5. Операторы в гильбертовом пространстве", Теория возмущений для линейных операторов, Классика математики, Springer-Verlag, ISBN  3-540-58661-X
• Педерсен, Герт К. (1989), Анализ сейчас, Springer (см. главу 5 «Неограниченные операторы»).
• Рид, Майкл; Саймон, Барри (1980), Методы современной математической физики, 1: Функциональный анализ (перераб. И доп. Ред.), Academic Press. (см. главу 8 «Неограниченные операторы»).
• Тешл, Джеральд (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шредингера. Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-4660-5.
• Ёсида, Косаку (1980), Функциональный анализ (шестое изд.), Springer

В эту статью включены материалы оператора Closed по PlanetMath, который находится под лицензией Лицензия Creative Commons Attribution / Share-Alike.