Родоядный набор - Bornivorous set

В функциональный анализ, подмножество реального или комплексного векторного пространства Икс который имеет связанный вектор борнологии ℬ называется рожденоядный и рожденное животное если оно поглощает каждый элемент ℬ. Если Икс это топологическое векторное пространство (TVS) затем подмножество S из Икс является рожденоядный если он рожденяден по отношению к борнология фон Неймана Икс.

Рождоядные множества играют важную роль в определениях многих классов топологических векторных пространств (например, Борнологические пространства ).

Определения

Если Икс является TVS, то подмножество S из Икс называется рожденоядный[1] и рожденное животное если S поглощает каждый ограниченное подмножество из Икс.

An поглощающий диск в локально выпуклый пространство рожденоядным тогда и только тогда, когда его Функционал Минковского локально ограничен (т.е. отображает ограниченные множества в ограниченные множества).[1]

Инфрабоядные множества и неограниченные карты

Линейная карта между двумя TVS называется неограниченный если это отображается Банаховые диски на ограниченные диски.[2]

Диск в Икс называется беспороядный если оно поглощает каждый Банаховый диск.[3]

An поглощающий диск в локально выпуклый пространство инфрабоядно тогда и только тогда, когда его Функционал Минковского бесконтрольно.[1]

Диск в Хаусдорфе локально выпуклый пространство инфрабоядно тогда и только тогда, когда оно поглощает все компакт-диски (т. е. "компактно").[1]

Характеристики

Каждая родоядная и инфрабоядная подгруппа TVS является поглощающий. В псевдометризуемый TVS, каждое рожденное животное - это район происхождения.[4]

Две топологии TVS в одном векторном пространстве имеют одни и те же ограниченные подмножества тогда и только тогда, когда у них одни и те же животные.[5]

Предполагать M - векторное подпространство конечной коразмерности в локально выпуклом пространстве Икс и B ⊆ M. Если B это бочка (соотв. рожденоядный ствол, борноядный диск) в M тогда существует бочка (соотв. бочонок, бочонок) C в Икс такой, что B = C ∩ M.[6]

Примеры и достаточные условия

Каждый район происхождения ТВС рожденоядным. Выпуклая оболочка, замкнутая выпуклая оболочка и сбалансированный корпус рождоядного множества снова рожденооядного. Прообраз животного при ограниченной линейной карте - это животное.[7]

Если Икс является TVS, в которой каждое ограниченное подмножество содержится в конечномерном векторном подпространстве, тогда каждое поглощающее множество является рожденным.[5]

Контрпримеры

Позволять Икс быть как векторное пространство над вещественными числами. Если S является сбалансированной оболочкой замкнутого отрезка прямой между (-1, 1) и (1, 1), то S не рожденоядным, но выпуклая оболочка S рожденоядным. Если Т замкнутый и «заполненный» треугольник с вершинами (-1, -1), (-1, 1) и (1, 1), то Т представляет собой выпуклое множество, которое не является рожденноядным, но его сбалансированная оболочка является рожденноядной.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c d Наричи и Бекенштейн 2011 С. 441-457.
  2. ^ Наричи и Бекенштейн 2011, п. 442.
  3. ^ Наричи и Бекенштейн 2011, п. 443.
  4. ^ Наричи и Бекенштейн 2011 С. 172-173.
  5. ^ а б Виланский 2013, п. 50.
  6. ^ Наричи и Бекенштейн 2011 С. 371-423.
  7. ^ Виланский 2013, п. 48.

Библиография