Дифференцирование в пространствах Фреше. - Differentiation in Fréchet spaces

В математика, в частности в функциональный анализ и нелинейный анализ, можно определить производная функции между двумя Пространства фреше. Это понятие дифференциации, как оно есть Производная Гато между пространствами Фреше значительно слабее, чем производная в банаховом пространстве даже между общими топологические векторные пространства. Тем не менее, это самое слабое понятие дифференцирования, для которого многие известные теоремы из исчисление держать. В частности, Правило цепи правда. С некоторыми дополнительными ограничениями на пространства Фреше и задействованные функции существует аналог теорема об обратной функции называется Теорема Нэша – Мозера об обратной функции, имеющий широкое применение в нелинейном анализе и дифференциальная геометрия.

Математические детали

Формально определение дифференциации идентично определению Производная Гато. В частности, пусть Икс и Y - пространства Фреше, UИкс быть открытый набор, и F : UY быть функцией. Производная по направлению от F в направлении vИкс определяется

если предел существует. Один говорит, что F непрерывно дифференцируема, или C1 если предел существует для всех v ∈ Икс и отображение

DF:U Икс ИксY

это непрерывный карта.

Производные высших порядков определяются индуктивно через

Функция называется Ck если DkF : U Икс Икс Икс Иксх ... х ИксY непрерывно. это C, или же гладкий если это Ck для каждого k.

Характеристики

Позволять Икс, Y, и Z - пространства Фреше. Предположим, что U открытое подмножество Икс, V открытое подмножество Y, и F : UV, грамм : VZ пара C1 функции. Тогда имеют место следующие свойства:

Если отрезок от а к б полностью лежит внутри U, тогда
.
D(грамм о F)(ты)Икс = DG(F(ты))DF(ты)Икс для всех ты ε U и Икс ε Икс.
DF(ты)Икс линейно по Икс.[нужна цитата ] В более общем смысле, если F является Ck, тогда DF(ты){Икс1,...,Иксk} является полилинейным по x.
  • Теорема Тейлора с остатком.
Предположим, что отрезок между ты ε U и u + h полностью лежит внутри U. Если F является Ck тогда
где остаточный член равен
  • Коммутативность производных по направлению. Если F является Ck, тогда
для каждого перестановка σ из {1,2, ..., k}.

Доказательства многих из этих свойств основаны на том факте, что можно определить Интеграл Римана непрерывных кривых в пространстве Фреше.

Гладкие сопоставления

Удивительно, но отображение между открытым подмножеством пространств Фреше является гладким (бесконечно часто дифференцируемым), если оно переводит гладкие кривые в гладкие; видеть Удобный анализ Более того, гладкие кривые в пространствах гладких функций - это просто гладкие функции от одной переменной.

Последствия в дифференциальной геометрии

Существование цепного правила позволяет определить многообразие по образцу пространства Фреше: Многообразие Фреше. Кроме того, из линейности производной следует, что существует аналог касательный пучок для многообразий Фреше.

Приручить пространства Фреше

Часто пространства Фреше, возникающие в практических приложениях производной, обладают дополнительным свойством: они приручить. Грубо говоря, ручное пространство Фреше - это почти Банахово пространство. В ручных пространствах можно определить предпочтительный класс отображений, известный как ручные карты. В категории ручных пространств под ручными картами основная топология достаточно сильна, чтобы поддерживать полноценную теорию дифференциальная топология. В этом контексте справедливо и много других техник исчисления. В частности, существуют версии теорем об обратной и неявной функции.

Рекомендации

  • Гамильтон, Р.С. (1982). "Теорема Нэша и Мозера об обратной функции". Бык. Амер. Математика. Soc. 7 (1): 65–222. Дои:10.1090 / S0273-0979-1982-15004-2. МИСТЕР  0656198.