Теорема об обратной функции - Inverse function theorem

В математика, конкретно дифференциальное исчисление, то теорема об обратной функции дает достаточное условие для функция быть обратимый в район точки в ее домен: а именно, что это производная непрерывна и отлична от нуля в точке. Теорема также дает формула для производная из обратная функция.В многомерное исчисление, эту теорему можно обобщить на любые непрерывно дифференцируемый, вектор-функция чей Определитель якобиана отличен от нуля в какой-либо точке своей области определения, что дает формулу для Матрица якобиана обратного. Существуют также версии теоремы об обратной функции для сложный голоморфные функции, для различимых карт между коллекторы, для дифференцируемых функций между Банаховы пространства, и так далее.

Заявление

Для функций одиночного Переменная, теорема утверждает, что если ${\displaystyle f}$ это непрерывно дифференцируемый функция с ненулевой производной в точке а; тогда ${\displaystyle f}$ обратима в окрестности аобратная функция непрерывно дифференцируема, а производная обратной функции при ${\displaystyle b=f(a)}$ является обратной производной от ${\displaystyle f}$ в ${\displaystyle a}$:

${\displaystyle {\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(b)={\frac {1}{f'(a)}}={\frac {1}{f'(f^{-1}(b))}}.}$

Альтернативная версия, которая предполагает, что ${\displaystyle f}$ является непрерывный и инъективный возле а, и дифференцируемо а с ненулевой производной, также приведет к ${\displaystyle f}$ быть обратимым рядом а, с обратным, которое так же непрерывно и инъективно, и где также применима приведенная выше формула.^[1]

Как следствие, мы ясно видим, что если ${\displaystyle f}$ является ${\displaystyle k}$-й дифференцируемый, с ненулевой производной в точке а, тогда ${\displaystyle f}$ обратима в окрестности а, обратное также ${\displaystyle k}$-й дифференцируемый. Здесь ${\displaystyle k}$ положительное целое число или ${\displaystyle \infty }$.

Для функций более чем одной переменной теорема утверждает, что если F это непрерывно дифференцируемый функция из открытого набора ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\!}$ в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\!}$, а полная производная обратима в точке п (т.е. Якобиан определитель F в п не равно нулю), то F обратим рядом п: an обратная функция к F определено на некоторых район из ${\displaystyle q=F(p)\!}$.Письмо ${\displaystyle F=(F_{1},\ldots ,F_{n})\!}$, это означает, что система п уравнения ${\displaystyle y_{i}=F_{i}(x_{1},\dots ,x_{n})\!}$ имеет уникальное решение для ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\!}$ с точки зрения ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}\!}$при условии, что мы ограничиваем Икс и у в достаточно небольшие районы п и qсоответственно. В бесконечномерном случае теорема требует дополнительного предположения, что Производная Фреше из F в п имеет ограниченный обратный.

Наконец, теорема говорит, что обратная функция ${\displaystyle F^{-1}\!}$ непрерывно дифференцируема, а ее производная Якоби в точке ${\displaystyle q=F(p)\!}$ это матрица обратная якобиана F в п:

${\displaystyle J_{F^{-1}}(q)=[J_{F}(p)]^{-1}.}$

Сложная часть теоремы - это существование и дифференцируемость ${\displaystyle F^{-1}\!}$. При этом формула обратной производной следует из Правило цепи применительно к ${\displaystyle F^{-1}\circ F={\text{id}}}$:

${\displaystyle I=J_{F^{-1}\circ F}(p)\ =\ J_{F^{-1}}(F(p))\cdot J_{F}(p)\ =\ J_{F^{-1}}(q)\cdot J_{F}(p).}$

Пример

Рассмотрим вектор-функция ${\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}\!}$ определяется:

${\displaystyle F(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\\\end{bmatrix}}.}$

Матрица Якоби:

${\displaystyle J_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}}$

с определителем Якоби:

${\displaystyle \det J_{F}(x,y)=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y=e^{2x}.\,\!}$

Определитель ${\displaystyle e^{2x}\!}$ везде отличен от нуля. Таким образом, теорема гарантирует, что для каждой точки п в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\!}$, существует окрестность около п в течение которого F обратимо. Это не значит F обратима во всей своей области: в этом случае F даже не инъективный поскольку он периодический: ${\displaystyle F(x,y)=F(x,y+2\pi )\!}$.

Контрпример

Функция ${\displaystyle f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})}$ ограничена внутри квадратичной оболочки вблизи прямой ${\displaystyle y=x}$, так ${\displaystyle f'(0)=1}$. Тем не менее, у него есть локальные точки макс / мин, накапливающиеся в ${\displaystyle x=0}$, поэтому он не является взаимно однозначным на любом окружающем интервале.

Если отказаться от предположения о непрерывности производной, функция больше не должна быть обратимой. Например ${\displaystyle f(x)=x+2x^{2}\sin({\tfrac {1}{x}})}$ и ${\displaystyle f(0)=0}$ имеет разрывную производную${\displaystyle f'\!(x)=1-2\cos({\tfrac {1}{x}})+4x\sin({\tfrac {1}{x}})}$ и ${\displaystyle f'\!(0)=1}$, которая обращается в нуль сколь угодно близко к ${\displaystyle x=0}$. Эти критические точки являются локальными точками максимума / минимума ${\displaystyle f}$, так ${\displaystyle f}$ не взаимно однозначно (и необратимо) ни на каком интервале, содержащем ${\displaystyle x=0}$. Интуитивно понятно, что наклон ${\displaystyle f'\!(0)=1}$ не распространяется на близлежащие точки, где склоны регулируются слабыми, но быстрыми колебаниями.

Методы доказательства

В качестве важного результата теорема об обратной функции получила многочисленные доказательства. Доказательство, которое чаще всего встречается в учебниках, основано на сжатие карт принцип, также известный как Теорема Банаха о неподвижной точке (что также можно использовать как ключевой шаг в доказательстве существование и уникальность решений для обыкновенные дифференциальные уравнения ).^[2][3]

Поскольку теорема о неподвижной точке применима в бесконечномерном (банаховом пространстве) пространстве, это доказательство немедленно обобщается на бесконечномерную версию теоремы об обратной функции^[4] (видеть Обобщения ниже).

Альтернативное доказательство в конечных размерах зависит от теорема об экстремальном значении для функций на компактный набор.^[5]

Еще одно доказательство использует Метод Ньютона, который имеет то преимущество, что эффективная версия теоремы: из оценок производной функции следует оценка размера окрестности, в которой функция обратима.^[6]

Доказательство теоремы об обратной функции

В теорема об обратной функции заявляет, что если ${\displaystyle f}$ это C¹ вектор-функция на открытом множестве ${\displaystyle U}$, тогда ${\displaystyle \det f^{\prime }(a)\neq 0}$ тогда и только тогда, когда существует C¹ вектор-функция ${\displaystyle g}$ определяется рядом ${\displaystyle b=f(a)}$ с ${\displaystyle g(f(x))=x}$ возле ${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle f(g(y))=y}$ возле ${\displaystyle b}$. Это было впервые установлено Пикард и Goursat используя итеративную схему: основная идея - доказать теорема о неподвижной точке с использованием теорема сжимающего отображения. Взяв производные, получаем ${\displaystyle g^{\prime }(y)=f^{\prime }(g(y))^{-1}}$.

Цепное правило подразумевает, что матрицы ${\displaystyle f^{\prime }(a)}$ и ${\displaystyle g^{\prime }(b)}$ каждый является обратным. Непрерывность ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ означает, что они гомеоморфизмы каждый из которых является обратным локально. Чтобы доказать существование, после аффинного преобразования можно предположить, что ${\displaystyle f(0)=0}$ и ${\displaystyle f^{\prime }(0)=I}$, так что ${\displaystyle a=b=0}$.

По основной теореме исчисления, если ${\displaystyle u}$ это C¹ функция ${\displaystyle u(1)-u(0)=\int _{0}^{1}u^{\prime }(t)\,dt}$, так что ${\displaystyle \|u(1)-u(0)\|\leq \sup _{0\leq t\leq 1}\|u^{\prime }(t)\|}$. Параметр ${\displaystyle u(t)=f(x+t(x^{\prime }-x))-x-t(x^{\prime }-x)}$, следует, что

${\displaystyle \|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\|\,\sup _{0\leq t\leq 1}\|f^{\prime }(x+t(x^{\prime }-x)))-I\|.}$

Теперь выберите ${\displaystyle \delta >0}$ так что ${\displaystyle \|f^{\prime }(x)-I\|<{1 \over 2}}$ за ${\displaystyle \|x\|<\delta }$. Предположим, что ${\displaystyle \|y\|<\delta /2}$ и определить ${\displaystyle x_{n}}$ индуктивно ${\displaystyle x_{0}=0}$ и ${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}+y-f(x_{n})}$. Предположения показывают, что если ${\displaystyle \|x\|,\,\,\|x^{\prime }\|<\delta }$ тогда

${\displaystyle \|f(x)-f(x^{\prime })-x+x^{\prime }\|\leq \|x-x^{\prime }\|/2}$.

Особенно ${\displaystyle f(x)=f(x^{\prime })}$ подразумевает ${\displaystyle x=x^{\prime }}$. В индуктивной схеме ${\displaystyle \|x_{n}\|<\delta }$и ${\displaystyle \|x_{n+1}-x_{n}\|<\delta /2^{n}}$. Таким образом ${\displaystyle (x_{n})}$ это Последовательность Коши стремясь к ${\displaystyle x}$. По конструкции ${\displaystyle f(x)=y}$ как требуется.

Чтобы проверить это ${\displaystyle g=f^{-1}}$ это C¹, записывать ${\displaystyle g(y+k)=x+h}$ так что${\displaystyle f(x+h)=f(x)+k}$. По неравенствам выше, ${\displaystyle \|h-k\|<\|h\|/2}$ так что ${\displaystyle \|h\|/2<\|k\|<2\|h\|}$.С другой стороны, если ${\displaystyle A=f^{\prime }(x)}$, тогда ${\displaystyle \|A-I\|<1/2}$. С использованием геометрическая серия за ${\displaystyle B=I-A}$, следует, что ${\displaystyle \|A^{-1}\|<2}$. Но потом

${\displaystyle {\|g(y+k)-g(y)-f^{\prime }(g(y))^{-1}k\| \over \|k\|}={\|h-f^{\prime }(x)^{-1}[f(x+h)-f(x)]\| \over \|k\|}\leq 4{\|f(x+h)-f(x)-f^{\prime }(x)h\| \over \|h\|}}$

стремится к 0 как ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle h}$ стремятся к 0, доказывая, что ${\displaystyle g}$ это C¹ с ${\displaystyle g^{\prime }(y)=f^{\prime }(g(y))^{-1}}$.

Приведенное выше доказательство представлено для конечномерного пространства, но одинаково хорошо применимо и для Банаховы пространства. Если обратимая функция ${\displaystyle f}$ это C^k с ${\displaystyle k>1}$, то и обратное. Это следует по индукции с учетом того факта, что отображение ${\displaystyle F(A)=A^{-1}}$ на операторах - это C^k для любого ${\displaystyle k}$ (в конечномерном случае это элементарный факт, поскольку матрица, обратная матрице, задается как сопряженная матрица делится на детерминант ).^[7][8] Метод доказательства здесь можно найти в книгах Анри Картан, Жан Дьедонне, Серж Ланг, Роджер Годеман и Ларс Хёрмандер.

Обобщения

Коллекторы

Теорема об обратной функции может быть перефразирована в терминах дифференцируемых отображений между дифференцируемые многообразия. В этом контексте теорема утверждает, что для дифференцируемого отображения ${\displaystyle F:M\to N}$ (класса ${\displaystyle C^{1}}$), если дифференциал из ${\displaystyle F}$,

${\displaystyle dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N}$

это линейный изоморфизм в какой-то момент ${\displaystyle p}$ в ${\displaystyle M}$ тогда существует открытая окрестность ${\displaystyle U}$ из ${\displaystyle p}$ такой, что

${\displaystyle F|_{U}:U\to F(U)}$

это диффеоморфизм. Заметим, что это означает, что компоненты связности M и N содержащий п и F(п) имеют ту же размерность, что уже прямо следует из предположения, что dF_п является изоморфизмом. Если производная F является изоморфизмом во всех точках п в M тогда карта F это локальный диффеоморфизм.

Банаховы пространства

Теорема об обратной функции также может быть обобщена на дифференцируемые отображения между Банаховы пространства Икс и Y.^[9] Позволять U - открытая окрестность начала координат в Икс и ${\displaystyle F:U\to Y\!}$ непрерывно дифференцируемая функция, и предположим, что производная Фреше ${\displaystyle dF_{0}:X\to Y\!}$ из F в 0 это ограниченный линейный изоморфизм Икс на Y. Тогда существует открытая окрестность V из ${\displaystyle F(0)\!}$ в Y и непрерывно дифференцируемое отображение ${\displaystyle G:V\to X\!}$ такой, что ${\displaystyle F(G(y))=y}$ для всех у в V. Более того, ${\displaystyle G(y)\!}$ единственное достаточно малое решение Икс уравнения ${\displaystyle F(x)=y\!}$.

Банаховы многообразия

Эти два направления обобщения можно объединить в теореме об обратной функции для Банаховы многообразия.^[10]

Теорема о постоянном ранге

Теорема об обратной функции (и теорема о неявной функции ) можно рассматривать как частный случай теоремы о постоянном ранге, которая утверждает, что гладкое отображение с постоянным классифицировать рядом с точкой можно придать особую нормальную форму около этой точки.^[11] В частности, если ${\displaystyle F:M\to N}$ имеет постоянный ранг рядом с точкой ${\displaystyle p\in M\!}$, то есть открытые окрестности U из п и V из ${\displaystyle F(p)\!}$ и есть диффеоморфизмы ${\displaystyle u:T_{p}M\to U\!}$ и ${\displaystyle v:T_{F(p)}N\to V\!}$ такой, что ${\displaystyle F(U)\subseteq V\!}$ и такая, что производная ${\displaystyle dF_{p}:T_{p}M\to T_{F(p)}N\!}$ равно ${\displaystyle v^{-1}\circ F\circ u\!}$. То есть, F "похоже" на его производную рядом с п. Полунепрерывность ранговой функции означает, что существует открытое плотное подмножество области определения F на котором производная имеет постоянный ранг. Таким образом, теорема о постоянном ранге применима к общей точке области.

Когда производная от F инъективен (соответственно сюръективен) в точке п, он также инъективен (соответственно сюръективен) в окрестности п, а значит, и ранг F постоянна в этой окрестности, и применяется теорема о постоянном ранге.

Голоморфные функции

Если голоморфная функция F определяется из открытого множества U из ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\!}$ в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\!}$, а Матрица якобиана из сложные производные обратима в точке п, тогда F является обратимой функцией около п. Это немедленно следует из действительной многомерной версии теоремы. Можно также показать, что обратная функция снова голоморфна.^[12]

Полиномиальные функции

Если бы это было правдой, то Гипотеза о якобиане будет вариантом теоремы об обратной функции для многочленов. Он утверждает, что если вектор-значная полиномиальная функция имеет Определитель якобиана то есть обратимый многочлен (то есть ненулевая константа), тогда у него есть обратный, который также является полиномиальной функцией. Неизвестно, правда это или ложь, даже в случае двух переменных. Это большая открытая проблема в теории многочленов.

Смотрите также

• Теорема Банаха о неподвижной точке
• Теорема о неявной функции
• Теорема Нэша – Мозера.

Примечания

1. «Производная от обратных функций». Математическое хранилище. 2016-02-28. Получено 2019-07-26.
2. Макоуэн, Роберт С. (1996). «Исчисление карт между банаховыми пространствами». Уравнения с частными производными: методы и приложения. Река Аппер Сэдл, Нью-Джерси: Prentice Hall. С. 218–224. ISBN  0-13-121880-8.
3. Тао, Теренс (12 сентября 2011 г.). "Теорема об обратной функции для всюду дифференцируемых отображений". Получено 2019-07-26.
4. Джефф, Итан. "Теорема об обратной функции" (PDF).
5. Спивак Михаил (1965). Исчисление на многообразиях. Бостон: Эддисон-Уэсли. С. 31–35. ISBN  0-8053-9021-9.
6. Хаббард, Джон Х.; Хаббард, Барбара Берк (2001). Векторный анализ, линейная алгебра и дифференциальные формы: единый подход (Матрица ред.).
7. Хёрмандер, Ларс (2015). Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными I: теория распределений и анализ Фурье. Классика по математике (2-е изд.). Springer. п. 10. ISBN  9783642614972.
8. Картан, Анри (1971). Рассчитать дифференциал (На французском). Германн. С. 55–61. ISBN  9780395120330.
9. Люенбергер, Дэвид Г. (1969). Оптимизация методами векторного пространства. Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья. С. 240–242. ISBN  0-471-55359-X.
10. Ланг, Серж (1985). Дифференциальные многообразия. Нью-Йорк: Спрингер. С. 13–19. ISBN  0-387-96113-5.
11. Бутби, Уильям М. (1986). Введение в дифференцируемые многообразия и риманову геометрию (Второе изд.). Орландо: Academic Press. стр.46–50. ISBN  0-12-116052-1.
12. Fritzsche, K .; Грауэрт, Х. (2002). От голоморфных функций к комплексным многообразиям. Springer. С. 33–36.

Рекомендации

• Аллендёрфер, Карл Б. (1974). «Теоремы о дифференцируемых функциях». Исчисление нескольких переменных и дифференцируемые многообразия. Нью-Йорк: Макмиллан. С. 54–88. ISBN  0-02-301840-2.
• Баксандалл, Питер; Либек, Ганс (1986). "Теорема об обратной функции". Векторное исчисление. Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. 214–225. ISBN  0-19-859652-9.
• Nijenhuis, Альберт (1974). «Сильные производные и обратные отображения». Амер. Математика. Ежемесячно. 81 (9): 969–980. Дои:10.2307/2319298. HDL:10338.dmlcz / 102482.
• Проттер, Мюррей Х.; Морри, Чарльз Б., мл. (1985). «Преобразования и якобианы». Промежуточный исчисление (Второе изд.). Нью-Йорк: Спрингер. С. 412–420. ISBN  0-387-96058-9.
• Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в дифференциальные уравнения с частными производными. Тексты по прикладной математике 13 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 337–338. ISBN  0-387-00444-0.
• Рудин, Вальтер (1976). Принципы математического анализа. Международная серия по чистой и прикладной математике (третье изд.). Нью-Йорк: книга Макгроу-Хилла. стр.221 –223.